一强非线性随机振荡系统的路径积分解
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振 第 ２ 第 １ 期 ６卷ＮＡＬ ＯＦ ＢＲＡＴＩ ＶＩ ＯＮ ＡＮＤ ＨＯＣＫ Ｓ
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“＋ 、 ‘
÷ 科研简 报 ÷
ｋ ＋ ＋ ．＋ ． ．＋ ． ．＋ ．＋ ． ． 一
数值 路径 积分 法研 究 了一艘 在 非 高斯 慢 漂波 浪 力 激励
下 的系泊 船 舶 的 响应 ， 他们 所 建 立 的船 舶 慢 漂 振 荡 方
程 中含有 一个 立 方 型 的非 线 性 复 原 力 项 ， 个 非 线 性 这 项 的系数 也被 取为小 量 。
种基 于高斯 一 让德 积 分规 则 的路 径 积 分 法 。他们 勒 用该方 法来 求解 由 高斯 白噪 声 激 励 的动 力 系 统 ， 过 通
一
以上 即是从 基 于高斯 一勒 让德 积 分规 则 的路 径 积 分法 被开 发 出来 以后用 该方 法 所处 理 的 所 有 问题 。可
见所处 理 的 问题 还 只限 于弱 非 线性 的情 况 。本文 将 尝 试用基 于高 斯 一勒让 德积 分 规则 的路 径 积分 法来 处 理
０ ＋
一
强 非 线 性 随 机 振 荡 系统 的 路 径 积 分 解
王迎光 ， 谭家华
（ 海交通大学船舶与海洋工程系 ， 海 上 上 ２０ ３ ） ００ ０
摘 要 ：应用数值路径积分解法计算了一强非线性随机动力系统的响应统计。该数值路径积分法是基于隐式的
高斯 一勒让德插值程序 ， 而且概率密度 的值是在子 区问内的高斯积分点上 获得 的。查 阅文献显示这是首次单独应用这种 路径积分法来处理强非线性 随机振荡系统 问题。 关键词 ：随机过程 ； 高斯 白噪声 ； 概率 密度 ； 随机振动
中图 分 类 号 ：０ ２ ３４ 文 献标 识 码 ：Ａ
目前 在计 算非 线性 随机 动 力 系统 的 响应 统 计 时有 几种可行 的方 法 ， 中最 常用 的方 法 为 蒙 特 卡 罗 仿 真 其 法¨ Ｊ 。蒙 特卡罗 仿真 法 的 主要优 点 是 它 可 以方 便 地 处理 不 同形式非 线性 项 ， 其缺 点 是计 算 耗 时太 长 ， 但 而 且 响应概 率密度 曲线 端部 区域 内的数 值 的预 报 精度 不
＝ｏＩ（） － ｔ Ｖ
（） １
强非线 性 随 机振 荡 问题 。具 体 地 讲 ， 文 将 求 解 下 述 本 非线性 振荡 方程 ：
＋ 主＋ ＋ ＝ｏ （） ０ 届 － ｔ Ｖ Ｉ （） ２
他们所 选 择 的 系 统 参 数 为 Ｏ＝ ０ ５ ＝ ０ ５和 ＝ ／ ．、 ． ０ ５ 其 中非线 性项 的系 数为 ＝ ０ ５ 可 见 系统 的非 线 ．， ．，
高。统计 线性 化法 是 另 一 种可 解 决 非 线 性 随 机动 力 系统 问题 的方 法 。统计 线 性化 法 的 原理 是 用 一 等效 的线性 系统 来 替 代 原 来 的非 线 性 系统 ， 用来 作 替 代 的
Ｙ ．Ｓ 等人 在 ２０ ｕＪ ． ０ ４年 用上述 基 于高斯 一 让 勒
响应 。 处 理非线 性 随机动 力 系统 问题 的第 三 种 近似 方 法 叫数值 路径 积 分法 。 。Ｙ ．Ｓ 等 人 首 先 提 出 了 ｕＪ ．
参 激和外 激 联 合 作 用 下 的非 线 性 动 力 系统 ， 们 在计 他 算 中所 取 得 的 非 线 性 项 的 系 数 也 是 小 量 。 王 迎 光 等 人 在 ２０ ０ ７年用 上 述 基 于高 斯 一勒让 德 积 分 规 则 的
一
