垫拯生』选盆煎非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法。
苏志霄郑兆昌（清华大学工程力学系，北京，１０００８４）谁≮＇Ｉ广摘要秭４用Ｔａｙｌｏｒ级数展开导出了任意自治或非自治非线性动力系统的瞬时线性化方程，该线性方程的连续变化描述了系统的全部复杂动力行为。
进一步求解系统的线性化方程，得到一种非线性动力系统数值计算的新的递推格式，计算实例表明其精度高于传统的Ｈｏｕｂｏｌｔ、Ｗｉｌｓｏｎ．ｏ及Ｎｅｗｍａｒｋ－１３等方法，且在计算时间步长较大时，仍然具有足够的计算精度３文末通过数值计算研究了Ｄｕｆｆｉｎｇ方程和ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的混沌及周期特性。
关键词非线性动力系统连续线性化模型Ｄｕｍｎｇ方程ｖａｉｌｄｅｒＰｏｌ方程近年来，非线性动力系统的定性分析方法在低维系统中的应用已逐步完善。
然而。
由于非线性系统一般不存在解析解，因此通常利用逐步积分法、有限差分法［１，２］及其他方法，如Ｔａｙｌｏｒ变换法［３】等数值算法得到其数值解。
各种数值方法均是基于时间历程上的差分方法，也即通过各种形式的函数曲线来近似代替时间步长上振动系统的实际响应形式。
运动学研究历史上，静止被认为是运动的瞬时存在状态。
与此类似，线性结构可认为是非线性系统的瞬时表现形式，线性系统的连续变化反映了非线性动力系统的全部复杂行为。
非线性系统的瞬态响应依赖于该瞬时的线性结构，而该时刻线性结构的确定又依赖于上一连续瞬时非线性系统的响应。
因此，非线性系统的响应具有连续递推性。
由此观点可发展为非线性动力系统的连续线性模型理论。
本文即从此出发，推导了一般自治或非自治非线性动力系统的瞬态线性方程，精确求解该线性化方程得到非线性系统的一种新的数值算法。
该方法本质上以瞬态线性结构的精确响应来近似代替离散时间段内非线性系统的响应，区别于传统差分方法中以直线或各种曲线近似代替的思想。
计算实例表明该方法较传统方法相比，大大提高了计算精度。
文末计算了强迫Ｄｕｆｆｍｇ方程与强迫ｖａｌｌｄｅｒＰ０１方程的混沌及周期特性。
１非线性系统的连续线性化模型考虑相空间中的，ｌ维自治或非自治非线性系统‘国家重点基础研究发展规划项目（编号：Ｇ１９９８０２０３１６）。
国家自然科学基金资助项目（ＮＯ．１９９７２０２９），中国博士后科学基金资助项目（中博基【１９９９】）１７号。
！望２幽生主圄谴±生生查垄金逢圭塞ｄ＝ｆ（ｕ，ｆ）ｆ１）其中ｕ＝缸。
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…“。
）Ｔ，ｆ（ｕ，ｆ）＝矗（ｕ，ｆ）Ａ（ｕ，ｆ）…＾（ｕ，ｆ））Ｔ，且ｕ∈ＤｃＲ一。
ｆ为（Ｄ，Ｒ）到Ｄ上的Ｃ”映射。
考虑时刻ｔ＝ｔ，设此时相空间中的状态值为ｕ（∞＝每。
（Ｄ１／２（Ｄ…／＇／ｎ（曰）Ｔ，于是将ｆ（ｕ，，）在ｔ处展开为Ｔａｙｌｏｒ级数眠嗍㈣ｍｃ㈣·制。
＋缸∽哪，，式中角标（Ｔ）表示ｔ＝ｔ，ｕ＝ｕ（Ｔ），ｏ伍）表示（ｒ—ｔ）和［ｕ（ｔ）一ｕ（Ｔ）］的高阶小量。
当时间ｔ属于ｔ的右极小邻域内，即ｔ∈ｎ，Ｔ＋矾】时，略去上式中的高阶项ｏ（Ｅ）影响其精度极小，于是㈣㈣肿卜兮剿。
十和廿“训令Ａ（田：ｉ坚警到，ｗ（∞：ｉ！！｝堕ｌ，于是将（３）式整理为仇１ｈｄｔｆ（ｔ】ｄ＝Ａ（ｆ）ｕ＋（ｔ—ｆ）Ｗ（ｆ）一Ａ（ｆ）ｕ（ｆ）＋ｆ（ｕ（ｚ），ｆ），ｆ∈【ｆ，ｆ＋ｄｚ】（４）（４）式即为非线性系统（１）在ｔ＝ｔ时刻右极小邻域内的瞬态线性化方程，当时间ｔ连续变化时，该线性化方程也连续变化。
非线性系统任意时刻的响应依赖于其上一连续时刻的线性化方程，而该连续化方程的确定又依赖于该时刻非线性系统的响应，因此，非线性系统的解对初值具有连续依赖性。
２非线性系统的数值方法（４）式为一个非齐次线性系统的方程，根据线性微分方程理论［４】’得到其解析解如下ｕ（ｔ）＝Ｐ‘“Ⅺ叫’ｕ（ｔ）＋１１ｅＡ（。
ｔｘｔ－，）【ｆ（ｕ（ｔ），百）一Ａ（伽（ｔ）＋（Ｊ－＇ＯＷ（＇Ｏ］ｄｓ（５）其中ｔ∈ｎ，ｔ＋疵１，采用梯形积分法计算（５）式得盼卅喜尘≠心榔）＋譬（删＋ｇ（ｔ）（㈨）＋半（ｗ（６）其中ｔ∈ｎ，ｔ＋州，ｇ（ｘ）＝ｆ（ｕ（Ｔ），ｔ）一Ａ０；）ｕ（ｘ）。
