2015-2016年上海市宝山区高一上学期数学期末试卷和解析

2014-2015学年上海市宝山区高三（上）期末数学模拟试卷试题解析一.（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对3分，否则一律得0分．1．（3分）函数y=3tanx的周期是π．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据y=Atan（ωx+φ）的周期等于T=，可得结论．解答：解：函数y=3tanx的周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Atan（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．2．（3分）计算=2．考点：二阶矩阵．专题：计算题；矩阵和变换．分析：利用行列式的运算得，=2×3﹣1×4=2．解答：解：=2×3﹣1×4=2，故答案为：2．点评：本题考查了矩阵的运算，属于基础题．3．（3分）（2014•嘉定区三模）=．考点：极限及其运算．专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的求和公式可得1+2+3+…+n=，然后即可求出其极限值．解答：解：==（+）=，故答案为：点评：本题主要考察极限及其运算．解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！4．（3分）二项式（x+1）10展开式中，x8的系数为45．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：根据二项式（x+1）10展开式的通项公式，求出x8的系数是什么．解答：解：∵二项式（x+1）10展开式中，通项为T r+1=•x10﹣r•1r=•x10﹣r，令10﹣r=8，解得r=2，∴===45；即x8的系数是45．故答案为：45．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应根据二项式展开式的通项公式进行计算，是基础题．5．（3分）设矩阵A=，B=，若BA=，则x=2．考点：矩阵与向量乘法的意义．专题：计算题；矩阵和变换．分析：由题意，根据矩阵运算求解．解答：解：∵A=，B=，BA=，∴4×2﹣2x=4；解得，x=2；故答案为：2．点评：本题考查了矩阵的运算，属于基础题．6．（3分）现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有240种．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：利用捆绑法，把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，问题得以解决解答：解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有=240种，故答案为：240点评：本题主要考查了排列问题的中的相邻问题，利用捆绑法是关键，属于基础题7．（3分）若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα=﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式可知cosα=，又π＜α＜2π，利用同角三角函数间的关系式（平方关系）即可求得sinα的值．解答：解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，又π＜α＜2π，∴sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式与同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．8．（3分）（2008•天津）若一个球的体积为，则它的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．解答：解：由得，所以S=4πR2=12π．点评：本题考查学生对公式的利用，是基础题．9．（3分）函数y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ的值是．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：根据函数y=sin（2x+φ）的图象特征，若它是偶函数，只需要x=0时，函数能取得最值．解答：解：函数y=sin（2x+ϕ）是R上的偶函数，就是x=0时函数取得最值，所以f（0）=±1即sinϕ=±1所以ϕ=kπ+（k∈Z），当且仅当取k=0时，得φ=，符合0≤φ≤π故答案为：点评：本题考查了正弦型函数的奇偶性，正弦函数的最值，是基础题．10．（3分）正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据异面直线所成角的定义先找出对应的平面角即可得到结论．解答：解：连结AC，BD相交于O，则O为AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE是△PAC的中位线，则OE∥，则OE与BE所成的角即可异面直线BE与PA所成的角，设四棱锥的棱长为1，则OE==，OB=，BE=，则cos==，故答案为：点评：本题考查异面直线所成的角，作出角并能由三角形的知识求解是解决问题的关键，属中档题11．（3分）（2004•福建）直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于4．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题；数形结合．分析：根据圆的方程找出圆心坐标和半径，过点A作AC⊥弦BD，可得C为BD的中点，根据勾股定理求出BC，即可求出弦长BD的长．解答：解：过点A作AC⊥弦BD，垂足为C，连接AB，可得C为BD的中点．由x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0，得（x﹣3）2+（y﹣1）2=25．知圆心A为（3，1），r=5．由点A（3，1）到直线x+2y=0的距离AC==．在直角三角形ABC中，AB=5，AC=，根据勾股定理可得BC===2，则弦长BD=2BC=4．故答案为：4点评：本题考查学生灵活运用垂径定理解决实际问题的能力，灵活运用点到直线的距离公式及勾股定理化简求值，会利用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道综合题．12．（3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，0≤ϕ≤π）的部分图象如图所示，则y=f（x）的解析式是f（x）=2sin（2x+）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先，根据所给函数的部分图象，得到振幅A=2，然后，根据周期得到ω的值，再将图象上的一个点代人，从而确定其解析式．解答：解：根据图象，得A=2，又∵T==，∴T=π，∴ω=2，将点（﹣，0）代人，得2sin（2x+ϕ）=0，∵0≤ϕ≤π，∴ϕ=，∴f（x）=2sin（2x+），故答案为：2sin（2x+）点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、特殊角的三角函数等知识，属于中档题．解题关键是熟悉所给函数的部分图象进行分析和求解．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把正确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．13．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：由题意，推导出，确定α的象限，然后取得结果．解答：解：∵P（tanα，cosα）在第三象限，∴，由tanα＜0，得α在第二、四象限，由cosα＜0，得α在第二、三象限∴α在第二象限．