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2017高考数学一轮基础复习--三角恒等变换课件(38张)

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高考数学一轮复习 简单的三角恒等变换课件

高考数学一轮复习 简单的三角恒等变换课件

第六节 简单的三角恒等变换
1.
的值等于
(
)
解析： tan150 tan(75 75 )
2 tan 75 , 1 tan 75
答案：D
2.如果α∈( (α＋ ) ＝
， )且
，那么sin(α＋
)＋cos ( )
解析：∵sinα＝ <α<π，∴cosα＝ sin( ) cos( ) 2 sin( )
所以 tan( )
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
又0

2
,0

2
, 故0 2
3 , 2
从而由tan(α＋2β)＝－1得
3 2 . 4
1 13 , 且0 , 2.已知cos ,cos( ) 7 14 2
求证: tan 2 x
观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左
证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择
“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式.
【证明】法一：左边
法二：右边
=左边.
3.求证：
证明：左边
=右边. 故原等式成立
从近几年高考试题来看，本节内容主要灵活运用公 式，利用恒等变换进行三角函数的化简与求值，其考查
或具有某种关系.
3.“给值求角”：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变 角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调区间求得角.
(2008· 江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆 交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值.
2017届高三数学文理通用一轮复习课件：4.6 简单的三角恒等变换

2017届高三数学文理通用一轮复习课件：4.6 简单的三角恒等变换


α=
������ ������ 2 sin -cos . 2 2
( √ ) ( √ ) (× ) ( √ )
(5)y=sin 2xcos 2x 的最大值为 1. (× ) (6)公式 asin x+bcos x=√������2 + ������ 2 sin(x+4)中 4 的取值与 a,b 的值 有关. ( √ )
π 4
= cos α +
4 5
π 4
(cos2α-sin2α),
所以,sin αcos +cos αsin
当 sin α+cos α=0 时,由 α 是第二象限角,知 α= +2kπ,k∈Z. 此时,cos α-sin α=-√2. 当 sin α+cos α≠0 时,有(cos α-sin α) 此时 cos α-sin α=- .
解:(1)∵0<β< <α<π,
=
√5
3
,
������ ������ 4√5 2 sin α- = 1-cos α- = , 2 2 9 α+������ ������ α ∴cos 2 =cos α- 2 - 2 -������ ������ α ������ α =cos α- cos -������ +sin α- sin -������ 2 2 2 2 √5 1 4√5 2 7√5 = - × + × = , 9 3 9 3 27 α+������ ∴cos(α+β)=2cos2 2 -1 49×5 239 =2× -1=- . 729 729
4.6 简单的三角恒等变换
第四章
4.6
简单的三角恒等变换
2017版高考数学一轮总复习课件：第四章 第四节三角恒等变换

2017版高考数学一轮总复习课件：第四章 第四节三角恒等变换

第四节 三角恒等变换
第一页，编辑于星期六：二十点 六分。
第二页，编辑于星期六：二十点 六分。
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β. (2)sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数 值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.
第十六页，编辑于星期六：二十点 六分。
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把
所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调 区间求得角，有时要压缩角的取值范围. 在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角范围，再
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝ 22.
答案
2 2
第十五页，编辑于星期六：二十点 六分。
三角函数化简、求值的解题方法
三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难， 但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系
，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.
(2)由 f(α)＝2＋ 3得 2sin2α＋π6 ＋2＝2＋ 3，
所以
sin2α＋π6 ＝
23.所以
ππ 2α＋ 6 ＝ 3 ＋2k1π或
2α＋π6 ＝2π3 ＋2k2π(k1，k2∈Z)，
π
π
即 α＝12＋k1π或 α＝ 4 ＋k2π(k1，k2∈Z).
三角恒等变换课件

