(江苏专用)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用 理-人教版高三全册数学试题

A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C2．(2016·河南百校联盟质检)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A ．1 B.1110C.65D ．2【解析】 由题意，2ab ＝8，∴b ＝4a .∵2≤a ≤10，∴1b ＋1＋9a ＋9＝14a ＋1＋9a ＋9＝1＋5a ＋36a＋13≤1＋52a ·36a＋13＝65， 当且仅当a ＝36a ，即a ＝6时，1b ＋1＋9a ＋9取得最大值65.【答案】 C3．(2016·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315B ．2 C.94D ．3 【解析】 由题意知，x ＋2＞0，y ＋1＞0， (x ＋2)＋(y ＋1)＝4， 则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋24（y ＋1）x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94.【答案】 C4．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2，2]D ．[0，＋∞) 【解析】 当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2， ∴－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.【答案】 B5．(2016·武汉模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0【解析】 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x ＞0，y ＞0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8. 【答案】 A6．(2015·陕西)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 【解析】 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 【答案】 C7．(2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( ) A ．2－2 B.2－1 C ．3＋22 D ．3－2 2【解析】 ∵圆心为(1，2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2ba ＋ab≥3＋2 2.当且仅当2ba＝ab，即a＝2－2，b＝2－1时等号成立．【答案】C8．(2016·安徽安庆二中第一次质检)若x＞0，y＞0，则x＋yx＋y的最小值为()A. 2 B．1C.22 D.12【解析】设t＝x＋yx＋y，则t＞0，∵t2＝x＋yx＋y＋2xy ≥x＋yx＋y＋x＋y＝12，∴t≥22，当且仅当x＝y时取等号．∴x＋yx＋y的最小值为22.故选C.【答案】C9．(2016·湖北华师一附中等八校联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．【解析】因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝22x＋2y，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.【答案】210．(2016·南京金陵中学第一次联考)已知实数x，y满足x－x＋1＝y＋3－y，则x＋y的最大值为________．【解析】∵x－x＋1＝y＋3－y，∴x＋y＝x＋1＋y＋3≤2x＋y＋42，则(x＋y)2≤2(x＋y＋4)，解得－2≤x＋y≤4.∴x＋y的最大值为4.【答案】411．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．【解析】 (1)∵x ＞0，y ＞0， ∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20 ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)12．(2016·重庆巴蜀中学期中)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵y ＝f (x )在x ＝1处有极值，∴a ＋b ＝6.∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值等于9.故选D.【答案】 D13．(2016·云南大理祥云一中第二次月考)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ）≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab，a （a －b ）＝1a （a －b ）时取等号，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝22. ∴a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值为4.【答案】 D14．(2016·天津河西模拟)函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)的最小值为________． 【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝2＝1，即x ＝3时取等号．∴函数f (x )的最小值为f (3)＝4. 【答案】 415．(2016·广东北师大东莞石竹附中期中)已知x ＞0，y ＞0，若不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，则m 的最大值为________．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，∴m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立．又∵⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )＝6＋9y x ＋xy ≥6＋29y x ·x y ＝12，当且仅当9y x ＝xy，即x ＝3y 时取等号， ∴⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )的最小值为12.由m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立，得m ≤12，即m 的最大值为12. 【答案】 1216．(2016·山东齐鲁名校第二次调研)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100， 当且仅当12x ＝45 000x ，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．(2)获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12(x －400)2＋35 000.因为x ∈[300，600]，所以S ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．。

