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三角函数学习中的几个“小技巧,大突破

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三角函数学习中的几个“小技巧，大突破”

冯广东
摘要：从近几年高考数学试卷统计情况看，三角函数是高考的六大板块之一，每年考一道大
题和一道小题，而一道大题里面往往又隐含了若干个小问题．所以，高中生应该注意三角函
数知识里面的容易被忽略的一些小问题、小技巧．
关健词：三角函数、给值求角、比较大小、解三角形．
一、“已知三角函数值求角”问题
在学习过程中学生们通常存在这么几个困惑：1、给出一个三角函数值可能对应着多个
或无数个角，不知道该先求哪个角？2、不能准确的写出已知要求的那个范围的角．下面以
四个例题说明：

例1、已知22sinx且]2,2[x，求x的取值集合．

例2、已知22sinx且]2,2[x，求x的取值集合．
例3、已知22sinx且]2,0[x，求x的取值集合．
例4、已知22sinx，求x的取值集合．
此类问题在处理时，不管已知的三角函数值是正数还是负数，我们都可以暂时把它看作
正数，目的是为了找到看作正数后相对应的那个锐角，然后我们可以利用：或


或2或处理一下，就求出了相对应的区间：),2(；)23,(；)2,23(；
)0,2(
内符合题意的角了．如果满足条件的角可以有无数个，那么我们把刚才求出来的角“+”
)(2Zkk

就可以了．

下面我们按以上思路来解决以上四个例题：

例1、解：令22sin（为锐角），则4，又022sinx且1，且]2,2[x，
所以满足条件的角在)2,0(内，所以x的取值集合为}4{．
例2、解：令22sin（为锐角），则4，又022sinx且1，且
]2,2[x
，

所以满足条件的角在)0,2(内，所以4x，所以x的取值集合为
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}4{
．

例3、解：令22sin（为锐角），则4，又022sinx且1，且
]2,0[x
，

所以满足条件的角在)23,(，)2,23(内，所以45x或

4
7
2x
，

所以x的取值集合为}47,45{．
例4、解：由上面例2和例3可得答案为：452/{kxx或},472Zkkx
或者答案也可以为：452/{kxx或},42Zkkx
二、“利用三角函数的单调性比较大小”问题
在教学中通常要求学生把三角函数化成同名且自变量落在一个单调区间内即可，但是学
生在实际操作过程中容易混淆单调区间，不如我们把此类问题中的自变量利用诱导公式负角
化为正角，正角统一都化为锐角，这样就更简洁、明朗了，因为正弦、余弦、正切函数在区

间)2,0(内的单调性依次为：单调递增、单调递减、单调递增，学生是非常熟悉的．

例如：比较)413tan(与)517tan(的大小．
解：4tan)4tan(45tan)452tan(413tan)413tan(

52tan)52tan(57tan)572tan(517tan)5
17
tan(

因为xytan在)2,0(内单调递增，且524，所以52tan4tan，
所以52tan4tan，即)517tan()413tan(
三、“利用正、余弦定理解三角形”问题
在△ABC中，设角A、B、C的对边长分别为：a、b、c

正弦定理：rCcBbAa2sinsinsin（r为△ABC的外接圆半径）

余弦定理：Abccbacos2222；Baccabcos2222；
Cabbaccos2222
定理的内容以及变形学生们一般都能记住，但是遇到具体问题时到底该用哪个定理？有
的学生就拿不准了．下面我们来探讨这个问题，首先我们要清楚解三角形问题中三角形的三
个角和三条边六个元素至少得已知三个，而且这三个已知的元素中至少得有一条边，这样我
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们才可以解这个三角形．
那么我们就可以以已知条件中边的条数将此类问题进行分类：1、已知“一边两角”（实
际上第三个角也知道了），用正弦定理（因为这条边肯定是已知角的对边）．2、已知“两边
一对角”，用正弦定理；已知“两边一夹角”，用余弦定理．3、已知“三边”，用余弦定理．当
然，有时在一道题目中正、余弦定理都可以用，我们选择其一就可以了．
另外，如果已知条件允许的话，我们尽量去求三角形内角的余弦值，这是因为在三角形
中余弦值可以把锐角、直角、钝角分的清清楚楚，余弦值为正，角为锐角；余弦值为负，角
为钝角；余弦值为0，角为直角．而正弦值分不清锐角和钝角．