三角恒等变换课件

பைடு நூலகம்
三角恒等变换概述
在本节中，我们将介绍三角恒等变换的概念，并探讨恒等变换的证明方法，帮助您深入理解这个 重要的数学概念。
定义三角恒等变换
- 三角恒等变换的定义和作用
恒等变换的证明方法
- 如何证明三角恒等变换的等式
常用的三角恒等变换公式
在本节中，我们将学习一些常用的三角恒等变换公式，这些公式在解题和化简数学表达式中非常 有用。
- 概括和总结所学的三角恒等变换知识和应用
练习三角恒等变换的题目
- 提供一些练习题目，让大家通过实践巩固所学的三角恒等变换知识
解三角函数方程
- 使用三角恒等变换解决各种类型的三角函数方程
求三角函数值
- 利用三角恒等变换计算各种角度的三角函数值
化简数学表达式
- 利用三角恒等变换化简复杂的数学表达式
总结与练习
在本节中，我们将总结刚刚学习的三角恒等变换的知识点和应用，并提供一些练习题供大家巩固 所学。
总结三角恒等变换的知识点和应用
三角恒等变换课件
这是一份关于三角恒等变换的课件，我们将深入探讨三角恒等变换的各个方 面，包括基础知识回顾、概述、常用公式、应用等内容。
引言
在本节中，我们将回顾三角函数的基础知识，包括周期性、奇偶性等，并为后续的学习打下基础。
三角函数基础知识回顾
- 正弦、余弦和正切的定义
三角函数的周期性和奇偶性
- 三角函数的周期性和奇偶性特点
和差公式
- 正弦、余弦和正切的和差公式
积化和差公式
- 正弦、余弦和正切的积化和差公式
幂指公式
- 正弦、余弦和正切的幂指公式
倍角公式
- 正弦、余弦和正切的倍角公式
半角公式
高考数学一轮复习第三章第四讲简单的三角恒等变换课件

高考数学一轮复习第三章第四讲简单的三角恒等变换课件


又 α∈(0，π)，所以－π4＜α－π4＜34π.
所以 α－π4＝π2.故 α＝34π.
因此，tan
α＋π3＝tan
34π＋π3＝1t－anta3n4π＋34πttaann
π 3π＝－11＋＋
3
3＝ 3
2－ 3.
【反思感悟】三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将 f(x)化为 a sin x＋b cos x 的形式.
(2)构造 f(x)＝
a2＋b2
a a2＋b2·sin
x＋
b a2＋b2·cos
x.
(3)和角公式逆用，得 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)(其中 φ 为辅助
角).
(4)利用 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)研究三角函数的性质.
(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.
【高分训练】
(2)用辅助角公式变形三角函数式时： ①遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组； ②遇高次时，要先降幂； ③熟记以下常用结论：
sin α±cos α＝ 2sin α±π4； 3sin α±cos α＝2sin α±π6； sin α± 3cos α＝2sin α±π3.
2.半角公式
(1)sin α2＝±
【题后反思】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求 角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一 般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一 个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β， β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等.
答案：B
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件

三角恒等变换复习公开课精华ppt课件


例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
高考数学一轮总复习第五章三角函数第四节三角恒等变换课件

高考数学一轮总复习第五章三角函数第四节三角恒等变换课件


成立.
=
sin +cos
=左边,所以原等式
sin -cos
考点二
三角函数式的求值(多考向探究)
考向1.给角求值问题
典例突破
例 3.(1)
3cos20 °-sin20 °
=
cos20 °cos70 °
.
π
1
(2)(2023 河南开封名校联考)已知锐角 α,β 满足 α+β= ,则
3
sin cos
π π
例如:α=(α+6)-6=(α-3)+3,α=(α+β)-β=β-(β-α),
2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),2α+β=(α+β)+α,2α-β=(α-β)+α,
+ -
+ -
α= 2 + 2 ,β= 2 − 2 等.
(2)两角互余与互补关系
π
π
π π
4sin40 °
=4.
sin40 °
3
β= ,
2
∵α,β 均为锐角,则 sin αcos β>0,cos αsin β>0,
1
1
∴
+
sincos
cossin
=
2 3
(sin
3
αcos β+cos αsin
1
1
β)(
+
)
sincos
cossin
2 3
cossin
sincos
2 3
增素能 精准突破
考点一
三角函数式的化简与证明(多考向探究)
三角恒等变换课件

