人教A版文科数学课时试题及解析(47)圆的方程

4.1.2 圆的一般方程问题导学一、圆的一般方程的定义活动与探究1判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．迁移与应用1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 2．下列方程能表示圆的是________． (1)x 2＋y 2＋2x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ay －1＝0； (3)x 2＋y 2＋20x ＋121＝0；(4)x 2＋y 2＋2ax ＝0．3．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围及圆心坐标和半径．形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义，若D 2＋E 2－4F ＞0，则表示圆，否则不表示圆； (2)将方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4求解． 二、求圆的一般方程活动与探究2△ABC 的三个顶点分别为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆的方程．迁移与应用求经过点C (－1,1)和D (1,3)且圆心在直线y ＝x 上的圆的一般方程．用待定系数法求圆的方程：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r ．(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D ，E ，F ．三、求动点的轨迹方程活动与探究3已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半． (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．迁移与应用1．到两个点A (－1,2)，B (3，－4)的距离相等的点的轨迹方程是________． 2．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．求动点的轨迹方程就是建立动点的横、纵坐标x ，y 的方程，因而，在求动点的轨迹方程时，先设出动点的坐标(x ， y )，再代入题目中给出的等量关系，化简即得动点的轨迹方程．当堂检测1．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长为( )A ．2πB ．2πC ．22πD ．4π2．若圆x 2＋y 2－2kx －4＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称，则k 等于( ) A ．32 B ．－32C ．3D ．－33．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,0) D ．(0，－1)4．过三点O (0,0)，A (4,0)，B (0，－2)的圆的一般方程为________________．5．已知线段AB 的长为4，且端点A ，B 分别在x 轴与y 轴上，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．定点定长圆心半径2．(x－a)2＋(y－b)2＝r2预习交流1提示：圆的标准方程是由圆心坐标与半径确定的，因此求圆的标准方程只需求出圆心坐标与半径．3．点在圆外点在圆上点在圆内预习交流2提示：判断点与圆的位置关系有两种方法：①将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|＞r，则点M在圆外；若|CM|＜r，则点M在圆内．②可利用圆的标准方程来确定：点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在圆C外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2；点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：第(1)题可直接利用圆的标准方程求解，第(2)题可先利用两点间距离公式求出半径，再用圆的标准方程求解．解：(1)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4．(2)方法一：∵圆的半径r＝|CP|＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，圆心在点(8，－3)，∴圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25．方法二：∵圆心为C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2．又∵点P(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25，∴所求圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25．迁移与应用 1．B2．解：设圆心C (a ，b )，半径为r ，则由中点坐标公式，得a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6．再由两点距离公式，得r ＝|CP 1|＝(4－5)2＋(9－6)2＝10．∴所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10．活动与探究2 思路分析：先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径并写出方程，求出A ，B ，C 各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，x －2y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴圆心M 的坐标为(0,1)．半径r ＝|MP |＝52＋(1－6)2＝52．∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50． ∵|AM |＝(2－0)2＋(2－1)2＝5＜r ，∴点A 在圆内． ∵|BM |＝(1－0)2＋(8－1)2＝50＝r ，∴点B 在圆上． ∵|CM |＝(6－0)2＋(5－1)2＝52＞r ，∴点C 在圆外．∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50． 点A 在圆内，点B 在圆上，点C 在圆外． 迁移与应用 1．B 2．(1，＋∞)活动与探究3 思路分析：解答本题，可用待定系数法，设出圆的标准方程求解，也可根据圆的几何性质求出圆的圆心坐标和半径．解：方法一：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．方法二：由A (2，－3)，B (－2，－5)得，AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝12，∴AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.