新人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 单元检测题(含解析)

九年级数学下册《第27章相似》单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若，则的值是（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（）A．＝B．2a＝3b C．＝D．3a＝2b 3．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝4．如图，已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF ⊥BP于B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为（）A．3 B．C．3或D．3或5 5．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE ＝（）A．5 B．6 C．7 D．86．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为（）A．12 B．9 C．8 D．47．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．87°B．60°C．75°D．120°8．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m10．如图，已知∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AB＝4，AC＝10，则AD ＝（）A．B．2 C．D．1二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD＝4，CD＝9，则AD ＝．12．在同一时刻，一杆高为2m，影长为1.2m，某塔的影长为18m，则塔高为m．13．若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应中线的比是．14．△OAB各顶点的坐标为O（0，0）、A（2，4）、B（4，0），要得到与△OAB位拟的一个大三角形OA′B′，已知A′（4，8），那么B′的坐标为．15．高6cm的旗杆在水平面上的影长为8cm，此时测得一建筑物的影长为28cm，则该建筑物的高为．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P 从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t＝秒时，△CPQ与△ABC相似．三．解答题（共8小题，满分60分）17．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝7，求EF的长；（2）如果AB：AC＝2：5，EF＝9，求DF的长．18．（8分）已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2＝GF•EF．19．（8分）已知：如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE＝AD，AE分别交BD、BC于点F、G，且∠1＝∠2．（1）填空：图中与△BEF全等的三角形是，与△BEF相似的三角形是（不再添加任何辅助线）；（2）对（1）中的两个结论选择其中一个给予证明．20．（8分）方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．解答问题：（1）请按要求对△ABO作如下变换：①将△OAB向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到△O1A1B1；②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△OA2B2．（2）写出点A1，A2的坐标：，；（3）△OA2B2的面积为．21．（8分）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE＝∠ADE．（1）如图1，求证：AD＝CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE＝2DE，DE＝EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．22．（10分）如图，AC是▱ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EG；（2）若DG＝DC，BE＝6，求EF的长．23．（10分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．（要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程）24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P 从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若，则的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先设＝k，用k分别表示出x，y，z，进而代入解答即可．【解答】解：设＝k，则x＝2k，y＝7k，z＝5k，把x＝2k，y＝7k，z＝5k代入，故选：B．【点评】此题考查比例的性质，关键是设＝k解答．2．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（）A．＝B．2a＝3b C．＝D．3a＝2b【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【解答】解：由＝得，3a＝2b，A、由等式性质可得：3a＝2b，正确；B、由等式性质可得2a＝3b，错误；C、由等式性质可得：3a＝2b，正确；D、由等式性质可得：3a＝2b，正确；故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．3．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．4．如图，已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF ⊥BP于B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为（）A．3 B．C．3或D．3或5【分析】由于∠ABC＝∠PBF＝90°，同时减去∠PBC后可得到∠ABP ＝∠CBF，若以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么必有：AB：PB＝BC：BM或AB：BP＝BM：BC，可据此求得BM的值．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝5；又∵∠PBF＝90°，∴∠ABP＝∠CBF＝90°﹣∠CBP；若以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则：①，即，解得BM＝；②，即，解得BM＝3；故选：C．【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，应注意相似三角形的对应顶点不明确时，要分类讨论，不要漏解．5．