当时间历程被离散化后，上式中以ｔ代替１，以ｔ＋Ａｔ代替ｔ，可得非线性系统数值计算的一种递推格式为ｎ和＋△力＝ｎ④十砉等Ａ∞抽钟＋甙力争十ｇ（，）缸＋ｗ＠等（７）玲一等事实上，上式描述的数值方法本质上在时间步长上以一个线性系统的解来近似代替非线性系统的实际解，由于线性系统的解具有封闭性，因此构成非线性系统的数值解Ｆｄ样具有封闭性，也即当计算时间较长时不会造成较大的累积误差。
下面以非线性单摆为例进行计算并说明该方法的优越性。
非线性单摆的振动方程为０＋∞：ｓｉｎ０＝０（８）其中∞：＝ｇ／ｌ，ｇ为重力加速度，ｆ为摆长。
数值计算的参数及初始条件为ｇ＝９．８，ｆ－１，ｅ（ｏ）＝０Ｒａｄ，ｅ（ｏ）＝６．２Ｒａｄ／Ｓｅｃ，计算时间为４秒。
单摆振动的最大摆角由能量守恒原理得到为ｅ～＝２．８６２２０Ｒ她。
表１为不同时间步长下采用Ｈｏｕｂｏｌｔ法、Ｗｉｌｓｏｎ－Ｓ．法、Ｎｅｗｍａｒｋ－［］．法及递推式（７）（其中求和级数中ｋ取至５）四种数值方法的最大摆角计算结果及误差。
分析计算结果可知，在各种传统方法中，以Ｎｅｗｍａｒｋ－Ｄ．法的计算精度最高。
而本文方法较Ｎｅｗｒａａｒｋ－Ｄ．法的误差约减小一半，且当时间步长较大时，仍然具有一定的计算精度。
衰，非线性单摆最大撄角数值计算结果３Ｄｕｆｆｉｎｇ方程与ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的数值解下面利用本文方法计算Ｄｕｆｆｍｇ方程与Ｖａｉｌｄ口ＰＤｌ方程的数值解，并通过计算结果分析这两个经典非线性系统的动力学特性。
强迫Ｄｕｔｆｉｎｇ振动的方程为ｊ＋缸一ｋｘ＋ｚ３＝ｂｃｏｓ∞ｔ强迫ｖａｉｌｔｉｅｒＰｏｌ振动的方程为置＋Ｕ（ｘ２—１）ｋ＋工＝ｂｃｏｓ（Ｏｔ（１０１其中Ｄｕｆｆｍｇ方程的参数取为ｋ－－－０、８＝０．２５、６＝８．５、∞２１，ＶａｌｌｄｅｒＰｏｌ方程的参数取为肛＝５、ｂ＝５、∞＝２．４６６。
！丝！！螋生主垦竖±壁芏查盘金鱼耋基图１Ｄｕ腼Ｉｇ方程的Ｐ０ｉＩＩｃａ托截面图图２ｖ锄ｄｅｒＰ０ｌ方程的Ｐｏｉｌｌｃ：ｋ截砸图（∞－２．４６６）图１和图２分别为计算得到的Ｄｕｆｆｉｎｇ方程与ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的Ｐｏｉｎｃａｔ６截面图。
可见，在上述参数下，Ｄｕｆｆｍｇ方程产生混沌运动，其Ｐｏｉｎｃａｒ６截面反映出系统具有一个复杂的Ｕｅｄａ混沌吸引子；ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程则产生一个周期３运动，而在以往的研究结果中，在同样的参数下，认为ＶａｎｄｅｒＰｏｌ方程经由倍周期分叉产生混沌“。
作者通过进一步计算结果表明，当参数Ｕ和ｂ保持不变时，需要更高的强迫力频率才能使系统产生混沌运动，如当ＣＯ＝１０时，ＶａｎｄｅｒＰｏｌ方程的Ｐｏｉｎｃａｒ６截面如图３，可见此时系统具有一个混沌吸引子。
图３ＶａｉｌｔｉｅｒＰｏｌ方程的Ｐｏｉｎｃａｒ６截面图（ｔｏ＝１０）有关应用连续线性模型理论对高维非线性系统进行模态缩减及相应的计算方法，作者将另文介绍。
参考文献Ⅲ１郑兆昌机械振动（中册）．北京：机械工业出版杜，１９８６【２］ＷｅｅｄＷＬ，Ｐｒａｃｔｉｃａｌ＂Ｃｔｒａｅ－ｓｔｅｐｐｉｎｇＳｃｈｅｍｅｓＣｌａｒｅｎｄｏｎＰｒｅｓｓ，Ｏｘｆｏａ＇ｄ，１９９０【３）３ＣｈｉｏｕＪＳ，ＴｚｅｎｇＪＲ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆ山ｅＴａｙｌⅡＴｒａａｓｆｃｃｍｔｏＮｏｎｌｉｎｅａｒＶｉｂｒａｔｉｏｎＰｒｏｂｌｅｍｓ＂Ｉｔ＇ａｎ．ｓ∞ｆｉｏｎｓｏｆ山ｃＡＳ／ｖＩＥ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄＡｃｏｕｓｔｉｃｓ，１９９６１１８：ＰＰ８孓８７【４］李云非线性动力系统的现代数学方法及其应用北京：人民交通出版杜１９９８【５】ＵｌｒｉｃｈＰａｒｌｉｔｚ，ｗⅫＬⅡｔｅｆｌｍｍＰｅｆｉｏｄ－ｄｏｕｂｎａｇｃａｓｃａｄｅｓａｎｄｄｅｖｉｌ’ｓｍｈａｓⅨｏｆｔｈｅ士咖ｖａｎｔｉｅｒＰｏｌ∞ｃｉｌｌａｔｏｔ．ＰｈｙｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗ．Ａ，１９８７，３６（３）：１４２８－１４３４垫垫生垡蠢金丛！堑．