【步步高】2017版高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.5 独立性及二项分布 理

2017高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.3.1 条件概率、相互独立事件及二项分布对点训练 理1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312 答案 A解析 根据二项分布，由题意得所求概率P ＝C 23×0.62×(1－0.6)＋C 33×0.63＝0.648. 2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45 答案 A解析 设某天空气质量为优良为事件A ，随后一天空气质量为优良为事件B ，由已知得P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6，所求事件的概率为P (B |A )＝P AB P A ＝0.60.75＝0.8，故选A.3．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________. 答案 13解析 根据二项分布的期望与方差．由题知⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30np －p ＝20得p ＝13.4.某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图所示．(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．解 (1)x 甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x 乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s 2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316，X 的所有可能取值为0,1,2.依题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫2，316，P (X ＝k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫316k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13162－k，k ＝0,1,2， 则X 的分布列为X 的均值E (X )＝2×16＝8.5．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．解 (1)设A 表示事件“作物产量为300 kg”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg”， 由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000， 300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.P (X ＝4000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2，所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i ， 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512；3季中有2季利润不少于2000元的概率为P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 6.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝18，P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i i 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X 的数学期望为E (X )＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得的分数X 的均值为负． 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．。

2.高考对概率与统计的考查注重基础知识和基本方法.
第十二章 算法、统计与概率
【知识网络】
【考情分析】
年份
试题
知识点
备注
2013
第5，6，7题
流程图，方差，，6题
流程图，古典概型，频率分布直方图
一如既往的送分题
2015
第2，4，5题
均值、伪代码、基本算法语句、古典概率、对立事件的概率
一如既往的送分题
【备考策略】
1.算法是高考的热点，每年均有考查，备考时需要掌握算法的基本思想和流程图的三种基本逻辑结构——顺序结构、选择结构、循环结构，以及几种基本算法语句——输入、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.

第十二章排列组合、二项式定理、概率高考导航考纲要求备考策略计数原理1.理解分类加法计数原理和分步乘法计算原理，能正确区分“类”和“步”并能用两个原理分析和解决一些简单的实际问题；2.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题；3.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题；4.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.排列组合、二项式定理、概率是高考的重点内容.高考中一般以选择、填空的形式考查排列组合、二项式定理、古典概型、几何概型及概率的计算，以解答题的形式考查概率与分布列、期望、方差的综合，属中、低档题.复习时采用以下应对策略：1.立足基础知识和基本方法的复习，恰当选取典型例题，构建思维模式，造就思维依托和思维的合理定势，加强思维的规范训练.2.提高做题能力，通过变式题的训练，实现常规题向典型问题的转化，进行多种解法训练，提高分析解决问题的能力.3.抓好“操作”训练，注意加强对解题过程的叙述与分析的练习.4.加强数学思想方法的训练，分类讨论、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想在本章中经常考查到，需要平时经常归纳总结.5.在复习中要控制好题目的难度，不做难题、偏题、怪题.随机事件的概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式；3.理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所包含的基本事件的个数及事件发生的概率；4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，了解几何概型的意义.离散型随机变量1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列；2.了解超几何分布，并能进行简单的应用；3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能运用它们解决一些简单的实际问题；4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题；5.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.知识网络12.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点诠释重点：理解分类加法与分步乘法计数原理，并会应用其解决实际问题.