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE ＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝5，AC＝8，DF＝12，∴，即，可得；DE＝6，故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．6．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为（）A．12 B．9 C．8 D．4【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴，即，解得，EF＝8，故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．87°B．60°C．75°D．120°【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于360°计算即可．【解答】解：∵两个四边形相似，∴∠1＝138°，∵四边形的内角和等于360°，∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，故选：A．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．8．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比，代入数值即可求得结果．【解答】解：∵△RPQ∽△ABC，∴，即，∴△RPQ的高为6．故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处．故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比．解题的关键是数形结合思想的应用．9．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.5（米）．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．10．如图，已知∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AB＝4，AC＝10，则AD ＝（）A．B．2 C．D．1【分析】根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项即可得出BC的长．【解答】解：根据射影定理得：AB2＝AD•AC，∴AD＝＝．故选：A．【点评】本题考查射影定理的知识，属于基础题，注意掌握每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD＝4，CD＝9，则AD＝6 ．【分析】根据直角三角形中的射影定理来做：AD2＝BD•CD．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AD是斜边BC上的高，∴AD2＝BD•CD（射影定理），∵BD＝4，CD＝9，∴AD＝6．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质：射影定理．12．在同一时刻，一杆高为2m，影长为1.2m，某塔的影长为18m，则塔高为30 m．【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，所以利用题目的参照物就可以直接求出塔高．【解答】解：设塔高为x，根据同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同．得∴x＝30．∴塔高为30m．【点评】解题关键要知道同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同．13．若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应中线的比是4：9 ．【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，对应中线的比等于相似比，即可求解．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比＝相似比＝对应中线的比，∴对应中线的比是：4：9．故答案是：4：9．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．14．△OAB各顶点的坐标为O（0，0）、A（2，4）、B（4，0），要得到与△OAB位拟的一个大三角形OA′B′，已知A′（4，8），那么B′的坐标为（8，0）．【分析】根据题意得：△OA′B′∽△OAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：根据题意得：△OA′B′∽△OAB，∵A的坐标为（2，4），A′点的坐标为（4，8），∴相似比k＝2，∵B（4，0），∴B′点的坐标为：（8，0）．故答案为：（8，0）．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．15．高6cm的旗杆在水平面上的影长为8cm，此时测得一建筑物的影长为28cm，则该建筑物的高为21cm．【分析】根据相同时刻下物高与影长所在的三角形相似可得物高与影长的比相等，把相关数值代入可得建筑物的高．【解答】解：∵相同时刻下物高与影长所在的三角形相似，∴6：8＝建筑物高：28，解得建筑物高为21cm．故答案为：21cm．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相同时刻下物高与影长的比相等．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t＝ 4.8或秒时，△CPQ与△ABC相似．【分析】分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，，即，解得t＝4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，，即，解得t＝．综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．故答案为4.8或．【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．三．解答题（共8小题，满分60分）17．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝7，求EF的长；（2）如果AB：AC＝2：5，EF＝9，求DF的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，即＝，解得：EF＝4；（2）∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，解得；DF＝15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握定理是解题的关键．18．（8分）已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2＝GF•EF．【分析】根据平行四边形的性质得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线分线段成比例定理得＝，＝，利用等量代换得到＝，然后根据比例的性质即可得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴＝，＝，∴＝，即CF 2＝GF •EF ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．