故选B点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．14．（3分）已知函数y=x a+b，x∈（0，+∞）是增函数，则（）A．a＞0，b是任意实数B．a＜0，b是任意实数C．b＞0，a是任意实数D．b＜0，a是任意实数考点：指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由幂函数的性质可知，a＞0，b是任意实数．解答：解：∵函数y=x a+b，x∈（0，+∞）是增函数，∴a＞0，b是任意实数，故选A．点评：本题考查了幂函数的单调性的判断，属于基础题．15．（3分）在△ABC中，若b=2asinB，则这个三角形中角A的值是（）A．30°或60° B．45°或60° C．30°或120° D．30°或150°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：在△ABC中，利用正弦定理解得sinA=，从而求得A的值．解答：解：在△ABC中，若b=2asinB，则由正弦定理可得sinB=2sinAsinB，解得sinA=，∴A=30°或150°．故选D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．16．（3分）若log a3＜log b3＜0，则（）A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1考点：对数函数的单调区间．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：化log a3＜log b3＜0为log3b＜log3a＜0，利用函数的单调性求解．解答：解：∵log a3＜log b3＜0，∴＜＜0，即log3b＜log3a＜0，故0＜b＜a＜1，故选B．点评：本题考查了对数的运算及对数函数单调性的利用，属于基础题．17．（3分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2B． 2 C．D． 1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距离．解答：解：双曲线﹣=1的焦点为（4，0）或（﹣4，0）．渐近线方程为y=x或y=﹣x．由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d==2．故选A．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质和点到直线的距离公式．考查了考生对双曲线标准方程的理解和灵活应用，属基础题．18．（3分）用数学归纳法证明等式1+3+5+…+（2n﹣1）=n2（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．1+3+5+…+（2k+1）=k2 B．1+3+5+…+（2k+1）=（k+1）2C．1+3+5+…+（2k+1）=（k+2）2 D．1+3+5+…+（2k+1）=（k+3）2考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：首先由题目假设n=k时等式成立，代入得到等式1+3+5+…+（2k﹣1）=k2．当n=k+1时等式左边=1+3+5++（2k﹣1）+（2k+1）由已知化简即可得到结果．解答：解：因为假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k﹣1）=k2当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k﹣1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2．故选B．点评：此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目．需要同学们对概念理解记忆．19．（3分）设z=1+i（i是虚数单位），则复数+z2在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得对应点的坐标，则答案可求．解答：解：∵z=1+i，则复数+z2=，∴复数+z2在复平面上对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的等式表示法及其几何意义，是基础题．20．（3分）（2004•陕西）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=0考点：圆的切线方程．专题：计算题．分析：本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程．解答：解：法一：x2+y2﹣4x=0y=kx﹣k+⇒x2﹣4x+（kx﹣k+）2=0．该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．∴y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．法二：∵点（1，）在圆x2+y2﹣4x=0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．解得k=，∴切线方程为x﹣y+2=0．故选D点评：求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．21．（3分）“tanx=﹣1”是“x=﹣+2kπ（k∈Z）”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：函数奇偶性的性质．专题：简易逻辑．分析：得出tan（=﹣+2kπ）=﹣1，“x=﹣+2kπ”是“tanx=﹣1”成立的充分条件；举反例tan=﹣1，推出“x=﹣+2kπ（k∈Z）”是“tanx=﹣1”成立的不必要条件．解答：解：tan（﹣+2kπ）=tan （﹣）=﹣1，所以充分；但反之不成立，如tan =﹣1．故选：B点评：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断．充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，要理解好其中的概念．22．（3分）（2013•福建）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5 D．10考点：向量在几何中的应用；三角形的面积公式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；平面向量及应用．分析：通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．解答：解：因为在四边形ABCD中，，，=0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：==5．故选C．点评：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．23．（3分）（2006•天津）函数的反函数是（）A．B．C．D．考点：反函数．分析：本题需要解决两个问题：一是如何解出x，二是如何获取反函数的定义域，求解x时，要注意x＜0的条件，因为涉及2个解．解答：解：由解得，又∵原函数的值域是：y＞2∴原函数的反函数是，故选D．点评：该题的求解有2个难点，一是解出x有两个，要根据x＜0确定负值的一个，二是反函数的定义域要用原函数的值域确定，不是根据反函数的解析式去求．24．（3分）曲线y2=|x|+1的部分图象是（）A．B．C．D．考点：曲线与方程．专题：函数的性质及应用．分析：分类讨论，去掉绝对值，化简函数的解析式，可得它的图象特征，结合所给的选项，得出结论．解答：解：当x≥0时，y2=x+1表示以（﹣1，0）为顶点的开口向右的抛物线．当x＜0时，y2=﹣（x﹣1）表示以（1，0）为顶点的开口向左的抛物线，故选：C．点评：本题主要考查函数的图象特征，属于基础题．