人教版高中数学必修二圆与方程题库完整

（ 数 学2必 修 ） 第 四 章圆 与 方 程一、选择题１．圆 (x 2)2y 25 对于原点 P(0, 0) 对称的圆的方程为 ()A ． (x 2)2y 2 5B ． x 2 ( y 2)25C ． ( x 2) 2 ( y 2)25D ． x 2 ( y 2) 2 52．若 P(2,1) 为圆 ( x1)2y 2 25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是（）A. x y 3 0B. 2x y 3 0C. x y 1 0D. 2 x y 5 03．圆 x 2 y 2 2 x 2 y 1 0 上的点到直线 x y2 的距离最大值是（）A ． 2B ． 12C ． 12D ．1222 4．圆 x 2 y 24x0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为（）A ． x3 y 2 0B ． x3y 4 0 C ． x3y 4 0D ． x3y 2 05．若直线 xy 2 被圆 (x a) 2y 24 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为（）A ． 1或 3B ． 或C ．或D ． 或132646．直线 x2y30 与圆 (x 2)2( y 3) 29 交于 E, F 两点，则EOF 的面积为（ )Ａ．3Ｂ．3Ｃ． 2 5Ｄ．652457 ． 直 线 l 过 点（ 2，0）， l 与 圆 x 2 y 2 2x 有 两 个 交 点 时 ，斜 率 k 的 取 值 范围 是( )A ．（ ， ） B ．（ ， ） C ．（ 2 2 1 12 2 2 2 2 24 4 8 82,0) ，且与圆 x 2 y 28．设直线 l 过点 (1相切，则 l 的斜率是（ ）A ． 1B ．1 C ．3 D ． 3239．圆： x 2y 2 4x 6 y 0 和圆： x 2 y 2 6 x 0交于 A,B 两点，则 AB 的垂直均分线的方程是（ ）A. x y 3 0 B ． 2x y 5 0C ． 3x y 9 0D ． 4x 3y 7 010．已知圆 C ： ( x a) 2 ( y 2) 2 4( a0) 及直线 l : x y 30 ，当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 3 时，则 a （ ）A ． 2B ． 22C ．21D ．2111．圆 ( x 1)2y21的圆心到直线 y3x 的距离是（）3A ．1B ．3C ．1D ． 32212．两圆 x 2 y 29 和 x 2 y 2 8x 6 y 90 的地点关系是（ ）A ．相离 B．订交C．内切D ．外切二、填空题1．直线 x2 y 0 被曲线 x 2y 2 6x 2 y 150 所截得的弦长等于2． P 为圆 x 2y 21 上的动点，则点 P 到直线 3x 4 y 10 0 的距离的最小值为3．若曲线 y 1 x2与直线y x b 一直有交点，则b的取值范围是_________如有一个交点，则 b 的取值范围是 ________；若有两个交点，则 b 的取值范围是_______；三、解答题1．点P a, b 在直线 x y 1 0 上，求a2b2a b2的最小值。

4.1.1圆的标准方程基础巩固1.已知圆()(22:316C x y -+=,则圆心C 的坐标和半径分别为（ ）A .(3,,16B .(3,,4C .(,4-D .(3,,4-2.以原点为圆心,4为半径的圆的方程是（ ）A.x 2+y 2=4B.x 2+y 2=16C.x 2+y 2=2D.(x-4)2+(y-4)2=163.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)（ ）A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外4.圆心坐标为(0,4),且经过点(3,0)的圆的方程为（ ）A.x 2+(y-4)2=25B.x 2+(y+4)2=25C.(x-4)2+y 2=25D.(x+4)2+y 2=255.圆((22:4C x y +=的面积等于（ ）A.πB.2πC.4πD.8π6.若直线y=ax+b 通过第一、二、四象限,则圆(x+a )2+(y+b )2=1的圆心位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.若点P (1,-1)在圆(x+2)2+y 2=m 的外部,则实数m 的取值范围是 .8.已知圆C :x 2+y 2=1,则圆上的点到点(3,4)距离的最大值为 .9.圆C :(x+4)2+(y-3)2=9的圆心C 到直线4x+3y-1=0的距离等于 .10.已知△ABC 的三个顶点分别为A (1,1),B (1,4),C (5,1),求它的外接圆的方程.能力提升1.经过圆(x-2)2+(y+3)2=13和(x-3)2+y 2=9的圆心的直线方程是（ ）A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=02.已知点A (1,-1),B (-1,1),则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A .x 2+y 2=2B .x 2+y 2C .x 2+y 2=1D .x 2+y 2=4★3.在平面直角坐标系xOy 中,动点P 的坐标满足方程(x-1)2+(y-3)2=4,则点P 的轨迹经过（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限4.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .5.若圆C 与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C 的标准方程是 .6.若点(P -在圆x 2+y 2=m 上,点()00,Q x y 在圆x 2+y 2=m 内,则d 为 .7.求经过点A (1,-1),B (-1,1),且圆心C 在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.★8.已知A (0,1),B (2,1),C (3,4),D (-1,2),问这四点能否在同一个圆上?为什么?参考答案基础巩固1.【答案】B2.【答案】B3.【解析】因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,所以点P 在圆内.【答案】C4.【解析】圆的半径5r =,则圆的方程为x 2+(y-4)2=25.【答案】A5.【解析】由题意知圆的半径2r ==,则面积S=πr 2=4π.【答案】C6.【解析】(-a ,-b )为圆的圆心,由直线经过第一、二、四象限,得到a<0,b>0,即-a>0,-b<0,再由各象限内点的坐标的性质得解.【答案】D7.【解析】由题意得(1+2)2+(-1)2>m ,即m<10.因为m>0,所以m 的取值范围是(0,10).【答案】(0,10)8.【解析】因为圆C 的方程为x 2+y 2=1,所以圆心坐标为(0,0),半径r=1.又圆心(0,0)到点(3,4)5,所以圆上的点到点(3,4)的距离的最大值为5+1=6.【答案】69.【解析】由题意知圆心坐标为C (-4,3),则所求的距离85d ==. 【答案】8510.【解析】 （法一）设△ABC 外接圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),则 ()()()()()()222222222111451a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩, 解得 32.52.5a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2.5)2=6.25.（法二）线段AB 的垂直平分线的方程为y=2.5,线段AC 的垂直平分线的方程为x=3,则圆心坐标为(3,2.5),半径2.5r =, 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2.5)2=6.25.能力提升1.【答案】C2.【解析】由已知A ,B 的中点为圆心,则圆心的坐标为(0,0). 又AB =所以半径r =故圆的方程为x 2+y 2=2.【答案】A3.【答案】A4.【解析】由于82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|51055=-=.【答案】55.【解析】圆(x+2)2+(y-1)2=1的圆心为M (-2,1),半径r=1,则点M 关于原点的对称点为C (2,-1),圆C 的半径也为1,则圆C 的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=1.【答案】(x-2)2+(y+1)2=16.【解析】因为点(P -在圆x 2+y 2=m 上,所以221m +=,解得m=4.又因为点Q (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=m 内,所以22004x y+<.故02d ≤=.【答案】[0,2)7.【解析】线段AB 的垂直平分线的方程是x-y=0,解方程组020x y x y -=⎧⎨+-=⎩ 得 11x y =⎧⎨=⎩.即圆心C (1,1),则半径r=|AC|=2. 所以圆的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=4.8.【解析】设经过A ,B ,C 三点的圆的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,则()()()()()22222222212134a b r a b r a b r ⎧+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩ 解此方程组,得2135a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以经过A ,B ,C 三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5.把点D 的坐标(-1,2)代入上面圆的方程的左边,得(-1-1)2+(2-3)2=5.所以点D 在经过A ,B ,C 三点的圆上,所以A ,B ,C ,D 四点在同一个圆上,且圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5.。