19．（8分）已知：如图，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，BE ＝AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，且∠1＝∠2．（1）填空：图中与△BEF 全等的三角形是 △BEF ≌△DAF ，与△BEF 相似的三角形是 △BEF ∽△GBF （不再添加任何辅助线）；（2）对（1）中的两个结论选择其中一个给予证明．【分析】（1）结合图形，根据全等三角形的判定即可得解；根据相似三角形的判定，结合图形找出与△BEF能够有两组对应角相等的三角形即可；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠E，然后利用“角角边”证明△BEF和△DAF全等；根据∠1＝∠2可得∠2＝∠E，又∠E为公共角，可以证明△BEF和△GBF相似．【解答】（1）解：△BEF≌△DAF，△BEF∽△GBF；（2）证明：∵BE∥AC，∴∠1＝∠E，在△BEF和△DAF中，∵，∴△BEF≌△DAF（AAS）；∵BE∥AC，∴∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠E，又∵∠F为公共角，∴△BEF∽△GBF．【点评】本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，相似三角形的判定方法，并准确识图找出相关的条件是解题的关键．20．（8分）方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．解答问题：（1）请按要求对△ABO作如下变换：①将△OAB向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到△O1A1B1；②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△OA2B2．（2）写出点A1，A2的坐标：（0，﹣1），（﹣6，﹣2）；（3）△OA2B2的面积为10 ．【分析】（1）根据平移的方向和距离作出△O1A1B1；根据位似中心的位置以及位似比的大小作出△OA2B2；（2）根据三角形的位置得出点A1，A2的坐标即可；（3）根据△OA2B2的位置，运用割补法求得△OA2B2的面积即可．【解答】解：（1）①如图所示，△O1A1B1即为所求；②如图所示，△OA2B2即为所求；（2）由图可得，点A1，A2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣6，﹣2）；故答案为：（0，﹣1），（﹣6，﹣2）；（3）若以x轴为分割线，则△OA2B2的面积为：×5×（2+2）＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了利用位似变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．21．（8分）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE＝∠ADE．（1）如图1，求证：AD＝CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE＝2DE，DE＝EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE＝∠CGF+∠GCF，根据∠BGE＝∠ADE＝∠CGF得出∠DAE＝∠GCF即可得；（2）设DE＝a，先得出AE＝2DE＝2a、EG＝DE＝a、AH＝HE＝a、CE ＝AE＝2a，据此知S△ADC＝2a2＝2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE＝AE ＝2a，再分别求出S△ABE、S△BCE、S△BHG，从而得出答案．【解答】解：（1）∵∠BGE＝∠ADE，∠BGE＝∠CGF，∴∠ADE＝∠CGF，∵AC⊥BD、BF⊥CD，∴∠ADE+∠DAE＝∠CGF+∠GCF，∴∠DAE＝∠GCF，∴AD＝CD；（2）设DE＝a，则AE＝2DE＝2a，EG＝DE＝a，∴S△ADE＝AE•DE＝•2a•a＝a2，∵BH是△ABE的中线，∴AH＝HE＝a，∵AD＝CD、AC⊥BD，∴CE＝AE＝2a，则S△ADC＝AC•DE＝•（2a+2a）•a＝2a2＝2S△ADE；在△ADE和△BGE中，∵，∴△ADE≌△BGE（ASA），∴BE＝AE＝2a，∴S△ABE＝AE•BE＝•（2a）•2a＝2a2，S△BCE＝CE•BE＝•（2a）•2a＝2a2，S△BHG＝HG•BE＝•（a+a）•2a＝2a2，综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．22．（10分）如图，AC是▱ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EG；（2）若DG＝DC，BE＝6，求EF的长．【分析】（1）依据等量代换得到∠ECF＝∠G，依据∠CEF＝∠CEG，可得△ECF∽△EGC，进而得出，即CE2＝EF•EG；（2）依据AB＝CD＝DG，可得AB：CG＝1：2，依据AB∥CG，即可得出EG＝12，BG＝18，再根据AB∥DG，可得BF＝BG＝9，进而得到EF＝BF﹣BE＝9﹣6＝3．【解答】解：（1）∵AB∥CG，∴∠ABF＝∠G，又∵∠ABF＝∠ACF，∴∠ECF＝∠G，又∵∠CEF＝∠CEG，∴△ECF∽△EGC，∴，即CE2＝EF•EG；（2）∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，又∵DG＝DC，∴AB＝CD＝DG，∴AB：CG＝1：2，∵AB∥CG，∴，即，∴EG＝12，BG＝18，∵AB∥DG，∴，∴BF＝BG＝9，∴EF＝BF﹣BE＝9﹣6＝3．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，问题（2）的解法不唯一，也可以根据点F是AD的中点，△AEF与△CEB相似，得到EF的长．23．（10分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．（要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程）【分析】依据D是AB的中点，D'是A'B'的中点，即可得到，根据△ABC∽△A'B'C'，即可得到，∠A'＝∠A，进而得出△A'C'D'∽△ACD，可得＝k．【解答】已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，＝k，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，求证：＝k．证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，∴AD＝AB，A'D'＝A'B'，∴，∵△ABC∽△A'B'C'，∴，∠A'＝∠A，∵，∠A'＝∠A，∴△A'C'D'∽△ACD，∴＝k．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P 从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？