三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（8分）解不等式组：．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据不等式的解法即可得到结论．解答：解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4，由＞1得﹣1=＞0，解得3＜x＜5，所以，不等式解集为（3，4）．点评：本题主要考查不等式组的求解，比较基础．26．（8分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB=2，若异面直线A1A与B1C 所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知得AA1∥BB1，从而tan∠CB1B==，进而BB1=4，由此能求出正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．解答：解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB=2，异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，∴AA1∥BB1，∴∠CB1B为AA1、B1C所成的角，且tan∠CB1B==，…（4分）∵BC=AB=2，∴BB1=4，…（6分）∴正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=Sh=22×4=16．…（8分）点评：本题考查正四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．27．（10分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．考点：直线的一般式方程；抛物线的应用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程．（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），用弦长公式求出线段AB的长，再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m的表达式，再根据m的取值范围求出面积的范围．（Ⅲ），，变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A，B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值．解答：解：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），于是直线PF的斜率为，所以直线PF的方程为，即为mx+2y﹣m=0．（3分）（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由得m2x2﹣（2m2+16）x+m2=0，所以，x1x2=1．于是．点D到直线mx+2y﹣m=0的距离，所以．因为m∈R且m≠0，于是S＞4，所以△DAB的面积S范围是（4，+∞）．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1，m﹣y1）=μ（x2+1，y2﹣m），于是，（x2≠±1）．所以．所以λ+μ为定值0．（14分）点评：考查求直线方程、抛物线在的焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义，涉及知识较多，综合性较强．28．（10分）已知函数f（x）=（x∈R）．（1）写出函数y=f（x）的奇偶性；（2）当x＞0时，是否存实数a，使v=f（x）的图象在函数g（x）=图象的下方，若存在，求α的取值范围；若不存在，说明理由．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=0时，f（x）=是奇函数；当a≠0时，函数f（x）=（x∈R），是非奇非偶函数．（2）若y=f（x）的图象在函数g（x）=图象的下方，则＜，化简得a＜+x恒成立，在求函数的最值．解答：解：（1）因为y=f（x）的定义域为R，所以：当a=0时，f（x）=是奇函数；当a≠0时，函数f（x）=（x∈R）．是非奇非偶函数．（2）当x＞0时，若y=f（x）的图象在函数g（x）=图象的下方，则＜，化简得a＜+x恒成立，因为x＞0，∴即，所以，当a＜4时，y=f（x）的图象都在函数g（x）=图象的下方．点评：本题主要考查函数的奇偶性，同时考查函数恒成立的问题，主要进行函数式子的恒等转化．29．（12分）已知抛物线x2=4y，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点P1，又过点P1作斜率为的直线交抛物线于点P2，再过P2作斜率为的直线交抛物线于点P3，﹣2＜x＜4，如此继续．一般地，过点3＜x＜5作斜率为的直线交抛物线于点P n+1，设点P n（x n，y n）．（1）求x3﹣x1的值；（2）令b n=x2n+1﹣x2n﹣1，求证：数列{b n}是等比数列；（3）记P奇（x奇，y奇）为点列P1，P3，…，P2n﹣1，…的极限点，求点P奇的坐标．考点：数列与解析几何的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出直线方程，联立抛物线方程，求出交点，即可得到；（2）设出两点点P n（x n，）．P n+1（x n+1，），由直线的斜率公式，再由条件，运用等比数列的定义，即可得证；（3）运用累加法，求得x2n+1=+，再由数列极限的概念，即可得到点P奇的坐标．解答：（1）解：直线OP1的方程为y=x，由解得P1（4，4），直线P2P1的方程为y﹣4=（x﹣4），即y=x+2，由得P2（﹣2，1），直线P2P3的方程为y﹣1=（x+2），即y=x+，由解得，P3（3，），所以x3﹣x1=3﹣4=﹣1．（2）证明：因为设点P n（x n，）．P n+1（x n+1，），由抛物线的方程和斜率公式得到，，所以x n+x n﹣1=，两式相减得x n+1﹣x n﹣1=﹣，用2n代换n得b n=x2n+1﹣x2n﹣1=﹣，由（1）知，当n=1时，上式成立，所以{b n}是等比数列，通项公式为b n=﹣；（3）解：由得，，，…，，以上各式相加得x2n+1=+，所以x奇=，y奇=x奇2=，即点P奇的坐标为（，）．点评：本题考查联立直线方程和抛物线方程求交点，考查等比数列的定义和通项公式的求法，考查累加法求数列通项，及数列极限的运算，属于中档题．四、附加题（本大题满分30分）本大题共有3题，解答下列各题必须写出必要的步骤．30．（8分）有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1：2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计）．专题：函数的性质及应用．分析：求出窗框的高为3x，宽为．推出窗框的面积，利用二次函数的最值，求解即可．解答：解：如图设x，则竖木料总长=3x+4x=7x，三根横木料总长=6﹣7x，∴窗框的高为3x，宽为．…（2分）即窗框的面积y=3x•=﹣7x2+6x．（0＜x＜）…（5分）配方：y=﹣7（x﹣）2+（0＜x＜2 ）…（7分）∴当x=米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大．…（8分）点评：本题考查二次函数的解析式的应用，考查分析问题解决问题的能力．31．（10分）（2008•辽宁）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆．从而写出其方程即可；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时的值，从而解决问题．解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故．（6分），即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是．