选修4-1第2课时直线与圆的位置关系

任意平行四边形的四个顶点在同一个圆上
平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，因为
它的对角相等，但不一定互补．当互补时，共圆． 思考探究2 在我们学过的特殊四边形中，有哪些四边形
的四个顶点共圆？ 提示 有矩形、正方形、等腰梯形，因为它们的四个内角
中相对的两个内角互补.Fra bibliotek名师点拨 1.判定四点共圆的方法 (1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共 圆．
【证明】 O.
由A，B，D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙
(1)如果点C在⊙O的外部(如图①)，连接BC，与圆相交于 点E. ∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB. 而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．
(2)如果点C在⊙O的内部(如图②)． 延长BC与圆相交于点E，连接AE， 则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾． ∴点C不可能在圆内． 由(1)、(2)知，点C只能在圆上． ∴A，B，C，D四点共圆．
规律技巧
本例的证明应用了分类讨论的思想和反证法．
变式2
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点 F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G，求证： (1)D，E，F，G四点共圆； (2)G，B，C，F四点共圆．
证明 GEF＝90° .
(1)连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠
规律技巧
本题除了运用圆内接四边形的性质定理，还运
用了垂径定理及圆周角定理的推论2解决问题．
变式1
如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB和DC的延长 线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q.如果∠A＝50° ，∠P＝ 30° ，求∠Q的度数．

要使圆的面积最小，只需半径长r最小．
1
∵r＝2
4 1+λ
2
+ 4−λ
8
2
− 4 1 + 4λ
1
＝2
5 λ−
8 2
5
26
+
16
5
12
≥
1
2
37
16
2 5
＝
，
5
5
∴当λ＝ 5时，半径长r最小，此时圆的方程为x2＋y2＋ 5 x－ 5 y＋ 5 ＝0，
即 +
13 2
＋
5
6
4
− 5 2＝ 5.
（三）典型例题
(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点．
(3)尽量使已知点位于坐标轴上．
（三）典型例题
【巩固练习2】有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每
公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总
费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题
，提升数学运算的核心素养。
学目标
1.能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养；
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
【做一做1】(教材P95练习3改编)直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为( C
A．2 2
B. 2－1
C．2 2－1
D．1
【做一做2】(教材P93例3改编)一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，

3．圆的切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清题设和结论，题设是：一条直 线l满足两个条件：(1)经过半径OA的外端点A；(2)垂直于这条 半径OA.结论是：这条直线l是圆的切线．即直线l⊥OA于A，则 l为⊙O的切线． 如图：①是切线，②，③不是切线．
4．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切 线． 在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉 及数值计算或距离问题，常利用(2)，如果涉及到线段的位置关 系常选用(3).
2．切线的性质定理及推论 定理：圆的切线__________经过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于__________直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 __________． 3．切线的判定定理 经过半径的__________并且垂直于这条半径的直线是圆的 __________.
第二讲
直线与圆的位置关系
三
圆的切线的性质及判定定理
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.掌握与圆的切线相关的知识． 2．深入理解圆的切线的性质、判定定理及推论． 3．灵活运用圆的切线的性质、判定定理及推论解决有关 的几何问题.
课前预习 1.直线与圆的位置关系 直线与圆有两个公共点，称直线与圆__________； 直线与圆只有一个公共点，称直线与圆________； 直线与圆没有公共点，称直线与圆__________．
【例3】
如图，已知AB是⊙O的直径，DE切⊙O于C，并且AD⊥ DE，BE⊥DE. 求证：(1)CD＝CE； (2)以C为圆心，CD为半径的⊙C和AB相切．

圆内接四边形是中学教学的主要研究问题之一， 近几年各地的高考选做题中常涉及圆内接四边形的判 定和性质． [例1] 已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和
点B的圆与AD、BC分别交于E、F.
求证：C、D、E、F四点共圆．
[证明] 连接EF，
因为四边形ABCD为平行四边形， 所以∠B＋∠C＝180°. 因为四边形ABFE内接于圆， 所以∠B＋∠AEF＝180°.
两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；
③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．
1．(2012· 天津高考)如图，已知AB和AC 是圆的两条弦，过点B作圆的切线与 AC的延长线相交于点D.过点C作BD的 平行线与圆相交于点E，与AB相交于 3 点F，AF＝3，FB＝1，EF＝ ， 2 则线段CD的长为________．
近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相 交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目
难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要
考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判 定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆 内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查 题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某
4 答案： 3
2．(2011· 北京高考)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于 点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三 个结论： ①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；
②AF· AG＝AD· AE；
③△AFB∽△ADG. 其中正确结论的序号是 A．①② C．①③ B．②③ D．①②③ ( )
[解]
(1)证明：如图，连接OB.