人教版高一数学必修二第四章 圆与方程 教材配套检测题一、选择题1. 设圆心为1C 的圆方程为()()22539x y -+-=，圆心为2C 的圆的方程为224290x y x y +-+-=，则这两个圆的圆心距为.5A .25B .10C .D 2. 空间直角坐标系中，点()3,4,0A -与点()2,1,6B -间的距离为.A .1B .9C D 3. 若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(),P a b 与圆的位置关系为.A 在圆上 .B 在圆外 .C 在圆内 .D 以上皆有可能4. 在圆224x y +=上，与直线:43120l x y +-=的距离最小的点的坐标为.A 86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 86.,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 86.,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 86.,55D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5. 方程()222200x y ax ay a ++-=≠表示的圆.A 关于x 轴对称 .B 关于y 轴对称 .C 关于直线0x y -=对称 .D 关于直线0x y +=对称6. 若方程()222220a x a y ax a ++++=表示圆，则a 的值为.A 1a =或2a =- .B 2a =或1a =- .C 1a =- .D 2a =二、填空题7. 直线1:2340l x y -+=，2:3210l x y -+=的交点P 与圆()()22245x y -+-=的关系是 . 8. 经过原点O 作圆()2264x y -+=的切线，切线长是 .9. 经过点()2,3P -作圆2220x y +=的弦AB ，且使得点P 平分AB ，则弦AB 所在直线的方程是 .10. 点P 在圆221:84110C x y x y +--+=上，点Q 在圆222:4210C x y x y ++++=上，则PQ 的最小值是 . 三、解答题11. 已知三条直线1:20l x y -=，2:10l y +=，3:210l x y +-=两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.12. 在ABC ∆中，已知2BC =，且ABm AC=，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.13. 由一点()3,3A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆22:4C x y x +-470y -+=相切，求光线l 所在直线方程.14. 求过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的交点，并且有最小面积的圆'C 的方程.参考答案一、选择题 15ADCAD - 6.C 二、填空7. 解析：解方程组{23403210x y x y -+=-+=，得{12x y ==.把()1,2代入圆C 方程左边，得 ()()2212245-+-=，所以两直线交点在圆C 上. 8.=9. 解析：把点P 坐标代入圆2220x y +=的左边， 得()22231320+-=<，所以点P 在圆O 内. 经过点P 被点P 平分的圆的弦与OP 垂直. ∵ 32OP k =-， ∴ 弦AB 所在直线的斜率是23, 弦AB 所在的直线方程是 ()2323y x +=-，即23130x y --=. 10. 解析：把圆1C 、圆2C 的方程都化为标准方程形式，得()()22429x y -+-=，()()22214x y +++=圆1C 的圆心坐标为()4,2，半径长为3； 圆2C 的圆心坐标为()2,1--，半径长为2.=所以，PQ 的最小值是5. 三、解答题11. 解析：2l 平行于x 轴，1l 与3l 互相垂直. 三交点A 、B 、C 构成直角三角形， 经过A 、B 、C 三点的圆就是以AB 为直径的圆. 解方程组{2010x y y -=+= 得{21x y =-=-∴ 点A 的坐标为()2,1--，解方程组{21010x y y +-=+= 得 {11x y ==-∴ 点B 的坐标为()1,1-.线段AB 的中点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又3AB =.∴ 所求圆的标准方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭. 12. 如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系.则有()1,0B -，()1,0C ，设点A 的坐标为(),x y ， 由ABm AC=整理得 ()()()()222222112110m x m y m x m -+--++-=. ① 当21m =时，1m =，方程是0x =，轨迹是y 轴.当21m ≠时，对①式配方得 ()22222221411m m x y m m ⎛⎫+-+= ⎪-⎝⎭-. 此时点A 的轨迹是以221,01m m ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，221m m -为半径的圆（除去圆与BC 的交点）.13. 解法一：因为点()3,3A -关于x 轴的对称点为()'3,3A --，设直线l 的斜率为k ，则过点'A 的直线l 的方程为()33y k x +=-+，将()33y k x =-+-代入圆方程，整理得()()()22221235293080k xk k x k k +++-+++=若直线l 与圆相切，则0∆=，即 21225120k k ++=，解之得 34k =-或43k =-. 所以，所求直线l 的方程为()3334y x -=-+或()4333y x -=-+即 3430x y +-=或4330x y ++=.解法二：配方得圆的标准方程为()()22221x y -+-=. 设光线l 所在直线方程为()33y k x -=+， ∵ 0k ≠，令0y =得 ()31k x k -+=，∴ 反射点为()31,0k k ⎛-+⎫ ⎪⎝⎭. 由于光线的入射角等于反射角，∴ 反射光线'l 所在直线方程为()31k y k x k ⎡+⎤=-+⎢⎥⎣⎦即 ()310kx y k +++=. 又∵ 直线l 与圆相切， ∴1=，整理得 21225120k k ++=.解之得 34k =- 或 43k =-.所以，所求直线l 的方程为()3334y x -=-+或()4333y x -=-+即 3430x y +-=或4330x y++=.14. 解析：方法一经配方，圆C 的方程可化为()()22124x y ++-=， 设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，D 为线段AB 的中点， 则直线CD 的方程为250x y -+=. 解方程组 {250240x y x y -+=++= 得135x =-，65y =， ∴ 点D 坐标为136,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴ CD =AD ==∴ 以D 为圆心、AB 为直径的圆是面积最小的圆，其方程为221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法二：设所求圆的方程为()()22241240x y x y x y λ++-++++=，配方得 ()222451616124x y λλλλ--+⎛⎫⎡++⎤++= ⎪⎣⎦⎝⎭. 半径长为r ，则222516165844455r λλλ-+⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭.当85λ=时，2r 有最小值45，圆面积有最小值245R ππ=. 此时圆'C 的方程为 222612370555x y x y ++-+=. 说明：数形结合，经过两圆的交点且面积最小的圆就是以公共弦为直径的圆. 直线l 就是圆C 与圆'C 的公共弦所在的直线.。