三角恒等变换课件


解答
根据三角函数的基本关系式，我们有 $cos^2theta = 1 - sin^2theta$，代入 $sintheta = -frac{2}{3}$， 得到 $cos^2theta = 1 - left(-frac{2}{3}right)^2 = 1 - frac{4}{9} = frac{5}{9}$，所以 $costheta = sqrt{frac{5}{9}} = frac{sqrt{5}}{3}$。再根据 $tantheta = frac{sintheta}{costheta}$，得到 $tantheta = frac{-frac{2}{3}}{frac{sqrt{5}}{3}} = sqrt{frac{2}{5}} = -frac{sqrt{10}}{5}$。
举例
利用诱导公式，将cos(π/2 - x) 转换为sin(x)，通过角度的变换
简化表达式。
函数名称的变换
总结词
通过改变函数名称来简化表达式。
详细描述
在三角恒等变换中，有时可以通过改变函数名称来简化表达式。例如，将cos(x)转换为sin(-x)，或将sin(x)转换为 cos(π/2 - x)等。这种变换通常基于三角函数的性质和恒等式。
三角恒等变换课件
目录
• 三角恒等变换概述 • 三角恒等变换的基本公式 • 三角恒等变换的技巧 • 三角恒等变换的实例解析 • 三角恒等变换的习题与解答
01
三角恒等变换概述
定义与性质
定义
三角恒等变换是数学中一种重要 的变换方法，通过代数运算将一 个三角函数式转换为另一个三角 函数式。
性质
三角恒等变换具有一些重要的性 质，如线性性质、乘积性质、幂 的性质等，这些性质在变换过程 中起着重要的作用。
高考数学一轮总复习课件：三角恒等变换

高考数学一轮总复习课件：三角恒等变换

解析 (tan10°－ 3)·sin40° ＝sin10°co－s103°cos10°·sin40° ＝2sin（c1o0s°10－°60°）·sin40° ＝－c2ossi1n05°0°·sin40°＝－2sin40c°os1·0c°os40° ＝－csoins8100°°＝－1.
5．(2021·衡水中学调研卷)已知sin(θ＋20°)＝
2＋ 4
6，
cos105°＝
2－ 4
6 ，tan105°＝－2－
3 .(也可由105°＝60°＋45
°求得)
(2)求值： ①sin2π12－sin251π2 ；
②1－tatna2n222°2°303′0′；
③sin105°·sin15°； ④sin110°－cos130°.
π 【思路】 通过适当变形，创造适合公式的条件．①由sin2 12
π ∴cos(α＋ 4 )＝－
1－sin2（α＋π4 ）＝－35.
ππ ∴cosα＝cos[(α＋ 4 )－ 4 ]
ππ
ππ
＝cos(α＋ 4 )cos 4 ＋sin(α＋ 4 )sin 4
＝－35× 22＋45× 22＝102.
(6)∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝13， ∴cos(30°＋2α)＝1－2sin2(15°＋α)＝1－2×19＝79.
【答案】
①
3 3
②4
③2－ 3
④14
(4)①(2016·课标全国Ⅱ)若cos(π4 －α)＝35，则sin2α＝( D )
7 A.25
1 B.5
C．－15
D．－275
②设α为锐角，若cos(α＋ 17 2
π 6
)＝
4 5
，则sin(2α＋
高考数学一轮复习 4.2三角恒等变换课件

高考数学一轮复习 4.2三角恒等变换课件


5
5
∵α∈
,
2
,
0
∴sin α=- 3 ,∴tan α=3- ,
5
4
∴tan 2α= 2 =ta n α
2
=-
3
.4
24
1 tan 2α
1
3 4
2
7
精品
10
5.已知α∈
2
,,sin α=
,则3 tan
5
α=
4
.
答案
1 7
解析 由已知得cos α=-4 ,∴tan α=3- ,
5
4.函数f(α)=acos α+bsin α(a,b∈R),可以化为f(α)=⑥ sain2 (αb+2φ1)
或f(α)=⑦ ac2osb(α2 -φ2) ,其中φ1、φ2可由a、b的值唯一确定. 5.在两角和的三角函数公式Sα+β,Cα+β,Tα+β中,当α=β时就得到二倍角的三角 函数公式:sin 2α=⑧ 2sin αcos α ,cos 2α=⑨ cos2α-sin2α ,tan 2α=⑩
A.- 3
2
答案
B.- 1
C1 .
D3.
2
2
2
C 原式=sin 45°·cos 15°-cos 45°·sin 15°=sin 1230°=
,故选C.
精品
7
2.sin 15°+cos 15°的值为 ( )
A. 1
2
答案
B. 6
C. 6
D3. 2
4
2
2
C sin 15°+cos 15°=2 sin(15°+45°)2= sin 60°2 6=
三角恒等变形图文