所以时，x1x2+y1y2=0，故．（8分）当时，，．，而（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=，所以．（12分）点评：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．设数列{a n}的首项a1为常数，且a n+1=3n﹣2a n（n∈N+）．（1）证明：{a n﹣}是等比数列；（2）若a1=，{a n}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．（3）若{a n}是递增数列，求a1的取值范围．考点：等比关系的确定；数列的函数特性；等差数列的通项公式．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）根据等比数列的定义，结合条件，即可得证；（2）由（1）求出数列{a n}的通项公式，再由等差数列的性质，得到方程，求出n，即可判断；（3）运用数列{a n}的通项公式，作差，再由n为偶数和奇数，通过数列的单调性，即可得到范围．解答：（1）证明：因为==﹣2，所以数列{a n﹣}是等比数列；（2）解：{a n﹣}是公比为﹣2，首项为a1﹣=的等比数列．通项公式为a n=+（a1﹣）（﹣2）n﹣1=+若{a n}中存在连续三项成等差数列，则必有2a n+1=a n+a n+2，即解得n=4，即a4，a5，a6成等差数列．（3）解：如果a n+1＞a n成立，即＞+（a1﹣）（﹣2）n﹣1对任意自然数均成立．化简得，当n为偶数时，因为是递减数列，所以p（n）max=p（2）=0，即a1＞0；当n为奇数时，，因为是递增数列，所以q（n）min=q（1）=1，即a1＜1；故a1的取值范围为（0，1）．点评：本题考查数列的通项公式及等比数列的证明，考查等差数列的性质和已知数列的单调性，求参数的范围，考查运算能力，属于中档题和易错题．。

2015-2016学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．（4.00分）函数的定义域为．2．（4.00分）设f（x）=，若f（x）=3，则x=．3．（4.00分）已知幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，且满足．请写出一个满足条件的α的值，α=．4．（4.00分）函数的反函数为f﹣1（x）=．5．（4.00分）函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为．6．（4.00分）函数的图象与函数y=﹣log3x的图象关于直线对称．7．（4.00分）已知log53=a，5b=7，则用a，b的代数式表示log63105=．8．（4.00分）方程：的解为．9．（4.00分）若函数的值域是R，则实数a的取值范围是．10．（4.00分）若函数的值域为[﹣2，+∞），则实数a的取值范围为．11．（4.00分）已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4．则x1+x2+x3+x4的取值范围为．12．（4.00分）已知函数（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3x2+1；（3）f（x）=3e x；（4）．其中满足对于任意x1∈D（其中D为函数的定义域），相应地存在唯一的x∈D，使的函数的序号为．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4.00分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=2|x|C．D．y=x314．（4.00分）若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．（4.00分）已知a，b，c均大于1，且log a c•log b c=4，则下列各式中，一定正确的是（）A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c16．（4.00分）定义在实数集R上函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x）．若函数y=f （﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x），则y=f（﹣x）是（）A．是奇函数，不是偶函数B．是偶函数，不是奇函数C．既是奇函数数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数三、解答题17．（8.00分）已知函数f（x）=lg（x+1），解关于x的不等式0＜f（1﹣2x）﹣f （x）＜1．18．（10.00分）已知实数a＞0，且函数为奇函数．判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．19．（12.00分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）若a=0，解不等式f（x）≥；（2）已知函数y=f（x）存在反函数，其反函数记为y=f﹣1（x）．若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．20．（12.00分）若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．（1）若下列函数的定义域为D=（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f1（x）=2x﹣1，f2（x）=2x﹣1．（2）若函数g（x）=的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x0∈D且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．21．（14.00分）设定义在R上的函数f（x）、f1（x）和f2（x），满足f（x）=f1（x）+f2（x），且对任意实数x1、x2（x1≠x2），恒有|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|成立．（1）试写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），使f1（x）为增函数，f2（x）为减函数，但f（x）为增函数．（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由．命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数．（3）已知f（x）=x3+x2+x+1，写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），且f2（x）为非常值函数，并说明理由．2015-2016学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．（4.00分）函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠2} ．【解答】解：由，解得：x＞﹣1且x≠2．∴函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠2}．故答案为：{x|x＞﹣1且x≠2}．2．（4.00分）设f（x）=，若f（x）=3，则x=．【解答】解：当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去）当﹣1＜x＜2时，即x2=3，解得x=，或x=﹣（舍去）当x≥2时，即2x=3，解得x=（舍去）故当f（x）=3，则x=故答案为：3．（4.00分）已知幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，且满足．请写出一个满足条件的α的值，α=．