∴圆心为(－1，－2)，半径r ＝(2＋1)2＋(－3＋2)2＝10．故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10． 方法三：设点C 是圆心，∵点C 在直线l 上，∴设点C (2b ＋3，b )． 又∵|CA |＝|CB |，∴(2b ＋3－2)2＋(b ＋3)2＝(2b ＋3＋2)2＋(b ＋5)2，解得b ＝－2，∴圆心为C (－1，－2)，半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．迁移与应用 1．x 2＋(y ＋4)2＝52．解：方法一：由题意得圆心在x 轴上．设圆心坐标为M (a,0)，则|MA |＝|MB |，即(a －5)2＋(0－2)2＝(a －3)2＋(0＋2)2， 解得a ＝4．所以圆心坐标为(4,0)，半径r ＝|MA |＝5． 所以圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝5．方法二：线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)，即x ＋2y －4＝0．令y ＝0，得x＝4，所以圆心坐标为(4,0)，半径r ＝|MA |＝5．所以圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝5． 【当堂检测】 1．D 2．C 3．A 4．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25 5．(x －2)2＋y 2＝10 4．1．2 圆的一般方程 课前预习导学 【预习导引】1．x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 r ＝D 2＋E 2－4F 2预习交流1 提示：不是．只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，该方程才表示圆； 当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； 当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 2．坐标(x ，y )预习交流2 提示：求动点轨迹方程的步骤是： (1)设出动点M 的坐标为(x ，y )；(2)根据条件列出关于x ，y 的关系式f (x ，y )＝0； (3)化简f (x ，y )＝0． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：解答本题可直接利用D 2＋E 2－4F ＞0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．解：方法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2． 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|．方法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝5|m －2|．迁移与应用 1．C 2．(2)(4)3．解：将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，由1－5m ＞0得m ＜15．所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，15，圆心坐标为(－m ，1)，半径r ＝1－5m ．活动与探究2 思路分析：由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D ，E ，F 即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求圆的方程．解：方法一：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20.故所求的圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0．方法二：由题意可求得AC 的中垂线方程为x ＝2，BC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0． ∴圆心P 是两条中垂线的交点(2,1)．∴半径r ＝|AP |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5．∴所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25， 即x 2＋y 2－4x －2y －20＝0．迁移与应用 解法一：设方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＝－E 2，2－D ＋E ＋F ＝0，10＋D ＋3E ＋F ＝0.∴D ＝E ＝－2，F ＝－2．∴方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0．解法二：线段CD 的垂直平分线方程为x ＋y －2＝0． 又∵圆心在直线y ＝x 上，∴解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x得圆心坐标为(1,1)．则半径r ＝(1＋1)2＋(1－1)2＝2．∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4， 则一般方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0．活动与探究3 思路分析：(1)已知动点M 到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点M 的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程．(2)N 点随M 点运动而运动，将M 点坐标用A ，N 两点坐标表示，再将M 点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得N 的轨迹方程，从而得点N 的轨迹．解：(1)设动点M 的坐标为(x ，y )，∵A (2,0)，B (8,0)，|MA |＝12|MB |，∴(x －2)2＋y 2＝14[(x －8)2＋y 2]．化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16．(2)设点N 的坐标为(x ，y )， ∵A (2,0)，N 为线段AM 的中点， ∴点M 的坐标为(2x －2,2y )． 又点M 在圆x 2＋y 2＝16上，∴(2x －2)2＋4y 2＝16，即(x －1)2＋y 2＝4．∴点N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆． 迁移与应用 1．2x －3y －5＝02．解：设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，当x ≠0时，OP ⊥AP ，即k OP ·k AP ＝－1，∴y x ·yx －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0．①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．【当堂检测】 1．C 2．B 3．D 4．x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0 5．x 2＋y 2＝4。

