圆相交.
三、切线问题
例3 (06卷理) 过坐标原点且与圆02
5
2422
=+
+-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)
x y 3-=或x y 31=
(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 3
1
=
解 化为标准方程2
5)1()2(2
2=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r .
设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距25
1
122=
=++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 3
1
=，故选(A).
点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.
四、弦长问题
例4 (06卷理) 设直线03=+-
y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .
解 由已知圆4)2()1(2
2=-+-y x ，即得圆心)2,1(C 和半径2=r .
∵线心距11
2++=
a a d
，且22
2
)2(
r AB d
=+，∴22222)3()1
1(
=+++a a ，即1)1(22+=+a a ，解得0=a . 点评：一般在线心距d 、弦长AB 的一半和圆半径r 所组成的直角三角形中处理弦长问题：222
)2
(r AB d =+. 五、夹角问题
例5 (06全国卷一文) 从圆012222
=+-+-y y x x
外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
(A)21 (B)5
3
(C)23 (D) 0
解 已知圆化为1)1()1(2
2=-+-y x ，即得圆心)1,1(C 和半径1=r .
设由
)2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ
，则在切线长、半径
r
和
PC
构成的直角三角形中，
5
22
cos
=
θ
，∴
5
3
12
cos 2cos 2
=
-=θ
θ，故选(B). 点评：处理两切线夹角θ问题的方法是：先在切线长、半径r 和PC
所构成的直角三角形中求得
2
θ
的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角θ问题.
六、圆心角问题
例6 (06全国卷二) 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k .
解 由已知圆4)2(2
2=+-y x ，即得圆心)0,2(C 和半径2=r .
设)2,
1(P ，则2-=PC k ；∵⊥PC 直线l 时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l 的斜率2
21=
-
=PC
k k .
点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.
七、最值问题
例7 (06卷文) 圆0104422
=---+y x y x
上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )
(A) 30 (B) 18 (C)26
(D)25 解 已知圆化为18)2()2(2
2=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .
设线心距为d ，则圆上的点到直线014=-+y x 的最大距离为r d +，最小距离为r d -，∴262)()(==--+r r d r d ，故
选(C).
点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d 与圆半径r 的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为r d +，最小距离
为r d
-.
八、综合问题 例8 (06卷理) 若圆0104422
=---+y x y x
上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的
取值围是( )
(A)]4,12[
π
π (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2
,0[π
解 已知圆化为18)2()2(2
2=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .
∵圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，∴222222
2=-≤++=
r b a b
a d ，即0422≤++
b ab a ，
由直线l 的斜率b a k -=代入得0142
≤+-k k ，解得3232+≤≤-k ，又3212tan -=π，32125tan +=π，∴直线l 的
倾斜角的取值围是]12
5,12[
π
π，故选(B). 点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.
圆的方程
1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用围.
(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；
(2)
圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2
,2E D --)，半径为r ＝
2
422F
E D -+
2. 直线与圆的位置关系的判定方法.
(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