【解答】解：根据幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，知α＞0，且α为偶数；又满足．所以α＜1；写出一个满足条件的α值，则α=即可．故答案为：．4．（4.00分）函数的反函数为f﹣1（x）=，（x∈（0，1））．【解答】解：由y=，解得x=＞0，解得0＜y＜1，因此f（x）的反函数为f﹣1（x）=，（x∈（0，1））．故答案为：，（x∈（0，1））．5．（4.00分）函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）．【解答】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}令t=x2﹣2x﹣3，则y=因为y=在（0，+∞）单调递减t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）故答案为：（﹣∞，﹣1）6．（4.00分）函数的图象与函数y=﹣log3x的图象关于直线y=x对称．【解答】解：∵y=﹣log 3x=log x，∴同底的指数函数和对数函数互为反函数，则图象关于y=x对称，故答案为：y=x7．（4.00分）已知log53=a，5b=7，则用a，b的代数式表示log63105=．【解答】解：∵log53=a，5b=7，∴=a，b=log57=，∴lg3=alg5，lg7=blg5，∴log63105===．故答案为：．8．（4.00分）方程：的解为{log23} ．【解答】解：由22x+1﹣6＞0，得2×4x＞6，即4x＞3，则方程等价为=log22x+log2（2x+1）=log22x（2x+1），即22x+1﹣6=2x（2x+1），即2（2x）2﹣6=（2x）2+2x，即（2x）2﹣2x﹣6=0，则（2x+2）（2x﹣3）=0，则2x﹣3=即2x=3，满足4x＞3，则x=log23，即方程的解为x=log23，故答案为：{log23}9．（4.00分）若函数的值域是R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．【解答】解：∵函数的值域是R，∴其真数函数g（x）=x2+ax﹣a的函数值应该能够取遍所有正数，∴函数y=g（x）的图象应该与x轴相交即△=a2+4a≥0解得a≤﹣4或a≥0．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．10．（4.00分）若函数的值域为[﹣2，+∞），则实数a的取值范围为[﹣2，] ．【解答】解：∵函数的值域为[﹣2，+∞），当x≥2时，f（x）=﹣6+2x≥﹣2．当x＜2，f（x）=x2﹣ax+3=（x﹣）2+3﹣，当=2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥3﹣≥﹣2，解得﹣2≤a≤2，a=4∈[﹣2，2]，故a=4成立；当＜2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥3﹣≥﹣2，解得﹣2≤a＜4．当＞2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥（2﹣）2+3﹣≥﹣2，解得4＜a．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．11．（4.00分）已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4．则x1+x2+x3+x4的取值范围为（，9）．【解答】解：作函数的图象如下，方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，结合图象，A，B，C，D的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，故x1+x2=﹣2，x3∈（，1），x4∈（1，10），故x3+x4∈（，11），∴x1+x2+x3+x4∈（，9），故答案为：（，9）．12．（4.00分）已知函数（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3x2+1；（3）f（x）=3e x；（4）．其中满足对于任意x1∈D（其中D为函数的定义域），相应地存在唯一的x∈D，使的函数的序号为（3）、（4）．【解答】解：根据题意可知：对于（1），函数f（x）=3lnx，x=1时，lnx没有倒数，不成立；对于（2），函数f（x）=3x2+1，当x 1=0时，存在x2=±使得使，故不符合题意；对于（3），函数f（x）=3e x，对任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使成立；对于（4），函数f（x）=，对定义域内的任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使成立；所以成立的函数序号为（3）、（4）．故答案为：（3）、（4）．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4.00分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=2|x|C．D．y=x3【解答】解：对于A，函数是奇函数，不满足；对于B，是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递增，不满足；对于C，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减，满足；对于D，函数是奇函数，不满足，故选：C．14．（4.00分）若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：函数f（x）=a x（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x 轴上方，过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜﹣1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．故选：A．15．（4.00分）已知a，b，c均大于1，且log a c•log b c=4，则下列各式中，一定正确的是（）A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c【解答】解：∵a、b、c均大于1，log a c•log b c=4，∴log c a•log c b=，∴log c a、log c b大于零，则log c a•log c b≤（log c a+log c b）2，即≤（log c a+log c b）2，∴（log c a+log c b）2≥1，∴（log c ab）2≥1，∴log c ab≥1或log c ab≤﹣1，当且仅当log c a=log c b，即a=b时取等号，∵a、b、c均大于1，∴log c ab＞1，解得ab≥c，故选：B．16．（4.00分）定义在实数集R上函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x）．若函数y=f （﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x），则y=f（﹣x）是（）A．是奇函数，不是偶函数B．是偶函数，不是奇函数C．既是奇函数数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【解答】解：函数y=f（﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x）=﹣f﹣1（x），关于原点对称，∴y=f（﹣x）是奇函数，故选：A．三、解答题17．（8.00分）已知函数f（x）=lg（x+1），解关于x的不等式0＜f（1﹣2x）﹣f （x）＜1．