专题7.4 基本不等式及其应用【考纲解读】理解：【直击考点】题组一 常识题1．函数y ＝x ＋4x(x ＞0)的最小值为________．【解析】∵x ＞0，∴y ＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，故函数y ＝x ＋4x(x ＞0)的最小值为4.2．一段长为40 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________．【解析】设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝40，即x ＋y ＝20，∴ 矩形的面积S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝100，当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大的面积是100 m 2.3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.【解析】设两直角边长分别为a m ，b m ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，即ab ＝4，∴ l ＝a ＋b ＋a2＋b2≥2ab ＋2ab ＝4＋22，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m.4．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为______元．【解析】设水池的总造价为y 元，池底长为x m ，则宽为4xm ，由题意可得y ＝4×120＋2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋8x×80＝480＋320⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋320×2x·4x ＝480＋320×24＝1760，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，y min ＝1760. 故当池底长为2 m 时，这个水池的造价最低，最低造价为1760元．题组二 常错题5．若x ＞－1，则x ＋4x ＋1的最小值为________． 【解析】x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥4－1＝3，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时等号成立．6．已知0<x <1，则y ＝lg x ＋4lg x的最大值是________． 【解析】∵0<x <1，∴lg x <0，则－lg x >0.∴－y ＝－lg x ＋4－lg x ≥2（－lg x ）×4－lg x＝4，当且仅当－lg x ＝4－lg x ，即x ＝1100时，等号成立， ∴y max ＝－4.7. 函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的最小值为 _________________________. 【解析】当sin x ＝4sin x时，sin x ＝±2，显然等号取不到，事实上，设t ＝sin x ，则t ∈(0，1]，y ＝t ＋4t在(0，1]上为减函数，故当t ＝1时，y 取最小值5.题组三 常考题8． 设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是__________．【解析】将方程组中的第一个方程化为y ＝1－ax ，代入第二个方程整理得(1－ab )x ＝1－b ，由方程组无解得1－ab ＝0且1－b ≠0，所以ab ＝1且b ≠1.由基本不等式得a ＋b >2ab ＝2，故a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)．9．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于________． 【解析】依题意有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·1a ＋1b ＝1＋a b ＋b a ＋1≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．10．已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．【知识清单】考点1利用基本不等式证明不等式如果，那么（当且仅当时取等号“=”）如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.考点2 利用基本不等式求最值常见结论：1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）推论：（）2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：（，）；3、考点3 基本不等式的实际应用利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点，在处理最值时是一种非常行之有效的工具，在使用时一定多观察所给代数式的形式，和基本不等式成立的条件.【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知、、都是正数，求证：【答案】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴，，.∴.【1-2】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：.【1-3】已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.【解析】∵，，，∴.同理，.∴＝，当且仅当，即时取“＝”．∴，当且仅当时等号成立．【思想方法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【温馨提醒】1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．