高中数学圆的方程综合训练试题

圆的方程综合训练试题一、选择题1.直线0643y x 与圆4)3()2(22y x的位置关系是( )A.过圆心Ｂ.相切.相离.相交但不过圆心2.若直线0ay x 与圆a yx22相切，则a 为( )A.0或2Ｂ.2.2.无解3.两圆094622y x yx和01912622y xyx的位置关系是( )A.外切Ｂ.内切Ｃ.相交Ｄ.外离4.以M (-4,3)为圆心的圆与直线052y x 相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是( )A.0＜r ＜2 Ｂ.0＜r ＜5Ｃ.0＜r ＜25Ｄ.0＜r ＜105.两圆222r yx与r r y x ()1()3(222＞0)外切，则x 的值是( )A.10Ｂ.5.5.2106.已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A.25)7()5(22y x Ｂ. 17)7()5(22y x 或15)7()5(22y x . 9)7()5(22y x .25)7()5(22yx 或9)7()5(22y x 7.以点(-3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( ) A. 16)4()3(22y x. 16)4()3(22y x .9)4()3(22yx .9)4()3(22yx二、填空题8.圆02410222y x yx与圆082222y x yx的交点坐标是9.斜率为3，且与圆1022y x相切的直线的方程是10.过点(5，12)且与圆16922yx相切的直线的方程是11.两圆a y x 22与0118622y xyx 内切，则a 的值为12.圆9)1()2(22y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是13.圆1)1()3(22yx关于直线032yx对称的圆的方程是三、解答题14.自点A (－３，３)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆c ：074422y x yx 相切，求光线l 与m 所在直线的方程15.设y x t 63，式中变量y x,满足下列条件221yxy x 求t 的最大值和最小值16.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石11t、B种矿石5t、煤4t;生产乙种产品1t需耗A种矿石3t、B种矿石4t、煤9t每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过350t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t甲、乙两种产品应各生产多少(精确到1t),能使利润总额达到最大?17.直线022k y x 与02kxy x 的交点在曲线22y x＝25上，求k 的值18.已知圆C ：4)1()3(22y x和直线l :05y x，在C 上求两点，使它们与l 的距离分别是最近和最远19.求过A(1，2)与B(3，4)两点，且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程20.设圆满足①y 轴截圆所得弦长为2；②被x 轴分成两段弧，其弧长之比为３：1，在满足①、②的所有圆中，求圆心到直线l :02yx 的距离最小的圆的方程圆的方程综合训练参考答案：1.Ａ2.Ｃ3.A4.Ｃ5.Ｄ6.Ｄ7.Ｂ8.(-4,0)和(0，2)9.103y x 10.169125y x 11.1或12112.8)1()2(22y x13.1)53()519(22y x14.l的方程为343y x或0334y x ,m的方程为343y x 或334yx 15. 7maxt ．7mint 16 甲产品约12t ,乙产品34t17±118.点(21,23)在圆C 上，且到直线l的距离最近，点)21,23(在圆C 上，且到直线l的距离最远19027221222yx yx或072822y xyx 202)1()1(22y x 或2)1()1(22y x。

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

专题：圆的方程综合专题训练一、选择题1．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为( )A．5B．5 C．25 D．102．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )．A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 3．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( ) A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16 C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19 4．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )A．0或2 B．2 C．2D．无解5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是( )．A．8 B．6 C．62D．436．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x －2y＋1＝0的位置关系为( )．A．内切B．相交C．外切D．相离7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )．A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝08．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有( )．A．4条B．3条C．2条D．1条9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：①点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)；②点M关于y oz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)；③点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)；④点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述的个数是( )．A．3 B．2 C．1 D．0 10．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是( )．A．243B．221、C．9 D．86二、填空题11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y ＋8＝0距离的最小值为．12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为．13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是．14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值．15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为．16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是．三、解答题17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．19．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．20．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．参考答案 一、选择题1．B 圆心C 与点M 的距离即为圆的半径，227＋3－＋5－2)()(＝5．2．C 解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A ，C 满足条件，再把A 点坐标(1，－1)代入圆方程．A 不满足条件．∴选C ． 解析二：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a ．由|CA |＝|CB |，得(a －1)2＋(b ＋1)2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝1，b ＝1．因此圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．3．B 解析：∵与x 轴相切，∴r ＝4．又圆心(－3，4)，∴圆方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝16．4．B 解析：∵x ＋y ＋m ＝0与x 2＋y 2＝m 相切，∴(0，0)到直线距离等于m ．∴2m ＝m ，∴m ＝2．5．A 解析：令y ＝0，∴(x －1)2＝16．∴ x －1＝±4，∴x 1＝5，x 2＝－3．∴弦长＝|5－(－3)|＝8．6．B 解析：由两个圆的方程C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4可求得圆心距d ＝13∈(0，4)，r 1＝r 2＝2，且r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2故两圆相交，选B ． 7．A 解析：对已知圆的方程x 2＋y 2－2x －5＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0，经配方，得(x －1)2＋y 2＝6，(x ＋1)2＋(y －2)2＝9．圆心分别为 C 1(1，0)，C 2(－1，2)．直线C 1C 2的方程为x ＋y －1＝0．8．C 解析：将两圆方程分别配方得(x －1)2＋y 2＝1和x 2＋(y ＋2)2＝4，两圆圆心分别为O 1(1，0)，O 2(0，－2)，r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝222＋1＝5，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以有两条公切线，应选C ． 9．C 解：①②③错，④对．选C ．10．D 解析：利用空间两点间的距离公式． 二、填空题11．2．解析：圆心到直线的距离d ＝58＋4＋3＝3，∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2．12．(x －1)2＋(y －1)2＝1．解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1．故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝1．13．(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2．故所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．14．0或±25．解析：当两圆相外切时，由|O 1O 2|＝r 1＋r 2知22＋4a ＝6，即a ＝±25．当两圆相内切时，由|O 1O 2|＝r 1－r 2(r 1＞r 2)知22＋4a ＝4，即a ＝0．∴a 的值为0或±25． 15．(x －3)2＋(y ＋5)2＝32．解析：圆的半径即为圆心到直线x －7y ＋2＝0的距离；16．x ＋y －4＝0．解析：圆x 2＋y 2－4x －5＝0的圆心为C (2，0)，P (3，1)为弦AB 的中点，所以直线AB 与直线CP 垂直，即k AB ·k CP ＝－1，解得k AB ＝－1，又直线AB 过P (3，1)，则直线方程为x ＋y －4＝0． 三、解答题17．x 2＋y 2＝36．解析：设直线与圆交于A ，B 两点，则∠AOB ＝120°，设所求圆方程为：x 2＋y 2＝r 2，则圆心到直线距离为5152=r ，所以r ＝6，所求圆方程为x 2＋y 2＝36．18．x 2＋y 2－ax －by ＝0．解析：∵圆过原点，∴设圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0．∵圆过(a ，0)和(0，b )， ∴a 2＋Da ＝0，b 2＋bE ＝0．又∵a ≠0，b ≠0，∴D ＝－a ，E ＝－b ．故所求圆方程为x 2＋y 2－ax －by ＝0． 19．x 2＋y 2－2x －12＝0．解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0． ∵A ，B 两点在圆上，代入方程整理得： D －3E －F ＝10①4D ＋2E ＋F ＝－20②设纵截距为b 1，b 2，横截距为a 1，a 2．在圆的方程中， 令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，∴b 1＋b 2＝－E ； 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，∴a 1＋a 2＝－D ．由已知有－D －E ＝2．③①②③联立方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12．所以圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．20．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 根据题意：r ＝2610-＝2，圆心的横坐标a ＝6＋2＝8， 所以圆的方程可化为：(x －8)2＋(y －b )2＝4． 又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)2＋(3－b )2＝4， 解得b ＝5或b ＝1，所求圆的方程为(x－8)2＋(y－5)2＝4或(x－8)2＋(y－1)2＝4．。

圆与方程[基础训练A 组]一、选择题１．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ）A ．37-或B ．2-或8C ．0或10D ．1或115．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B距离为2的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x二、填空题1．若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________.2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。

3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 .４．已知圆()4322=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q则OQ OP ⋅的值为________________。

5．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，,PA PB 是圆012222=+--+y x y x 的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________________。

圆的方程专项测试题一、选择题1.若直线4x-3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y -3)2=9上到直线3x+4y -11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y +3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y =r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B .1C.2D.25．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ B ）A ．21± B ．22± C ．2221-或 D ．2221或-6.直线x-y +4=0被圆x 2+y 2+4x-4y +6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.427．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8.圆(x-3)2+(y +4)2=2关于直线x+y =0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y -4)2=2 B.(x-4)2+(y +3)2=2 C.(x+4)2+(y -3)=2 D.(x-3)2+(y -4)2=29.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( ) A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜131 10.关于x,y 的方程Ax 2+Bx y +C y 2+Dx+E y +F=0表示一个圆的充要条件是( ) A.B=0，且A=C≠0 B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0 C.B=0且A=C≠0，D 2+E 2-4AF≥0 D.B=0且A=C≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 11.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0) D.(5，-1)12.若两直线y =x+2k 与y =2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( ) A.-51＜k ＜-1B.-51＜k ＜1C.-31＜k ＜1 D.-2＜k ＜2二、填空题13.圆x 2+y 2+ax=0(a≠0)的圆心坐标和半径分别是 .14.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y =0，则x-2y 的最大值是 .15.若集合A={(x 、y )｜y =-｜x ｜-2}，B={(x,y )｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A∩B=ϕ，则实数a 的取值范围是 .16.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题17.求圆心在直线2x-y -3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.18. 过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程.19. 已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB . 求m 的值．20.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21. 自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：x 2 + y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．22. 已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线L ，使L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线L 的方程，若不存在说明理由．参考答案：1.B2.C3.B4.D5.B6.C7.C8.B9.D 10.D 11.D 12.B 13.(-2a ,0), 2a 14.10 15.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)16.θ=arccot22 或π-arccot22, 817.(x-2)2+(y -1)2=10 10.3x+4y +1=0或4x+3y -1=0 ；18. 解：设圆(－1)2+(y －1)2=1的圆心为1O ，由题可知,以线段P 1O 为直径的圆与与圆1O 交于AB 两点,线段AB 为两圆公共弦,以P 1O 为直径的圆方程5)20()23(22=-+-y x △已知圆1O 的方程为(x-1)2+(y -1)2=1 △ △△作差得x+2y -41=0， 即为所求直线l 的方程。