【解答】解：∵函数f（x）=lg（x+1），∴不等式0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1可化为0＜lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）＜1，即；化简得，即，解得即﹣＜x＜；∴原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．18．（10.00分）已知实数a＞0，且函数为奇函数．判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．【解答】解：∵函数为奇函数，实数a＞0，∴有f（0）=0，即=0，解可得a=1，∴f（x）=；f（x）=1﹣理由：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=，∵x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）是增函数．19．（12.00分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）若a=0，解不等式f（x）≥；（2）已知函数y=f（x）存在反函数，其反函数记为y=f﹣1（x）．若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=0时，，∵，∴当x≥0时，f（x）=x2，解得x≥；当x＜0时，f（x）=，解得﹣2≤x＜0；综上，不等式的解集为{x|﹣2≤x＜0或x≥}；（2）若函数y=f（x）存在反函数，则函数f（x）在R为单调函数，则a≥1，此时函数f（x）在R为单调递增函数，x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=a；此时f﹣1（x）=在（0，+∞）上也为增函数，若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，则，当0＜4﹣a＜1，即3＜a＜4时，log2（4﹣a）≤a恒成立，当4﹣a≥1，即1≤a≤3时，解：得：﹣1+≤a≤2综上可得：a∈[﹣1+，2]∪（3，4）．20．（12.00分）若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．（1）若下列函数的定义域为D=（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f1（x）=2x﹣1，f2（x）=2x﹣1．（2）若函数g（x）=的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x0∈D且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．【解答】解：（1）在f1（x）=2x﹣1中，对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f1（x0）∈（﹣1，1）∉D1，故函数f1（x）=2x﹣1在D1上不封闭；在f2（x）=2x﹣1中，2x﹣1∈（0，1），在D1上封闭．（2）g（x）=的定义域为（1，2），对称中心为（﹣2，5），当a+10＞0时，函数g（x）=在D2上为增函数，只需，解得a=2当a+10＜0时，函数g（x）=在D2上为减函数，只需，解得a∈∅综上，所求a的值等于2．证明：（3）∵函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．x0∈D且f（f（x0））=x0，∴根据单调函数性质f（x0）∈D，则有唯一的x0∈D，∴f（x0）=x0．21．（14.00分）设定义在R上的函数f（x）、f1（x）和f2（x），满足f（x）=f1（x）+f2（x），且对任意实数x1、x2（x1≠x2），恒有|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|成立．（1）试写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），使f1（x）为增函数，f2（x）为减函数，但f（x）为增函数．（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由．命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数．（3）已知f（x）=x3+x2+x+1，写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），且f2（x）为非常值函数，并说明理由．【解答】解：（1）根据题意，设函数f1（x）=3x为（0，+∞）上的增函数，f2（x）=﹣2x为（0，+∞）减函数，则f（x）=3x﹣2x是（0，+∞）上的单调增函数；（2）命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数，是真命题；理由是：设x1＜x2由y=f1（x）是区间D上的增函数可得f1（x1）＜f1（x2）①若f2（x）为单调递增或常函数，则y=F（x）是区间D上的增函数②若函数f2（x1）＞f2（x2），则由|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|可得，﹣f1（x1）+f1（x2）＞f2（x1）﹣f2（x2）∴f1（x1）+f2（x1）＜f1（x2）+f2（x2），即f（x1）＜f（x2）；综上，函数f（x）为单调递增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数，是假命题；如函数f1（x）=﹣3x为减函数，f2（x）=2x为增函数，但f（x）=2x﹣3x不是单调递增函数；（3）由f（x）=x3+x2+x+1，令f1（x）=x3，为定义域R上的增函数，f2（x）=x2+x+1，且f2（x）为非常值函数，则f′（x）=3x2+2x+1=3+＞0，所以f（x）是定义域R上的增函数．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB=∠BCD=90°， （1）若AB =3，BC +CD =5，求四边形ABCD 的面积（2）若p = BC +CD ，四边形ABCD 的面积为S ，试探究S 与p 之间的关系。

2015-2016学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3.00分）若全集U=R，A={x|x＞2}，B={x|x＞5}，则A∩∁U B=．2．（3.00分）已知a＞1，则不等式a+的最小值为．3．（3.00分）幂函数y=f（x）的图象经过点（，2），则f（x）=．4．（3.00分）函数F（x）=x﹣的零点个数为．5．（3.00分）已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=．6．（3.00分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A 坐标为．7．（3.00分）已知，且2π＜α＜3π，则=．8．（3.00分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上为减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是．9．（3.00分）若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是．10．（3.00分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是．11．（3.00分）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是．12．（3.00分）设非空集合s={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S．给出如下四个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤l≤1；③若l=，则﹣≤m≤0．④若l=1，则﹣1≤m≤0或m=1．其中正确命题的是．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．