最后别忘了三角形中“内角和等于180”；“大边对大角，大角对大边”；“两边之和大
于第三边”；“三角形面积公式”；“射影定理”；“已知两边一对角时，可能两解、一解、无解”
等．下面我们来看一些例题：

例1、在△ABC中，已知,30,45,10CAc求b（保留两个有效数字）．
分析：已知形式为：“一边两角”，所以用正弦定理
解：∵,105)3045(180)(180,sinsinCABCcBb

∴1930sin105sin10sinsinCBcb．
例2、在△ABC中，已知,40,28,20Aba求B（精确到1）和c（保留两个有效
数字）．
分析：已知形式为：“两边一对角”，所以用正弦定理，而且可能两解、一解、无解

解：∵,8999.02040sin28sinsinaAbB∴116,6421BB．（AB）

当641B时，76)4064(180)(18011ABC，
∴3040sin76sin20sinsin11ACac．
当1162B时，24)40116(180)(18022ABC，
∴1340sin24sin20sinsin22ACac．
例3、在△ABC中，已知,2882,696.3,730.2/Cba解这个三角形（边长保留四个
有效数字，角度精确到/1）．
分析：已知形式为：“两边一夹角”，所以用余弦定理
解：由/222222882cos696.3730.22696.3730.2cos2Cabbac，得
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297.4c
．

∵7767.0297.4696.32730.2297.4696.32cos222222bcacbA，∴/239A．

∴///3058)2882239(180)(180CAB
例4、在△ABC中，已知,6,10,7cba求A、B、C（精确到1）．
分析：已知形式为：“三边”，所以用余弦定理

解：∵,725.0610276102cos222222bcacbA∴44A．

∵,8071.0107261072cos222222abcbaC∴36C．
∴100)3644(180)(180CAB．

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高中数学解三角函数问题的技巧

高中数学解三角函数问题的技巧

高中数学解三角函数问题的技巧一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，也是数学建模、物理学等学科的基础知识。

在解题过程中，掌握一些解三角函数问题的技巧可以帮助我们更快、更准确地解答问题。

本文将从角度的转化、特殊角的运用以及三角函数的性质等方面，介绍一些解三角函数问题的技巧。

二、角度的转化在解三角函数问题中，有时我们需要将角度转化为其他形式，以便更好地运用三角函数的性质。

例如，当我们遇到问题中的角度为弧度时，可以将其转化为角度制，方便我们进行计算。

同样地，如果问题中给出的是角度的余弦、正弦或正切值，我们可以利用反三角函数的性质将其转化为角度，再进行运算。

举例说明：已知三角函数值sin(x) = 1/2，求角x的度数。

解析：根据sin(x) = 1/2，我们可以利用反正弦函数的性质，得到角x的度数为30°或150°。

三、特殊角的运用在解三角函数问题中，特殊角的运用是非常常见的。

特殊角是指那些角度为某个固定值的角，如30°、45°、60°等。

我们可以利用这些特殊角的三角函数值来解答问题。

举例说明：已知sin(x) = 1/2，求角x的度数。

解析：根据sin(x) = 1/2，我们可以知道角x的度数为30°或150°。

因此，角x 的度数为30°。

四、三角函数的性质在解三角函数问题中，我们需要熟练掌握三角函数的基本性质，如同角三角函数的相等性、同角三角函数的互余关系等。

这些性质可以帮助我们简化计算，提高解题效率。

举例说明：已知sin(x) = 1/2，求cos(x)的值。

解析：根据同角三角函数的互余关系，我们知道cos(x) = sin(90° - x)。

由已知sin(x) = 1/2，我们可以得到sin(90° - x) = cos(x) = 1/2。

五、一题多解在解三角函数问题时，有时一个问题可能存在多个解。

数学三角函数题的解题技巧与方法

数学三角函数题的解题技巧与方法

数学三角函数题的解题技巧与方法数学是一门需要不断探索和思考的学科，而解题是数学学习中的重要环节。

其中，三角函数题是数学中的一类常见题型，对于学生来说，掌握解题技巧和方法是非常关键的。

本文将从几个方面介绍数学三角函数题的解题技巧与方法。

一、了解基本概念在解题之前，我们首先需要了解三角函数的基本概念。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