【分析】（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ＝CP×CQ求解；（2）在Rt△CPQ中，由（1）可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；（3）应分两种情况，当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据＝，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据＝，可求出时间t．【解答】解：（1）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；（2）当t＝3秒时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，由勾股定理得PQ＝；（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3秒；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝秒．因此t＝3秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似．【点评】本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解．。

第二十七章相似一、选择题(本大题共7 小题，每小题4 分，共28 分)1.如图1，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C 和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF 的长为( )图 1A．4 B．5 C．6 D．82.如图2，点D，E 分别为△ABC 的边AB，AC 的中点，则△ADE 的面积与四边形BCED 的面积的比为( )图 2A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶13.如图3 所示，P 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB 的是( )AB AC 图 3AC BCA.AP＝ABB.AB＝BPC．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC4.已知△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的相似比是1∶2，△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )A．3 B．6 C．9 D．12 5．如图4 所示，在△ABC 中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( )AD DE 图 4BF EFA.DB＝BCB.BC＝ADAE BF EF DEC.EC＝FCD.AB＝BC6.如图5 所示，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB 上取一点P，使得△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P共有( )图 5A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个7.若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图 6，如果扇形OAB 与扇形O1A1B1相似，且半径OA∶O1A1＝k(k 为不等于 0 的常数)，连接AB，A1B1.那AB么下面四个结论：①∠AOB＝∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③A1B1＝k；④扇形OAB 与扇形O1A1B1的面积之比为k2.其中正确的有( )图 6A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共25 分 )8．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝35°，∠C′＝85°，则∠B＝°，∠B′＝°.9.若两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm 和5 cm，且较小三角形的周长为15cm，则较大三角形的周长为cm.10.如图7，⊙O 的两条弦AB，CD 相交于点P，连接AC，BD.若S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝．图 711.如图8 所示，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好在地面的同一点O，此时点O 与竹竿的距离DO＝6 m，竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB 的高为m.图 812.将三角形纸片(△ABC)按图9 所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4.若以点B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长是．图 9三、解答题(本大题共 4 小题，共 47 分)13．(11 分)如图 10，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，△ABC 的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)将△ABC 向左平移 7 个单位长度后再向下平移 3 个单位长度，请画出经过两次平移后得到的△A1B1C1；(2)以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC 对应边的比为1∶2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．图 1014．(12 分)如图 11 所示，点C，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形．(1)当AC，CD，DB 满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB 时，求∠APB 的度数．图 1115．(12 分)如图12 所示，BE 是锐角三角形ABC 的外接圆⊙O 的直径，CD 是△ABC 的高．(1)求证：AC·BC＝BE·CD；(2)若CD＝6，AD＝8，BD＝3，求⊙O 的直径BE.图 1216．(12 分)如图13 所示，在△ABC 中，BA＝BC＝20 cm，AC＝30 cm，点P 从点A 出发，沿AB 边以每秒 4 cm 的速度向点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿CA 边以每秒 3 cm 的速度向点A 运动，设运动时间为x 秒．(1)当x 为何值时，PQ∥BC?(2)△APQ 能否与△CQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由．图 13答案1．C2．B 3．B 4．D 5．C 6．C 7．D8．[答案] 60 609．2510．[答案] 4∶311．[答案] 91212．[答案] 7 或213．解：(1)△A1B1C1如图所示．(2)△A2B2C2如图所示，点A2的坐标为(－1，－4)．14．解：(1)当CD2＝AC·DB 时，△ACP∽△PDB.