考点2 利用基本不等式求最值【2-1】若log2x＋1og2y＝1，则x＋2y的最小值是________．【答案】4【解析】因为log2x＋log2y＝1，即log2xy＝1，所以xy＝2且x＞0，y＞0，于是x＋2y≥2x·2y＝4，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时取等号，所以x＋2y的最小值为4.【2-2】设，函数的最小值为．【答案】 9【2-3】已知，则的最小值是．【答案】【解析】由，得，即，亦即,且，从而，当且仅当，又，即，时，取得最小值，注意乘“1”法技巧的使用.【2-4】若a>0，b>0，且a＋b＝2，则ab＋的最小值为．【答案】2【解析】由2＝a＋b≥2得0<ab≤1，令t＝ab，t∈(0,1]，则y＝t＋在(0,1]上为减函数，故当t＝1时，y min＝2，故选A.【2-5】设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是．【答案】2【思想方法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y＝x＋ax(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【温馨提醒】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.考点3 基本不等式的实际应用【3-1】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为,. 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.【3-2】如图，在三棱锥P ­ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是三棱锥M ­PAB ，三棱锥M ­PBC ，三棱锥M ­PCA 的体积．若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，且1x ＋ay≥8恒成立，则正实数a 的最小值为________．【答案】1【3-3】如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为．【答案】【解析】设，，由条件可知和为等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以绿地面积最大值为4．【3-4】某汽车运输公司，购买了一批豪华大巴投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润（万元）与营运年数满足，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大？【答案】5年【解析】年平均利润为,当x=5时，f(x)取得最大值，最大值为2万元． 【思想方法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【温馨提醒】对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题．【易错试题常警惕】忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.【答案】(1)3＋22(2)1＋2 6【解析】(1)∵x>0，y>0，温馨提醒(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．。

7.4 基本不等式及其应用考纲要求1．掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)．2．能用基本不等式证明简单不等式．3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(解同一问题时限用一次)． 4．提高提出问题、分析和解决实际问题的能力．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：__________.(2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥________(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab≥____(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22____a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为__________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：____________________________.4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最____值是________．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有最____值是__________．(简记：和定积最大)1．若b ＜a ＜0，则下列不等式中正确的有__________．(填序号) ①1a ＞1b ②|a |＞|b | ③b a ＋ab＞2 ④a ＋b ＞ab 2．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为__________．3．(2012江苏盐城四星学校期中)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为__________．4．设a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝ab ，则在以(a ，b )为圆心，a ＋b 为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是__________．5．若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ， Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则P ，Q 与R 大小关系为__________．运用基本不等式解题要注意哪些方面？提示：1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．一、利用基本不等式证明不等式【例1】已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 方法提炼利用基本不等式证明不等式，应先观察题目的条件是否满足基本不等式的使用条件，若不满足，可通过添项、拆项、配系数、“1”的代换等方法，使其满足条件，再结合不等式的基本性质，达到证明的目的．