圆的方程A级——基础达标1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5解析：A圆心为(2,1)且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A．2．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆，则有D2＋E2－4F＝a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，则“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要条件，所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A．3．(2022·黄冈模拟)若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8B．4C．210D．5解析：C设2x＋y＝t，则y＝t－2x，当直线y＝t－2x与x2＋y2＝8相切时，t取到最值，所以|t|5≤22，解得－210≤t≤210，所以2x＋y的最大值为210，故选C．4．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]解析：D圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心C(3，1)，半径为1，因为圆心C到O(0,0)的距离为2，所以圆C上的点到O(0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB＝90°，则以AB为直径的圆和圆C有交点，可得|PO|＝12|AB|＝t，所以有1≤t≤3，故选D．5．(2022·青岛质检)点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ过定点P ，则|MP |的最大值为( )A ．2 3B ．13C ．23＋1D ．13＋1解析：D 整理直线方程得：(x ＋y －2)＋(3x ＋2y －5)λ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴P (1,1)，由圆的方程知圆心C (－2，－1)，半径r ＝1，∴|MP |max ＝|CP |＋r ＝(－2－1)2＋(－1－1)2＋1＝13＋1．故选D ．6．(多选)已知圆x 2＋y 2－4x －1＝0，则下列关于该圆说法正确的有( ) A ．关于点(2,0)对称 B ．关于直线y ＝0对称 C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称 D ．关于直线x －y ＋2＝0对称解析：ABC x 2＋y 2－4x －1＝0⇒(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A 项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y ＝0过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x ＋3y －2＝0过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x －y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A 、B 、C ．7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －332＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝43解析：AB 由题意知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心C (0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43． 8．(2022·东莞模拟)已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，20＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－6，F ＝0，所以圆的方程为x 2－2x ＋y 2－6y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．答案：(1,3)9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2，1)，半径r ＝2，圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3，设P 到直线AB 的距离为h ，则S △ABP ＝12·|AB |·h ＝h ，∵d －r ≤h ≤d ＋r ，∴1≤h ≤5，∴S △ABP ∈[1,5]，即△ABP 的面积的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．① 又直径|CD |＝410， 所以|P A |＝210． 所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．B 级——综合应用11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：D ∵A (－4,0)，B (0,4)，∴AB 的垂直平分线方程为x ＋y ＝0，又外心在欧拉线x －y ＋2＝0上，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＋2＝0，解得三角形ABC 的外心为G (－1,1)，又r ＝|GA |＝(－1＋4)2＋(1－0)2＝10，∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝10．设C (x ，y )，则三角形ABC 的重心⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43，y ＋43在欧拉线上，即x －43－y ＋43＋2＝0．整理得x －y －2＝0．联立⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2＋(y －1)2＝10，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.∴顶点C 的坐标可以是(0，－2)．故选D ．12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．解析：设圆心坐标为C (a ，b )，因为圆C 关于x ＋y －1＝0对称，所以C (a ，b )在直线x ＋y －1＝0上，则a ＋b －1＝0，取a ＝1⇒b ＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x －1)2＋y 2＝1．答案：(x －1)2＋y 2＝1(答案不唯一)13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．解析：设M (x ，y )，由|MA |＝2|MB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0．以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，x 2＋y 2＝4，解得|y |＝85．即M 点的纵坐标的绝对值为85．此时△MAB 的面积为S ＝12×4×85＝165．答案：3x 2＋3y 2－20x ＋12＝016514．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：圆C ：x 2＋(y －4)2＝42，故圆心为C (0,4)，半径为4．(1)当C ，M ，P 三点均不重合时，∠CMP ＝90°，所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P ，C )，线段PC 中点为(1,3)，12|PC |＝12(2－0)2＋(2－4)2＝2，故M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2(x ≠2，且y ≠2或x ≠0，且y ≠4)．当C ，M ，P 三点中有重合的情形时，易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2．(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．法一(几何法)：由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM ．因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故直线l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0．又易得|OM |＝|OP |＝22，点O 到直线l 的距离为812＋32＝4105，|PM |＝ 2(22)2－⎝⎛⎭⎫41052＝4105，所以△POM 的面积为12×4105×4105＝165．法二(代数法)：设M (x ，y )，由|OM |＝|OP |＝22得x 2＋y 2＝8，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8， ①(x －1)2＋(y －3)2＝2， ②①－②得直线l 方程为x ＋3y －8＝0，将x ＝8－3y 代入①得5y 2－24y ＋28＝0，解得y 1＝145，y 2＝2．从而x 1＝－25，x 2＝2．所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎫－25，145，|PM |＝⎝⎛⎭⎫2＋252＋⎝⎛⎭⎫2－1452＝4105． 又点O 到l 距离d ＝812＋32＝4105， 所以△POM 的面积S ＝12|PM |·d＝12×4105×4105＝165． C 级——迁移创新15．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是( ) A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上 B ．所有圆C k 均不经过点(3,0) C ．经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D ．所有圆的面积均为4π解析：ABD 圆心坐标为(k ，k )，在直线y ＝x 上，A 正确；令(3－k )2＋(0－k )2＝4，化简得2k 2－6k ＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k 2－6k ＋5＝0无实数根，B 正确；由(2－k )2＋(2－k )2＝4，化简得k 2－4k ＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆C k 有两个，C 错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D 正确．故选A 、B 、D ．16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5) 4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．解：(1)由题意，显然直线l 斜率存在，设方程为y ＝kx ，则F (x ，y )＝kx －y ＝0， 因为A (－1,1)，B (2,3)，线段AB 上所有点都在直线l 同侧， 则F [A ]·F [B ]＝(－k －1)(2k －3)>0， 解得－1<k <32．(2)因为F [O ]<0，所以F [P ]＝(3x ＋4y －5)·4－x 2－y 2<0，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5<0，x 2＋y 2<4，点集S 为圆x 2＋y 2＝4在直线3x ＋4y －5＝0下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A ，B ，则O 到AB 的距离为1， 故∠AOB ＝2π3，因此，所求面积为S ＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π3＋3．。

高二圆的方程练习题在高二数学中，圆是一个重要的几何形状。

了解圆的方程和性质是解决与圆相关问题的基础。

下面是一些高二圆的方程练习题，帮助你巩固和应用这方面的知识。

1. 已知圆C的半径为r，圆心坐标为(h, k)。

写出圆C的标准方程和一般方程。

解答：圆C的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²圆C的一般方程为：x² + y² - 2hx -2ky + h² + k² - r² = 02. 试写出过坐标原点的圆，半径为r的标准方程和一般方程。

解答：过坐标原点的圆的圆心坐标为(0, 0)。

标准方程为：x² + y² = r²一般方程为：x² + y² - r² = 03. 已知圆C过点A(2, 3)和B(4, 1)，且圆心在y轴上。

写出圆C的方程。

解答：设圆C的圆心坐标为(0, k)。

由于圆心在y轴上，所以圆C的方程为x² + (y - k)² = r²。

将点A(2, 3)代入方程得：2² + (3 - k)² = r²。

将点B(4, 1)代入方程得：4² + (1 - k)² = r²。

由此可求得圆C的方程。

4. 已知圆C的直径的两个端点分别为A(3, 5)和B(-1, -2)，写出圆C的方程。

解答：直径的中点坐标为[(3 + (-1))/2, (5 + (-2))/2] = (1, 1)。

由于直径的中点即为圆心，所以圆C的圆心坐标为(1, 1)。

圆C的半径为AB的一半，即√[(3 - (-1))² + (5 - (-2))²] / 2。

将圆心坐标和半径代入圆的标准方程可求得圆C的方程。

5. 已知圆C的方程为2x² + 2y² + 4x - 6y + 9 = 0，写出圆C的圆心坐标和半径。

高三关于圆的试题及答案试题：1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2 + (y-3)^2 = 9\)，求圆心坐标和半径。

2. 圆 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) 与直线 \(y = 2x + 3\)相交，求交点坐标。

3. 已知圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 和圆 \(x^2 + y^2 - 8x - 6y + 24= 0\)，求两圆的公共弦所在的直线方程。

4. 已知圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 上一点 \(P(3,4)\)，求过点 \(P\)且与圆相切的切线方程。

5. 已知圆 \(x^2 + y^2 = 4\)，求圆内接矩形的最大面积。

答案：1. 圆心坐标为 \((2,3)\)，半径为 \(3\)。

2. 将直线 \(y = 2x + 3\) 代入圆的方程 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) 得到 \(x^2 + (2x + 3)^2 - 4x - 6(2x + 3) + 9 = 0\)，化简后解得交点坐标。