∵△PCD 是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°.PC AC若CD2＝AC·DB，则由PC＝PD＝CD 可得PC·PD＝AC·DB，即BD＝PD. 又∵∠ACP＝∠PDB，∴△ACP∽△PDB.(2)当△ACP∽△PDB 时，∠APC＝∠PBD.由题意可知∠PDC＝60°，∴∠BPD＋∠PBD＝60°，∴∠APC＋∠BPD＝60°，∴∠APB＝∠CPD＋∠APC＋∠BPD＝120°，即∠APB 的度数为120°.15．解：(1)证明：连接CE.由BE 为⊙O 的直径知∠ECB＝90°.∵∠A＝∠E，∠ADC＝∠ECB＝90°，∴△ADC∽△ECB，AC CD∴BE＝BC，∴AC·BC＝BE·CD.(2)由勾股定理，知AC＝AD2＋CD2＝10，BC＝BD2＋CD2＝3 5.又∵AC·BC＝BE·CD，∴3 5×10＝6BE，解得BE＝5 5.16．解：(1)∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，AP AQ 4x 30－3x30 ，∴AB＝AC，即20＝10解得x＝3 .10即当x＝3 时，PQ∥BC.(2)能相似．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴△APQ 和△CQB 相似可能有以下两种情况：AP AQ①若△APQ∽△CQB，则CQ＝CB，4x 30－3x 10即3x＝20 ，解得x＝9 .10经检验，x＝9 是上述方程的解且符合题意．40∴当AP＝9 cm 时，△APQ∽△CQB；AP AQ②若△APQ∽△CBQ，则CB＝CQ，4x 30－3x即20＝3x ，解得x＝5 或x＝－10.经检验，x＝5 是上述方程的解且符合题意x＝－10 不合题意，舍去．∴当AP＝20 cm 时，△APQ∽△CBQ.40综上所述，当AP 的长为9 cm 或 20 cm 时，△APQ 与△CQB 相似．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

2021年春季人教版九年级下册数学单元测试卷第二十七章相似综合能力检测卷时间:90分钟满分:100分一、选择题(每题3分,共30分)1.下列说法正确的是( )A.菱形都相似B.正六边形都相似C.矩形都相似 D .一个内角为80°的等腰三角形都相似 2.已知b a =513,则a -ba+b的值是 ( )A.23B .32C .94D.493.如图,DE ∥FG ∥BC ,若DB=4FB ,则EG 与GC 的关系是 ( )A .EG=4GCB .EG=3GC C .EG=52GCD .EG=2GC第3题图 第4题图 第5题图4.如图,在△ABC 中,点D 是边AB 上的一点,∠ADC=∠ACB ,AD=2,BD=6,则边AC 的长为 ( )A.2B.4C.6 D .85.如图,四边形ABCD 是平行四边形,点E 在BA 的延长线上,点F 在BC 的延长线上,连接EF ,分别交AD ,CD 于点G ,H ,则下列结论错误的是 ( )A.AE BE =EG EFB.EG GH =AG GDC.AB AE =BC CFD.FH EH =CF AD6.如图,以点O 为位似中心,将五边形ABCDE 放大后得到五边形A'B'C'D'E',已知OA=10cm,OA'=20cm,则五边形ABCDE 的周长与五边形A'B'C'D'E'的周长比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶3D.1∶3第6题图第7题图第8题图7.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点A与点C重合,折痕为EF,若AB=4,BC=2,则线段EF的长为()A.2√5B.√5C.4√55D.2√558.如图,△ABC与△A'B'C'都是等腰三角形,且AB=AC=5,A'B'=A'C'=3,若∠B+∠B'=90°,则△ABC与△A'B'C'的面积比为() A.25∶9 B.5∶3 C.√5∶√3D.5√5∶3√39.如图,已知△ABC的面积是12,BC=6,点E,I分别在边AB,AC上,在边BC上依次作了n个全等的小正方形DEFG,GFMN,…,KHIJ,则每个小正方形的边长为()A.1211B.122n-3C.125D.122n+3第9题图第10题图第11题图10.如图,CB=CA,∠C=90°,点D在边BC上(与B,C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG;②S△FAB∶S四边形CBFG=1∶2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ·AC.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题(每题3分,共18分)11.如图,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形:.12.已知△ABC∽△DEF,且面积比为9∶4,则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为.13.如图,身高为1.6 m的小李AB站在河的一岸,利用树的倒影去测对岸一棵树CD的高度,CD的倒影是C'D,且A,E,C'在同一直线上,河宽BD=12 m,且BE=2 m,则树高CD=m.第13题图第14题图第15题图第16题图14.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,0),B(2,1),C(0,1),以坐标原点O为位似中心,将矩形OABC放大为原图形的2倍,记所得矩形为OA1B1C1,点B的对应点为点B1,且点B1在OB的延长线上,则点B1的坐标为.15.如图,在正方形ABCD中,G为CD边的中点,连接AG并延长,交BC边的延长线于点E,交对角线BD于点F,已知FG=2,则线段AE的长为.16.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在边AC上,PM 交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP= .三、解答题(共52分)17.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.(1)求证:△BDE∽△CAD;(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.18.(8分)如图是3×5的网格,网格中每个小正方形的边长都是1,小格的顶点叫做格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.(1)图1中的格点三角形ABC与格点三角形DEF相似吗?请说明理由.(2)请在图2中选择适当的位似中心画一个格点三角形A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC位似,且相似比不为1.图1 图219.(8分)如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从点A出发,沿AB以4cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点C出发,沿CA以3cm/s的速度向点A运动,当其中一点到达终点时,另一点也停止运动,设运动时间为x s.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由.20.