请做针对训练1二、利用基本不等式求最值【例2】 (1)(2012江苏无锡五校联考)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为__________；(2)(2012江苏南京十二中期中考试)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为__________．方法提炼利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值．“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．请做针对训练2三、利用基本不等式解答实际应用题 【例3】 (2012江苏南京、盐城三模)在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v (米/单位时间)，单位时间内用氧量为c v 2(c 为正常数)；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为v2(米/单位时间)，单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y .(1)将y 表示为v 的函数；(2)设0＜v ≤5，试确定下潜速度v ，使总的用氧量最少．方法提炼(1)应用基本不等式解决实际问题的步骤是：①仔细阅读题目，理解透彻题意；②设出自变量，写出函数解析式；③应用基本不等式求出函数最值；④还原实际问题，作出解答．(2)当应用基本不等式，求出使等号成立的条件不在实际问题的取值范围内时，就不能用基本不等式，可考虑用函数的单调性来解决．请做针对训练3从近三年高考试题来看，利用基本不等式求函数的最值、证明不等式、解决实际问题是高考的热点，难度以中低档题为主，考查学生的代数变形、化简能力；同时注重考查学生的逻辑推理能力及等价转化、分类讨论等思想方法．1．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .2．(1)(2013江苏南京三校联考)已知x ＞1，则f (x )＝x 2－x ＋1x －1的最小值为__________．(2)(2012浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是__________． 3．(2012江苏扬州高三第一学期期末考试)某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建宿舍的费用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f (x )的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)a ≥0，b ≥0 (2)a ＝b 2．(1)2ab (2)2 (4)≤ 3.a ＋b 2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4．(1)x ＝y 小 2p (2)x ＝y 大 p 24基础自测1．③ 解析：∵b ＜a ＜0，∴1a ＜1b ＜0,0＜|a |＜|b |，a ＋b ＜0＜ab ，b a ＋a b ＞2b a ×ab＝2，故应填③.2．50 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100.于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y ＝52时等号成立．3.15 解析：y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )， ∵0＜x ＜25，∴0＜5x ＜2,2－5x ＞0.∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1.∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y 的最大值是15.4．(x －3)2＋(y －6)2＝81解析：∵4b ＋1a＝1，∴(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4b ＋1a ＝5＋4a b ＋b a≥5＋24＝9. 当且仅当b ＝2a 时，等号成立．即b ＝6，a ＝3，∴圆的标准方程为(x －3)2＋(y －6)2＝81.5．R ＞Q ＞P 解析：因为a ＞b ＞1，所以Q ＝12(lg a ＋lg b )＞lg a ·lg b ＝P ，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q .所以R ＞Q ＞P .考点探究突破【例1】 证明：(方法一)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba.同理，1＋1b ＝2＋ab .∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．(方法二)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab，∵a 、b 为正数，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．【例2】 (1)3＋22 (2)1解析：(1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y ，即x ＝1－22，y ＝－1＋2时，取“＝”．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取“＝”．【例3】解：(1)潜入水底用时30v ，用氧量为30v ×c v 2＝30c v ； 水底作业时用氧量为5×0.4＝2；返回水面用时60v ，用氧量为60v ×0.2＝12v .所以y ＝30c v ＋2＋12v (v ＞0)．(2)y ＝30c v ＋2＋12v ≥2＋230c v ×12v ＝2＋1210c .当且仅当30c v ＝12v ，即v ＝25c时取等号．当25c ≤5，即c ≥2125时，v ＝25c时，y 的最小值2＋1210c .当25c ＞5，即c ＜2125时，y ′＝30c －12v 2＝30c v 2－12v 2＜0，因此函数y ＝30c v ＋2＋12v 在(0,5]上为减函数，所以当v ＝5时，y 的最小值为150c ＋225.综上，当c ≥2125时，下潜速度为25c 时，用氧量最小为2＋1210c ；当0＜c ＜2125时，下潜速度为5时，用氧量最小为150c ＋225.演练巩固提升 针对训练1．证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ca b ≥2bc a ·ca b＝2c ；bc a ＋ab c ≥2bc a ·abc ＝2b ； ca b ＋ab c≥2ca b ·abc＝2a . 以上三式相加得：2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，取“＝”． 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 2．