3. 两圆方程相减得到公共弦所在的直线方程 \(8x + 6y - 24 = 0\)。

4. 切线斜率为 \(-\frac{1}{k_{OP}}\)，其中 \(k_{OP} = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}\)，所以切线斜率为 \(-\frac{3}{4}\)，切线方程为 \(y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)\)。

5. 圆内接矩形的对角线即为圆的直径，所以最大面积为\(\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin(90^\circ) = 2\)。

高二数学圆的标准方程试题一．选择题（共16小题）1．（2011重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程；两点间的距离公式．811365专题：数形结合．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E 最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2 ，MB= ，ME= = ，所以BD=2BE=2 =2 ，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S= ACoBD= ×2 ×2 =10 ．故选B点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．2．（2009辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．811365分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．3．（2001江西）过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4考点：圆的标准方程．811365分析：先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．解答：解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选C．点评：本题解答灵活，符合选择题的解法，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．4．（2012吉安县模拟）若方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）的任意一组解（x，y）都满足不等式x≤y，则θ的取值范围是（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域．811365专题：综合题．分析：方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切），由此可建立不等式，利用三角函数知识，即可求得θ的取值范围．解答：解：由题意，方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切），则，∴sin（θ﹣）≥∵0≤θ≤2π，∴∴∴∴θ的取值范围是故选B．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数知识的运用，解题的关键是将问题转化为方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切）．5．（2010宁德模拟）已知A（3，3），点B是圆x2+y2=1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程．811365分析：通过定比分点坐标公式，把M的坐标转移到B上，把B的坐标代入圆的方程，整理可得点M的轨迹方程．解答：解：设M点的坐标（x，y），B（a，b），因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a=3x﹣6，b=3y﹣6，又点B是圆x2+y2=1上的动点，所以B的坐标适合圆的方程，即故选A．点评：本题考查线段的定比分点坐标公式，相关点法求轨迹方程的方法，是中档题．6．圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=2考点：圆的标准方程．811365专题：计算题；数形结合；分类讨论．分析：根据题意画出圆的方程，使圆A满足题意中的条件，分两种情况考虑，当点A在第一象限时，根据垂径定理即可得到OC的长度，根据直线y=x上点的横纵坐标相等，得到圆心A的坐标，根据勾股定理求出OA的长度即为圆A的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的标准方程；当点A′在第三象限时，同理可得圆心坐标和半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．解答：解：画出圆A满足题中的条件，有两个位置，当圆心A在第一象限时，过A作AC⊥x轴，又|OB|=2，根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，得到圆心A的坐标为（1，1），且半径|OA|= ，则圆A的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；当圆心A′在第三象限时，过A′作A′C′⊥x轴，又|OB′|=2，根据垂径定理得到点C′为弦OB′的中点，则|OC′|=1，由点A′在直线y=x上，得到圆心A′的坐标为（﹣1，﹣1），且半径|OA′|= ，则圆A′的标准方程为：（x+1）2+（y+1）2=2，综上，满足题意的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2．故选C点评：此题考查学生灵活运用垂径定理化简求值，考查了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道中档题．需注意的事项是应注意此题有两解，不要遗漏．7．如果圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1的圆心在第三象限，那么直线ax+by﹣1=0一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：圆的标准方程；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．811365专题：计算题．分析：根据圆的标准方程找出圆心坐标，由圆心在第三象限，得到a与b都小于0，然后把所求直线的方程化为点斜式方程y=kx+m，由a与b都小于0判断得到k与m的正负，即可得出直线一定不经过的象限，得出正确的选项．解答：解：由圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，得到圆心坐标为（a，b），∵圆心在第三象限，∴a＜0，b＜0，∵直线方程可化为y=﹣x+ ，∴﹣＜0，＜0，则直线一定不经过第一象限．故选A点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，要求学生掌握象限点坐标的特点，其中直线y=kx+b的斜率，截距与图象的关系为：当k＞0，b＞0时，直线不经过第四象限；当k＞0，b＜0时，直线不经过第二象限；当k＜0，b＞0时，直线不经过第三象限；当k＜0，b＜0时，图象不经过第一象限，掌握此规律是解本题的关键．8．圆M的圆心在直线y=﹣2x上，经过点A（2，﹣1），且与直线x+y=1相切，则圆M的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y+2）2=2 C．（x﹣1）2+（y+2）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=2考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：根据圆心在一条直线上，设出圆心的坐标，根据圆心的坐标看出只有A，C两个选项符合题意，根据圆过一个点，把这个点代入圆的方程，A不合题意，得到结果．解答：解：∵圆M的圆心在直线y=﹣2x上，∴圆心的坐标设成（a，﹣2a）∴在所给的四个选项中只有A，C符合题意，∵经过点A（2，﹣1），∴把（2，﹣1）代入圆的方程方程能够成立，代入A中，32+32≠2，∴A选项不合题意，故选C．点评：本题考查圆的标准方程，本题解题的关键是根据所给的条件设出圆的方程，可以是一般式方程也可以是标准方程，在根据其他的条件解出方程．9．已知圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0）与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，则直线ax+by+c=0与直线x+y+1=0的交点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：圆的标准方程；两条直线的交点坐标．811365专题：计算题．分析：由圆C的方程表示出圆心的坐标和半径r，由圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，可得出b大于a，a大于c，a，b及c都大于0，进而确定出b﹣a 与a﹣c都大于0，然后将两方程联立组成方程组，消去x后得到关于y的一元一次方程，求出方程的解表示出y，根据b﹣a与a﹣c都大于0及两数相除同号得正的取符号法则可得y大于0，由y大于0判断出x小于0，可得出交点在第二象限．解答：解：由圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0），得到圆心坐标为（b，c），半径r=a，∵圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，∴b＞a＞0，0＜c＜a，即b﹣a＞0，a﹣c＞0，联立两直线方程得：，由②得：x=﹣y﹣1，代入①得：a（﹣y﹣1）+by+c=0，整理得：（b﹣a）y=a﹣c，解得：y= ，∵﹣a＞0，a﹣c＞0，∴＞0，即y＞0，∴x=﹣y﹣1＜0，则两直线的交点在第二象限．故选B点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：直线与圆的位置关系，点的坐标，两数相除的取符号法则，以及两直线的交点坐标，其中根据圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限得到b﹣a＞0，a﹣c＞0是解本题的关键．10．（2012泉州模拟）圆心在曲线上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：= |3a+ +3|=r，|3a+ +3|=5r，由a＞0，知3a+ +3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，由此能求出面积最小的圆的方程．解答：解：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：= |3a+ +3|=r，（圆半径）∴|3a+ +3|=5r，∵a＞0，∴3a+ +3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，∵5r=3a+ +3≥2 +3=15，∴r≥3，当3a= ，即a=2时，取等号，∴面积最小的圆的半径r=3，圆心为（2，）所以面积最小的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣）2=9．故选A．点评：本题考查圆的标准方程的求法，考查点到直线的距离公式和圆的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．11．（2009山东模拟）已知实数x，y满足x2+y2=9（y≥0），则的取值范围是（）A． m≤或m≥ B．≤m≤ C． m≤﹣3或m≥D．﹣3≤m≤考点：圆的标准方程；直线的斜率．811365专题：计算题；数形结合．分析：考查题意，可知的几何意义是：圆上的点与（﹣1，﹣3）连线的斜率，作出图形，求出直线的斜率即可．解答：解：由题意可知的几何意义是：圆上的点与（﹣1，﹣3）连线的斜率，作出图形，所以m的范围是：m = ．或m =﹣．故所求m的范围是：m≤或m≥．故选A．点评：本题是中档题，考查圆的方程与直线的斜率的关系，考查数形结合，注意圆的方程的范围，考查计算能力．12．（2008深圳二模）过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别A，B，O是坐标原点，则△AOB外接圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x+4）2+（y+2）2=20 D．（x+2）2+（y+1）2=5考点：圆的标准方程．811365专题：计算题；转化思想．分析：由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆．解答：解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，OP的中点为（2，1），OP=2 ，∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，∴△AOB外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，故选B．点评：本题考查圆的标准方程的求法，把求△AOB外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想．13．已知P（x，y）为圆（x﹣2）2+y2=1上任意一点，则的最小值为（）A． . B． .﹣ C．）D．）﹣考点：圆的标准方程；斜率的计算公式．811365专题：计算题；数形结合．分析：根据题意画出图形，所求的式子刚好为直线OP的斜率，由P为圆A上任一点，根据图形得出直线OP斜率的取值范围，即可得到斜率的最小值，即为所求式子的最小值．解答：解：根据题意画出图形，连接AP，如图所示：由圆A的方程（x﹣2）2+y2=1，得到A（2，0），半径r=1，∵直线OP为圆A的切线，∴AP⊥OP，即∠APO=90°，又|AP|=1，|OA|=2，∴∠AOP=30°，∵P（x，y）为圆A上任一点，且表示直线OP的斜率，∴﹣≤≤，则的最小值为﹣．故选D点评：此题考查了圆的标准方程，直线斜率的计算，以及直角三角形的性质，利用了转化及数形结合的数学思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．14．过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A． x2+（y﹣1）2=2 B． x2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=1考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：根据切线的性质可知PA垂直于CA，PB垂直于CB，所以过A、B、C三点的圆即为四边形PACB的外接圆，且线段AC为外接圆的直径，所以根据中点坐标公式求出外接圆的圆心，根据两点间的距离公式即可求出圆的半径，根据求出的圆心坐标与圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，得到圆心C（1，2），又P（﹣1，0）则所求圆的圆心坐标为（，）即为（0，1），圆的半径r= = ，所以过A、B、C的圆方程为：x2+（y﹣1）2=2．故选A点评：此题考查学生掌握直线与圆相切的性质，掌握90°的圆周角所对的弦为直径，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．15．（2007上海）圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线2x﹣y+3=0对称的圆的方程是（）A．B．C．（x+3）2+（y﹣2）2=2 D．（x﹣3）2+（y+2）2=2考点：关于点、直线对称的圆的方程．811365分析：先求圆心和半径，再去求对称点坐标，可得到圆的标准方程．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣1=0?（x﹣1）2+y2=2，圆心（1，0），半径，关于直线2x﹣y+3=0对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线2x﹣y+3=0上，C中圆（x+3）2+（y﹣2）2=2的圆心为（﹣3，2），验证适合，故选C点评：本题是选择题，采用计算、排除、验证相结合的方法解答，起到事半功倍的效果．16．（理）若圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0关于直线ax+2by﹣4=0对称，则ab的最大值是（）A． 1 B．C． 2 D． 4考点：关于点、直线对称的圆的方程；基本不等式．811365专题：计算题．分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线ax+2by﹣4=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由b表示出a，将表示出的b代入ab中，得到m关于b的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．