(8分)如图,明珠大厦的顶部建有一直径为16 m的“明珠”,它的西面45 m处有一高16 m的小型建筑CD,人站在CD的西面附近无法看到“明珠”外貌,如果向西走到点F处,可以开始看到“明珠”的顶端B;若想看到“明珠”的全貌,必须向西至少再走12 m,求大厦主体建筑的高度.(不含顶部“明珠”部分的高度)21.(10分)如图,已知BC ⊥AC ,圆心O 在AC 上,点M 与点C 分别是AC 与☉O 的交点,点D 是MB 与☉O 的交点,点P 是AD 的延长线与BC 的交点,且AD AP =AM AO. (1)求证:PD 是☉O 的切线; (2)若AD=12,AM=MC ,求BPMD的值.22.(12分)如图1,在等边三角形ABC 中,线段AD 为其内角平分线,过点D 的直线B 1C 1⊥AC 于点C 1,交AB 的延长线于点B 1. (1)请你探究:AC AB =CD DB ,AC 1AB 1=DC 1DB 1是否都成立?请说明理由. (2)请你继续探究:若△ABC 为任意三角形,线段AD 为其内角平分线,请问AC AB =CDDB一定成立吗?请证明你的判断.(3)如图2,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,AB=403,E 为AB 上一点,且AE=5,CE 交内角平分线AD 于点F ,试求DFFA的值.图1图2参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B C A B A D D11.△EFC ∽△AFD (答案不唯一) 12.3∶2 13.8 14.(4,2) 15.12 16.31.B2.D 【解析】 设b=5k ,a=13k ,∴a -b a+b =13k -5k 13k+5k =8k 18k =49.故选D . 3.B 【解析】 ∵DE ∥FG ∥BC ,DB=4FB ,∴EG GC =DFFB =3,∴EG=3GC.故选B .4.B 【解析】 ∵∠A=∠A ,∠ADC=∠ACB ,∴△ADC ∽△ACB ,∴AC AB =AD AC .∵AD=2,BD=6,∴AB=AD+BD=8,∴AC 8=2AC ,∴AC=4.故选B .5.C 【解析】 ∵AD ∥BC ,∴△AEG ∽△BEF ,∴AE BE =EG EF;∵AE ∥DH ,∴△AEG ∽△DHG ,∴EG HG =AG DG ;∵CH ∥BE ,∴FH EH =CF BC =CFAD ,因此A,B,D 三个选项均正确.由已知条件得不出AB AE =BCCF,因此C 错误.故选C .6.A 【解析】 由题意,知五边形ABCDE ∽五边形A'B'C'D'E',相似比为OA OA'=1020=12,所以五边形ABCDE 的周长与五边形A'B'C'D'E'的周长比为1∶2,故选A .7.B 【解析】 依题意,得AC ⊥EF ,AO=CO.在矩形ABCD 中,AB ∥CD ,∴∠FCO=∠EAO ,又∠FOC=∠EOA ,∴△FOC ≌△EOA ,∴FO=EO.在Rt △ACD 中,AC=√22+42=2√5,∴CO=√5.∵∠FOC=∠D=90°,∠FCO=∠ACD ,∴△OFC ∽△DAC ,∴FO AD =COCD , ∴FO 2=√54,∴FO=√52,∴EF=2FO=2×√52=√5.故选B .8.A 【解析】 过点A ,A'分别作AD ⊥BC 于点D ,A'D'⊥B'C'于点D',则∠ADB=∠A'D'B'=90°,∴∠B+∠BAD=90°,又∠B+ ∠B'=90°,∴∠BAD=∠B',∴△ABD ∽△B'A'D',∵AB∶A'B'=5∶3,∴△ABD 与△B'A'D'的面积比是25∶9,因此△ABC 与△A'B'C'的面积比也为25∶9.故选A .9.D 【解析】 设△ABC 的底边BC 上的高为h ,每个小正方形的边长为x ,则EI=nx ,根据三角形的面积公式可得12×6×h=12,解得 h=4,∴△AEI 的底边EI 上的高为4-x ,∵四边形EIJD 为矩形,∴EI ∥BC ,∴△AEI ∽△ABC ,∴4−x 4=nx 6,解得x=122n+3.故选D .10.D 【解析】 ∵四边形ADEF 为正方形,∴∠FAD=90°,AD=AF=EF ,∴∠CAD+∠FAG=90°.∵FG ⊥CA ,∴∠GAF+ ∠AFG=90°,∴∠CAD=∠AFG.在△FGA 和△ACD 中,{∠G =∠C,∠AFG =∠DAC,AF =DA,∴△FGA ≌△ACD ,∴AC=FG ,故①正确.∵BC=AC ,∴FG=BC.∵∠ACB=90°,FG ⊥CA ,∴FG ∥BC ,∴四边形CBFG 是矩形,∴∠CBF=90°,S △FAB =12FB ·FG=12S 四边形CBFG ,故②正确. ∵CA=CB ,∠C=∠CBF=90°,∴∠ABC=∠ABF=45°,故③正确.易知∠FQE=∠DQB=∠ADC ,∠E=∠C=90°,∴△ACD ∽ △FEQ ,∴AC FE =ADFQ,∴AD ·FE=FQ ·AC ,∵AD=FE ,∴AD 2=FQ ·AC ,故④正确.故选D.11.△EFC ∽△AFD (答案不唯一) 12.3∶2 【解析】 ∵△ABC ∽△DEF ,且面积比为9∶4,∴△ABC 与△DEF 的相似比为3∶2,∴△ABC 与△DEF 的对应角平分线之比为3∶2.13.8 【解析】 由题意,得∠B=∠CDE=90°,∠AEB=∠C'ED=∠CED ,∴△ABE ∽△CDE ,∴AB CD =BEDE.∵AB=1.6 m,BE=2 m, BD=12 m,∴DE=10 m,∴1.6CD =210,∴CD=8 m,故树高CD 为8 m .14.(4,2) 【解析】 依题意,得OA=2,AB=1.∵矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 是以原点O 为位似中心的位似图形,且相似比为2,∴OA1OA =A 1B 1AB=2,∴OA 1=4,A 1B 1=2,又点B 1在OB 的延长线上,∴B 1(4,2).15.12 【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=CD ,AB ∥CD ,∴△BFA ∽△DFG ,∴AB GD =AFGF.∵G 为CD 边的中点,∴AB GD =AFGF =2,∴AF=2FG=4,∴AG=AF+FG=4+2=6.易证△ADG ≌△ECG ,∴GE=AG=6,∴AE=AG+GE=6+6=12.16.3 【解析】 过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ,PR ⊥BC 于点R.∵∠QPE+∠EPR=∠RPF+∠EPR=90°,∴∠QPE=∠RPF ,∴Rt △QPE ∽Rt △RPF ,∴PQ PR =PQ BQ =PEPF =2,∴PQ=2BQ.∵PQ ∥BC ,∴△AQP ∽△ABC ,∴AQ QP =AB BC =34,即AQ2BQ =34,∴AQ BQ =32,∴AQ AB =AP AC =35, ∴AP=35AC=35×√32+42=3.17.【解析】 (1)∵AB=AC ,AD 是BC 边上的中线, ∴∠B=∠C ,AD ⊥BC ,∴∠ADC=90°.∵DE ⊥AB ,∴∠DEB=90°,∴∠DEB=∠ADC , ∴△BDE ∽△CAD.(2)∵AB=AC ,AD 是BC 边上的中线, ∴BD=CD=12BC=5,又AB=13,∴AD=√AB 2-BD 2=12.由(1)知△BDE ∽△CAD ,∴BD CA =DE AD ,∴513=DE 12,∴DE=6013.18.【解析】 (1)△ABC ∽△DEF.理由如下:由题图,可知AB=1,BC=√2,AC=√5,DE=√5,EF=√10,DF=5, 则AB DE =BC EF =AC DF =√55,∴△ABC ∽△DEF. (2)△A 1B 1C 1如图所示.(答案不唯一)19.