课时跟踪检测（四十七）圆的方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快．点()与圆＋＝的位置关系是(填“点在圆内”“点在圆上”“点在圆外”)．解析：把点()代入圆的方程左边等于，所以点在圆上．答案：点在圆上．已知点(－，－)，(，－)，则以线段为直径的圆的方程是．解析：因为圆心为线段的中点(，－)，半径为＝＝，所以所求圆的方程为(－)＋(＋)＝.答案：(－)＋(＋)＝．圆(＋)＋＝关于原点()对称的圆的方程为．解析：(，)关于原点()的对称点为(－，－)，则(－＋)＋(－)＝，即(－)＋＝.答案：(－)＋＝．圆＋－＋＋＝的圆心到直线－＝的距离为．解析：已知圆的圆心是(，－)，到直线－＝的距离是＝＝.答案：．已知圆与直线＝及－－＝都相切，圆心在直线＝－上，则圆的方程为．解析：由题意知－＝和－－＝之间的距离为＝，所以＝；又因为＝－与－＝，－－＝均垂直，所以由＝－和－＝联立得交点坐标为()，由＝－和－－＝联立得交点坐标为(，－)，所以圆心坐标为(，－)，圆的标准方程为(－)＋(＋)＝.答案：(－)＋(＋)＝二保高考，全练题型做到高考达标．圆：＋－＋＋＝的面积等于．解析：圆化为标准方程为(－)＋(＋)＝，知半径＝＝，则圆的面积＝π＝π.答案：π．以点(，－)为圆心且与直线－＋＝相切的圆的方程为．解析：∵圆心(，－)到直线－＋＝的距离＝＝，∴圆的半径为，即圆的方程为(－)＋(＋)＝.答案：(－)＋(＋)＝．(·苏州中学检测)已知直线：＋＋＝，若曲线＋＋－＋＝上存在两点，关于直线对称，则的值为．解析：因为曲线＋＋－＋＝是圆(＋)＋(－)＝，若圆(＋)＋(－)＝上存在两点，关于直线对称，则直线：＋＋＝过圆心(－)，所以－＋＋＝，解得＝－.答案：－．(·济南模拟)已知圆：(＋)＋(－)＝，圆与圆关于直线－－＝对称，则圆的方程为．解析：设圆的圆心坐标(－)关于直线－－＝的对称点为(，)，依题意得(\\((－＋)＝－，,(－)－(＋)－＝，))解得(\\(＝，＝－，))所以圆的方程为(－)＋(＋)＝.答案：(－)＋(＋)＝．若圆(－)＋(＋)＝上有且只有两个点到直线－＝的距离等于，则半径的取值范围是．解析：易求圆心(，－)到直线－＝的距离为.令＝，可知圆上只有一点到已知直线的距离为；令＝，可知圆上有三点到已知直线的距离为，所以半径取值范围在()之间符合题意．答案：()．在平面直角坐标系中，以点()为圆心且与直线－－－＝(∈)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．解析：因为直线－－－＝恒过定点(，－)，所以圆心()到直线－－－＝的最大距离为＝＝，所以半径最大时的半径＝，所以半径最大的圆的标准方程为(－)＋＝.答案：(－)＋＝．直线－－＝与－－＝的交点在圆＋＝的外部，则的取值范围是．解析：由(\\(－－＝，－－＝))得(\\(＝－，＝－.))∴(－)＋(－)＞，即＞，解得＞或＜－.答案：∪．设是圆(－)＋(＋)＝上的动点，是直线＝－上的动点，则的最小值为．解析：如图所示，圆心(，－)与定直线＝－的最短距离为＝－(－)＝，又圆的半径为，故所求最短距离为－＝.答案：．已知以点为圆心的圆经过点(－，)和()，线段的垂直平分线交圆于点和，且＝.()求直线的方程；()求圆的方程．解：()由题意知，直线的斜率＝，中点坐标为()．则直线的方程为－＝－(－)，即＋－＝.()设圆心(，)，则由点在上得＋－＝.①又∵直径＝，∴＝，∴(＋)＋＝.②由①②解得(\\(＝－，＝))或(\\(＝，＝－.))。

二、综合提升组 11.(2017 山东潍坊模拟,理 9)已知圆 M 过定点(0,1)且圆心 M 在抛物线 x2=2y 上运动,若 x 轴截圆 M 所得的弦为|PQ|,则弦长|PQ|等于( )
A.2
B.3
C.4
D.与点位置有关的值
12.已知直线 x+y-k=0(k>0)与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点,且有|OA + OB|≥ 33|AB|, 则 k 的取值范围是( )
2
〚导学号 21500573〛
课时规范练 47 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.C 直线 y=kx-1 恒经过点 A(0,-1),02+(-1)2-2×0-2=-1<0,则点 A 在圆内,故直线 y=kx-1 与圆 x2+y2-
2x-2=0 相交,故选 C.
2.C 圆心(1,0)到直线 x-
3y+3=0
A.( 3,+∞)
B.[ 2,+∞)
C.[ 2,2 2)
D.[ 3,2 2)
〚导学号 21500572〛
1
13.已知圆 C:x2+y2=4,过点 A(2,3)作圆 C 的切线,切点分别为 P,Q,则直线 PQ 的方程为 . 14.已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存 在,说明理由.
为 .
9.设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|=2 3,则圆 C 的面积为 . 10.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则 实数 a= .

7. D 当直线经过点 (0,1) 时 , 直线与圆有两个不同的交点
=2
=4.
, 此时 m=1; 当直线与圆相切时 , 有圆心
到直线的距离 d=
=1, 解得 m= ( 切点在第一象限 ), 所以要使直线与圆在第一象限内有两
个不同的交点 , 则 1<m<
8.- 因为 P( - 3,1) 关于 x 轴的对称点的坐标为 P' ( - 3, - 1),
2. C 圆心 (1,0) 到直线 x- y+3=0 的距离 d= =2.
由条件 q: 圆 C上至多有 2 个点到直线 x-
y+3=0 的距离为 1, 则 0<r<3.
则 p 是 q 的充要条件 . 故选 C.
3. C 圆 C1 的圆心 C1(0,0), 半径 r 1=1, 圆 C2 的方程可化为 ( x- 3) 2+( y- 4) 2=25-m, 所以圆心 C2(3,4),
∴直线 3x-ay- 11=0 过圆心 C(1, - 2), ∴3+2a- 11=0, 解得 a=4,
- 3=7.
即为 (1, - 1), 点 (1, - 1) 到圆心 C(1, - 2) 的距离 d=
=1,
圆 C: x2+y2- 2x+4y=0 的半径 r=
,
∴圆 C中以
为中点的弦长为 2
故选 D.
假设
, 则 - 3( x1+x2) =y1+y2,
=(1, - 3),
解得 k=
, 假设不成立 ,
∴不存在这样的直线 l.
16. (1) 证明 设 AP的中点为 E, 切点为 F, 连接 OE, EF( 图略 ), 则|OE|+|EF|=|OF|= 2, 故