(1)3 (2)5 解析：(1)∵x ＞1，∴f (x )＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时取“＝”．(2)本题考查利用基本不等式求最值，考查学生观察、变形判断的能力．由x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x即x ＝1，y ＝12时，取“＝”．3．解：(1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k ＝800.故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x ≤8.(2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5，当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)即x ＝5时，取“＝”，此时f (x )的最小值是75.所以宿舍应建在离厂5 k m 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．。

§7.3基本不等式及其应用考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 2017基本不等式及其应用1.利用基本不等式求最值2.基本不等式的实际运用3.基本不等式的变形运用C10题5分填空题解答题★★★分析解读基本不等式是求函数最值的重要工具,在实际应用题中也经常用到,是高考的热点,复习这部分内容要注意基本不等式的灵活运用.五年高考考点基本不等式及其应用1.(2017某某,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案302.(2017某某文,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案83.(2017某某理改编,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x 的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值X围是.答案4.(2013某某理改编,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y 2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为.答案 15.(2016某某理,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.解析(1)证明:由题意知2=+,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B.因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=,所以cos C===-≥,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点基本不等式及其应用1.(2018某某某某时杨中学高三月考)已知x>0,y>0,2x+y=2,则+的最大值为.答案-2.(2017某某某某溧水中学质检,10)已知x,y为正实数,且2x+y=1,则+的最小值是.答案93.(2017某某某某师X大学附中期中,11)等比数列{a n}的首项为2,公比为3,前n项和为S n,若log3=9,则+的最小值是.答案 2.54.(苏教必5,三,3,变式)若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则的最小值为.答案 45.(2017某某某某、某某、某某第三次模拟考试,11)若正实数x,y满足x+y=1,则+的最小值是. 答案86.(2017某某某某期中,9)已知正实数a,b满足a+3b=7,则+的最小值为.答案7.(2016某某某某一模,13)已知ab=,a,b∈(0,1),则+的最小值为.答案4+8.(2017某某某某沛县中学质检,19)已知函数f(x)=|x-2|.(1)解不等式f(x)+f(2x+1)≥6;(2)已知a+b=1(a,b>0),且∀x∈R,f(x-m)-f(-x)≤+恒成立,某某数m的取值X围.解析(1)f(x)+f(2x+1)=|x-2|+|2x-1|=当x<时,由3-3x≥6,解得x≤-1;当≤x≤2时,x+1≥6无解;当x>2时,由3x-3≥6,解得x≥3.所以不等式f(x)+f(2x+1)≥6的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞).(2)∵a+b=1(a,b>0),∴+=(a+b)=5++≥5+2=9,∴∀x∈R,f(x-m)-f(-x)≤+恒成立等价于∀x∈R,|x-2-m|-|-x-2|≤9恒成立,即(|x-2-m|-|-x-2|)max≤9,∵|x-2-m|-|-x-2|≤|(x-2-m)-(x+2)|=|-4-m|,∴-9≤m+4≤9,∴-13≤m≤5.9.(2017某某某某期中,18)如图,有一块平行四边形绿地ABCD,经测量BC=2百米,CD=1百米,∠BCD=120°,拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上,不计路的宽度),将绿地分为面积之比为1∶3的左、右两部分,分别种植不同的花卉,设EC=x百米,EF=y百米.(1)当点F与点D重合时,试确定点E的位置;(2)试求x的值,使路EF的长度最短.解析(1)S平行四边形ABCD=2××1×2sin 120°=,当点F与点D重合时,S△CDE=S平行四边形ABCD=,又∵S△CDE=CE·CD·sin 120°=x,∴x=1,即E是BC的中点.(2)①当点F在CD上时,易知CF=,1≤x≤2,再由余弦定理可得y=≥,当且仅当x=1时取等号.②当点F在DA上(不包含点D)时,易知DF=1-x,0≤x<1,(i)当CE<DF时,过E作EG∥CD交DA于G,在△EGF中,EG=1,GF=1-2x,∠EGF=60°,利用余弦定理得y=.(ii)当CE≥DF时,过E作EG∥CD交DA于G,在△EGF中,EG=1,GF=2x-1,∠EGF=120°,利用余弦定理得y=,由(i)、(ii)可得y=,0≤x<1,∴y==,∵0≤x<1,∴y min=,当且仅当x=时取等号.由①②可知当x=时,路EF的长度最短.10.(2016某某某某中学期中,18)有一块三角形边角地,如图中△ABC,其中AB=8百米,AC=6百米,∠A=60°.某市为迎接250年城庆,欲利用这块地修一个三角形形状的草坪(图中△AEF)供市民休闲,其中点E在边AB上,点F 在边AC上.规划部门要求△AEF的面积占△ABC的面积的一半,设AE=x百米,△AEF的周长为l(百米).(1)如果要对草坪进行灌溉,需沿△AEF的三边安装水管,求水管总长度的最小值;(2)如果沿△AEF的三边修建休闲长廊,求长廊总长度的最大值,并确定此时E、F的位置.解析(1)∵S△AEF=S△ABC,∴AE·AF·sin A=×AB·AC·sin A.∵AB=8,AC=6,∴AF=.