超音速气流中二维壁板的非线性热颤振响应分析

超音速气流中二维壁板的非线性热颤振响应分析Ξ杨智春1,夏　巍1,2(1.西北工业大学航空学院,陕西西安710072;2.华中科技大学土木工程与力学学院,湖北武汉430074)摘要:基于vonKarman非线性板理论和Galerkin方法建立超音速气流中二维受热壁板的气动弹性模型。采用一阶活塞理论计算准定常气动力,并在稳态假设下将均匀温度场中两端简支壁板的热应力计入气动弹性方程中。当壁板发生静态变形时,根据欧拉公式推导了受热壁板的屈曲临界条件,并应用牛顿迭代法求解了受热壁板的大挠度后屈曲变形。在壁板的后屈曲平衡态上应用李雅普诺夫间接法分析了壁板的热颤振稳定性,并确定了受热壁板的颤振边界。采用数值积分方法在时域中求解了受热壁板的非线性颤振响应,根据响应的相轨迹图并结合李雅普诺夫指数,来判断非线性颤振是周期性振荡还是混沌振荡,确定受热壁板发生混沌型颤振的边界。研究发现,当气流速压较高且系统不存在稳定的平衡态时,受热壁板会发生周期型颤振或者混沌型颤振;当气流速压较低且系统同时存在多个稳定的后屈曲平衡态时,壁板可能发生二次失稳型颤振。

关键词:壁板颤振;热颤振;几何非线性;后屈曲;混沌振荡中图分类号:O322;V21513 文献标识码:A 文章编号:100424523(2009)0320221206

引　言壁板颤振是飞行器壁板在气动力、惯性力和弹性力作用下动力失稳而发生的一种自激振动。历史上,德国V22导弹、美国技术验证机X215、隐身战斗机F2117A都曾因壁板颤振问题导致壁板破坏或者结构出现裂纹[1,2]。工程上进行壁板颤振分析的目的,一是避免颤振发生;二是在颤振无法避免(或完全避免成本太高)时抑制颤振响应的幅值。低超音速气流中壁板颤振边界可以利用成熟的线性颤振分析技术来预估,一些商业有限元软件已经具备这样的分析能力[3]。在高马赫数(Ma>212)的飞行状态,由于气动加热效应不可忽略,热应力成为影响壁板稳定性的重要因素,这时有势力和非有势力同时出现使得气动弹性系统呈现屈曲、颤振以及两者兼有的复杂动力学行为[4],对这些复杂动力学行为的分析需要计及壁板挠度方向变形和面内变形之间的耦合,即几何非线性效应。实际上,由于壁板结构变形的几何非线性效应很强,当气流速压高于壁板的颤振临界速压时,壁板仍有一定的承载能力。开展非线性颤振响应分析,不仅具有理论上的研究价值,而且从工程应用的角度上,还能够估算出壁板颤振的幅值和应力,从而依据“有限疲劳寿命”原理设计出在使用寿命内“足够”安全的壁板[5]。这种设计思想不仅能减轻结构重量,而且能为壁板结构布局方式选取、颤振的被动和主动抑制提供更广阔的设计空间[6,7]。本文作者曾对壁板的气动弹性稳定性问题做过初步研究[8],本文在该研究基础上进一步分析壁板

的非线性颤振响应问题。基于vonKarman非线性板弯理论、一阶活塞理论和Galerkin方法建立二维壁板的气动弹性模型;首先采用牛顿迭代法求解壁板变形的静态方程,得到壁板的热屈曲变形;进而应用李雅普诺夫间接法分析二维壁板的颤振稳定性和壁板的后屈曲稳定性;最后在时域中对壁板的非线性颤振现象进行数值模拟,研究壁板的基本型颤振和二次失稳型颤振现象。

1　运动方程两端铰支的二维壁板模型如图1所示。壁板的上表面有气流流过,气流密度、速度和马赫数分别记为Θa,U,Ma;假设壁板受热并达到稳态后温度均匀分布,由温度变化∃T=T-T0引起的面内力为N(T)x,其中T0