对于每个函数，我们需要知道其定义域、值域、周期、对称性等基本性质。

只有了解了这些基本概念，才能更好地理解和解题。

二、运用基本恒等式在解三角函数题时，运用基本恒等式是非常重要的。

常见的基本恒等式有正弦函数的和差化积公式、余弦函数的和差化积公式、正切函数的和差化积公式等。

通过运用这些恒等式，我们可以将复杂的三角函数式子转化为简单的形式，从而更方便地进行计算和求解。

三、利用特殊角的性质特殊角是指能够通过计算得到精确值的角度，如30°、45°、60°等。

在解题时，我们可以利用特殊角的性质来简化计算过程。

例如，对于正弦函数和余弦函数，我们可以利用30°、45°、60°角的值来计算其他角度上的函数值。

而对于正切函数，我们可以利用45°角的值来计算其他角度上的函数值。

通过利用特殊角的性质，我们可以减少计算的复杂性，提高解题效率。

四、运用三角函数的图像特点三角函数的图像特点对于解题也是非常有帮助的。

正弦函数的图像是一条连续的曲线，它的最大值为1，最小值为-1，周期为2π。

余弦函数的图像也是一条连续的曲线，它的最大值为1，最小值为-1，周期为2π。

而正切函数的图像则是一条有无数个渐近线的曲线，它的周期为π。

通过了解这些图像特点，我们可以更好地理解三角函数的性质，从而更好地解题。

五、结合实际问题进行建模在解三角函数题时，有时候会涉及到实际问题，我们需要将问题进行建模，然后利用三角函数来解决。

例如，在解决航空导航问题时，我们可以利用三角函数来计算飞机的航向和航速。

三角函数解题技巧和公式(已整理)

三角函数解题技巧和公式(已整理)

浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中.面对三角函数内容的相关教学时.积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。

下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±.必可推出)2sin (cos sin ααα或.例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。

分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中.θθcos sin -已知.只要求出θθcos sin 即可.此题是典型的知sin θ-cos θ.求sin θcos θ的题型。

解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ.sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ.θθcos sin ±.sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。

例2 若sin θ+cos θ=m 2.且tg θ+ctg θ=n.则m 2 n 的关系为（ ）。

高中数学三角函数解题技巧和思路的总结

高中数学三角函数解题技巧和思路的总结

高中数学三角函数解题技巧和思路的总结高中数学中，三角函数是一个重要的知识点。

掌握三角函数的解题技巧和思路，不仅可以帮助学生顺利完成学习任务，还可以帮助他们更好地理解数学知识，提高数学解题的能力。

下面就来总结一下高中数学中三角函数解题的技巧和思路。

一、基本概念的掌握在学习三角函数解题之前，首先要掌握基本的概念。

包括正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质，以及三角函数的周期性、奇偶性等基本特点。

只有掌握了这些基本概念，才能更好地理解和运用三角函数进行解题。

二、利用变换简化问题在解三角函数的题目时，有时候可以利用一些特定的变换来简化问题。

常见的变换包括令x=π-x、令x=π/2-y等等。

这样的变换可以将原问题转化为更简单的形式，有利于我们更好地解题。

三、观察周期性和对称性三角函数具有周期性和对称性，因此在解题时要善于观察这些特点。

对于周期函数，可以根据函数的周期性来简化问题，找到最小正周期内的解；对于奇偶函数，也可以根据对称性来简化问题，减少计算的复杂度。

四、利用三角函数的性质在解题过程中，要充分利用三角函数的性质。

比如利用正弦函数和余弦函数的和差化积公式，将复杂的三角函数问题化简为简单的形式；利用三倍角公式、半角公式等求解特殊角的数值；利用三角函数的导数和微分形式等等。

熟练掌握这些性质，可以帮助我们更好地解题。

五、构建方程求解在解三角函数的题目时，常常需要构建方程求解。

对于一些复杂的问题，可以通过构建方程的方法，将问题转化为代数方程，并利用代数方程的知识求解。

还可以利用三角函数的图像特点，通过图像直观地找到解。

六、多做练习、多思考在学习三角函数解题的过程中，多做练习是非常重要的。

只有通过大量的练习，才能更好地掌握解题的技巧和思路，熟练运用相关知识。

多思考也是解题的关键。

通过深入思考问题，分析问题的本质，可以更好地理解三角函数的知识，提高解题的能力。

在学习三角函数解题的过程中，要多和同学、老师进行交流，分享解题的方法和思路。