ＡＣｏｎｔｉｎｕｏｕｓＬｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎＭｏｄｅＩａｎｄＩｔｓＮｕｍｅｒｉｃａＩＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅＮｏｎ·ＬｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃＳｙｓｔｅｍｓＳｕＺｈｉｘｉａｏ，ＺｈｅｎｇＺｈａｏｃｈａｎｇ∞＂ｏｆＥａｇｈｍｌｎｇＭｒｒＡｕｍｉｃｓ，Ｔ￥ｉｌｌｇｈｕａＵｍｖｅｒｓｉ吼Ｂｅｉｊ％１０００８４．Ｏａｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ砷１ｅｔｉｍｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｆｉｎｅａｒｉｚａｆｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｆｏｒａｌｌａｒｂｉｔｒａｒｙａｕｔｏｎｏｍｏｕｓｏｒｎｏｎ—ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ，ｗｈｉｃｈｃａｌｌｆｕｌｌｙｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｓｙｓｔｅｍｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，ｉｓｄｅｄｕｃｅｄｔｈｒｏｕ翻ａｔｈｅＴａｙｌｏｒｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．Ｂｙｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｅｗｍｎｌｌｅｒｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｉｍｍｆｉｖｅｓｃｈｅｍｅｆｏｒｔｈｅｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｐｒａｃｔｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓｈｏｗｓｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｐｒｅｃｉｓｉｏｎｏｆｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｈｉｇｈｅｒｔｈａｎｔｈａｔｏｆｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄ，ｓｕｃｈａｓＨｏｕｂｏｌｔｍｅｔｈｏｄ，Ｗｉｌｓｏｎ一０ｍｅｔｈｏｄａｎｄＮｅｗｍａｒｋ－ｐｍｅｔｈｏｄ，ｅｔｅ，ａｎｄｔｈｅｐｒｅｃｉｓｉｏｎｉｓｈｉ曲ｅｎｏｕｇｈｅｖｅｎｗｈｅｎｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｔｉｍｅｓｔｅｐｉｓｌｏｎｇｅｒ．Ａｔｌａｓｔ，ｔｈｉｓｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｉｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｔｈｅｃｈａｏｓａｎｄｐｅｒｉｏｄｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆＤｕｆｆｍｇａｎｄｖａｎｄｅｒＰｎｌｅｑｕａｔｉｏｎｓＫｅｙｗｏｒｄｓｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ，ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｌｉｎｅａｒｍｏｄｅｌ，ｄｕｆｆｍｇｅｑｕａｔｉｏｎ，ｖａｉｌｄｅｒＰｏｌｅｑｕａｔｉｏｎ【作者简介】苏志霄，男，１９７２年１２月生，山西山阴人，１９９９年４月获西安理工大学工学博士学位，研究方向为机械强度设计理论、机械动力学及非线性振动。
摘要关键词腔体噪声主动控制的数值分析与优化设计高峰沈亚鹏田晓耕（西安交通大学建筑工程与力学学院西安，７１００４９）本乏、ｒ一有限抚方法被用来分析合压电体的立方腔体振动噪声的主动控制问题』采用一阶剪切Ｍｉｎｄｌｉｎ板理论，建立了包含腔体奔质影响的二维动态有限元方程。
主动控制采用速度反馈，数值分析了不同结构与声腔共振频率下主动控制效果。