圆的标准方程1．圆(x 2)2(y 3)22的圆心和半径分别是【】A．(2,3)，1 B．(2,3)，3 C．(2,3)， 2 D．(2,3)， 22.圆(x 3)2(y 2)213的周长是【】A.13B.213C.2D.233.点(m2,5)与圆x2y224的位置关系是【】A.点在圆外B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定4．直线l的方程为3x4y250，那么圆x2y21上的点到直线l的距离的最小值是【】A .3B.4C.5 D.65.圆M:(x 3)2(y 2)22，直线l:x y 3 0，点P(2,1)，那么【】A.点P在直线l上，但不在圆M上B.点P在圆M上，但不在直线l上C.点P既在圆M上，又在直线l上D.点P既不在圆M上，又不在直线l上6．过两点P(2,2),Q(4,2)且圆心在直线x y 0上的圆的标准方程是【】A．(x 3)2(y 3)2 2 B.(x 3)2(y 3)2 2C.(x 3)2(y 3)2 2D.(x 3)2(y 3)2 27.圆(x 1)2(y 2)23的圆心坐标是，半径是.8.圆(x a)2(y b)2r2过原点的条件是.9．圆(x 3)2(y 4)21关于直线x y 0对称的圆的方程是.10.求经过点A(1,4),B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.圆的一般方程1．方程x2y22x 4y 6 0表示的图形是【】A．以(1,2)为圆心，11为半径的圆B．以(1,2)为圆心，11为半径的圆C．以(1,2)为圆心，11为半径的圆D．以(1,2)为圆心，11为半径的圆2．方程x2y24x 2y 5m 0表示圆的条件是【】A.1m1 B.m1C.m1D.m1443．圆的方程为x2y22x 6y 8 0，那么通过圆心的一条直线方程是【】A．2x y 1 0 B．2x y 1 0C．2x y 1 0 D．2x y 1 04．圆x2 y22x 4y 3 0的圆心到直线x y 1的距离为【】A.2B.2C.1D.2 25．与圆C:x2y22x350同圆心，且面积为其一半的圆的方程是【】A．(x1)2y23B．(x1)2y26C．(x1 )2y29D．(x1)2y2186．圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P〔3，1〕，那么直线AB的方程是.7．方程x2y24x 2y 4 0，那么x2y2的最大值是．8．圆C：(x-1)2+y2=1，过坐标原点O作弦OA，那么OA中点的轨迹方程是. 9．求经过三点A(1,1)，B(1,4)，C(4,2)的圆的方程,并求出圆的圆心与半径．直线与圆的位置关系1．直线3x 4y 5 0与圆x2y21的位置关系是【】A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断2．平行于直线2x－y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是【】A．2x－y+5=0 B．2x－y－5=0C．2x＋y+5=0或2x＋y－5=0 D．2x－y+5=0或2x－y－5=03．过点(2,1)的直线中，被x2y22x 4y 0截得的弦为最长的直线方程是【】A．3x y 5 0 B．3x y 7 0C．3x y 1 0 D．3x y 5 04．圆x2 y24x 0在点P(1,3)处的切线方程为【】A.x 3y 2 0B.x 3y 4 0C.x3y40 D.x3y205．假设P(x,y)是圆x2y225上的点，那么x y的最大值为【】A．5B．10C．102D．526．圆C：(x1)2(y2)24及直线l：xy30，那么直线l被C截得的弦长为.7．圆(x 1)2 (y 2)28上到直线x y 1 0的距离为2的点共有．8．一直线过点P(3, 3)，被圆x2y225截得的弦长为8,求此弦所在直线方程.2圆与圆的位置关系一、选择题1、两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系是〔〕A、相离B、外切C、相交D、内切2、两圆x2+y2=r2,(x-3)2+(y+1)2=r2外切、那么正实数r的值是〔〕A、10B、10C、5D、5 23、半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,那么此圆的方程是〔〕A、(x-4)2+(y-6)2=6B、(x4)2+(y-6)2=6C、(x-4)2+(y-6)2=36D、(x4)2+(y-6)2=364、和x轴相切，并和圆x2+y2=1外切的动圆的圆心的轨迹是〔〕A、x2=2y＋1B、x2=－2y＋1C、x2=2y＋1D、x2=2y－15、以相交两圆C1:x2+y+4x＋1=0及C2:x2+y2+2x＋2y＋1=0的公共弦为直径的圆的方程〔〕A、(x－1)2+(y－1)2=1B、(x＋1)2+(y＋1)2=1C、(x ＋3)2+(y＋6)2=D、(x－3)2+(y－6)2=4 55556、圆x2+y2+2ax＋2ay＋1=0与x2+y2+4bx＋2b2－2=0的公切弦的最大值是〔〕A B、1CD、2、1、37、假设圆x2+y2=4和圆x+y2+4x－4y＋4=0关于直线l对称，那么l的方程为〔〕A、x＋y=0B、x＋y-2=0C、x-y-2=0D、x-y+2=08、和x轴相切，并和圆x221外切的动圆的圆心轨迹方程是〔〕A 、x22y1B、x22y1C、x22|y|1D、x22y1二、填空题、圆2 +y－6x ＋8y=0与x 2 2+b=0没有公共点，那么的取值范围是______.9C 1:x +y10、两圆C 1:x 2+y 2+4x －2ny ＋n 2－5=0，那么C 2:x 2+y 2+2nx ＋2y ＋n 2－3=0,C 1与C 2外离时n 的范围是_____，与内含时n 的范围是______.11、假设圆x 2+y 2-2ax+a 2=2和x 2+y 2-2by+b 2=1外离,那么a,b 满足的条件是.12、两圆x 2 y 22x30和x 2y26-10，那么它们的公共弦所在的直线方程为______________.13、圆C1:x 2y 26x 8y 0与C2:x 2y2b0没有公共点，那么b 的取值范围为______.三、解答题222 2 2相交14、a 为何值时,圆C1:x+y-2ax+4y+(a-5)=0和圆C2:x+y+2x-2ay+(a-3)=015、圆C 1:x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0,圆C 2:x 2＋y 2－4x ＋2y －11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.直线与圆的方程的应用．圆2＋y2－2x＝0和x2＋y2＋4y＝0的位置关系是【1A.相离B.外切C.相交D.内切2．圆C1:(x m)2(y 2)29与圆C2:(x 1)2(y m)24外切，那么m的值为【】A. 2B.－5C.2或－5 D.不确定3．假设圆x2y2和圆x2y24x4y0关于直线l对称，那么直线l的方程为【】A.xy0 B.xy0 C.xy20 D.xy204．两个圆C1:x2y22x2y20与C2:x224x2y10的公切线有且仅有【】A．1条B．2条C．3条D．4条5．实数x，y满足方程x y 4 0，那么x2y2的最小值为【】A. 4B. 6C. 86.圆心为(2, 1)的圆,在直线x y 1 0上截得的弦长为2 2，那么这个圆的方程是【】A.(x 2)2(y 1)2 2B.(x 2)2(y 1)2 4C.(x 2)2 (y 1)2 8D.(x 2)2(y 1)2167．两圆：x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y–4=0的公共弦所在直线方程为.8．直线2x y c 0与曲线y 1 x2有两个公共点，那么c的取值范围.9．求与圆x2y22x 4y 1 0同心，且与直线 2x y 1 0相切的圆的方程.10.求经过圆C1:x2y24x 2y 1 0与圆C2:x2y26x 0的交点，且过点〔2，2〕的圆的方程.空间直角坐标系1．点A(2,1,0)在空间直角坐标系的位置是【】A.z轴上B.xOy平面上C.xOz平面上D.yOz平面上2.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yoz内的射影，那么|OB|等于【】A.14B. 13C.23D. 113.线段AB的两个端点的坐标分别为 A(9, 3,4)和B(9,2,1)，那么线段AB【】A.与平面xoy平行B.与平面xoz平行C.与平面zoy平行D.与平面xoy获zoy平行4．三角形ABC的顶点A〔2，2，0〕，B〔0，2，0〕，C(0，1，4)，那么三角形ABC是【】A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5．点P(1,3,5)关于原点对称的点的坐标是.6．连接平面上两点P(x,y)P(x,y的线段PP的中点M的坐标为(1x2y1y2，那111，222122,2么，空间中两点 P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)，线段P1P2的中点M的坐标为 .7．A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7；8．在空间直角坐标系中，给定点M(1,2,3)，求它关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标.。

高中数学必修二《圆与方程》基础练习题（含答案解析）1. 已知圆：，为坐标原点，则以为直径的圆的方程A.B.C.D.2. 直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.3. 已知点，则点关于原点对称的点的坐标为（）A. B.C. D.4. 过点以及圆与圆交点的圆的方程是（）A.B.C.D.5. 圆：，则A.是圆心B.在圆外C.在圆内D.在圆上6. 两个圆与的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离7. 在空间直角坐标系中点到坐标原点的距离为（）A. B. C. D.8. 圆的半径等于（）A. B. C. D.9. 已知，，作直线，使得点，到直线的距离均为，且这样的直线恰有条，则的取值范围是A. B. C. D.10. 圆心坐标为，半径等于的圆的方程是（）A.B.C.D.11. 由动点分别引圆：和圆：的切线和（、为切点），满足，则动点的轨迹方程是________．12. 求过两圆与的交点和点的圆的方程________．13. 到两定点，的距离的比为的点的轨迹方程为________．14. 已知两圆，相交于，两点，则直线的方程为________．15. 若方程为圆，则应满足的条件是________．16. 已知圆与圆：交于，两点，则直线的方程为________．17. 若方程表示圆，则实数的取值范围为________．18. 关于直线对称的圆的方程是________．19. 圆心在轴正半轴上，半径为，且与直线相切的圆的方程为________．20. 圆的半径等于________．21. 将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心和半径．（1）（2）．22. 如图，已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有．求点的轨迹方程；求的最小值；以为圆心作圆，使它与圆有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．23. 求直线被圆所截得的弦长．24. 设点与，求以为直径的圆的标准方程．25. （1）求过点且与圆同心的圆的方程， 25.（2）求圆过点的切线方程．26. 已知圆的半径为，点为该圆上的三点，且，则的取值范围是________.27. 已知两圆与．（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公切线．28. 求直线被圆所截得的弦的长．29. 如图点，在四面体中，平面，，，，，分别是，的中点，求，，，这四点的坐标．30. 已知两圆．．（1）取何值时两圆外切？（2）取何值时两圆内切？（3）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．参考答案一、选择题1.C2.C3.D4.A5.C6.C7.D8.B9.B 10.C二、填空题11.12.13.14.15.，且16.17.18.19.20.三、解答题21.解：（1）化为：，圆的圆心，半径为：；（2）．化为：，圆的圆心，半径为：；22.解：连接，，则为直角三角形，又，所以，所以，故．由，得．以为圆心的圆与圆有公共点，半径最小时为与圆相切的情形，而这些半径的最小值为圆到直线的距离减去圆的半径，圆心为过原点且与垂直的直线与的交点，所以，又，联立得．所以所求圆的方程为．23.解：化为标准方程为：，则圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离所以，则所以所求弦长为．24.解：由题意可得圆心为的中点，半径为，故要求的圆的方程为．25.解：（1）圆可化为：，∴圆心为，即圆的圆心为；…又∵圆过点，∴圆的半径；…∴所求圆的方程为；…（2）∵在圆上，∴过点的切线有一条；又∵直线的斜率是，∴过点的切线的斜率为，…∴所求的切线方程为，即．…26.解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，又，所以，即所以又，所以，又则，所以故答案为：.27.解：（1）两圆与的圆心坐标分别为，，半径分别为，，∵，满足，∴两圆相交；（2）设两圆的公切线方程为，则，解得：或．∴两圆的公切线方程为或．28.解：圆即圆，表示以为圆心、半径等于的圆．圆心到直线的距离，故弦长为．29.解：∵点，∴，又∵平面，，∴，又∵，，∴，∴到轴，轴距离均为：，又由，分别是，的中点，∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为．30.解：（1）由已知可得两个圆的方程分别为、，两圆的圆心距，两圆的半径之和为，由两圆的半径之和为，可得．（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，即，可得（舍去），或，解得．（3）当时，两圆的方程分别为、，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为．第一个圆的圆心到公共弦所在的直线的距离为，可得弦长为．。