解答：解：圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0 即（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，表示以C（2，1）为圆心，以3为半径的圆．再由此圆关于直线ax+2by﹣4=0对称，可得直线过圆心，即2a+2b﹣4=0，即a+b=2．故a=2﹣b，则ab=（2﹣b）b，故函数ab 是关于b的二次函数，故当b=1时，函数ab 取得最大值等于1．故选A．点评：本题主要考查直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质，根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键，属于中档题．二．填空题（共7小题）17．（2010宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：压轴题．分析：设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．解答：解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．点评：命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．18．（2010天津）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为（x+1）2+y2=2．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可．解答：解：令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1，0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2；故答案为（x+1）2+y2=2点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．19．（2013江门二模）已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2），且圆心C在直线y=x上，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．811365专题：直线与圆．分析：设圆心坐标为C（a，a），则由题意可得半径r= = ，解得a的值，即可求得圆C 的方程．解答：解：设圆心坐标为C（a，a），则由题意可得半径r= = ，解得a=1，故圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程，属于中档题．20．（2012许昌县一模）圆心在直线x+2y﹣3=0上且与直线x﹣y﹣1=0切于点B（2，3）的圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．考点：圆的标准方程；点到直线的距离公式．811365专题：计算题；直线与圆．分析：设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线x+2y﹣3=0上得出一个方程；再由圆心到直线x+y﹣1=0的距离即半径得出另一个方程．解答：解：设圆心坐标为（a，b），则，解得a=3，b=0，所以r= ，所以要求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．点评：本题主要考查方程思想及点到线的距离公式，圆的方程的求法，考查计算能力．21．设，，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是[2，4]．考点：圆的标准方程；交集及其运算．811365专题：直线与圆．分析：根据A∩B≠?，可得当圆B和圆A从内切到外切时，a有最大值、最小值，由此可得结论．解答：解：由题意，A为以原点O为圆心，a为半径，在x轴上方的半圆，B为以O′（2，）为圆心，以1半径的圆．∵A∩B≠?，∴当圆B和圆A从内切到外切时，a有最大值、最小值当A、B内切时，即|OO'|=a﹣1=3，∴a=4当A、B外切时，即|OO'|=a+1=3，∴a=2所以2≤a≤4故答案为：[2，4]．点评：本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．22．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．考点：圆的标准方程；二元一次不等式（组）与平面区域．811365专题：数形结合；转化思想．分析：根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．解答：解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．23．设a＞0，b＞0，4a+b=ab，则在以（a，b）为圆心，a+b为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：要求面积最小的圆的即要半径最小，就要a+b最小，求出a+b的最小值即可得到圆的半径及a、b的值，写出圆的标准方程即可．解答：解：因为4a+b=ab，当a＞1时得：b= ，所以a+b=a+ =a﹣1+ +5≥4+5=9，当且仅当a﹣1= 即a=3时取等号，所以半径最小值为9，此时a=3，b=6，所以面积最小的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．故答案为（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．点评：考查学生会利用基本不等式求最小值的能力，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．三．解答题（共7小题）24．（2007嘉定区一模）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．考点：圆的标准方程；等比数列的性质；圆方程的综合应用．811365专题：计算题；压轴题．分析：首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．解答：解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，即x2﹣y2=2. =x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．点评：此题主要考查圆的标准方程的求法，以及圆与直线交点问题，属于综合性试题，有一定的计算量，难易中等．25．（2012北京模拟）如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交y轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．（1）若A（0，1），求点C的坐标；（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆的位置关系．811365专题：综合题；直线与圆．分析：（1）先求l1的方程，进而可求l2的方程，即可得到点C的坐标；（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径，分类讨论，确定A、C的坐标，表示出AC，即可求得结论．解答：解：（1）由直线l1经过两点A（0，1），B（1，2），得l1的方程为x﹣y+1=0．由直线l2⊥l1，且直线l2经过点B，得l2的方程为x+y﹣3=0．所以，点C的坐标为（3，0）．（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径．①若l1⊥y轴，则l2∥y轴，此时四边形OABC为矩形，．②若l1与y轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为．所以直线l1的方程为y﹣2=k（x﹣1），从而A（0，2﹣k）；直线l2的方程为，从而C（2k+1，0）．令解得，注意到k≠0，所以．此时|AC|2=（2﹣k）2+（2k+1）2=5k2+5＞5，，所以半径的最小值为．此时圆的方程为．点评：本题考查确定直线位置的几何要素，直线的倾斜角和斜率，过两点的直线斜率的计算公式，直线方程的点斜式，两条直线平行或垂直的判定，圆的标准方程，属于中档题．26．已知圆心在直线y=2x上的圆C经过点M（﹣1，1），且该圆被x轴截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）是否存在过圆心C的两条互相垂直的直线，使得点M到这两条直线的距离之积为，若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：直线与圆．分析：（1）由圆心在直线y=2x上，设圆心坐标为（a，2a），半径为r，表示出圆的方程，将M坐标代入得到关于a与r的关系式，再有弦长为2，利用垂径定理及勾股定理列出关系式，联立求出a与r的值，即可确定出圆C的方程；（2）由（1）得到圆C的圆心坐标与半径，假设存在互相垂直的两条直线满足条件，当一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0时，经检验不合题意；故两直线斜率都存在，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，设一个斜率为k，另一个为﹣，由C坐标表示出直线方程，利用点到直线的距离公式求出M到两直线的距离，根据距离之积列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出满足条件的直线方程．解答：解：（1）∵圆心在直线y=2x上，∴设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2，…①又∵圆C经过点（﹣1，1），∴（﹣1﹣a）2+（1﹣2a）2=r2，…②又∵圆C被x轴截得的弦长为2，∴1+（2a）2=r2，…③由①②③解得a=1，r2=5，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；（2）由（1）知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，圆心C（1，2），假设存在互相垂直的两条直线满足条件，当一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0时，点（﹣1，1）到两条垂直直线的距离之积为2≠，不符合题意；当它们的斜率均存在时，分别设为y﹣2=k（x﹣1），y﹣2=﹣（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，x+ky﹣2k﹣1=0，∴o = ，即= ，当= 时，即k2+6k﹣7=0，解得：k=1或k=﹣7；当=﹣时，即7k2+6k﹣1=0，解得：k=﹣1或k= ，则存在互相垂直的两条直线方程分别为x﹣y+1=0，x+y﹣3=0或x﹣7y+13=0，7x+y﹣9=0．点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．27．设直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx，圆P是圆心在x轴的正半轴上，半径为3的圆．（Ⅰ）当k= 时，圆P恰与两直线l1、l2相切，试求圆P的方程；（Ⅱ）设直线l1与圆P交于A、B，l2与圆P交于C、D．（1）当k= 时，求四边形ABDC的面积；（2）当k∈（0，）时，求证四边形ABDC的对角线交点位置与k的取值无关．考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质．811365专题：综合题．分析：直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx 关于x轴对称．（Ⅰ）设圆心P（a，0），a＞0．利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，列方程求a．（Ⅱ）设A（x1，y1）B（x2，y2），（1）等腰梯形ABDC的面积= （AC+BD）×h，AC，BD，h用x1，y1，x2，y2，表示．代入求解．（2）根据图形的对称性，四边形ABDC的对角线交点在x轴上．能证明此点是定点即可．解答：解：直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx 关于x轴对称（Ⅰ）设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=9，利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，∴=3，解得a=5∴圆的标准方程为（x﹣5）2+y2=9（Ⅱ）（1）设A （x1，y1）B（x2，y2），则C（x1，﹣y1）D（x2，﹣y2），直线l1：y= x 与圆P方程联立，消去x得5y2﹣20y+16=0，得A（，），B（，）．等腰梯形ABDC的面积= （AC+BD）×h= （2y1+2y2）（x2﹣x1）= ×8×= ．（2）当k∈（0，）时，y=kx与圆P方程联立，并整理得：（1+k2）x2﹣10x+16=0，△=﹣64k2+36＞0．x1= ，x2=y1= ，y2= ，AC的斜率为k= = ．AC的方程为y﹣y1=k（x﹣x1），将x1，y1，k代入并化简整理得：y= ．与x 轴交与定点（，0）与k的值无关．点评：本题考查直线与圆的位置关系：相切，相交．联立方程组是最基本的解题方法，考查圆心到直线的距离公式，考查题目的理解能力计算能力．28．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设出圆的一般式方程，利用曲线y=x2﹣6x+1与方程的对应关系，根据同一性求出参数，即可得到圆C的方程；（II）设斜率为1的直线方程为x﹣y+a=0，圆C与直线x﹣y+a=0的交点于A（x1，y1）、B （x2，y2）．将直线与圆C方程消去y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理结合OA⊥OB建立关于x1、x2、a的方程组，解出a=﹣1即可得到存在斜率为1的直线满足题中的条件．解答：解：（I）设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．在曲线y=x2﹣6x+1中令x=0，得y=1，则点（0，1）在圆C上，可得1+E+F=0（*）再令y=0，可得方程x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，得D=﹣6，F=1，代入（*）解出E=﹣2，∴圆C方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=9（Ⅱ）设斜率为1的直线方程为x﹣y+a=0设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组由消去y，得方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，∴△=56﹣16a﹣4a2＞0．利用根与系数的关系，得到x1+x2=4﹣a，x1x2= （a2﹣2a+1）①，若OA⊥OB，则可得x1x2+y1y2=0，结合y1=x1+a，y2=x2+a，代入可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②联解可得a=﹣1，此时△=56﹣16a﹣4a268＞0．∴a=﹣1，得存在斜率为1的直线x﹣y﹣1=0，使其与圆C交于A、B两点满足OA⊥OB．点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法和函数方程思想，以及直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查解析几何中垂直问题的一般解题思路，属于中档题．29．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．（1）求直线BC的斜率及点C的坐标；（2）求BC边所在直线方程；（3）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程．考点：圆的标准方程；直线的斜率；直线的一般式方程．811365专题：计算题；直线与圆．分析：（1）由经过两点的斜率公式，可算出直线Ab的斜率，从而得出与AB垂直的直线BC的斜率为．由两点间距离公式算出AB= ，进而在Rt△ABC利用相似三角形算出且OC=4，由此可得点C的坐标；（2）根据B、C两点的坐标，运用直线方程的点斜式列式，再化简即可得到直线BC方程为y= x﹣2 ；（3）根据A、C两点的坐标算出AC中点M坐标为（1，0），而圆M的半径R= |AC|=3，利用圆方程的标准形式即可写出圆M的方程为（x﹣1）2+y2=9．解答：解：（1）∵A（﹣2，0），B（0，），∴直线Ab的斜率为，又∵AB⊥BC，∴（3分）由两点间距离公式，得，∵△OAB∽△OBC，得，∴，可得，∴Rt△OBC中，BC2=AC×OC，。