【解析】 (1)由题意,得AP=4x cm,CQ=3x cm,AQ=(30-3x )cm,0≤x ≤5. 当PQ ∥BC 时,AP AB =AQ AC,即4x 20=30−3x 30,解得x=103, ∴当x=103时,PQ ∥BC. (2)能.∵AB=CB ,∴∠A=∠C ,分两种情况讨论:①若△APQ ∽△CQB ,则AP CQ =AQCB , 即4x 3x =30−3x 20,∴x=109,此时AP=409cm .②若△APQ ∽△CBQ ,则AP CB =AQCQ , 即4x 20=30−3x 3x,∴x=5,此时AP=20 cm . 综上,当AP=409 cm 或20 cm 时,△APQ 与△CQB 相似.20.【解析】 由题图,知AE=h ,易证△FAB ∽△FCD ,∴AF CF =AB CD ,即AFAF -45=ℎ+1616,∴AF=45(ℎ+16)ℎ. 同理易证△GAE ∽△GCD ,∴AG CG =AECD,即AG AG -45=ℎ16,∴AG=45ℎℎ-16. ∵AG -AF=12,∴45ℎℎ-16-45(ℎ+16)ℎ=12,解得h=40或h=-24(不合题意,舍去). 故大厦主体建筑的高度为40 m . 21.【解析】 (1)如图,连接OD ,OP.∵AD AP =AMAO ,∠A=∠A , ∴△ADM ∽△APO ,∴∠ADM=∠APO ,∴MD ∥PO , ∴∠1=∠4,∠2=∠3. ∵OD=OM ,∴∠3=∠4, ∴∠1=∠2.在△ODP 和△OCP 中,{OD =OC,∠1=∠2,OP =OP,∴△ODP ≌△OCP ,∴∠ODP=∠OCP. ∵BC ⊥AC ,∴∠OCP=90°,∴∠ODP=90°,即OD ⊥AP ,∴PD 是☉O 的切线. (2)如图,连接CD ,设☉O 的半径为R ,由(1)知PC=PD ,∵AM=MC ,∴AM=2MO=2R. 在Rt △AOD 中,∵OD 2+AD 2=OA 2,∴R 2+122=9R 2,∴R=3√2,∴OD=3√2,MC=6√2.∵AD AP =AM AO =23,∴AP=18,∴DP=AP -AD=6. ∵O 是MC 的中点,OP ∥MB ,∴点P 是BC 的中点,∴BP=CP=DP=6. ∵MC 是☉O 的直径,∴∠BDC=∠CDM=90°.在Rt △BCM 中,∵BC=2BP=12,MC=6√2,∴BM=√BC 2+CM 2=6√6.∵∠BCM=∠CDM=90°,∠3=∠3,∴△BCM ∽△CDM , ∴MD MC =MC BM ,∴6√2=√26√6,2√6,∴BP MD =2√6=√62. 22.【解析】 (1)两个等式都成立.理由如下: ∵△ABC 为等边三角形,AD 为其内角平分线, ∴AD 垂直平分BC ,∠CAD=∠BAD=30°,AB=AC , ∴DB=DC ,∴AC AB =CDDB .∵∠C 1AB 1=60°,B 1C 1⊥AC , ∴∠B 1=30°,∴AB 1=2AC 1.∵∠DAB 1=∠B 1=30°,∴DA=DB 1, 在Rt △AC 1D 中,∵∠DAC 1=30°,∴DA=2DC 1,∴DB 1=2DC 1,∴AC 1AB 1=DC1DB 1.∴两个等式都成立.(2)一定成立.证明如下:如图,△ABC 为任意三角形,过点B 作BE ∥AC 交AD 的延长线于点E , 则∠E=∠CAD.∵AD 为其内角平分线, ∴∠CAD=∠BAD ,∴∠E=∠BAD ,∴BE=AB. ∵BE ∥AC ,∴△EBD ∽△ACD , ∴AC EB =CDBD ,又BE=AB ,∴AC AB =CDDB .即对任意三角形,结论一定成立.(3)如图,连接DE ,∵AD 为△ABC 的内角平分线,∴由(2)知CD DB =AC AB =35,EF FC =AE AC =58, ∵AE EB =35,∴CD DB =AE EB ,∴DE ∥AC ,∴△DEF ∽△ACF , ∴DF FA =EF CF =58.。

第二十七章《相似》单元练习题一、选择题1.下列说法正确的是()A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方2.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为()A． 1∶3B． 1∶4C． 1∶8D． 1∶93.△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是() A． 5 cmB． 10 cmC． 15 cmD． 30 cm4.若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是()A． 16 cmB． 12 cmC． 24 cmD． 36 cm5.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A．B．C．D．6.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是()A．点AB．点BC．点CD．点D7.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A． 1.25尺B． 57.5尺C． 6.25尺D． 56.5尺8.已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是()A． 2∶5B． 1∶2 500C． 250 000∶1D． 1∶250 000二、填空题9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm.10.已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心．11.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.12.已知△ABC∽△DEF，＝，且AD为BC边上的中线，DG为EF边上的中线，则AD∶DG ＝__________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.14.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.15.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.16.如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：______________(请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换)．三、解答题17.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD＝300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处，此时，就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩．(1)设CE＝x(厘米)，EF＝a(厘米)，求出由x和a表示y的计算公式；(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆．已知该同学弹跳时站的位置为x＝150厘米，且a＝205厘米．若规定y≥50，弹跳成绩为优；40≤y＜50时，弹跳成绩为良；30≤y＜40时，弹跳成绩为及格，那么该生弹跳成绩处于什么水平？18.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；(1)当点A、D重合，即a＝0时(如图1)，试求EF.