第四章 圆和方程 [基础训练A 组]一、选择题1.A (,)x y 关于原点(0,0)P 得(,)x y --，则得22(2)()5x y -++-=2.A 设圆心为(1,0)C ，则,1,1,12CP AB AB CP k k y x ⊥=-=+=-3.B 圆心为max (1,1),1,1C r d ==4.A 直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位得220x y λ-++=圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2),3,7C r d λλ-====-=或5.B 两圆相交，外公切线有两条6.D2224x y -+=（）的在点)3,1(P 处的切线方程为(12)(2)4x --= 二、填空题1.1 点(1,0)P -在圆032422=+-++y x y x 上，即切线为10x y -+=2.224x y += 2OP =3. 22(2)(3)5x y -++= 圆心既在线段AB 的垂直平分线即3y =-，又在270x y --=上，即圆心为(2,3)-，r =4.5 设切线为OT ，则25OP OQ OT ⋅==5. 当CP 垂直于已知直线时，四边形PACB 的面积最小三、解答题1.(1,1)到直线01=++y x 的距离而2d ==，min = 2.解：(1)(5)(2)(6)0x x y y +-+-+=得2244170x y x y +-+-=3.解：圆心显然在线段AB 的垂直平分线6y =上，设圆心为(,6)a ，半径为r ，则222()(6)x a y r -+-=，得222(1)(106)a r -+-=，而r =22(13)(1)16,3,5a a a r --+=== 22(3)(6)20x y ∴-+-=。

4.解：设圆心为(3,),t t 半径为3r t =，令d ==而22222,927,1r d t t t =--==±22(3)(1)9x y ∴-+-=，或22(3)(1)9x y +++=圆和方程 [综合训练B 组]一、选择题1.D22,4,0d a a a ==-===或2.D 弦长为4，1425S =⨯= 3.Ctan 4α==，相切时的斜率为4.D 设圆心为2234(,0),(0),2,2,(2)45a a a a x y +>==-+= 5.A 圆与y轴的正半轴交于k <<6.D得三角形的三边060的角二、填空题1. 22(3)(1)25x y -+-=，d r ===2. 3.相切或相交2≤=；另法：直线恒过(1,3)，而(1,3)在圆上4.210,(1)x y x --=≠ 圆心为(21,),,(0)m m r m m +=≠，令21,x m y m =+=5.1 10115d r -=-= 三、解答题1.解：显然2x =为所求切线之一；另设4(2),420y k x kx y k -=--+-=32,,341004k x y ==-+= 2x ∴=或34100x y -+=为所求。

圆及方程姓名：班级： .一、选择题〔共8小题；共40分〕1. 圆x2+y2−4x+6y=0的圆心坐标是( )A. (2,3)B. (−2,3)C. (−2,−3)D. (2,−3)2. ⊙O的直径是3，直线l及⊙O相交，圆心O到直线l的距离是d，那么d应满足( )A. d>3B. 1.5<d<3C. 0≤d<1.5D. d<03. 圆(x−2)2+(y−1)2=4及圆(x+1)2+(y−2)2=9的公切线有( )条A. 1B. 2C. 3D. 44. 从原点向圆x2+y2−12y+27=0作两条切线，那么该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )A. πB. 2πC. 4πD. 6π5. 过点(1,1)的直线及圆(x−2)2+(y−3)2=9相交于A，B两点，那么∣AB∣的最小值为( )A. 2√3B. 4C. 2√5D. 56. 圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0及圆C相切，那么圆C的方程为( )A. x2+y2−2x−3=0B. x2+y2+4x=0C. x2+y2+2x−3=0D. x2+y2−4x=07. 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，那么需安装这种喷水龙头的个数最少是( )A. 6B. 5C. 4D. 38. 圆：C1:(x−2)2+(y−3)3=1，圆：C2:(x−3)2+(y−4)2=9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，那么∣PM∣+∣PN∣的最小值为( )A. 5√2−4B. √17−1C. 6−2√2D. √17二、填空题〔共7小题；共35分〕9. 过点A(3,−4)及圆x2+y2=25相切的直线方程是．10. 如果单位圆x2+y2=1及圆C:(x−a)2+(y−a)2=4相交，那么实数a的取值范围为．11. 在空间直角坐标系中，点A(1,0,2)，B(1,−3,1)，点M在y轴上，且M到A及到B的距离相等，那么点M的坐标是．12. 圆C:(x−2)2+y2=1．假设直线y=k(x+1)上存在点P，使得过P向圆C所作的两条切线，那么实数k的取值范围所成的角为π3为．13. 如图，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，假设点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动，那么PQ的最小值为．14. 在圆C:(x−2)2+(y−2)2=8内，过点P(1,0)的最长的弦为AB，最短的弦为DE，那么四边形ADBE的面积为．15. 据气象台预报：在A城正东方300km的海面B处有一台风中心，正以每小时40km的速度向西北方向移动，在距台风中心250km以内的地区将受其影响．从现在起经过约h，台风将影响A城，持续时间约为h．〔结果准确到0.1h〕三、解答题〔共5小题；共65分〕16. 假设关于x，y的方程x2+y2−4x+4y+m=0表示圆C．〔1〕求实数m的取值范围；〔2〕假设圆C及圆M:x2+y2=2相离，求m的取值范围．17. 圆C:x2+y2+4x+4y+m=0，直线l:x+y+2=0．〔1〕假设圆C及直线l相离，求m的取值范围；〔2〕假设圆D过点P(1,1)，且及圆C关于直线l对称，求圆D的方程．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x−4．设圆C的半径为1，圆心在l上．〔1〕假设圆心C也在直线y=x−1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；〔2〕假设圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．19. 直线l的方程为2x+(1+m)y+2m=0，m∈R，点P的坐标为(−1,0)．〔1〕求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；〔2〕求点P到直线l的距离的最大值；〔3〕设点P在直线l上的射影为点M，N的坐标为(2,1)，求线段MN长的取值范围．20. 在平面直角坐标系xOy中，圆C1:(x+3)2+(y−1)2=4和圆C2:(x−4)2+(y−5)2=4．〔1〕假设直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2√3，求直线l的方程；〔2〕设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别及圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长及直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．答案第一局部1. D2. C3. B4. B5. B6. D7.C 8. A第二局部9. 3x−4y=25 10. −3√22<a<−√22或√22<a<3√2211. (0,−1,0) 12. [−2√55,2√55] 13. √22a 14. 4√615. 2.0；6.6第三局部16. 〔1〕圆C化简为(x−2)2+(y+2)2=8−m，所以8−m>0，即m<8．〔2〕圆C的圆心为(2,−2)，半径为√8−m〔m<8〕，圆M的圆心为(0,0)，半径为√2，由题意，得圆心距大于两圆的半径和，那么√22+22>√8−m+√2，解得6<m<8．17. 〔1〕圆C:x2+y2+4x+4y+m=0即(x+2)2+(y+2)2= 8−m．圆心C(−2,−2)到直线l的距离d=√2=√2，假设圆C及直线l相离，那么d>r，所以r2=8−m<2即m>6又r2=8−m>0即m<8．故m的取值范围是(6,8)．〔2〕设圆D的圆心D的坐标为(x0,y0)，由于圆C的圆心C(−2,−2)，依题意知点D和点C关于直线l对称，那么有 {x 0−22+y 0−22+2=0y 0+2x 0+2×(−1)=−1，解得 {x 0=0y 0=0．所以 圆 D 的方程为 x 2+y 2=r 2，而 r =∣DP ∣=√2，因此，圆 D 的方程为 x 2+y 2=2．18. 〔1〕 由题设，圆心 C 是直线 y =2x −4 和 y =x −1 的交点， 解得点 C (3,2)，于是切线的斜率必存在． 设过 A (0,3) 的圆 C 的切线方程为y =kx +3.由题意，得∣3k +1∣√k 2+1=1,解得：k =0或−34.故所求切线方程为y =3或3x +4y −12=0.〔2〕 因为圆心在直线 y =2x −4 上，所以圆 C 的方程为(x −a )2+[y −2(a −2)]2=1.设点 M (x,y )，因为 MA =2MO ，所以√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y −3=0,即x 2+(y +1)2=4,所以点 M 在以 D (0,−1) 为圆心，2 为半径的圆上．由题意，点 M (x,y ) 在圆 C 上，所以圆 C 及圆 D 有公共点，那么∣2−1∣≤CD ≤2+1,即1≤√a 2+(2a −3)2≤3.整理，得−8≤5a 2−12a ≤0.由 5a 2−12a +8≥0，得a ∈R;由 5a 2−12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 [0,125]．19. 〔1〕 由 2x +(1+m )y +2m =0 得 2x +y +m (y +2)=0， 所以直线 l 恒过直线 2x +y =0 及直线 y +2=0 交点 Q ． 解方程组 {2x +y =0,y +2=0. 得 Q (1,−2)，所以直线 l 恒过定点，且定点为 Q (1,−2)．〔2〕 设点 P 在直线 l 上的射影为点 M ，那么 ∣PM∣≤∣PQ∣∣，当且仅当直线 l 及 PQ 垂直时，等号成立，所以点 P 到直线 l 的距离的最大值即为线段 PQ 的长度为 2√2． 〔3〕 因为直线 l 绕着点 Q (1,−2) 旋转，所以点 M 在以线段 PQ 为直径的圆上，其圆心为点 C (0,−1)，半径为 √2，因为 N 的坐标为 (2,1)，所以∣CN∣=2√2，从而√2≤∣MN∣≤3√2．20. 〔1〕由于直线x=4及圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=k(x−4),圆C1的圆心到直线l的距离为d，又因为直线l被圆C1截得的弦长为2√3，所以d=√22−(√3)2=1.由点到直线的距离公式得d=∣1−k(−3−4)∣√1+k2,从而k(24k+7)=0,即k=0或k=−7 24 ,所以直线l的方程为y=0或7x+24y−28=0.〔2〕设点P(a,b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y−b=k(x−a),k≠0,那么直线l2的方程为y−b=−1k(x−a).因为圆C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长及直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即∣1−k (−3−a )−b∣√1+k 2=∣∣5+1k (4−a )−b ∣∣√1+1k 2,整理得 ∣1+3k +ak −b∣=∣5k +4−a −bk∣,从而1+3k +ak −b =5k +4−a −bk, 或1+3k +ak −b =−5k −4+a +bk.即(a +b −2)k =b −a +3,或(a −b +8)k =a +b −5.因为 k 的取值有无穷多个，所以{a +b −2=0,b −a +3=0,或{a −b +8=0,a +b −5=0.解得{a =52,b =−12,或{a =−32,b =132.这样点 P 只可能是点 P 1(52,−12) 或点 P 2(−32,132)． 经检验点 P 1 和 P 2 满足题目条件．。