高中圆方程练习题题一：求圆的标准方程已知圆心坐标为（3，-4），半径为2，求圆的标准方程。

解：设圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心坐标为(a, b)，半径为r。

代入已知条件：(x-3)² + (y+4)² = 2²化简得到圆的标准方程为(x-3)² + (y+4)² = 4。

题二：圆的切线方程已知圆的方程为(x-2)² + (y+1)² = 9，求过点（3，-2）的圆的切线方程。

解：首先，计算圆心坐标：圆心坐标为(a, b)，其中a = 2，b = -1。

其次，计算圆的半径：半径r = √9 = 3。

然后，通过已知点（3，-2）和圆心坐标计算切线斜率：切线斜率k = (b - (-2))/(a - 3) = (-1 - (-2))/(2 - 3) = -1/1 = -1。

最后，带入切点坐标和切线斜率，得到切线方程：y - (-2) = -1(x - 3)y + 2 = -x + 3x + y - 1 = 0所以过点（3，-2）的圆的切线方程为x + y - 1 = 0。

题三：两圆的交点坐标已知圆A的方程为(x-1)² + (y-2)² = 4，圆B的方程为(x+2)² + (y-3)² = 9，求两圆的交点坐标。

解：将两个圆的方程相减：(x+2)² + (y-3)² - [(x-1)² + (y-2)²] = 9 - 4化简得到：4x - 4 = 54x = 9x = 9/4带入x的值，得到y的值：(9/4 + 2)² + (y-3)² - [(9/4 - 1)² + (y-2)²] = 9 - 4化简得到：(y-3)² - (y-2)² = 9 - 4 - (25/16 - 2/4)²(y-3)² - (y-2)² = 5 - (25/16 - 8/16)(y-3)² - (y-2)² = 5 - 17/16化简得到：4(y-3)² - 4(y-2)² = 5*16 - 174(y² - 6y + 9) - 4(y² - 4y + 4) = 80 - 174y² - 24y + 36 - 4y² + 16y - 16 = 63-8y + 20 = 63-8y = 63 - 20-8y = 43y = 43/-8y = -43/8所以两圆的交点坐标为(x, y) = (9/4, -43/8)。

高中数学圆与方程精选题目（附答案）1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为()A．(－3,4,5)B．(－3，－4,5)C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)解析：选A纵、竖坐标相同．故点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为(－3,4,5)．2．已知圆O以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是() A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．无法判断解析：选B点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝(5－2)2＋(－7＋3)2＝5，故点M 在圆O上．3．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于()A. 2 B．2C．2 2 D．4解析：选B由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝3，弦心距d＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r2－d2＝2，选B.4．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为() A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0解析：选D由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝1－01－3＝－12，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.5．已知圆M：x2＋y2＝2与圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3，那么两圆的位置关系是() A．内切B．相交C．外切D．外离解析：选B∵圆M：x2＋y2＝2的圆心为M(0,0)，半径为r1＝2；圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3的圆心为N(1,2)，半径为r2＝3；|MN|＝12＋22＝5，且3－2＜5＜2＋3，∴两圆的位置关系是相交．6．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C. 3 D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.7．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.8．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.9．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|(－3)2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 10.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.51米D ．251米解析：选D 如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ， 则由已知可得A (6，－2)， 设圆的半径长为r ，则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， ∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．11．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1B.2 C ．2 D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.13．已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为____________________．解析：由圆心在y ＝－x ＋2上，设圆心为(a,2－a )， ∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离， 即|2a －2|2＝|2a ＋2|2，解得a ＝0， ∴圆心坐标为(0,2)，r ＝|2a －2|2＝2，∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案：x 2＋(y －2)2＝214．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)． 答案：(5,4,1)15．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4.答案：416．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 答案：4π17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3， ∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝⎛⎭⎫－1，－1，12 ∴|BG |＝32＋32＋14＝732.18．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心为(2,1)，若圆C 与圆O ：x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C 的方程．解：设圆C 的半径长为r ，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，即x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝r 2，圆C 与圆O 的方程相减得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r 2＝4，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.19．(本小题满分12分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B.(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)， 半径为12|OP |＝ 12(4－0)2＋(6－0)2＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y－3)2＝13.(2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，(x －2)2＋(y －3)2＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0. 20．(本小题满分12分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小， 即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10. (2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－(－2)－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20. ∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－2－b )2＝R 2，(－1－a )2＋(4－b )2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.21．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0， 此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2， 即2＋5(a －2)2＝5a 2， 解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|， 即|5(a －2)2－2|＝5a 2， 解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)． 综上所述，a ＝1±55.22．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。

2.4.1　圆的标准方程（同步练习）一、选择题1.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是( )A.(x－1)2＋(y－2)2＝10B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x－1)2＋(y－2)2＝5D.(x－1)2＋(y－2)2＝252.点(sin 30°，cos 30°)与圆x2＋y2＝12的位置关系是( )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,3)的圆的方程为( )A.x2＋(y－3)2＝1B.x2＋(y＋3)2＝1C.(x－3)2＋y2＝1D.(x＋3)2＋y2＝14.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )A.(0,1)B.{－1,1}C.(－1,1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)5.圆心在直线x＋y＝0上，且与x轴交于点A(－3,0)和B(1,0)的圆的方程为( )A.(x＋1)2＋(y－1)2＝5B.(x－1)2＋(y＋1)2C.(x－1)2＋(y＋1)2＝5D.(x＋1)2＋(y－1)26.若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程为( )A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1B.(x－2)2＋(y－1)2＝1C.(x－1)2＋(y＋2)2＝1D.(x＋1)2＋(y－2)2＝17.(多选)若经过点P(5m＋1,12m)可以作出圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，则实数m的取值可能是( )A.110B.113C.－113D.－12二、填空题8.已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1________9.若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是________10.圆(x＋1)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的标准方程为________11.已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是________12.已知A，B两点是圆x2＋(y－1)2＝4上的两点，若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称，则a＝________；若点A，B关于点P(1,2)对称，则直线AB的方程为________三、解答题13.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1)，AB边所在直线的方程为x－2y－4＝0，点T(－1,0)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．14.已知A(0,1)，B(2,1)，C(－1,2)，能否确定一个圆？若能，判断D(3,4)与该圆的位置关系．15.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．参考答案：一、选择题1.D2.C3.A4.C5.A6.A7.AD二、填空题8.答案：19.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝13　10.答案：x2＋(y＋1)2＝511.答案：1 12.答案：3，x＋y－3＝0　三、解答题13.解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－2y－4＝0，且直线AD与直线AB垂直，所以直线AD的斜率为－2.又因为点T(－1,0)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－0＝－2(x＋1)，即2x＋y＋2＝0.(2)由{x－2y－4＝0，2x＋y＋2＝0，解得{x＝0，y＝－2，所以点A的坐标为(0，－2)，因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,1)，所以M为矩形外接圆的圆心．又|AM|从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝13.14.解：由于k AB≠k AC，所以三点不共线，则A，B，C三点可以确定一个圆．设经过A，B，C三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.则{a2＋(1－b)2＝r2，(2－a)2＋(1－b)2＝r2，(－1－a)2＋(2－b)2＝r2，解得{a＝1，b＝3，r2＝5，所以经过A，B，C三点的圆的标准方程是(x－1)2＋(y－3)2＝5.把点D的坐标(3,4)代入圆的方程的左边，得(3－1)2＋(4－3)2＝5.所以点D在经过A，B，C三点的圆上．所以A，B，C，D四点在同一个圆上，圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.15.解：设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.圆心坐标为C(3,4)，O为坐标原点，∴|CO|2＝32＋42＝25，即|CO|＝5，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2，即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34，最大值为2×36＋2＝74.。