难点：计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理.典例精析题型一分类加法计数原理【例1】高三一班有学生50人，男30人，女20人；高三二班有学生60人，男30人，女30人；高三三班有学生55人，男35人，女20人.(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学校学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法？【思路分析】(1)这一名学生会主席的选法可分为三类，即从高三一班或二班或三班中选取；(2)这一名学生会体育部长的选法可分为三类，即从高三一班或二班男生中或从高三三班女生中选取.【解析】(1)50＋60＋55＝165(种)，即所求选法有165种.(2)30＋30＋20＝80(种)，即所求选法有80种.【方法归纳】分类计数原理，首先将完成一件事的方法分类，然后再计算各类方法中分别有多少种方法可以完成该事件，最后求其和.注意：每类方法可以独立完成.【举一反三】1.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( D )A.3B.4C.6D.8【解析】当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12，13，23时，共有4个.故选D.题型二分步乘法计数原理【例2】如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有种.【思路分析】根据焊接点脱落与不脱落两种情况入手求解即可.【解析】13.每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，但电路通的情况却只有3种，即2或3脱落或全不脱落.由于每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，所以共有24－3＝13种情况.【方法归纳】利用分步乘法计数原理解决问题应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.【举一反三】2.从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游景点，且6个人中甲、乙两人不去张家界游览，则不同的选择方案共有240种.【解析】能去张家界的有4人，依次能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人，则由分步乘法计数原理得不同的选择方案有4×5×4×3＝240种.题型三分类加法和分步乘法计数原理综合应用【例3】如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A.240B.204C.729D.920【思路分析】由于中间数最大，可先按中间数进行分类，再按两边的数分步进行解答.【解析】A.分8类，当中间数为2时，有1×2＝2(个)；当中间数为3时，有2×3＝6(个)；当中间数为4时，有3×4＝12(个)；当中间数为5时，有4×5＝20(个)；当中间数为6时，有5×6＝30(个)；当中间数为7时，有6×7＝42(个)；当中间数为8时，有7×8＝56(个)；当中间数为9时，有8×9＝72(个).故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).【方法归纳】对于复杂问题，只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类. 【举一反三】3.在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有 40 个.【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)； 第二类，有两条公共边的三角形共有8(个). 由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).体验高考(2015广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答)【解析】1 560.因为同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，且全班共有40人，所以全班共写了40×39＝1 560条毕业留言.【举一反三】(2016惠州调研)满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( B )A.14B.13C.12D.9 【解析】由于a ，b ∈{－1,0,1,2}.(1)当a ＝0时，有x ＝－b2为实根，则b ＝－1,0,1,2，有4种可能；(2)当a ≠0时，因为方程有实根， 所以＝4－4ab ≥0，所以ab ≤1.(*)①当a ＝－1时，满足(*)式的b ＝－1,0,1,2，有4种可能. ②当a ＝1时，b ＝－1,0,1，有3种可能. ③当a ＝2时，b ＝－1,0，有2种可能.所以由分类加法计数原理，有序数对(a ，b )共有4＋4＋3＋2＝13(个).12.2 排列与组合考点诠释重点：理解排列、组合的意义，掌握排列数与组合数公式，会解决排列组合的实际问题. 难点：如何区分排列问题与组合问题，灵活解决排列组合的综合问题.典例精析题型一 有限制条件的排列问题【例1】3男3女共6个同学排成一行. (1)女生都排在一起，有多少种排法？ (2)女生与男生相间，有多少种排法？(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？(4)3名男生不排在一起，有多少种排法？(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有多少种排法？【思路分析】(1)用捆绑法；(2)(3)用插空法；(4)用排除法，全排后减去男生在一起的排法数；(5)用特殊元素优先法.【解析】(1)将3名女生看作一人，就是4个元素的全排列，有A44种排法.又3名女生内部有A33种排法，所以共有A44·A33＝144种排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有2A33·A33＝72种排法.(3)女生先排，女生之间及首尾共有4个空隙，任取其中3个安插男生即可，因而任何两个男生都不相邻的排法共有A33·A34＝144种.(4)直接分类较复杂，可用间接法，即从6个人的排列总数中减去3名男生排在一起的排法种数，得3名男生不排在一起的排法种数为A66－A33A44＝576种.(5)先将2个女生排在男生甲、乙之间，有A23种排法.又甲、乙有A22种排法，这样就有A23·A22种排法.然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，这一元素及另1名男生排在首尾，有A22种排法.最后将余下的女生排在其间，有1种排法.故总排法为A23A22A22＝24种.【方法归纳】解决排列类应用题的主要方法：(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后除以定序元素的全排列.【举一反三】1.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数.(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个四位偶数？(3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？【解析】(1)A15A35＝300或A46－A35＝300(间接法).(2)A35＋A12A14A24＝156.(3)千位是1的四位数有A35＝60个，千位是2，百位是0或1的四位数有2A24＝24个，所以第85项是2 301.题型二有限制条件的组合问题【例2】从7名男生5名女生中选取5人，符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.