（3.00分）下列命题成立的是（）A．如果a＞b，c≠0，那么B．如果a＞b，那么a2＞b2C．如果a＞b，c＞d，那么a+d＞b+c D．如果a＞b，c＞d，那么a﹣d＞b﹣c 14．（3.00分）原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个15．（3.00分）函数，x∈[﹣1，+∞）是增函数的一个充分非必要条件是（）A．a＜1且b＞3 B．a＞﹣1且b＞1 C．a＞1且b＞﹣1 D．a＜﹣2且b＜2 16．（3.00分）函数f（x）的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数f（x）的图象都不能与函数的图象重合，则函数f（x）可以是（）A．y=（）x B．y=log2（2x）C．y=log2（x+1）D．y=22x﹣1三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（8.00分）解关于x的方程：log 2（x+14）﹣log（x+2）=3+log2（x+6）．18．（10.00分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a的取值范围．19．（10.00分）设是R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判定f（x）在R上的单调性．20．（12.00分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（k为正常数），求总造价T关于S 的函数T=f（S）；试问如何选取|AM|的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）．21．（12.00分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f ﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．2015-2016学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3.00分）若全集U=R，A={x|x＞2}，B={x|x＞5}，则A∩∁U B={x|2＜x≤5} ．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={x|x＞5}，∴∁U B={x|x≤5}，∴A∩（∁U B）={x|2＜x≤5}故答案为{x|2＜x≤5}2．（3.00分）已知a＞1，则不等式a+的最小值为1+2．．【解答】解：a+=a﹣1++1≥1+2，当且仅当a﹣1=，即a=1+时等号成立．∴不等式a+的最小值为1+2．故答案为1+2．3．（3.00分）幂函数y=f（x）的图象经过点（，2），则f（x）=．【解答】解：设f（x）=x k，∵y=f（x）的图象经过点（，2），∴，∴=，∴．故答案为．4．（3.00分）函数F（x）=x﹣的零点个数为2．【解答】解：令得x2=4，∴x=±2；∴函数F（x）有两个零点．5．（3.00分）已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=﹣．【解答】解：∵sin（﹣α）=cosα=，∴cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣．故答案为：﹣6．（3.00分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A 坐标为（﹣2，﹣1）．【解答】解：令x+3=1，解得x=﹣2，则当x=﹣2时，函数y=log a（x+3）﹣1=﹣1，即函数图象恒过一个定点（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）7．（3.00分）已知，且2π＜α＜3π，则=．【解答】解：∵2π＜α＜3π，∴π＜＜，∴sin＜0，∴（）2=（1﹣cosα）=（1﹣）=，∴=﹣，故答案为：﹣．8．（3.00分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上为减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（﹣2，2）．【解答】解：根据题意：可作满足条件的函数图象：如图：f（x）＜0的x的取值范围是（﹣2，2）故答案为：（﹣2，2）9．（3.00分）若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是．【解答】解：当a=0，﹣3≤0不成立，符合要求；当a≠0时，因为关于x的不等式ax2+4ax++3≤0的解集为ϕ，即所对应图象均在x轴上方，故须解得0＜a＜综上满足要求的实数a的取值范围是[0，）故答案为：[0，）．10．（3.00分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是．【解答】解：依题意，有0＜a＜1且2a﹣1＜0，解得0＜a＜，又当x＜1时，（2a﹣1）x+4a＞6a﹣1，当x＞1时，log a x＜0，因为f（x）在R上单调递减，所以6a﹣1≥0解得a≥综上：a∈．故答案为：．11．（3.00分）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：不等式x2﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k＞1﹣x2∵x∈（1，2）∴k≤=1+x∴y=1+x是一个增函数∴k≤1+1=2∴实数k取值范围是（﹣∞，2]故答案为：（﹣∞，2]12．（3.00分）设非空集合s={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S．给出如下四个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤l≤1；③若l=，则﹣≤m≤0．④若l=1，则﹣1≤m≤0或m=1．其中正确命题的是①②③④．【解答】解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S可知：符合定义的参数m的值一定大于等于﹣1，符合条件的l的值一定大于等于0，小于等于1，如此才能保证l∈S时，有l2∈S即l2≤l，再对各个命题进行判断：对于①m=1，m2=1∈S故必有，可得l=1，S={1}，故正确；②m=﹣，则，解得≤l≤1，故正确；③若l=，则，可解得﹣≤m≤0，故正确；④若l=1，则可解得﹣1≤m≤0或m=1，故正确．故答案为：①②③④二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．（3.00分）下列命题成立的是（）A．如果a＞b，c≠0，那么B．如果a＞b，那么a2＞b2C．如果a＞b，c＞d，那么a+d＞b+c D．如果a＞b，c＞d，那么a﹣d＞b﹣c 【解答】解：A．c＜0时不成立；B.0＞a＞b时不成立；C．∵a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d，因此不成立；D．∵a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d，则a﹣d＞b﹣c，故正确．故选：D．14．（3.00分）原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个【解答】解：否命题：“若A∪B=B，则A∩B=A”为真命题；逆否命题：“若A∩B=A，则A∪B=B”为真命题．因此逆命题与原命题也为真命题．故选：D．15．（3.00分）函数，x∈[﹣1，+∞）是增函数的一个充分非必要条件是（）A．a＜1且b＞3 B．a＞﹣1且b＞1 C．a＞1且b＞﹣1 D．a＜﹣2且b＜2【解答】解：因为f（x）==1+，所以f（x）的单调性有a和﹣1的大小和a+b的正负共同决定．所以函数，x∈[﹣1，+∞）是增函数须要有a＜﹣1且a+b＜0．