第四章 圆与方程一、选择题1．圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是( )． A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( )． A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝14．与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是( )． A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0D ．2x －y ±5＝05．直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( )． A ．2B ．2C ．22D ．426．一圆过圆x 2＋y 2－2x ＝0与直线x ＋2y －3＝0的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＋4y －6＝0B ．x 2＋y 2＋4x －6＝0C ．x 2＋y 2－2y ＝0D ．x 2＋y 2＋4y ＋6＝07．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．30B ．18C ．62D ．528．两圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和(x －b )2＋(y －a )2＝r 2相切，则( )． A ．(a －b )2＝r 2 B ．(a －b )2＝2r 2 C ．(a ＋b )2＝r 2D ．(a ＋b )2＝2r 29．若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( )．A ．14或－6B ．12或－8C ．8或－12D ．6或－1410．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | ＝( )．A ．453 B ．253 C ．253 D ．213二、填空题11．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为____________________．12．已知直线x＝a与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则a的值是_________．13．直线x＝0被圆x2＋y2―6x―2y―15＝0所截得的弦长为_________．14．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝_______________．15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形P ACB面积的最小值为．三、解答题16．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．17．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．18．圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．19．已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．(1)求直线P A，PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程．20．求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．参考答案一、选择题 1．A解析：C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝52，半径r 1＝5；C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝(10)2，半径r 2＝10．圆心距d ＝224 － 2＋ 1 ＋ 2)()(＝13． 因为C 2的圆心在C 1内部，且r 1＝5＜r 2＋d ，所以两圆相交． 2．C解析：因为两圆的标准方程分别为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9， 所以两圆的圆心距d ＝222 － 1 －＋ 2 ＋ 2)()(＝5． 因为r 1＝2，r 2＝3，所以d ＝r 1＋r 2＝5，即两圆外切，故公切线有3条． 3．A解析：已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1． 4．D解析：设所求直线方程为y ＝2x ＋b ，即2x －y ＋b ＝0．圆x 2＋y 2―2x ―4y ＋4＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1．由221＋ 2 ＋ 2 － 2 b ＝1解得b ＝±5．故所求直线的方程为2x －y ±5＝0． 5．C解析：因为圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，显然直线x －y ＋4＝0经过圆心． 所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于22． 6．A解析：如图，设直线与已知圆交于A ，B 两点，所求圆的圆心为C ．依条件可知过已知圆的圆心与点C 的直线与已知直线垂直． 因为已知圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)， 所以过点(1，0)且与已知直线x ＋2y －3＝0垂直的直线方程为y ＝2x －2．令x ＝0，得C (0，－2)．联立方程x 2＋y 2－2x ＝0与x ＋2y －3＝0可求出交点A (1，1)．故所求圆的半径r ＝|AC |＝223 ＋ 1＝10．(第6题)所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋4y －6＝0． 7．C解析：因为圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，所以圆心为(2，2)，r ＝32． 设圆心到直线的距离为d ，d ＝210＞r ，所以最大距离与最小距离的差等于(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝62． 8．B解析：由于两圆半径均为|r |，故两圆的位置关系只能是外切，于是有 (b －a )2＋(a －b )2＝(2r )2． 化简即(a －b )2＝2r 2． 9．A解析：直线y ＝3x ＋c 向右平移1个单位长度再向下平移1个单位． 平移后的直线方程为y ＝3(x －1)＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0． 由直线平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，得221＋ 34 － ＋ 0 － 0 c ＝10，即|c －4|＝10，所以c ＝14或－6．10．C解析：因为C (0，1，0)，容易求出AB 的中点M ⎪⎭⎫⎝⎛3 ，23 ，2， 所以|CM |＝2220 － 3 ＋ 1 －23 ＋ 0 － 2)()(⎪⎭⎫⎝⎛＝253． 二、填空题11．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0．解析：令y ＝0，得x ＝－4，所以直线与x 轴的交点A (－4，0)． 令x ＝0，得y ＝3，所以直线与y 轴的交点B (0，3)． 所以AB 的中点，即圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛23 2， －． 因为|AB |＝223 ＋ 4＝5，所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋223 － ⎪⎭⎫ ⎝⎛y ＝425．即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0． 12．0或2．解析：画图可知，当垂直于x 轴的直线x ＝a 经过点(0，0)和(2，0)时与圆相切，所以a 的值是0或2．13．8．解析：令圆方程中x ＝0，所以y 2―2y ―15＝0．解得y ＝5，或y ＝－3． 所以圆与直线x ＝0的交点为(0，5)或(0，－3)．所以直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长等于5－(－3)＝8． 14．7或－5．解析：由2221 － ＋ 7 ＋ 2 ＋ 4 － 6)()()(z ＝11得(z －1)2＝36．所以z ＝7，或－5． 15．22． 解析：如图，S四边形P ACB ＝2S △P AC ＝21|P A |·|CA |·2＝|P A |，又|P A |＝12－||PC ，故求|P A |最小值，只需求|PC |最小值，另|PC |最小值即C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，为2243843＋|＋＋|＝3．于是S 四边形P ACB 最小值为132－＝22． 三、解答题16．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，于是依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋)(，＝＋)(2222 4 － 3 16 － 1r a r a 解得⎪⎩⎪⎨⎧．，－20 ＝ 1 ＝ 2r a 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．(2)因为圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)，所以圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上． 则l 的方程为y ＋1＝x －2，即y ＝x －3． 由⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋，－＝023 y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧．－ ＝，＝2 1 y x 即圆心为O 1(1，－2)，半径r ＝222 ＋ 1 －＋ 1 － 2)()(＝2． 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．17．解：以D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz ，E 点在平面xDy 中，且EA ＝21． (第15题)所以点E 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ，21 ，1， 又B 和B 1点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，所以点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ，1 ，1，同理可得G 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 21 1，，． 18．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 因为圆与两坐标轴相切，所以圆心满足|a |＝|b |，即a －b ＝0，或a ＋b ＝0． 又圆心在直线5x ―3y ―8＝0上，所以5a ―3b ―8＝0．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧，＝－，＝－－00835b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧，＝＋，＝－－00835b a b a解得⎪⎩⎪⎨⎧，＝，44b a ＝或⎪⎩⎪⎨⎧．＝－，11＝b a 所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16，或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1．19．解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0． 因为圆心(1，2)到直线的距离为2，1＋ 3 － － 2k k ＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 －＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2， 所以|P A |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．(3)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31．如图，由CA 2＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝102．设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．20．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a )，(第19题)圆心(a ，3a )到直线x －y ＝0的距离为d ＝22 － a ．又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |， 设圆的方程为(x －a )2＋(y －3a )2＝9a 2， 设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7． 在Rt △AMC 中，由勾股定理，得 22 2 － ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a ＋(7)2＝(3|a |)2． 解得a ＝±1，r 2＝9．故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9，或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9．高中数学必修2综合测试题文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若直线1=x 的倾斜角为α，则=α( )．A ．0B.3π C ．2πD ．π2．已知直线1l 经过两点)2,1(--、)4,1(-，直线2l 经过两点)1,2(、)6,(x ，且21//l l ，则=x （ )．A ．2B ．－2C ．4D ．13.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．π25B ．π50C ．π125D ．π200 4.若方程022=++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是( )A.21>k B.21≤k C. 210<<k D ． 21<k 5.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若//l α，//l β，则//αβB.若l α⊥，l β⊥，则//αβC.若βα//,l l ⊥，则βα//D.若αβα//,l ⊥，则β⊥l(第20题)正视图侧视图俯视图2116.如图6，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60°7.某三棱锥的三视图如图7所示，则该三棱锥的体积是 ( ) A.16 B. 13 C.23D.1 8.直线20x y +-=与圆()()22121x y -+-=相交于,A B 两点，则弦长AB =（ ）A ．22 B ．32C 3D ．2 9.点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是 （ ） A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++= C.22(4)(2)4x y ++-= D.22(2)(1)1x y ++-= 10.设实数,x y 满足22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是（ ） A ．12B ．33C ．32D ．311.已知直线)(2R a a ay x ∈+=+与圆072222=---+y x y x 交于M ，N 两点，则线段MN 的长的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．12.已知点),(y x P 在直线032=-+y x 上移动，当y x42+取得最小值时，过点),(y x P 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线长为（ ） A ．12 B ．32C 6D 3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.直线过点)4,3(-，且在两坐标轴上的截距相等的直线一般式方(第7题)程： ；14.圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有 个； 15.曲线4)2(412+-=-+=x k y x y 与直线有两个交点，则实数k 的取值范围是 ；16.已知在△ABC 中，顶点)5,4(A ,点B 在直线022:=+-y x l 上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值 .三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3）， （1）求AB 边所在的直线方程； （2）求AB 边的高所在直线方程.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC的中点，PO ⊥平面ABCD ，PD ＝2，M 为PD 的中点．(1).证明:AD ⊥平面PAC ；(2).求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．20.（本小题满分12分）如图，直四棱锥1111D C B A ABCD -中，AB ∥CD ,AB AD ⊥,2=AB ，2=AD ，31=AA ,E 为CD 上一点，3,1==EC DE（1）证明：⊥BE 平面C C BB 11（2）求点1B 到平面11C EA 的距离21.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ­ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．22.（本小题满分12分）已知过点)1,0(A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()13222=-+-y x 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.16.（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。