与 已知 的精确解 比较 显示 该 方 法 能在 概 率密 度 曲线 的 端 部 区域 得到精 确度 很 高 的解 。但 是 如 果仔 细 观 察就 会发 现 Ｙ ．Ｓ 等人 所处 理 的动 力 系 统都 是 弱 非线 ｕＪ ． 性 的 。例 如他 们 处 理 的 一个 受 高斯 白噪 声 （） ｔ 随机 激励 的一 维非线 性 系统为 ：
德积 分规 则 的路 径 积分 法求 解 了一 受 谐 和 和 白噪声 激 励 的达芬 振子 ， 他们 为 达 芬非 线 性 项 所 选 择 的系 统 参 数 为 ０ ３ 依 旧是弱 非线 性 的。此后 ｗ．Ｘ ｉ ．， ．Ｘ ｅ等人 Ｊ 用基 于高 斯 一勒让德 积分 规 则 的路 径 积 分法 求解 了一 受谐 和和 白噪声 激 励 的 达 芬 一瑞 利 振 子 ， 们 分 了几 他 种情况 来处 理 此 问题 ， 在 每 一 种 情 况 下 他 们所 取 得 但
性是相 对较弱 的 （ 当非线 性项 的系数 ０＜３ ／ ＜１时 ， 统 ＜ 系
其 中 （） 高斯 白噪 声 随机 激励 ， ｔ是 系统 参 数 取 为 田＝ ０ ２ Ｏ＝ 一１５ ＝ ４ ＝ ０ １ 因而 系统 （ ） 高度 ．、 ／ ．、 、 ．， ２是
（） １ 被称 为是 弱非 线 性 的。 。他 们 接着 处 理 的一 个 ） 受 高斯 白噪声 （ ） ｔ 随机 激 励 的二 维 非 线 性 系 统 的 非 线 性仍然 是较 弱 的。他们 最 后处 理 的一个 受 高 斯 白 噪声 （） ｔ 随机激励 的二 维 系统 包 含 非线 性 的 阻尼 项 ， 他们 所选 择 的非线性 阻尼 项 的系数也 是小 量 。
非 线性项 的系数都 是小 量 。谢 文 贤等 人 还用 此 基 于
高 斯 一勒让德 积分 规则 的路 径 积 分 法求 解 了一 在 随机
线性 系统 的参 数 是通过 使 误差 的均方 值 最 小 化而 得 到 的。显 然用 统计线 性化 法 只 能够 很好 地 预 报直 到 二 阶
的 响应 统 计 ， 此 方 法 一 般 不 能 够 精 确 地 预 报 极 值 用
振 第 ２ 第 １ 期 ６卷ＮＡＬ ＯＦ ＢＲＡＴＩ ＶＩ ＯＮ ＡＮＤ ＨＯＣＫ Ｓ
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数值 路径 积分 法研 究 了一艘 在 非 高斯 慢 漂波 浪 力 激励
下 的系泊 船 舶 的 响应 ， 他们 所 建 立 的船 舶 慢 漂 振 荡 方
程 中含有 一个 立 方 型 的非 线 性 复 原 力 项 ， 个 非 线 性 这 项 的系数 也被 取为小 量 。
种基 于高斯 一 让德 积 分规 则 的路 径 积 分 法 。他们 勒 用该方 法来 求解 由 高斯 白噪 声 激 励 的动 力 系 统 ， 过 通
一
以上 即是从 基 于高斯 一勒 让德 积 分规 则 的路 径 积 分法 被开 发 出来 以后用 该方 法 所处 理 的 所 有 问题 。可
见所处 理 的 问题 还 只限 于弱 非 线性 的情 况 。本文 将 尝 试用基 于高 斯 一勒让 德积 分 规则 的路 径 积分 法来 处 理
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强 非 线 性 随 机 振 荡 系统 的 路 径 积 分 解
王迎光 ， 谭家华
（ 海交通大学船舶与海洋工程系 ， 海 上 上 ２０ ３ ） ００ ０
摘 要 ：应用数值路径积分解法计算了一强非线性随机动力系统的响应统计。该数值路径积分法是基于隐式的
高斯 一勒让德插值程序 ， 而且概率密度 的值是在子 区问内的高斯积分点上 获得 的。查 阅文献显示这是首次单独应用这种 路径积分法来处理强非线性 随机振荡系统 问题。 关键词 ：随机过程 ； 高斯 白噪声 ； 概率 密度 ； 随机振动
中图 分 类 号 ：０ ２ ３４ 文 献标 识 码 ：Ａ