三角恒等变形图文


交流电路
在交流电路中，三角函数用于描 述电压、电流等物理量的周期性
变化。
三角函数在工程学中应用
建筑设计
01
三角函数用于计算建筑物的角度、高度和距离等参数，以确保
设计的准确性和稳定性。
航空航天
02
在航空航天领域，三角函数用于描述飞行器的轨迹、速度和姿
态等运动特性。
测绘学
03
在测绘学中，三角函数用于进行地图投影、坐标转换和距离测
三角恒等变形图文
目 录
• 三角恒等式基本概念 • 三角恒等变形方法 • 图形化理解三角恒等变形 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 三角恒等式基本概念
定义与性质
三角恒等式是指在三角函数中，无论角度如何变化，等式两边始终保持相等的数学 表达式。
三角恒等式具有普遍性、必然性和稳定性，是三角函数的重要基础。
03 图形化理解三角恒等变形
单位圆与三角函数关系
1 2
单位圆定义
平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为1的 圆。
三角函数与单位圆关系
正弦、余弦、正切等三角函数值可通过单位圆上 点的坐标来表示。
3
诱导公式推导
利用单位圆对称性，可推导出三角函数的诱导公 式。
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变三角函数前的系数，可实现 图像在y轴方向上的拉伸或压缩。
三角恒等式的变形包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等，这些变形在 三角函数的计算、化简和证明中具有重要作用。
常见三角恒等式
基本三角恒等式
sin^2(x) + cos^2(x) = 1， tan(x) = sin(x)/cos(x)等。

2017届高三理科数学一轮复习课件：第四篇第5节 三角恒等变换


7
14
2
等于( C )
(A) π 4
(B) π 6
(C) π 3
(D) 5 π 12
解析:cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β),
因为 cos α= 1 ,0<β<α< π ,所以 sin α= 4 3 ,sin(α-β)= 3 3 ,代入
7
2
7
2 52
5
10
第二十四页，编辑于星期六：一点 二十分。
数学 考点三 三角函数的给值求角问题
【例 3】 已知 0<α< π <β<π,tan = 1 ,cos(β-α)= 2 .
2
22
10
(1)求 sin α的值;
解:(1)因为 tan = 1 ,所以 sin α=sin(2· )=2sin cos
第二页，编辑于星期六：一点 二十分。
数学
知识链条完善 考点专项突破
易混易错辨析
第三页，编辑于星期六：一点 二十分。
数学
知识链条完善 把散落的知识连起来
教材导读】 1.公式 tan(α+β)= tan tan 可以变形为 tan α+tan β=tan(α+β)
1 tan tan (1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立吗? 提示:不一定,变形可以,但不是对任意角α,β都成立,α,β,α+β≠kπ + π ,k∈Z.
答案:(2) 3
第十六页，编辑于星期六：一点 二十分。
数学 反思归纳 三角函数式的化简常用方法 (1)善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰当选择三角公式,能求值的求 出值,减少角的个数. (2)统一三角函数名称,利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.