∵∴4≤x≤8.∵△AEF中,EF2=x2+-2x·cos 60°=x2+-24,∴l=x++,x∈[4,8].∵l=x++≥2+=6,当且仅当x=2时取“=”,∴l min=6.故水管总长度的最小值为6百米.(2)由(1)知:l=x++,x∈[4,8].令t=x+,x∈[4,8],∴t'=1-==.列表得:x (4,2) 2(2,8)t' - 0 +t ↘极小值4↗且x=4时,t=10;x=8时,t=11,故t∈[4,11].l=t+在[4,11]上单调递增,∴当t=11时,l max=18,此时x=8,=3.故当点E在B处,点F是线段AC的中点时,长廊总长度的最大值为18百米.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:60分时间:30分钟)一、填空题(每小题5分,共45分)1.(2018某某姜堰中学高三期中)已知函数f(x)=x2-mx+1,x1,x2是f(x)的两个零点,且x1>x2,则的最小值为.答案22.(2018某某某某高三期中)已知正项数列{a n}的首项为1,前n项和为S n,对任意正整数m,n,当n>m时,S n-S m=2m·S n-m总成立,若正整数p,q满足p+q=6,则+的最小值为.答案3.(2018某某某某、宿迁期中)在锐角三角形ABC中,9tan Atan B+tan Btan C+tan Ctan A的最小值为.答案254.(2017某某某某中学模拟,12)已知|AB|=3,C是线段AB上异于A,B的一点,△ADC,△BCE均为等边三角形,则△CDE的外接圆的半径的最小值是.答案5.(2017某某某某暑期调研,14)已知a+b=2,b>0,当+取最小值时,实数a的值是.答案-26.(2017某某海头高级中学质检,13)已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c},则(其中a+c≠0)的取值X围为.答案(-∞,-6]∪[6,+∞)7.(苏教必5,三,3,变式)函数y=的最大值为.答案8.(2017某某苏北四市联考,11)若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为.答案89.(2017某某仪征中学第二学期期初检测,13)已知正数x,y满足=4xy,那么y的最大值为.答案二、解答题(共15分)10.(2016某某宿迁三校调研,19)如图,公路AM,AN围成的是一块顶角为α的角形耕地,其中tan α=-2.在该块土地中P处有一小型建筑,经测量,它到公路AM,AN的距离分别为3 km, km.现要过点P修建一条公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用,试确定B点的位置,使得该工业园区的面积最小,并求最小面积.解析如图,过点P作PE⊥AM,PF⊥AN,垂足分别为E,F,连结PA.设AB=x,AC=y,则x>0,y>0.因为P到AM,AN的距离分别为3,,所以PE=3,PF=.S△ABC=S△ABP+S△APC=×x×3+×y×=(3x+y).①因为tan α=-2,所以sin α=.所以S△ABC=×x×y×.②由①②可得×x×y×=(3x+y).即3x+5y=2xy.③因为3x+5y≥2,所以2xy≥2.解得xy≥15.当且仅当3x=5y时取“=”,结合③解得x=5,y=3.此时S△ABC=×x×y×取得最小值15.答:当AB=5 km时,该工业园区的面积最小,最小面积为15 km2.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用基本不等式求最值问题1.(2017某某第三次模拟考试,12)若a,b均为非负实数,且a+b=1,则+的最小值为.答案 32.(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))已知a,b均为正数,且ab-a-2b=0,则-+b2-的最小值为.答案73.(2017某某某某期末,14)已知a>0,b>0,c>2,且a+b=2,则+-+的最小值为.答案+方法2 基本不等式的实际应用4.(2016某某三校联考,18)、某某2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件售价最高为多少元?(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革,并提高售价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件售价.解析(1)设每件售价为t(t≥25)元,依题意得t≥25×8,整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件售价最高为40元.(2)依题意知,x>25,且ax≥25×8+50+(x2-600)+x,等价于a≥+x+(x>25).由于+x≥2=10,当且仅当=,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件售价为30元.5.(2016某某某某中学检测,18)如图,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求B在AM上,D 在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.设AN=x米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则x应在什么X围内?(2)当x是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积;(3)若x≥6,则当x是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.解析(1)易知x>2,且ND=x-2,由题意得=,∴=,∴AM=,∴·x>32,∴3x2-32x+64>0,∴(3x-8)(x-8)>0,∴2<x<或x>8.(2)S矩形AMPN===3(x-2)++12≥2+12=24(当且仅当x=4时取等号).故当x=4时,矩形AMPN的面积最小,最小面积为24平方米.(3)S矩形AMPN=3(x-2)++12(x≥6),令x-2=t(t≥4),f(t)=3t++12,∵f(t)=3t++12在[4,+∞)上递增,∴f(t)min=f(4)=27,此时x=6.故当x=6时,矩形AMPN的面积最小,最小面积为27平方米.方法3 不等式恒成立问题6.(2018某某某某高三(上)期中)设函数f(x)=|x-a|+(a∈R),若当x∈(0,+∞)时,不等式f(x)≥4恒成立,则a 的取值X围是.答案(-∞,2]7.(2018某某金陵中学高三月考)已知当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,则t的取值X围是.答案1≤t≤8.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值X围是.答案(-∞,-5]9.设0<m<,若+≥k恒成立,则实数k的最大值为.答案8。