【思路分析】(1)从剩下10人中选3人；(2)从剩下10人中选5人；(3)(4)用排除法；(5)分三步进行.【解析】(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，所以有C310＝120种.(2)从除去A，B两人的10人中选5人即可，所以有C510＝252种.(3)全部选法有C512种，A，B都当选有C310种，故A，B不全当选有C512－C310＝672种.(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，所以有C512－C15·C47－C57＝596种选法.(5)分三步进行：第一步，选1男1女分别担任两个职务，有C17·C15种；第二步，选2男1女补足5人，有C26·C14种；第三步，为这3人安排工作，有A33种.由分步乘法计数原理知，共有C17·C15·C26·C14·A33＝12 600种选法.【方法归纳】在解组合问题时，常遇到“至多”“至少”问题，此时可考虑用间接法求解以减少运算量，如果同一个问题涉及排列组合问题，应注意先选后排的原则.【举一反三】2.某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选.【解析】(1)一名女生，四名男生.故共有C15·C48＝350种.(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165种.(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长.故共有C12·C411＋C22·C311＝825种，或采用排除法：C513－C511＝825种.(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生.故选法有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种.(5)分两类：第一类，女队长当选：C412；第二类，女队长不当选：C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44.故选法共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790种.题型三排列、组合的综合问题【例3】有4种不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒子内有2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？【思路分析】考虑相关限制条件，然后逐一列式求解.【解析】(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有44＝256种.(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出1个，有C14种方法，将4个球分成2,1,1的三组，有C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，有C13种方法，其余两个球，两个盒子，全排列即可，即A22.由分步乘法计数原理，放法有C14·C24·C13·A22＝144种.(3)“恰有一个盒内放2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”含义相同.故也有144种放法.(4)先从四个盒子中任意拿走两个有C24种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数字看，可分为(3,1)，(2,2)两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C34·C12种放法；第二类：有C24种放法.因此共有C34·C12＋C24＝14种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有C24·14＝84种.【方法归纳】求解排列、组合综合题的一般思路：排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出(组合)进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.【举一反三】3.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.【解析】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共有(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400种.(2)除去该女生后，先取后排，有C47·A44＝840种.(3)先选后排，但先安排该男生，有C47·C14·A44＝3 360种.(4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，选出的3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360种.体验高考(2015四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个【解析】B.数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数，比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾，有2A34＝48个；同理，以5开头的有3A34＝72个.于是共有48＋72＝120个，故选B.【举一反三】(2014福建)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b ＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( A )A.(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5B.(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5C.(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)D.(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)【解析】从5个有区别的黑球中取k 个的方法数为C k 5，故可用(1＋c )5的展开式中c k 的系数表示.又所有的蓝球都取或都不取用1＋b 5表示.再由乘法原理知，符合题意的取法可由(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5表示.12.3 二项式定理考点诠释重点：理解二项式定理，熟记其展开式及通项；理解二项式系数的性质，并能应用其解决问题.难点：二项式系数与项的系数的区别和联系，灵活运用公式解题.典例精析题型一 求二项展开式中的指定项 【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项.(1)求n ；(2)求含x 2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.【思路分析】本题主要考查二项式的展开式，解题关键是写出通项，转化为方程问题求解. 【解析】(1)通项公式为，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，所以所求的系数为C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454.(3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z ，令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝5－32k ，因为k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8. 