第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案 C2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0解析依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y＋2 1＋2＝x－12－1，即3x－y－5＝0.答案 A3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为() A．1，－1 B．2，－2C ．1D ．－1解析 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案 D4．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (2，6)的切线方程是( ) A ．x ＋6y －10＝0 B.6x －2y ＋10＝0 C ．x －6y ＋10＝0D ．2x ＋6y －10＝0解析 ∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62， ∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63. 故切线方程为y －6＝－63(x －2)． 即2x ＋6y －10＝0. 答案 D5．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析 由题意可设所求的直线方程为y ＝－x ＋k ，则由|k |2＝1，得k ＝±2.由切点在第一象限知，k ＝ 2.故所求的直线方程y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.答案 A6．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析点P到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．答案 A7．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1处，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，又圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1＝r，∴直线与圆相交．答案 B8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3C．2 D．1解析两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案 B9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案 A10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A．9π B．πC．2π D．由m的值而定解析∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案 B11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析 设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案 C12．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，512) B ．(512，＋∞) C ．(13，34]D ．(512，34] 解析 如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)， 直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)， 当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．解析 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4. 答案 414．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________． 解析 r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案 (x －1)2＋(y －1)2＝215．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．解析 已知方程配方，得(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．答案 ②16．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9相交于A ，B 两点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积为________．解析 圆心坐标(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线x －2y －3＝0的距离d ＝5，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4.又原点(0,0)到AB 所在直线的距离h ＝35，所以△AOB 的面积为S ＝12×4×35＝655.答案 655三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解 解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1.即x2＋y2－4x＝0.①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝12|OA|＝2，由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．解由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.∵A，B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)．∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0.解得m＝－1.故圆M的圆心M(－1，－2)．19．(12分)点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．解把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.如图所示，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.因此，|MN |的最大值是13＋5.20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解 如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2.化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)， (1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任意一点，求|MQ |的最大值、最小值；(3)若N (a ，b )满足关系：a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求出t ＝b －3a ＋2的最大值．解 圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可化为(x －2)2＋(y －7)2＝8. (1)点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以m 2＋(m ＋1)2－4m －14(m ＋1)＋45＝0，解得m ＝4，故点P (4,5)．所以PQ 的斜率是k PQ ＝5－34＋2＝13；(2)如图，点M 是圆C 上任意一点，Q (－2,3)在圆外， 所以|MQ |的最大值、最小值分别是 |QC |＋r ，|QC |－r . 易求|QC |＝42，r ＝22， 所以|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2.(3)点N 在圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上，t ＝b －3a ＋2表示的是定点Q (－2,3)与圆上的动点N 连线l 的斜率． 设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 当直线和圆相切时，d ＝r ，即|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1＝22，解得k ＝2±3.所以t ＝b －3a ＋2的最大值为2＋ 3.22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．解 (1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5.消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎨⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径． 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∴k ＝5±3 5.。

