山西省浮山中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
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2014-2015学年度山西浮山中学高二期中试题（理数）
考试范围：选修2-2；选修4-4；考试时间：120分钟
题号 一 二 三 总分
得分
第I卷（选择题）
评卷人 得分
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设,abR，(1)(2)abiii（i为虚数单位），则ab的值为( )
A. 0 B. 2 C.3 D. 4
2．若复数z满足(1)2zii，则复数z等于
A．1+i
B．1-i C．2i21 D．2
3．直线ttytx(32为参数)的倾斜角等于
A．43 B．3 C． 4 D．6
4．在极坐标系中，圆cos2的圆心的极坐标为（ ）
A.2,1 B.2,1 C.0,1 D..1
5．演绎推理“因为对数函数log(0,1)ayxaa是增函数，而函数13logyx是对数函数，
所以13logyx是增函数”所得结论错误的原因是（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误
6．用反证法证明“若a，b，c<3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为
A.假设a，b，c至少有一个大于1 B.假设a，b，c都大于1
C.假设a，b，c至少有两个大于1 D.假设a，b，c都不小于1
7．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222nnnnn时，由kn的假设到证明1kn时，等式左边应添加的式子是（ ）
A、222)1(kk B、22)1(kk
C、2)1(k D、]1)1(2)[1(312kk
8．水以匀速注入如图容器中，试找出与容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象（ ）
9．函数xxyln的最大值为（ ）
A．1e B．e C．2e D．310
10．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(2－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)
B．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(2)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
D．函数f(x)有极大值f(－1)和极小值f(2)
11．若点P是曲线2lnyxx上任意一点,则点P到直线y=x+3的最小距离为( )
A.1 B.2 C.322 D.3
12．四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1、2、3、4号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，„„这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔的位置对应的是( )
A．编号1 (开始) B．编号2 （第1次） C．编号3 （第2次） D．编号4（第3次）
第II卷（非选择题）
评卷人 得分
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若函数32()1fxxxmx在R上无极值点，则实数m的取值范围是____.
14．2204xdx＝________.
15．.如图5，在平面上，用一条直线截正方形的一个角则截下一个直角三角形按图所标边长，由勾股定理得222bac.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥ABCO,若用321,,sss表示三个侧面面积,4s表示截面面积,你类比得到的结论是 .
16．曲线y=14xe在点（0，2）处的切线方程为_______.
评卷人 得分
三、解答题（共70分）
17．（10分）求证：(1)222abcabacbc; (2) 6+7>22+5。 abcCBAO图5
18．（12分）设函数f（x）=x3﹣21x2﹣2x﹣32．
（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；
（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
19．（ 12分）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合．直线l的参数方程为：tytx21231（t为参数），曲线C的极坐标方程为：cos4．
（1）写出曲线C的直角坐标方程，并指明C是什么曲线；
（2）设直线l与曲线C相交于QP,两点，求PQ的值．
20．（12分）在数列{}na中，11a，131nnnaaa，1,2,3,n。
（Ⅰ）计算2a，3a，4a的值；
（Ⅱ）猜想数列{}na的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
21．（12分）某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出．．．的商品件数m与商品单价的降低值x（单位：元，90x）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件.
（1）将一星期的商品销售利润y表示成x的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
22．（12 分）
已知函数2()()12()fxxbxbxbR
① 当b=-1时，求f(x)的极值。
② 若f(x)在区间（0，13）上单调递增，求b的取值范围。
③ 试判断f(x)在定义域上的单调性
2014-2015学年度山西浮山中学高二期中试题（理数）
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：因为，(1)(2)3abiiii，所以，ab=3-1=2，故选B。
考点：复数的代数运算，复数的概念。
点评：简单题，复数的实部、虚部分别相等，则复数相等。
2．A
【解析】本题考查复数的运算
由(1)2zii得22122211112iiiiiziiii
则正确答案为A
3．A
【解析】
试题分析：根据题意，由于直线ttytx(32为参数），那么可知消去参数t，得到的为x-2=3-yy+x-2-30，可知斜率为-1，因此可知倾斜角为43，故选A.
考点：直线的参数方程
点评：主要是考查了直线的参数方程的简单运用，属于基础题。
4．D.
【解析】
试题分析：把圆的极坐标方程化为直角坐标方程222xyx，求出圆心的直角坐标(1,0)，
再把它化为极坐标.1．
考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
5．A
【解析】
试题分析：大前提错误，对数函数当1a时，为增函数，当01a时，为减函数．
考点：演绎推理，对数函数的性质．
6．D
【解析】
试题分析：“a，b，c中至少有一个小于1”的反面是“假设a，b，c都不小于1”，故选D。
考点：反证法
点评：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．B
【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减,由于n=k，左边=12+22+„+（k-1）2+k2+（k-1）2+„+22+12,n=k+1时，左边=12+22+„+（k-1）2+k2+（k+1）2+k2+（k-1）2+„+22+12,比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2,故答案为（k+1）2+k2,选B.
8．A
【解析】
试题分析：由于容器上细下粗，所以水以横速注入水，开始阶段高度增加的慢，以后高度增加的越来越快，因此h与t图象越来越陡峭，th原来越大，选A
考点：函数的单调性与导数的关系.
9．A
【解析】
试题分析：根据题意，由于x>0,则根据函数221ln1ln'xxlnxxxyyxxx ，可知当x(0,)e 导数大于零，可知递增，当x(,)e,导数小于零，函数递减，故可知函数在x=e出取得最大值为1e，故选A.
考点：导数的运用
点评：主要是考查了函数的最值的运用，属于基础题。
10．A
【解析】由函数y＝(2－x)f′(x)的图像可知，方程f′(x)＝0有两个实根x＝－1，x＝1，且在(－∞，－1)上f′(x)<0，在(－1，1)上f′(x)>0，在(1，2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)<0.所以函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)．
11．C
【解析】设P(x,y),则1()2fxxx,当()1fx时，此时点P到直线y=x+3的距离最小.
所以1121,1()2xxxx或舍，所以此时P（1，1），最小距离为|113|3222d.
12．C
【解析】由已知和图形得，小兔自第1次交换位置后依次坐在④→③→①→②→④„，得到
每4次一个循环．因为2014÷4的余数为2，所以第2014次交换位置后，小兔的位置和第2次交换的位置相同，即编号为3.
13．1,)3[
【解析】
32'2()1()32=-11.,)33fxxxmxfxxxmRQ在R上无极值点.在上大于等于零恒成立即412m0m故填[
14．π
【解析】设y＝24x，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知2204xdx的值等于半径为2的圆的面积的14.∴2204xdx＝14×4π＝π.
15．23222124ssss
【解析】略
16．x+y－2=0
【解析】
试题分析：根据题意，由于曲线y=14xe，0241(1)y'y'|xxxee,则由点斜式方程可知y-2=-(x-0),切线方程为x+y－2=0，故答案为x+y－2=0。
考点：导数的几何意义
点评：解决的关键是得到函数的导函数，然后代点得到切线的斜率，属于基础题。
17．（1）根据均值不等式来得到证明，根据222abab，222acac，222bcbc相加得到。
（2）利用分析法两边平方，结合有理数的大小来判定。
【解析】