所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2，－638，45256x －2. 【方法归纳】1.掌握二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键.除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质；2.应用通项公式求二项展开式的特定项，如求某一项、含x 某次幂的项、常数项、有理项、系数最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得n 或r 后，再求所需的项(要注意n 和r 的数值范围及大小关系)；3.注意区分展开式“第r ＋1项的二项式系数”与“第r ＋1项的系数”.【举一反三】1.若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x3的系数是84，则实数a 等于( C )A.2B.C.1D.24【解析】T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 7·27－r a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由C 5722·a 5＝84得a ＝1，故选C.题型二 运用赋值法求值【例2】若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 7＋a 6＋…＋a 1； (2)a 7＋a 5＋a 3＋a 1； (3)a 6＋a 4＋a 2＋a 0.【思路分析】所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值法”，即“赋值法”解决. 【解析】(1)令x ＝0，则a 0＝－1；令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128，① 所以a 7＋a 6＋…＋a 1＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得a 7＋a 5＋a 3＋a 1＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.【方法归纳】赋值法求系数和的应用技巧：(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，偶次项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，奇次项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.令x＝0，可得a 0＝f (0).【举一反三】2.在(2x －3y )10的展开式a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和.【解析】由题意知，(2x －3y )10＝C 010(2x )10(－3y )0＋C 110(2x )9(－3y )＋…＋C 1010(2x )0(－3y )10. (1)二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)在二项展开式中，令x ＝y ＝1，得各项系数和为(2－3)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)在(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10中， 令x ＝1，y ＝1，得 1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10.① 当x ＝1，y ＝－1，得 510＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 10.②①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)＝510＋1， 所以奇数项系数和为510＋12.①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510.所以偶数项系数和为1－5102.题型三 二项式定理的综合应用【例3】已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n(n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 【思路分析】(1)可利用“赋值法”求各项系数的和； (2)可利用展开式中的通项公式确定T k ＋1中k 的值； (3)可利用通项公式求出k 的取值范围，再确定项. 【解析】由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4， 第三项的系数为C 2n ·(－2)2， 则有C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101，化简得n 2－5n －24＝0， 解得n ＝8或n ＝－3(舍去).(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·⎝⎛⎭⎫－2x 2k ＝C k 8·(－2)k ·x ，令8－k 2－2k ＝32，则k ＝1，故展开式中含x 的项为T 2＝－16x .(3)设展开式中的第k 项，第k ＋1项，第k ＋2项的系数绝对值分别为C k －18·2k －1，C k 8·2k ，C k ＋18·2k ＋1，若第k ＋1项的系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C k －18·2k －1≤C k 8·2k ，C k ＋18·2k ＋1≤C k 8·2k.解得5≤k ≤6.又T 6的系数为负，所以系数最大的项为T 7＝1 792x －11.由n ＝8知第5项二项式系数最大， 此时T 5＝1 120x －6.【方法归纳】求展开式中系数最大的项，如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1解出k ，即可求得.【举一反三】3.求二项式⎝⎛⎭⎫x －2x 28的展开式中： (1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项和系数最小的项.【解析】(1)二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，所求项为T 4＋1＝C 48(x )4⎝⎛⎭⎫－2x 24＝1 120x6.(2)先求系数绝对值最大的项，设第r ＋1项的系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥19－r，18－r ≥2r ＋1，解得5≤r ≤6，即第6项和第7项的系数绝对值最大.由于第6项的系数为负，第7项的系数为正， 所以第7项是系数最大的项，这一项为T 6＋1＝C 68(x )2·⎝⎛⎭⎫－2x 26＝1 792x －11； 第6项是系数最小的项，这一项为T 5＋1＝C 58(x )3·⎝⎛⎭⎫－2x 25＝－1 792x.体验高考(2015新课标Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60【解析】C.(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5的展开式中只有C 25(x 2＋x )3y 2中含x 5y 2，易知x 5y2的系数为C 25C 13＝30，故选C.【举一反三】(2015新课标Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝ 3 .