高考总复习-选修4-1-第二讲-直线与圆的位置关系

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高中数学 【金版学案】2014-2015学年高中数学

第二讲直线与圆的位置关系本讲小结 新人教A版选修4-1

本讲小结

1．圆周角定理

(1)圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角应满足两个条件：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，二者缺一不可．

(2)圆周角定理：圆上一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，其度数等于它所对的弧的度数的一半．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

相交弦所成角定理：圆的两条相交弦所成角的度数等于它所夹的弧与它的对顶角所夹弧的度数和的一半．

(3)直角三角形中线定理的逆定理：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

2．圆内接四边形的性质与判定

(1)圆内接多边形的概念：

如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．

任一个三角形都有外接圆，但任一个四边形并不一定有外接圆．

(2)圆内接四边形的性质．

定理1：圆内接四边形对角互补．

定理2：圆内接四边形的外角等于它的内对角．

托勒密定理：圆内接四边形的两对边乘积之和等于两对角线的乘积．

(3)圆内接四边形的判定．

定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．

推论1：如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于圆．

推论2：如果两个三角形有一个公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆．

3．圆的切线的性质与判定 打印版

高中数学 (1)直线与圆的位置关系．

以直线与圆的公共点个数可将直线与圆的位置关系划分为：相交(两个公共点)、相切(一个公共点)和相离(没有公共点)．直线与圆的位置关系的判定可通过比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小来实现．

OBAP24.2 直线与圆位置关系(第3课时)

教学内容

1．切线长的概念．

2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

3．三角形的内切圆及三角形内心的概念．

教学目标

了解切线长的概念．

理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．

复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念

重难点、关键

1．重点：切线长定理及其运用．

2．•难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．

教学过程

一、复习引入

1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？

2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？

3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？

老师点评：（1）在黑板上作出△ABC的三条角平分线，并口述其性质：•①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等．

（2）（口述）点和圆的位置关系有三种，点在圆内dr；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想．

（3）（口述）直线和圆的位置关系同样有三种：直线L和⊙O相交dr；切线的判定定理：•经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

二、探索新知

从上面的复习，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，•并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．

问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？

选修几何证明（选讲）

直线与圆的住置关糸一— — 开 卷有益

[•…「公矗町弄血甬liiE俺®【i加历第加列] I定定理及性质定理. I

I- 2.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形I

|的性质定理与判定定理、切割线定理. |

! ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1【考点自主回扣】

•［要点梳理］

• 1.圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理

• (1)圆周角定理

•圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的

•圆吐角的度数等于它所对弧的 _________

•推论仁同弧或等弧所对的 ___________ 相等；同 圆心角

________ 的一半. 度数

• (2)圆心角定理 圆周角 圆或等圆中，相等的 __________所对的弧也相

•推论2：半圆(或直径)所对的圆宙备是

_______ ; 9严的圆周角所对的弦是

• (3)弦切角定理 圆周角

•弦切角等于它所夹的弧所对的 __________ .

•推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数 的一半.• 2.圆内接四边形的判定定理和性质定理

定理（或

推论）

如果一个四边形的对角 ,那么这个四边

形的四个顶点共圆

■ 内角的对角

如果四边形的一个外角等于它的 ,

那么这个四边形的四个顶点共

圆的内接四边形的对角 内容

判定定理

判定定理

的推论

性质定理 定义、定 理及推论 内容

定义 如果一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条 直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点

判定定理 外端 蚩旦十

经过半径的 并且 这条半径的直线是

圆的切线 性质定理 圆的切线 经过切点的半径

第2讲 直线与圆的位置关系

1．圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理

(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

(3)弦切角定理

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．

推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．

2．圆内接四边形的判定定理和性质定理

定理(或推论) 内容

判定定理 假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆

判定定理的推论 假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆

性质定理 圆的内接四边形的对角互补

圆内接四边形的外角等于它的内角的对角

3.圆的切线的性质及判定定理

定义、定理及推论 内容

定义 假如一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点

判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

性质定理的推论 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

4．与圆有关的比例线段

定理名称 基本图形 条件 结论 应用

相交弦定理

弦AB、CD相交于圆内点P (1)PA·PB＝PC·PD

(2)△CAP∽△BDP (1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角

割线定理

PAB、PCD是⊙O的割线 (1)PA·PB＝PC·PD

(2)△PAC∽△PDB (1)求线段PA、PB、PC、PD(2)应用相像求AC、BD

切割线定理

PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线 (1)PA2＝PB·PC(2)△PAB∽△PCA (1)PA、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC 切线长定理

PA、PB是⊙O的切线 (1)PA＝PB(2)∠OPA＝∠OPB (1)证线段相等，已知PA，求PB(2)求角