圆的方程（选择题：较易）1、若圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于两点，且，则圆的标准方程是（）A． B．C． D．2、方程表示一个圆，则的范围是（）A． B．C． D．3、与圆同圆心，且过的圆的方程是（）A． B．C． D．4、已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为A． B．C． D．5、在平面直角坐标系中，动点的坐标满足方程，则点的轨迹经过（）A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限6、圆的圆心坐标和半径分别为（）A．（0,2），2 B．（2,0），2 C．（-2,0），4 D．（2,0），47、以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为（）A． B．C． D．8、圆心为且过点的圆的方程是（）A． B．C． D．9、点A（1,0）在圆上，则a的值为（）A．1 B．-2 C．1或-2 D．2或-210、方程表示的圆（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线对称D．关于直线对称11、已知点P（x，y）为圆C：x2+y2﹣6x+8=0上的一点，则x2+y2的最大值是（）A．2 B．4 C．9 D．1612、圆心在轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程是（）A． B．C． D．13、圆:与圆:的位置关系是( )A．相交 B．外切 C．内切 D．相离14、已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．15、圆的圆心坐标和半径分别是（）A． B． C． D．16、由曲线围成的图形的面积为（）A． B． C． D．17、点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x-2)2+(y+1)2=1 B．(x-2)2+(y+1)2=4C．(x+4)2+(y-2)2=4 D．(x+2)2+(y-1)2=118、若直线过圆的圆心，则实数的值为（）A． B． C． D．19、圆，那么与圆有相同的圆心，且经过点的圆的方程是（）．A． B．C． D．20、圆的方程为，则其圆心坐标及半径分别为（）．A．， B．， C．， D．，21、若圆与圆关于原点对称，则圆的方程为（）．A． B．C． D．22、圆的圆心坐标与半径是（）A． B．C． D．23、已知A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程( )A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝11624、若表示圆，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．25、对于，直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程是（）A． B．C． D．26、已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A． B．C． D．27、已知圆的方程为，则圆的半径为（）A．3 B．9 C． D．28、已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．29、圆的圆心坐标与半径是（）A． B．C． D．30、经过圆x2+y2+2y=0的圆心C，且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程为（）A．2x+3y+3=0 B．2x+3y-3=0 C．2x+3y+2=0 D．3x-2y-2=031、以点A为圆心，且与轴相切的圆的方程为（）A． B．C． D．32、方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()．A．m>－ B．m<－ C．m≤－ D．m≥－33、在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为（）A． B． C． D．34、圆的圆心坐标和半径分别为A．圆心 B．圆心C．圆心 D．圆心35、过点P(2 ，1)且被圆C：x 2＋y2– 2x＋4y =" 0" 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x – y– 5 = 0 B．3x ＋y– 7 = 0C．x –3y＋5 = 0 D．x ＋3y– 5 = 036、过点、点且圆心在直线上的圆的方程是（）A．B．C．D．37、圆关于直线对称的圆的方程为()A． B．C． D．38、已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B． C． D．39、若直线（，），经过圆的圆心，则的最小值是（）A． B． C． D．40、抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A． B．C． D．41、圆与轴相切于，与轴正半轴交于两点，且，则圆的标准方程为（）A．B．C．D．42、过，圆心在轴上的圆的方程为（）A． B．C． D．43、方程x2＋y2＋4x－2y＋5＝0表示的曲线是（）A．两直线 B．圆 C．一点 D．不表示任何曲线44、如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有（）A．D＝E B．D＝F C．F＝E D．D＝E＝F45、圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为（）A．（4，－6），r＝16 B．（2，－3），r＝4C．（－2，3），r＝4 D．（2，－3），r＝1646、若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是（）A．R B．（－∞，1） C．（－∞，1] D．[1，＋∞）47、已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短的弦长为（）A． B． C．2 D．448、若圆始终平分圆的周长，则满足的关系是（）A． B．C． D．49、已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)，此圆的标准方程为( ) A．(x－3)2＋y2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝450、已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是( )A．－4<a<3 B．－5<a<4 C．－5<a<5 D．－6<a<451、圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是( )A．(x－4)2＋(y＋1)2＝10B．(x＋4)2＋(y－1)2＝10C．(x－4)2＋(y＋1)2＝100D．(x－4)2＋(y＋1)2＝52、点P(a,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不确定53、圆和圆的公共弦长为（）A． B．C． D．54、方程表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆 B．一条线段与半圆C．一条射线与一段劣弧 D．一条线段与一段劣弧55、已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则=（）A．2 B．C．6 D．56、已知圆，圆，圆与圆的位置关系为（）A．外切 B．内切C．相交 D．相离57、设圆的方程是，若，则原点与圆的位置关系是（）A．原点在圆上 B．原点在圆外C．原点在圆内 D．不确定58、已知圆，直线上至少存在一点，使得以点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最小值是（）A． B．C． D．59、过两点的面积最小的圆的方程为（）A．B．C．D．60、已知两圆的圆心距=" 3" ，两圆的半径分别为方程的两根，则两圆的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．内含61、与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上C．一条抛物线上 D．一个圆上62、圆与圆的位置关系是（）A．相交 B．外切C．内切 D．相离63、已知圆的方程为是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（）A． B．C． D．64、已知圆的方程为是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（）A． B．C． D．65、已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．66、以为圆心，4为半径的圆的方程为（）A． B．C． D．67、两圆与的位置关系为（）A．内切 B．外切C．相交 D．相离68、过点且圆心在直线上的圆的方程是（）A．B．C．D．69、若圆与圆的公共弦的长为，则（）A．2 B．1C． D．70、动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．参考答案1、C2、A3、B4、A5、A.6、B7、A8、D9、B10、D11、D12、A13、A14、C15、D16、B17、A18、A19、B20、D21、A22、D23、B24、B25、A26、B27、A28、B29、D30、A31、A32、A33、B34、B35、A36、C37、D38、C39、B40、D41、A42、D43、C44、A45、C46、B47、C48、C49、A50、A51、A52、A53、A54、D55、C56、C57、B58、A59、A60、D61、B62、D63、D64、D65、D66、C67、D68、C69、B70、C【解析】1、设中点为，则∴故选C．2、试题分析：由圆的一般式方程可知考点：圆的方程3、试题分析：把原圆的方程写成标准方程为，由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为：，把代入所设方程，得：，所以所求的圆的方程为，化简为：，故选B.考点：1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的.4、试题分析：易知关于直线的对称点为，即，圆心到直线的距离为，所以，圆方程为．故选A．考点：圆的标准方程．5、试题分析：由题意得，点在以为圆心，为半径的圆上，如下图所示，故可知点在第一、二象限，故选A.考点：圆的标准方程.6、试题分析：，所以圆心坐标和半径分别为（2,0）和2，选B.考点：圆标准方程7、试题分析：因为两条直线与的距离为，所以所求圆的半径为，所以圆心到直线的距离为即或，又因为圆心到直线的距离也为，所以，所以所求的标准方程为，故应选.考点：直线与圆的位置关系.8、试题分析：由圆的标准方程可知所求圆为考点：圆的方程9、试题分析：因为点在圆上，故解得.考点：圆的一般方程.10、试题分析：圆心，即圆心坐标满足方程，所以圆关于直线对称，考点：圆的性质11、试题分析：将圆C化为标准方程，找出圆心与半径，作出相应的图形，所求式子表示圆上点到原点距离的平方，根据图形得到当P与A重合时，离原点距离最大，求出所求式子的最大值即可．解：圆C化为标准方程为（x﹣3）2+y2=1，根据图形得到P与A（4，0）重合时，离原点距离最大，此时x2+y2=42=16．故选D考点：圆的一般方程．12、试题分析：设圆的标准方程为，由题可知，a=0，r=1，将（1,2）代入方程，可求得b=2，因此圆的标准方程为。

高中数学必修2圆的方程练习题第四章圆与方程一、选择题1.圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是()．A。

相交 B。

外切 C。

内切 D。

相离答案：A解析：将两个圆的方程化简，得到它们的圆心分别为(-1,-4)和(2,-2)，半径分别为√21和√5，两圆相交。

2.两圆x2+y2-4x+2y+1=0和x2+y2+4x-4y-1=0的公共切线有()．A。

1条 B。

2条 C。

3条 D。

4条答案：B解析：将两个圆的方程化简，得到它们的圆心分别为(2,-1)和(-2,1)，半径分别为√2和√2，两圆相交，故公共切线有两条。

3.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称，则圆C的方程是()．A。

(x-2)2+(y+1)2=1 B。

(x-2)2+(y-1)2=1C。

(x-1)2+(y+2)2=1 D。

(x+1)2+(y-2)2=1答案：B解析：圆C关于原点对称，则圆心必在直线y=x上，设圆C的圆心为(x0,x0)，则(x0+2)2+(x0-1)2=1，解得x0=1或x0=2，但由于圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称，故圆心在第二象限，因此x0=2，圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.4.与直线l:y=2x+3平行，且与圆x2+y2-2x-4y+4=0相切的直线方程是()．A。

x-y±5=0 B。

2x-y±5=0C。

2x-y-5=0 D。

2x-y+5=0答案：D解析：将圆的方程化简，得到它的圆心为(1,2)，半径为√2，故直线l与圆的切点为(1+√2,2+2√2)和(1-√2,2-2√2)，l的斜率为2，故l的方程为y=2x+b，将圆心代入该方程得到b=-1，故直线方程为y=2x-1，与圆x2+y2-2x-4y+4=0相切的直线方程为2x-y+5=0.5.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于()．A。

必修二第四章《圆与方程》单元测试题含答案(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（必修二第四章《圆与方程》单元测试题含答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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必修二第四章单元测试题(时间:90分钟总分：100分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0,那么这两个圆的位置关系是( ) A．相离 B．相交C．外切D．内切2．过点（2，1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为（) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝03．若直线(1＋a）x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为（）A．1，－1 B．2，－2C．1 D．－14．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，错误!)的切线方程是( )A．x＋错误!y－10＝0 B。

错误!x－2y＋10＝0C．x－错误!y＋10＝0 D．2x＋错误!y－10＝05．点M（3，－3，1)关于xOz平面的对称点是（)A．(－3,3,－1）B．(－3，－3，－1）C．(3,－3，－1) D．（3，3，1）6．若点A是点B（1,2，3)关于x轴对称的点，点C是点D（2,－2,5)关于y轴对称的点，则｜AC｜＝（）A．5 B。

错误!C．10 D.错误!7．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3，0）的连结线段PQ的中点的轨迹方程是( ）A．（x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3）2＋4y2＝1 D．（2x＋3)2＋4y2＝18．曲线y＝1＋错误!与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．（0，错误!) B．(错误!，＋∞)C．(错误!，错误!］D．(错误!,错误!］二、填空题(本大题共4小题，每小题6分,满分24分）9．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________．10．已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2:x2＋y2－2x－2y＝0，两圆的公共弦所在的直线方程．11．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，①关于直线y＝x对称；②关于直线x＋y＝0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．12．直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于__________．三、解答题（本大题共3小题，每题22分,共36分)13．（10分)自A（4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．14．(12分)已知⊙C：(x－3）2＋（y－4）2＝1,点A（－1,0）,B（1，0),点P是圆上动点，求d＝|PA|2＋｜PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．15．(12分）已知曲线C:x2＋y2＋2kx＋（4k＋10）y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.(1)求证:曲线C表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上；（2)证明曲线C过定点;（3)若曲线C与x轴相切，求k的值．必修二第四章测试卷答案一、选择1.C 2。