第4章《圆的方程》综合检测题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4 B ．6或24．直线l ：y ＝k (x ＋12)与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相交或相切B ．相交或相离C ．相切D ．相交[答案] D[解析] 方法一：圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k (x ＋12)的距离d ＝|12k |k 2＋1，∵d 2＝14k 2k 2＋1＜14＜1，∴所判断的位置关系为相交．方法二：直线l ：y ＝k (x ＋12)过定点(－12，0)，而点(－12，0)在圆C ：x 2＋y 2＝1内部，故直线l与圆C 相交．5．直线x －2y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )∴切线方程为x －3y ＋2＝0.7．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或4 [答案] D[解析] 由半径、半弦长、圆心到直线的距离d 所形成的直角三角形，可得d ＝2，故?a －2?2＝2，解得a ＝4，或a ＝0.8．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3B ． 3C ．－2或 2D ． 2[答案] A[解析] 方法1：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3，圆心到直线的距离d ＝1－?32?2＝12，( ) 2，所垂直，．12[答案] C[解析] 易知点P (2,2)在圆上，由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2.11．(2013·山东)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[答案] A[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.12．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是( )A ．[－22，22]B ．(－22，22)． 的公共弦的长为23，则a ＝________.[答案] 1[解析] 由(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2－4)＝0得两圆公共弦方程为ay －1＝0，又因公共弦长为23，所以圆心(0,0)到该公共弦的距离为1，即|0－1|a 2＝1.又a ＞0，所以a ＝1.15．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB |最小，则直线l 的方程是________．[答案] x －y ＋3＝0[解析] ∵(－1)2＋22－2×2－3＝－2<0， ∴点P 在圆内，∴当AB ⊥CP 时，|AB |最小． ∵k CP ＝－1，∴k l ＝1，则y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0.16．由直线y ＝x ＋1上一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________． [答案]7[解析] 当直线上的点到圆心的距离最小切线长最短，直线y ＝x ＋1上的点到(3,0)的最短距离) a ，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M (a 2，a 2，a 2)，取A 1C 1中点O 1，则O 1(a 2，a2，a )，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点， 故N (a 4，34a ，a )．由两点间的距离公式可得：|MN |＝?a 2－a 4?2＋?a 2－34a ?2＋?a2－a ?2 ＝64a . 19．(本小题满分12分)由动点P 引圆x 2＋y 2＝10的两条切线P A ，PB ，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1，k 2满足k 1＋k 2＋k 1k 2＝－1，求动点P 的轨迹方程．[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由点(0,0)到切线的距离为|kx 0－y 0|1＋k 22⎩⎪⎨⎪⎧C 台风对该市的影响持续时间为10小时．21．(本小题满分12分)已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)由题意可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的圆心为(3,1)，半径长为?3－0?2＋?1－1?2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0?x －3?2＋?y －1?2＝9消去y ，得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0，此时判别式Δ＝56－16a －4a 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝0② C a .(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则(m －4)2＋n 2＝16，m 2＋n 2≠0，(m ＋2)2＋(n －2)2＝8， 解得m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在异于原点的点Q (45，125)符合题意．。

2024届高考数学复习：精选好题专项（圆的方程）练习[基础巩固]一、选择题1．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝02．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝23．已知点A 是直角△ABC 的直角顶点，且A (2a ，2)，B (－4，a )，C (2a ＋2，2)，则△ABC 外接圆的方程是( )A ．x 2＋(y －3)2＝5B ．x 2＋(y ＋3)2＝5C ．(x －3)2＋y 2＝5D ．(x ＋3)2＋y 2＝54．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(－∞，1)5．点P (5a ＋1，12a )在(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．|a |<1B ．a <113C ．|a |<15D ．|a |<1136．直线y ＝kx －2k ＋1恒过定点C ，则以C 为圆心，以5为半径的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝25C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝57．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4，则圆M 的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝18．圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－19．(多选)已知点A (－1，0)，B (1，0)，若圆(x －2a ＋1)2＋(y －2a －2)2＝1上存在点M 满足MA → ꞏMB → ＝3，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．2D ．0二、填空题10．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34 ，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为________．11．[2022ꞏ全国甲卷(文)，14]设点M 在直线2x ＋y －1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为________________．12．直线l ：x 4 ＋y 3 ＝1与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为________．[提升练习]13．已知一个圆的圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切，则当圆的面积最小时，该圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y －1)2＝2514．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列说法正确的是( )A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3，0)C ．经过点(2，2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为415．已知直线l ：x －3 y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________．16．已知点P (x ，y )在(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，则x ＋y 的取值范围是________．参考答案1．D 设所求的直线l 的方程为x －y ＋C ＝0，∵直线l 过圆心(0，3)，∴－3＋C ＝0，C ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋3＝0.2．D 半径r ＝（1－0）2＋（1－0）2 ＝2 ，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.3．D ∵A 为直角，∴AB ⊥AC ，∴2a ＝－4，a ＝－2，∴△ABC 外接圆的圆心(－3，0)，半径r ＝|BC |2 ＝（－4＋2）2＋（－2－2）22＝5 ， ∴所求的圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5.4．C 由题意得D 2＋E 2－4F >0，∴4＋4－4a >0，∴a <2.5．D 由题意得25a 2＋144a 2<1，∴a 2<1132 ，得|a |<113 .6．B ∵y ＝kx －2k ＋1可化为y ＝k (x －2)＋1，恒过定点(2，1)，则所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25.7．C 3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离为d ＝|10－0|32＋（－4）2＝2，显然圆的半径r ＝22 ＝1，与3x －4y ＝0和3x －4y ＋10＝0的距离相等的直线为3x －4y ＋5＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，∴圆心(－3，－1)，∴所求的圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.8．B 由题意得圆心(1，1)在直线y ＝kx ＋3上，∴k ＝－2.9．BD 设点M (x ，y )，则MA → ＝(－x －1，－y )，MB → ＝(－x ＋1，－y )，所以MA → ꞏMB → ＝(－x －1)(－x ＋1)＋y 2＝3，所以点M 的轨迹方程为圆x 2＋y 2＝4，圆心为(0，0)，半径为2.由此可知圆(x －2a ＋1)2＋(y －2a －2)2＝1与圆x 2＋y 2＝4有公共点．又圆(x －2a ＋1)2＋(y －2a －2)2＝1的圆心为(2a －1，2a ＋2)，半径为1，所以1≤（2a －1）2＋（2a ＋2）2 ≤3，解得－1≤a ≤12 .故选BD.10．1答案解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件是a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23 ，又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34 ，∴仅当a ＝0时该方程表示圆．11．(x －1)2＋(y ＋1)2＝5答案解析：因为点M 在直线2x ＋y －1＝0上，所以设M (a ，1－2a ).由点(3，0)，(0，1)均在⊙M 上，可得点(3，0)，(0，1)到圆心M 的距离相等且为⊙M 的半径，所以r ＝（a －3）2＋（1－2a ）2 ＝a 2＋（1－2a －1）2 ，解得a ＝1.所以M (1，－1)，r ＝5 ，所以⊙M 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.12．(x －1)2＋(y －1)2＝1答案解析：设△AOB 内切圆的圆心为M (m ，m )(m >0)，半径为m ，直线x 4 ＋y 3 ＝1可化为3x ＋4y －12＝0，由题意得|3m ＋4m －12|32＋42＝m ，得m ＝1或m ＝6(舍去).∴△AOB 内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.13．A 设圆心为⎝⎛⎭⎫x ，2x (x >0)，r ＝⎪⎪⎪⎪2x ＋2x ＋15 ≥55 ＝5 ，当且仅当x ＝1时等号成立，所以当圆的面积最小时，即圆的半径最小时，此时圆心(1，2)，半径为5 ，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.14．ABD 对于A 选项，圆心(k ，k )一定在直线y ＝x 上，故A 正确；对于B 选项，将(3，0)代入圆C k 的方程整理得2k 2－6k ＋5＝0，其中Δ＝－4<0，方程无解，故所有圆C k 均不经过点(3，0)，故B 正确；对于C 选项，将(2，2)代入圆C k 的方程整理得k 2－4k ＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8>0，故经过点(2，2)的圆C k 有两个，故C 错误；对于D 选项，所有圆的半径均为2，面积均为4，故D 正确．故选ABD.15．4 答案解析：如图：∵y ＝3 x ＋23，∴k AC ＝－3 ，∴∠ACD ＝60°，过D 作DE ⊥AC 于E ，则|DE |＝|AB |.∵圆心到直线l 的距离d ＝61＋3＝3， ∴⎝⎛⎭⎫|AB |2 2 ＝r 2－d 2＝12－9＝3.∴|AB |2＝12，则|AB |＝23 .在Rt △DEC 中，|CD |＝|AB |sin 60° ＝2332 ＝4. 16．[－2 －1，2 －1]答案解析：设x ＝2＋cos α，y ＝－3＋sin α∴x ＋y ＝sin α＋cos α－1＝2 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 －1∈[－2 －1，2 －1].。