(用含m，n，b的代数式表示)(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，①如图2这种情况时，试求EF.(用含a，b，m，n的代数式表示)图1图2图3②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．20.如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？(2)图中有哪几组相等的线段？(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？21.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．第二十七章《相似》单元练习题答案解析1.【答案】C【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C.故选C.2.【答案】D【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1∶3，∴△A′B′C′与△ABC的面积的比1∶9，故选D.3.【答案】C【解析】∵△ABC和△DEF相似，∴△DEF的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x，则3∶5＝9∶x，解得x＝15，∴△DEF的最长边为15 cm，故选C.4.【答案】C【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴矩形ABCD的周长＝2×(3＋5)＝16 cm，∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2∶3，∴矩形EFGH的周长为24 cm，故选C.5.【答案】A【解析】假设△ABC∽△CAD，∴＝，即CD＝＝，∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于，故选A.6.【答案】A【解析】如图，位似中心为点A.故选A.7.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.8.【答案】D【解析】∵5千米＝500 000厘米，∴比例尺＝2∶500 000＝1∶250 000；故选D.9.【答案】6【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝6 cm.10.【答案】位似O【解析】∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′C′B′＝∠C，∴△A′B′C′∽△ABC，∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．11.【答案】3【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3.12.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，∴BC∶EF＝AD∶DG，∵＝，∴BC∶EF＝3∶2，∴AD∶DG＝3∶2.13.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.14.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.15.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.16.【答案】相似变换【解析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．17.【答案】解(1)过A作AM⊥BD于点M，交GE于N.∵AC⊥CD，GE⊥CD，∴四边形ACEN为矩形，∴NE＝AC，又∵AC＝200，EF＝a，FG＝y，∴GN＝GE－NE＝a＋y－200，∵DM＝AC＝200，∴BM＝BD－DM＝300－200＝100，又∵GN∥BD，∴△ANG∽△AMB，∴＝，即＝，∴y＝x－a＋200；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，y＝×150－205＋200＝45( cm)，y＝45＞40.故该生弹跳成绩处于良好水平．【解析】(1)利用相似三角形的判定与性质得出△ANG∽△AMB，进而得出＝，即可得出答案；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，直接代入(1)中所求得出即可．18.【答案】解(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，又BC＝b，∴＝，∴EF＝；(2)①如图2，连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，∵EF＝EH＋HF，∴EF＝；②猜想：EF＝，证明：连接DE，并延长DE交BC于G，由已知，得BG＝，EF＝，∵GC＝BC－BG，∴EF＝(BC－BG)＝＝.【解析】(1)由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得＝，根据比例变形，即可求得EF的值；(2)①连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值；②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF＝与GC＝BC－BG，即可求得EF的值．19.【答案】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.∵＝＝2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要＝，即＝，即＝，即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，∴a＋c＝2(b＋d)，即＝2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m，然后由题意得＝＝2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1，再利用小明的解法求解即可；(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝，即＝，然后利用比例的性质，即可求得答案．20.【答案】解(1)相等．理由如下：∵CD为∠ACF的角平分线(已知)，∴∠DCP＝∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF.∴∠DPC＝∠DHC＝90°.∴∠PDC＝∠HDC.(2)PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.∵∠CPD＝90°，∴∠ABC＝90°.∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，∴∠ACB＝60°.∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.【解析】(1)根据角平分线与垂线的性质证明角相等；(2)发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；(3)根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现必须都是60°才可．21.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．。