人教版高中数学必修2圆与方程章末测验（含两套，附答案）第四章 圆与方程章末测验一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．2-或12B ．2或12-C ．2或12D ．2-或12-2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是（ ） A ．(－3,4，－10) B ．(－3,2，－4) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，12D ．(6，－5,11)3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为（ ） A ．4B ．2C ．85 D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ） A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是（ ）6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是（ ）A ．a 2－2a －2b －3＝0 B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为（ ） A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是（ ） A ．5－5B ．5－ 5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是（ ） A ．(m －2)2＋n 2＝4 B ．(m ＋2)2＋n 2＝4 C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝012．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．|b |＝ 2 B ．－1<b <1或b ＝－ 2 C ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或b ＝－ 2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．点M (1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x 2＋y 2＋4y ＝0，x 2＋y 2＋2(a －1)x ＋2y ＋a 2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a 的值为________．15．已知P (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，则过点P 的最短弦所在直线方程是________，过点P 的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．18．(12分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．（1）求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程．22．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．（2）从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标.答 案1． C 2． A 3． A 4． A 5． B 6． B 7． B 8． A 9． C 10． C 11． D 12． D 13． (－1，－2，3) 14． －215． x ＋y －3＝0，x －y －3＝0 16． (x ＋2)2＋y 2＝2 17． ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94．18． E (0,2,1)为线段BB ′的中点．19． x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，152，12130．20． （1）见解析；（2）m 为－52时，最小值为27．21． （1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8．22． （1）y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35．第四章 圆与方程章末测验二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（ ） A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()1,2--2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．设直线过点(a,0)，其斜率为－1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为（ ） A ．± 2B ．±2C ．±2 2D ．±45．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是（ ） A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－26．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为（ ） A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝07．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧， 则a 2＋b 2＝（ ） A ． 2B ．2C ．1D ．38．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为（ ）A ．－3或 3B ． 3C ．－2或 2D ． 29．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．210．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A ．53B ．213C ．253D ．4311．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝012．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为22，则c的取值范围是（）A．[－22，22] B．(－22，22)C．[－2,2] D．(－2,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标是__________________.14．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB 的中垂线方程为__________________.15．过点A(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝__________________.16．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________.三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程．18．(12分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．19．(12分)已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（2）当|PQ|＝23时，求直线l的方程．20．(12分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300km处，以40km/h的速度向北偏西60°方向移动．据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间．21．已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．22．(12分)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．答 案1． B 2． B 3． B 4． B 5． D 6． C 7． B 8． A 9． B 10． B 11． A 12． C 13． (0，－76，0)14． x ＋y －3＝0 15．2216． (x －1)2＋y 2＝2. 17． x 2＋(y －1)2＝10． 18．64a ． 19． （1）见证明；（2）x ＝－1或4x －3y ＋4＝0． （1）证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，所以k l ＝3，故直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 因为圆心坐标为(0,3)满足直线l 方程， 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ． 20． 见解析．【解析】以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向建立直角坐标系．开始时台风中心在B (300,0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y ＝－33(x －300)(x ≤300)．该市受台风影响时，台风中心在圆x 2＋y 2＝2502内，设直线与圆交于C ，D 两点，则|CA |＝|AD |＝250，所以台风中心到达C 时，开始受影响该市，中心移至点D 时，影响结束，作AH ⊥CD 于点H ，则|AH |＝100313＋1＝150，|CD |＋2|AC |2－|AH |2＝400，∴t ＝4004＝10(h)．即台风对该市的影响持续时间为10小时．21． （1）(x －3)2＋(y －1)2＝9；（2）－1． 22． （1）y ＝3或3x ＋4y －12＝0；（2）[0，125]．。