目前 在计 算非 线性 随机 动 力 系统 的 响应 统 计 时有 几种可行 的方 法 ， 中最 常用 的方 法 为 蒙 特 卡 罗 仿 真 其 法¨ Ｊ 。蒙 特卡罗 仿真 法 的 主要优 点 是 它 可 以方 便 地 处理 不 同形式非 线性 项 ， 其缺 点 是计 算 耗 时太 长 ， 但 而 且 响应概 率密度 曲线 端部 区域 内的数 值 的预 报 精度 不
＝ｏＩ（） － ｔ Ｖ
（） １
强非线 性 随 机振 荡 问题 。具 体 地 讲 ， 文 将 求 解 下 述 本 非线性 振荡 方程 ：
＋ 主＋ ＋ ＝ｏ （） ０ 届 － ｔ Ｖ Ｉ （） ２
他们所 选 择 的 系 统 参 数 为 Ｏ＝ ０ ５ ＝ ０ ５和 ＝ ／ ．、 ． ０ ５ 其 中非线 性项 的系 数为 ＝ ０ ５ 可 见 系统 的非 线 ．， ．，
高。统计 线性 化法 是 另 一 种可 解 决 非 线 性 随 机动 力 系统 问题 的方 法 。统计 线 性化 法 的 原理 是 用 一 等效 的线性 系统 来 替 代 原 来 的非 线 性 系统 ， 用来 作 替 代 的
Ｙ ．Ｓ 等人 在 ２０ ｕＪ ． ０ ４年 用上述 基 于高斯 一 让 勒
响应 。 处 理非线 性 随机动 力 系统 问题 的第 三 种 近似 方 法 叫数值 路径 积 分法 。 。Ｙ ．Ｓ 等 人 首 先 提 出 了 ｕＪ ．
参 激和外 激 联 合 作 用 下 的非 线 性 动 力 系统 ， 们 在计 他 算 中所 取 得 的 非 线 性 项 的 系 数 也 是 小 量 。 王 迎 光 等 人 在 ２０ ０ ７年用 上 述 基 于高 斯 一勒让 德 积 分 规 则 的
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与 已知 的精确解 比较 显示 该 方 法 能在 概 率密 度 曲线 的 端 部 区域 得到精 确度 很 高 的解 。但 是 如 果仔 细 观 察就 会发 现 Ｙ ．Ｓ 等人 所处 理 的动 力 系 统都 是 弱 非线 ｕＪ ． 性 的 。例 如他 们 处 理 的 一个 受 高斯 白噪 声 （） ｔ 随机 激励 的一 维非线 性 系统为 ：
德积 分规 则 的路 径 积分 法求 解 了一 受 谐 和 和 白噪声 激 励 的达芬 振子 ， 他们 为 达 芬非 线 性 项 所 选 择 的系 统 参 数 为 ０ ３ 依 旧是弱 非线 性 的。此后 ｗ．Ｘ ｉ ．， ．Ｘ ｅ等人 Ｊ 用基 于高 斯 一勒让德 积分 规 则 的路 径 积 分法 求解 了一 受谐 和和 白噪声 激 励 的 达 芬 一瑞 利 振 子 ， 们 分 了几 他 种情况 来处 理 此 问题 ， 在 每 一 种 情 况 下 他 们所 取 得 但
性是相 对较弱 的 （ 当非线 性项 的系数 ０＜３ ／ ＜１时 ， 统 ＜ 系
其 中 （） 高斯 白噪 声 随机 激励 ， ｔ是 系统 参 数 取 为 田＝ ０ ２ Ｏ＝ 一１５ ＝ ４ ＝ ０ １ 因而 系统 （ ） 高度 ．、 ／ ．、 、 ．， ２是
（） １ 被称 为是 弱非 线 性 的。 。他 们 接着 处 理 的一 个 ） 受 高斯 白噪声 （ ） ｔ 随机 激 励 的二 维 非 线 性 系 统 的 非 线 性仍然 是较 弱 的。他们 最 后处 理 的一个 受 高 斯 白 噪声 （） ｔ 随机激励 的二 维 系统 包 含 非线 性 的 阻尼 项 ， 他们 所选 择 的非线性 阻尼 项 的系数也 是小 量 。
非 线性项 的系数都 是小 量 。谢 文 贤等 人 还用 此 基 于
高 斯 一勒让德 积分 规则 的路 径 积 分 法求 解 了一 在 随机
线性 系统 的参 数 是通过 使 误差 的均方 值 最 小 化而 得 到 的。显 然用 统计线 性化 法 只 能够 很好 地 预 报直 到 二 阶
的 响应 统 计 ， 此 方 法 一 般 不 能 够 精 确 地 预 报 极 值 用