符合条件的有A和D但a=0，b=1时不能推出函数，x∈[﹣1，+∞）是增函数故选：D．16．（3.00分）函数f（x）的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数f（x）的图象都不能与函数的图象重合，则函数f（x）可以是（）A．y=（）x B．y=log2（2x）C．y=log2（x+1）D．y=22x﹣1【解答】解：=﹣log 2x．A．因为函数y=（）x与互为反函数，所以它们的图象关于y=x对称，所以A合适．B．y=log2（2x）=1+log2x，所以将函数y=log2（2x）沿着y轴向下平移一个单位得到y=log 2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以B合适．C．将函数y=log2（x+1）沿着x轴向右平移一个单位得到y=log2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以C合适．故选：D．三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（8.00分）解关于x的方程：log 2（x+14）﹣log（x+2）=3+log2（x+6）．【解答】解：∵，∴log2[（x+14）（x+2）=log2[8（x+6）]，∴（x+14）（x+2）=8（x+6），解得x=2，或x=﹣10，检验，得x=2．18．（10.00分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a的取值范围．【解答】解：解|x﹣a|＜2得：a﹣2＜x＜a+2．∴集合A=（a﹣2，a+2）解得：﹣2＜x＜3∵A⊆B，∴．19．（10.00分）设是R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判定f（x）在R上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数．∴f（﹣x）=﹣f（x）∴1﹣a•2=a﹣2x∴a=1（2）设x1＜x2，则2x1＜2x2f（x1）﹣f（x2）=所以f（x）在R上是增函数．20．（12.00分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（k为正常数），求总造价T关于S 的函数T=f（S）；试问如何选取|AM|的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°∴|PM|=|MC|tan∠PCM=（30﹣x），…2分矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=x（30﹣x），x∈[10，20]…4分于是200≤S≤225为所求．…6分（2）矩形AMPN健身场地造价T1=37k…7分又△ABC的面积为450，即草坪造价T2=S）…8分由总造价T=T1+T2，∴T=25k（+），200≤S≤225．…10分∴T=25k（+），200≤S≤225∵+≥12，…11分当且仅当=即S=216时等号成立，…12分此时x（30﹣x）=216，解得x=12或x=18，所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…14分．21．（12.00分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f ﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．【解答】解：（1）因为对任意x∈R，f（f（x））=﹣（﹣x+1）+1=x，所以f（x）=﹣x+1∈M（2分）因为g（g（x））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3不恒等x，所以g（x）∉M（2）因为f（x）=log2（1﹣2x），所以x∈（﹣∞，0），f（x）∈（﹣∞，0）…（5分）函数f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（1﹣2x），（x＜0）…（6分）又因为f﹣1（f﹣1（x））=log2（1﹣）=log2（1﹣（1﹣2x））=x…（9分）所以f﹣1（x）∈M…（10分）（3）因为f（x）=，所以f（f（x））=x对定义域内一切x恒成立，∴即解得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，故a+b=0…（12分）由f（x）＜1，得＜1即…（13分）若a=1则＜0，所以x∈（﹣∞，1）…（14分）若0＜a＜1，则且a＜，所以x∈（﹣∞，a）∪（，+∞）…（16分）若a＞1，则且a＞，所以x∈（，a）…（18分）。

绝密★启用前2015届上海市宝山区高三上学期期末质量监测数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：193分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、曲线的部分图像是（ ）2、函数的反函数是（ ） A ． B ．C ．D ．3、在四边形ABCD 中,,,则四边形的面积为（ ）4、“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件5、圆在点处的切线方程为（）A． B．C． D．6、设（是虚数单位），则复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7、用数学归纳法证明等式（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．B．C．D．8、双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（）A． B．2 C． D．19、若，则（）A． B．C． D．10、在中，若，则这个三角形中角的值是（）11、已知函数，是增函数，则（）A．，是任意实数 B．，是任意实数C．，是任意实数 D．，是任意实数12、已知点在第三象限，则角的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知函数的部分图像如图所示，则的解析式是．14、直线被曲线所截得的弦长等于 ．15、正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于 ．16、若函数是上的偶函数，则的值是 ．17、若一个球的体积为，则它的表面积为__________．18、若，，则．19、现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有 种.20、设矩阵，，若，则.21、二项式展开式中，的系数为 ．22、计算＝ ．23、计算= ．24、函数的周期是 ．三、解答题（题型注释）25、（本题满分 12 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3分，第 2 小题满分 4分，第 3小题满分5 分． 设数列的首项为常数，且．（1）证明：是等比数列；（2）若，中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由． （3）若是递增数列，求的取值范围．26、（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6分． 在平面直角坐标系 中，点到两点、的距离之和等于4．设点的轨迹为．（1）写出轨迹的方程；（2）设直线与交于 、两点，问为何值时此时||的值是多少？27、（本题满分 8 分）有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计）.28、（本题满分12分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分4分，第 3 小题满分5分． 已知抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续。