【解析】设f (x )＝(a ＋x )(1＋x )4，则其所有项的系数和为f (1)＝(a ＋1)·(1＋1)4＝(a ＋1)×16.又奇数次幂项的系数和为12[]f (1)－f (－1)，所以12×(a ＋1)×16＝32，所以a ＝3.12.4 随机事件的概率考点诠释重点：理解频率与概率的区别与联系，互斥事件与独立事件的区别与联系，会求随机事件的概率.难点：对概率的概念和随机事件间的关系的理解，互斥事件概率加法公式的正确应用.典例精析题型一 频率与概率 【例1】某企业生产的乒乓球被某赛事组委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示.抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率m n(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)【思路分析】根据频率的计算公式f n (A )＝mn ，其中n 为相同条件下重复的试验次数，m为事件A 发生的次数，且随着试验次数的增多，频率接近概率.【解析】(1)依据公式P ＝mn，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取的球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率为0.950.【方法归纳】从表中所给的数据可以看出，当所抽乒乓球较少时，优等品的频率波动很大，但当抽取的球数很大时，频率基本在0.95附近摆动，利用概率的统计定义，可估计该批乒乓球的优等品率.【举一反三】1.某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：射击次数 100 120 150 100 150 击中飞碟数 81 95 123 82 119 击中飞碟的频率(1)将各次击中飞碟的频率填入表中； (2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？【解析】利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率.(1)射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是81100＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792,0.82，0.82，0.793,0.794,0.807；(2)击中飞碟的频率在0.81的附近波动，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81. 题型二 随机事件间的关系 【例2】某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率.【思路分析】根据古典型公式及互斥事件的概率公式可求解.【解析】将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，可见共有10种.令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则D ，E 互斥，F ＝D ＋E ，(1)P (D )＝110；(2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.【方法归纳】应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和.【举一反三】2.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试问：得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？【解析】分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，D .由于A ，B ，C ，D 为互斥事件，根据已知得到⎩⎪⎨⎪⎧ 14＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，P (B )＋P (C )＝512，P (C )＋P (D )＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝13.所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别为14，16，13.题型三 对立事件的概率【例3】一盒中共装有除颜色外其余均相同的小球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个球.求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.【思路分析】―→求P (A 1)，P (A 2)，P (A 3)，P (A 4) (1)P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)―→结果 (2)P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)―→结果【解析】记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球是红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率即取出1球不是绿球，为P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.。

机变量ξ，求 ξ 的分布列及均值 E(ξ)．
高考总复习·数学理科（RJ）
第十二章 概率、随机变量及其分布
【解析】 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C， 那么
1－P(C)＝1－110·p＝4590，解得 p＝51. (2)由题意，得 P(ξ＝0)＝1103＝1 0100， P(ξ＝1)＝C131－110×1102＝1 20700， P(ξ＝2)＝C23×1－1102×110＝1204030， P(ξ＝3)＝1－1103＝1702090.
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第十二章 概率、随机变量及其分布
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第十二章 概率、随机变量及其分布
D(η)
＝
1－53
2
·
a a＋b＋c
＋
2－53
2
·
b a＋b＋c
＋
3－53
2·a＋cb＋c＝59.化简得2aa＋－4bb－ －411c＝c＝00，.
解得 a＝3c，b＝2c，故 a∶b∶c＝3∶2∶1.
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第十二章 概率、随机变量及其分布
(1)当 a＝3，b＝2，c＝1 时，从该袋子中任取(有放回，且每 球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数 之和，求 ξ 的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变 量 η 为取出此球所得分数．若 E(η)＝35，D(η)＝95，求 a∶b∶c.
“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ___越__大___，曲线越 “矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
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第十二章 概率、随机变量及其分布
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