第四章圆与方程单元检测(时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 (此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)1．直线 y ＝ x ＋ 10 与曲线 x 2＋y 2＝ 1 的地点关系是 ()．A ．订交B ．相离C ．相切D ．不可以确立2．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ( )． A ． x 2＋ (y －2)2＝1 B ． x 2＋ (y ＋ 2)2＝ 1 C ．( x － 1) 2＋ (y －3) 2＝ 1D ． x 2＋ (y － 3)2＝ 13．点 P(x ， y ， z)知足x 1 2 y 1 2 z 1 22，则点 P 在()．A ．以点 (1,1，－ 1)为圆心，2 为半径的圆上B ．以点 (1,1，－ 1) 为中心，2 为棱长的正方体内 C ．以点 (1,1，－ 1) 为球心， 2 为半径的球面上 D ．没法确立4．圆 x 2 ＋y 2＝4 与圆 x 2＋ y 2＋ 4x － 4y ＋ 4＝ 0 对于直线 l 对称，则 l 的方程是 ()．A ． x ＋ y ＝ 0B ． x ＋ y －2＝ 0C ．x － y － 2＝ 0D ． x － y ＋ 2＝ 05．圆 C 1：x 2＋ y 2＋2x ＋ 2y － 2＝ 0 与 C 2：x 2＋ y 2－ 4x － 2y ＋1＝ 0 的公切线有且只有 ( )．A ．1 条B ．2 条C ．3 条D ．4 条 6．把圆 x 2 ＋ y 2＋2x － 4y － a 2－2＝ 0 的半径减小一个单位则正好与直线3x － 4y － 4＝ 0 相切，则实数 a 的值为 ( )．A ．－ 3B ． 3C ．－3或 3D ．以上都不对7．过点 P(2,3)向圆 x 2＋ y 2＝ 1 作两条切线 PA 、 PB ，则弦 AB 所在直线的方程为 ()．A ． 2x － 3y － 1＝ 0B ． 2x ＋ 3y － 1＝ 0C ．3x ＋ 2y － 1＝ 0D ． 3x － 2y － 1＝ 08．与圆 x 2＋ y 2－ ax －2y ＋ 1＝ 0 对于直线 x － y － 1＝0 对称的圆的方程为＝0，则 a 等于 ( )．A ． 0B ． 1C ． 2D ．3229．圆 x ＋(y ＋1) ＝ 3 绕直线 kx －y － 1＝ 0 旋转一周所得的几何体的表面积为 x 2 ＋y 2－ 4x ＋ 3()．A ． 36πB ． 12πC ．4 3D ． 4π10．动圆 x 2＋ y 2－ (4m ＋2)x － 2my ＋ 4m 2＋4m ＋ 1＝ 0 的圆心的轨迹方程是 ( ) ．A ． 2x － y － 1＝ 0B ． 2x － y － 1＝0(x ≠ 1)C ．x － 2y － 1＝0(x ≠ 1)D ．x － 2y － 1＝ 011．若过定点 M(－ 1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x 2＋ 4x ＋ y 2－ 5＝0 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是 ( )．A ． 0 k 5B ．5 k 0C ． 0 k13D ． 0＜ k ＜ 512．直线 y ＝kx ＋ 3 与圆 (x － 3)2＋ (y － 2)2＝ 4 订交于 M ， N 两点，若 MN2 3 ，则 k的取值范围是 ()．A ． [3,0]B ． (－∞，3 ]∪[0 ，＋ ∞)44C ． [3 , 3 ]D ．[ 2,0]3 33二、填空题 (此题共 4 小题，，每题 4 分，共 16 分)13．过直线 l ：y ＝ 2x 上一点 P 作圆 C ：(x － 8)2＋ (y － 1)2＝ 2 的切线 l 1， l 2，若 l 1，l 2 对于直线 l 对称，则点 P 到圆心 C 的距离为 __________ ．14．点 P 为圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，则点P 到直线3x－ 4y－ 10＝ 0 的距离的最小值为__________．15．已知圆 C 经过 A(5,1) ，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 ________．16．已知圆 C 过点 (1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l ：y＝ x－ 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2 ，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ________．三、解答题 (此题共 6 小题，共74 分)17． (12 分)一圆和直线 l ：x＋ 2y－ 3＝0 切于点 P(1,1)，且半径为 5，求这个圆的方程．18．(12 分 )求平行于直线 3x＋223y＋5＝ 0 且被圆 x ＋ y＝ 20 截得长为6 2的弦所在的直线方程．22＝ 16 内的定点，B，C 是这个圆上的两个动点，若 BA⊥ CA，19．(12 分 )点 A(0,2)是圆 x ＋ y求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．222220． (12 分)圆 x ＋ y －2x－ 5＝ 0 与圆 x ＋ y ＋ 2x－ 4y－ 4＝ 0 的交点为 A、 B.(1)求线段 AB 的垂直均分线的方程；(2)求线段 AB 的长．21． (12 分 ) 已知圆C： (x－ 1)2＋ ( y－ 2)2＝ 25，直线l： (2m＋ 1)x＋ (m＋ 1)y－ 7m－ 4＝0(m∈R)．(1)证明：无论 m 为什么值时，直线和圆恒订交于两点；(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程．22．(14 分 )在平面直角坐标系xOy 中，曲线 y＝ x2－ 6x＋1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 x－y＋ a＝ 0 交于 A， B 两点，且 OA⊥OB ，求 a 的值．答案与分析1.答案： B分析：圆心到直线的距离|10 |2 1.522.答案： A分析：方法一 (直接法 )：设圆心坐标为 (0， b)，则由题意知0 1 2 b 2 21，解得b＝2，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法二 (数形联合法 ) ：由作图依据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法三 (考证法 )：将点 (1,2)代入四个选择支，清除 B ， D，又因为圆心在y 轴上，清除C.3.答案： C(x， y， z)知足到定点 (1,1，－ 1)的距离恒分析：依据两点间距离公式的几何意义，动点等于 2.4.答案： D分析：∵两圆圆心分别为(0,0)和 (－ 2,2)，∴中点为 (－ 1,1)，两圆圆心连线斜率为－ 1.∴l 的斜率为 1，且过点 (－ 1,1)．∴l 的方程为 y－ 1＝ x＋1，即 x－ y＋ 2＝ 0.5.答案： B解析：⊙C1： (x ＋ 1)2＋ (y ＋ 1)2＝ 4 ，⊙ C2： (x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝ 4 ，C1C2＝ 2 12 1 1 213 4，∴只有 2 条公切线．∴应选 B.6.答案： C分析：圆的方程可变成 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ a2＋ 7，圆心为 (－ 1,2)，半径为a27 ，由题意得| 13 42 4 |a27 1，3 242解得 a＝±3.7.答案： B解析：圆x2＋ y2＝ 1的圆心为坐标原点O ，以OP为直径的圆的方程为( x－1)2＋( y－3) 2＝13.24明显这两个圆是订交的，x2y 21由1 2y32 13x2 4得 2x＋3y－ 1＝ 0，这就是弦 AB 所在直线的方程．8.答案： C分析：两圆的圆心分别为(a,1)，B(2,0)，A2则 AB 的中点(a1,1) 在直线x－y－1＝0上，即a11 1 0 ，解得a＝2，应选4242择 C.9.答案： B分析：由题意，圆心为(0，－ 1)，又直线kx－ y－ 1＝ 0 恒过点 (0，－ 1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以 S＝ 4π(3 )2＝12π.10.答案： C分析：圆心为 (2m＋1， m)， r ＝ |m|(m≠0)．不如设圆心坐标为(x， y)，则 x＝ 2m＋ 1， y＝ m，所以 x－2y－ 1＝ 0.又因为 m≠0，所以 x≠1因.此选择 C.11.答案： A分析：圆 x2＋ 4x＋ y2－ 5＝ 0 可变形为 (x＋ 2)2＋ y2＝ 9，如下图．当 x＝ 0 时，y＝ 5 ，联合图形可得A(0, 5) ，∵ k AM＝55 ，1∴ k (0， 5) ．12.答案： A分析：圆心 (3,2) 到直线 y＝kx＋ 3的距离 d＝| 3k1| ，k21MN ＝23k 1 2，4 2 3k 21∴30 .k413.答案： 3 5 分析： 圆心 C 的坐标为 (8,1)， 由题意，得 PC ⊥ l ，∴ PC 的长是圆心 C 到直线 l 的距离．|161|即 PC ＝ 3 5 .514.答案： 1分析： ∵圆心到直线的距离为 d ＝102 ，5∴点 P 到直线 3x － 4y － 10＝ 0 的距离的最小值为 d －r ＝ 2－ 1＝ 1.15.答案： ( x － 2)2 ＋y 2＝10分析： 由题意，线段 AB 中点 M(3,2) ， k AB ＝－1k AB ＝－ 1，2 2∴线段 AB 中垂线所在直线方程为y － 2＝2(x － 3)．y 2 2 x 3得圆心 (2,0) ．由y则圆 C 的半径 r ＝ 2 1 23 210故圆 C 的方程为 (x － 2)2＋ y 2＝ 10.16.答案： x ＋ y － 3＝ 0分析： 设圆心 (a,0)，∴ (| a 1| )2( 2) 2＝ | a －1|2 ,∴ a ＝ 3.2∴圆心 (3,0)．∴所求直线方程为 x ＋ y － 3＝0. 17.解： 设圆心坐标为 C( a ， b)，圆的方程即为 (x － a)2＋ (y － b)2＝ 25.∵点 P(1,1)在圆上，则 (1－ a)2＋ (1－ b)2＝ 25.①又 l 为圆 C 的切线，则 CP ⊥ l ，∴b1 2.②a 1 联立①②解得a15a 15或b1 2 5b 125即所求圆的方程为 (x － 1－5 )2＋ (y － 1－ 2 5 )2 ＝ 25 或 (x －1＋ 5 )2＋ (y － 1＋ 2 5 )2＝25.18.解： 设弦所在的直线方程为 x ＋ y ＋c ＝ 0.①则圆心 (0,0)到此直线的距离为d ＝ | c || c | .112因为圆的半弦长、半径、弦心距恰巧组成直角三角形，所以 ( | c |) 2(3 2) 2＝20 .2由此解得 c ＝ ±2，代入①得弦的方程为 x ＋ y ＋2＝ 0 或 x －y － 2＝ 0.19.解： 设点 M(x ， y)，因为 M 是弦 BC 的中点，故 OM ⊥ BC.又∵∠ BAC ＝ 90°，∴ |MA |＝1|BC|＝ |MB |.2∵ |MB |2＝ |OB|2－ |OM |2，222，即 4 2222＋ (y － 2) 222∴|OB| ＝|MO | ＋|MA| ＝ (x ＋ y ) ＋ [(x － 0) ] ，化简为 x ＋ y － 2y －6＝ 0，即 x 2 ＋(y － 1)2＝ 7.∴所求轨迹为以 (0,1)为圆心，以7 为半径的圆．20.解： (1) 两圆方程相减，得 4x － 4y ＋ 1＝ 0，即为AB的方程．两圆圆心连线即为AB的垂直均分线，所以 AB 的垂直均分线的方程过两圆圆心，且与 AB 垂直． 则 AB 的垂直均分线的斜率为－ 1.又圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心为 (1,0)，所以 AB 的垂直均分线的方程为 y ＝－ (x － 1)，即 x ＋ y － 1＝0.(2)圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的半径、圆 x 2＋y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心到 AB 的距离、 AB 长的一半三者组成一个直角三角形的三条边，圆x 2＋ y 2－ 2x － 5＝0 可化为 (x － 1)2＋ y 2＝ 6，所以圆心(1,0)，半径 6，弦心距|4 1 40 1| 5 2，由勾股定理得42428(|AB |25 2 2 2)()( 6，)28解得 AB ＝346.221.解： (1) 由 (2m ＋ 1)x ＋ (m ＋ 1)y － 7m － 4＝ 0，得 (2x ＋ y － 7)m ＋ x ＋ y －4＝ 0.2x y 7 0 x 3则y4 0解得1x y∴直线 l 恒过定点 A(3,1) ．又∵ (3－ 1)2＋ (1－ 2)2＝ 5＜ 25，∴ (3,1)在圆 C 的内部，故 l 与 C 恒有两个公共点．(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，有l ⊥ AC ，由 k AC ＝－1 ，得 l 的方程为 y － 1＝22(x － 3)，即 2x － y －5＝ 0.22.解： (1) 曲线 y ＝ x 2－ 6x ＋ 1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为 (32 2,0) ，(3 2 2,0) ．故可设 C 的圆心为 (3， t)，则有 32＋(t －1)2＝(2 2) 2 t 2，解得 t ＝ 1.则圆 C 的半径为32＋(t －1)2 3所以圆 C 的方程为 (x － 3)2＋ (y － 1)2＝ 9.(2)设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，其坐标知足方程组：x y a0 x 3 2y1 2 9.消去 y ，获得方程 2x 2＋ (2a － 8)x ＋ a 2－ 2a ＋ 1＝ 0.由已知可得，鉴别式 ＝ 56－16a － 4a 2＞ 0.所以 x 1,2＝ (8 2a)56 16a 4a24 ，进而 x 1＋ x 2＝ 4－ a ， x 1 x 2＝ a 22a 12.①因为 OA ⊥OB ，可得 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.又 y 1＝ x 1＋ a ， y 2＝ x 2＋a ，所以 2x 1 x 2＋ a(x 1＋ x 2)＋ a 2＝ 0.② 由①，②得 a ＝－ 1，知足 ＞ 0，故 a ＝－ 1.。