课时跟踪检测（二十二）圆的标准方程一、题组对点训练对点练一圆的标准方程1．给定圆的方程：（x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为（)A．4x－y＝0 B．4x＋y＝0C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0解析:选B 由圆的标准方程，知圆心为（2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y＝－4x,即4x＋y＝0。

2．方程(x＋a）2＋(y－a）2＝2a2（a≠0)表示的圆（)A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x－y＝0对称D．关于直线x＋y＝0对称解析：选D 易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上,所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D.3．△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0）,B(3，0)，C（3，4)，则△ABC的外接圆方程是( ）A．(x－2）2＋(y－2）2＝20 B．(x－2)2＋（y－2）2＝10C．(x－2)2＋（y－2)2＝5 D．（x－2)2＋（y－2)2＝错误!解析:选C 易知△ABC是直角三角形,∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2），半径是斜边长的一半，即r＝错误!，所以外接圆的方程为(x－2）2＋(y－2）2＝5.4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．解析：圆心是（－2，0),半径是2，所以圆的方程是（x＋2）2＋y2＝4。

答案：(x＋2)2＋y2＝45．已知圆过点A(1，－2)，B（－1，4）．(1）求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．解：（1）当线段AB为圆的直径时，过点A,B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点（0，1)，半径r＝12｜AB｜＝错误!.则所求圆的方程为x2＋（y－1)2＝10。

（2）法一：直线AB的斜率k＝4－－2－1－1＝－3，即线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝错误!x，即x－3y＋3＝0.由错误!解得错误!即圆心的坐标是C(3，2）．∴r2＝｜AC｜2＝（3－1)2＋(2＋2)2＝20。

高中数学-圆与方程试题含答案1.圆(x+2)^2+y=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。

(x-2)^2+y=5B。

x+(y-2)^2=5C。

(x+2)^2+(y+2)^2=5D。

x+(y+2)^2=52.若P(2,-1)为圆(x-1)^2+y=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A。

x-y-3=0B。

2x+y-3=0C。

x+y-1=0D。

2x-y-5=03.圆x+y-2x-2y+1=1的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。

2B。

1+√2C。

1+2√2D。

1+24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x^2+y^2+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。

-3或7B。

-2或8C。

0或10D。

1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。

1条B。

2条C。

3条D。

4条6.圆x+y-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。

x+3y-2=0B。

x+3y-4=0C。

x-3y+4=0D。

x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x^2+y^2+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是 _________.2.由动点P向圆x^2+y^2=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为 _________.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为 _________.4.已知圆(x-3)^2+y^2=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为 _________.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x^2+y^2-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 _________.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a^2+b^2-2a-2b+2的最小值。

高中数学必修第章圆的方程综合检测题Last revised by LE LE in 2021第4章《圆的方程》综合检测题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4 B ．6或2 C ．3或－4 D ．6或－2[答案] D[解析] 由空间两点间的距离公式得x －22＋1－32＋2－42＝26，解得x ＝6或x ＝－2.2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ＜12B ．m ＜0C ．m ＞12D ．m ≤12[答案] A[解析] (－1)2＋12－4m ＞0，∴m ＜12，故选A.3．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1，－2)，5 B ．(1，－2)，5 C ．(－1,2)，5 D ．(－1,2)，5[答案] D[解析] 圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心是(－1,2)，半径为 5. 4．直线l ：y ＝k (x ＋12)与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相交或相切B ．相交或相离C ．相切D ．相交[答案] D[解析] 方法一：圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k (x ＋12)的距离d ＝|12k |k 2＋1，∵d 2＝14k 2k 2＋1＜14＜1，∴所判断的位置关系为相交．方法二：直线l ：y ＝k (x ＋12)过定点(－12，0)，而点(－12，0)在圆C ：x 2＋y 2＝1内部，故直线l 与圆C 相交．5．直线x －2y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( ) A ．32 B ．34 C ．25 D ．655[答案] D[解析] 圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9的圆心为(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为29－5＝4，原点到直线的距离为|0＋0＋3|1＋4＝355，所以S ＝12×4×355＝655.6．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0[答案] D[解析] ∵点(1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直．设切线的斜率为k ， 又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k ＝－1，解得k ＝33，∴切线方程为x －3y ＋2＝0.7．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或4[答案] D[解析] 由半径、半弦长、圆心到直线的距离d 所形成的直角三角形，可得d ＝2，故a －22＝2，解得a ＝4，或a ＝0.8．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3B ．3C ．－2或 2D ．2[答案] A[解析] 方法1：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3，圆心到直线的距离d ＝1－322＝12，∴1k 2＋1＝12，解得k ＝± 3. 方法2：利用数形结合．如图所示，∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，故不妨设P (0,1)，在等腰三角形POQ 中，∠POQ ＝120°，∴∠QPO ＝30°，故∠PAO ＝60°，∴k ＝3，即直线PA 的斜率为 3.同理可求得直线PB 的斜率为－ 3.9．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2[答案] B[解析] |PQ |的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ |的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.10．(2013·天津)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D ．12[答案] C[解析] 易知点P (2,2)在圆上，由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2.11．(2013·山东)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[答案] A[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.12．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是( )A ．[－22，22]B ．(－22，22)C ．[－2,2]D ．(－2,2)[答案] C[解析] 圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心坐标为C (2,2)，半径长为32，要使圆上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为32，如右图可知圆心到直线l 的距离应小于等于2，∴d ＝|2－2＋c |1＋1＝|c |2≤2，解得|c |≤2，即－2≤c ≤2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知点A (1,2,3)，B (2，－1,4)，点P 在y 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标是________． [答案] －76[解析] 设点P (0，b,0)，则 1－02＋2－b 2＋3－02＝2－02＋－1－b 2＋4－02，解得b ＝－76.14．(2013～2014·江苏扬州安宜高中期中)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.[答案] 1[解析] 由(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2－4)＝0得两圆公共弦方程为ay －1＝0，又因公共弦长为23，所以圆心(0,0)到该公共弦的距离为1，即|0－1|a2＝1.又a ＞0，所以a ＝1. 15．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB |最小，则直线l 的方程是________．[答案] x －y ＋3＝0[解析] ∵(－1)2＋22－2×2－3＝－2<0， ∴点P 在圆内，∴当AB ⊥CP 时，|AB |最小．∵k CP ＝－1，∴k l ＝1，则y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0.16．由直线y ＝x ＋1上一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________． [答案]7[解析] 当直线上的点到圆心的距离最小切线长最短，直线y ＝x ＋1上的点到(3,0)的最短距离为|3＋1|2＝22，此时切线长为222－1＝7. 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心C 在y 轴上的圆的方程． [解析] ∵AB 的中点是(1,3)，k AB ＝4－2－1－3＝－12，∴AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即2x －y ＋1＝0. 令x ＝0，得y ＝1， 即圆心C (0,1)．∴所求圆的半径为|AC |＝12＋4－12＝10. ∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．(本小题满分12分)(2013～2014·宁波高一检测)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．[解析] 以D 为原点建立如图所示坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M (a 2，a 2，a 2)，取A 1C 1中点O 1，则O 1(a 2，a2，a )，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N (a 4，34a ，a )．由两点间的距离公式可得： |MN |＝a 2－a 42＋a 2－34a 2＋a2－a 2＝64a .19．(本小题满分12分)由动点P 引圆x 2＋y 2＝10的两条切线PA ，PB ，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1，k 2满足k 1＋k 2＋k 1k 2＝－1，求动点P 的轨迹方程．[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由点(0,0)到切线的距离为|kx 0－y 0|1＋k2＝10.化简，得(x 20－10)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－10＝0.由韦达定理及k 1＋k 2＋k 1k 2＝－1，得2x 0y 0x 20－10＋y 20－10x 20－10＝－1.化简，得(x 0＋y 0)2＝20，则点P 的轨迹方程是x ＋y ±25＝0.由⎩⎨⎧x ＋y ＋25＝0，x 2＋y 2＝10.解得⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝－ 5.由⎩⎨⎧x ＋y －25＝0，x 2＋y 2＝10，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝ 5.∴点P 的轨迹方程为x ＋y ＋25＝0(x ≠－5)或x ＋y －25＝0(x ≠5)．20．(本小题满分12分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km 处，以40 km/h 的速度向北偏西60°方向移动．据测定，距台风中心250 km 的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间．[解析] 以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向建立直角坐标系．开始时台风中心在B (300,0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y ＝－33(x －300)(x ≤300)．该市受台风影响时，台风中心在圆x 2＋y 2＝2502内，设直线与圆交于C ，D 两点，则|CA |＝|AD |＝250，所以台风中心到达C 时，开始受影响该市，中心移至点D 时，影响结束，作AH ⊥CD 于点H ，则|AH |＝100313＋1＝150，|CD |＋2|AC |2－|AH |2＝400，∴t ＝4004＝10(h)．即台风对该市的影响持续时间为10小时．21．(本小题满分12分)已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)由题意可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的圆心为(3,1)，半径长为3－02＋1－12＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0x －32＋y －12＝9消去y ，得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0，此时判别式Δ＝56－16a －4a 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－a x 1x 2＝a 2－2a ＋12①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0② 由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a . 又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22， 可解得a ＝－2，b ＝2或a ＝2，b ＝－2， 结合点C (a ，b )位于第二象限知a ＝－2，b ＝2.故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则(m －4)2＋n 2＝16，m 2＋n 2≠0，(m ＋2)2＋(n －2)2＝8， 解得m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在异于原点的点Q (45，125)符合题意．。