三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt

电磁学
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
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A．13
B．1
C． 3
D． 6
[答案] B [解析] ∵1t－an1ta0n°1＋0°ttaann2200°°＝tan30°＝ 33，
∴tan10°＋tan20°＝ 33(1－tan10°tan20°)．
∴原式＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.
3．若 α，β∈(0，π2)且 tanα＝12，tanβ＝13，则 tan(α＋β)＝________.
－ tan1(71x＋1y)3＝1t－anxta＋nxttaannyy＝1－1414×－3－3＝－171.
tan(x－y)＝1t＋anxta－nxttaannyy＝1＋14－＋33×14＝13.
tan(α－β)＝12，tanβ＝13，则 tanα＝( )
A．1
B．17
C．15
D．57
[答案] [解析]
成才之路 ·数学
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 三角恒等变换
第三章
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切 公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公 式
第2课时 两角和与差的正切
1 优效预习 2 高效课堂
3 当堂检测 4 课时作业
优效预习
●知识衔接
1．两角和与差的余弦公式 (1)差角公式C(α－β)：cos(α－β)＝________. (2)和角公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝________. [答案] (1)cosαcosβ＋sinαsinβ (2)cosαcosβ－sinαsinβ
[解析] (1)原式＝1t＋an6ta0n°6－0°ttaann1155°°＝tan(60°－15°)＝tan45°＝ 1.
(2) 原 式 ＝ 11－＋ttaann1155°°＝ 1t－an4ta5n°4＋5°ttaann1155°°＝ tan(45°＋ 15°) ＝ tan60°＝ 3.
[点评] 注意利用常数代换，熟记几个特殊三角函数值对应的 角的度数：1＝tan45°， 3＝tan60°等．
(2)tanα＝csoinsαα
4．求值：(1)(2015·新课标全国Ⅰ 理)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝ ________；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－ x)sin(36°＋x)＝________.
[分析] (1)符合S(α－β)，(2)符合S(α＋β)的结构 特[解征析，] 可(1)原直式接＝运sin用20°Sco(sα1±0°β＋)．cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)
＝12.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.
●自主预习
1．由 S(α＋β)及 C(α＋β)及sin同αc角os关β＋系c式osαtsainnαβ＝csoinsαα可得，tan(α＋β)
＝
sinα＋β 展开 tcaonsα＋α＋taβnβ =====
__c_o_s_α_c_o_sβ_－__s_i_n_α_s_in_β__.
2．两角和与差的正弦公式 (1)和角公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝________. (2)差角公式S(α－β)：sin(α－β)＝________. [答案] (1)sinαcosβ＋cosαsinβ (2)sinαcosβ－cosαsinβ 3．同角间三角函数关系 (1)平方公式________． (2[答)商案]式(关1)s系in2α：＋_co_s_2α_＝_1___.
[答案] [解析]
1tan(α＋β)＝1t－antαa＋nαttaannββ＝121＋ －1316＝1.
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●互动探究
两角和与差的正切公式的应用
已知 tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，那么 tan(α＋π4)2 [探究]
D．138 角 α＋β、β－π4、α＋π4之间的关系．
分子、分母同除以 co=s=α=c=o=sβ
___1_－__ta_n_α_·_ta_n_β_______.使此表达式有意义的 α、β、α＋β 均不等于 __k_π_＋__π2___(_k_∈__Z_)_____．
2．推导 tan(α－β)的公式，既可以用 tan(α－β)＝csoinsαα－－ββ，
●预习自测
1．若 tanα＝3，tanβ＝43，则 tan(α－β)＝( )
A．－3
B．－13
C．3 [答案] [解析]
D．13 tDan(α－β)＝1t＋anαta－nαttaannββ＝1＋3－3×43 43＝13.
2．tan10°tan20°＋ 3(tan10°＋tan20°)的值等于( )
[解析] tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]
＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannββ－－π4π4＝1＋25－25×14 14＝232. [答案] C
已知 tanx＝14，tany＝－3，则 tan(x＋y)＝________，tan(x－y)
＝________.
[答案] [解析]
也可以将 tan(α－β)变换ta为nα－tanta[nαβ＋(－β)]．自己写出推证过程，结 果为 tan(α－β)＝_____1_＋__t_an_α__ta_n_β_____.使此表达式有意义的 α、β、 α－β，均不等于_____k_π_＋__π2_(k_∈__Z__) ____．
3．两角和与差的三角函数公式间的关系
化简求值： (1)11－＋ttaann7755°°； (2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)； (3)tan25°＋tan35°＋ 3tan25°tan35°.
[解析] (1)原式＝1t－an4ta5n°4＋5°ttaann7755°°＝tan(45°＋75°)＝－ 3. (2) 因 为 (1 ＋ tan1°)(1 ＋ tan44°) ＝ 1 ＋ tan1°＋ tan44°＋ tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，所以原式 ＝222. (3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝1t－an2ta5n°2＋5°ttaann3355°°＝ 3， ∴tan25°＋tan35°＝ 3(1－tan25°tan35°)， ∴tan25°＋tan35°＋ 3tan25°tan35°＝ 3.
Atanα＝tan[(α－β)＋β]＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannββ＝1－12＋12×13 13＝
1.
两角和与差的正切公式的逆用及 变形应用
求值： (1)1＋3－3ttaann1155°°；(2)11＋＋ttaann11655°°.
[探究] 利用常数代换，将(1)、(2)整理成两角和与差的正切 公式的形式．