为初始温度。根据vonKarman理论,

在气动力p-p∞及面内力N

(T)

x共同作用下壁板的运

动微分方程为

第22卷第3期2009年6月振　动　工　程　学　报JournalofVibrationEngineeringVol.22No.3Jun.2009

Ξ收稿日期:2008206211;修订日期:2008211207

基金项目:国家自然科学基金(10672135)和教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET20420965)资助项目Θh(

5

2w󰃗5t2)+c(5w󰃗5t)-(Nx-N(T)x)(52w󰃗5x2)

+

D(

5

4w󰃗5x4

)+(p-p∞)=0(1)

式中　Nx=Eh

∫l

05w󰃗5x2

dx󰃗2l,为几何非线性

效应引起的附加面内力;c为结构的黏性阻尼系数;

D=Eh3󰃗12(1-Μ2)为壁板刚度;E为材料拉伸弹性模量;Μ为泊松比;Θ,l,h分别代表壁板密度、顺气流方向长度和厚度。

图1　超音速气流中的二维壁板模型一阶活塞理论的超音速气动力为p-p∞=2qΒ5w5x+Ma2-2Ma2-11U5w5t(2

)

式中　q=ΘaU

2󰃗2为动压;Β=Ma2

-1。

引入无量纲参数Ν=x󰃗l,Σ=tD󰃗Θhl

4

,W=

w󰃗h,Κ=2ql3󰃗ΒD,Λ=Θal󰃗Θh,Rx=N(T)xl2󰃗D,C=

cl4󰃗ΘhD,RM=Λ(Ma2-2)2󰃗Β(Ma2-1)2,并记

()′

=5󰃗5Ν,代入方程(1

)得到无量纲的壁板运动微

分方程为52W5Σ2+C5W

5Σ-6(1-Μ2)∫10(W′)2dΝW″+

RxW″+W″″+ΚW′+ΚR

M

5W

5Σ=0(3)

满足简支边界条件的壁板位移函数为W(Ν,Σ)=∑∞m=1am(Σ)sinmΠΝ(4) 假设壁板变形由前N阶谐波模态叠加组成[10](本文取N=6),应用Galerkin方法,可得到二维壁

板的运动常微分方程d2aidΣ2+CdaidΣ+ΚRMda

i

dΣ+(iΠ)4ai+6(1-Μ2)∑Nr=1a2r(rΠ)22ai(iΠ)2-Rx(iΠ)2ai+Κ∑Nj=1,j≠i2iji2-j2[1-(-1)i+j]aj=0, (i=1,2,…,N)(5)2　壁板的热屈曲失稳和后屈曲稳定性首先讨论壁板在热载荷作用下的静力屈曲问题,略去方程(3)中所有状态变量对时间的导数项以及与气流相关项,可得到壁板仅受热载荷作用的静态方程。假设壁板变形为小量,则静态方程为RxW″+W″″=0(6) 根据欧拉公式,可得到两端简支二维壁板的屈曲临界热载荷为Rcrx=Π2(7) 定义临界热载荷Rcrx对应的壁板温升为屈曲临界温升∃Tcr,则温升比∃T󰃗∃Tcr可作为衡量热效应强弱的无量纲指标。温升比与无量纲热载荷的关系如下∃T󰃗∃Tcr=Rx󰃗Π2(8)当∃T󰃗∃Tcr>1时,面内热载荷大于临界热载荷,壁板发生热屈曲失稳。这时在面内热应力作用下,壁板在挠度方向上会发生变形,但由于壁板的结构几何非线性效应,壁板的抗弯刚度随着变形增大而非线性增长,因此,发生热屈曲时,壁板在挠度方向上的变形不会无限增长,而是在某个屈曲变形位置上达到静力平衡,将这种具有大挠度变形的平衡状态称为壁板的后屈曲平衡态。为了分析超音速气流对壁板后屈曲变形的影响,仅略去运动方程(5)中关于时间的导数项,即可得到超音速气流中受热壁板的静态方程,并写成矩阵形式如下(KL-RxKR+ΚKA+KNL)󰃖a=0(9)式中　KL=(KLij)N×N,KR=(KRij)N×N,　KA=(KAij)N×N,KNL=(KNLij)N×N,a=(ai)N×1,KLij=(iΠ)4,i=j0,i≠j,KRij=(iΠ)2,i=j0,i≠j KAij=0, i=j2iji2-j2[1-(-1)i+j], i≠j KNLij=6(1-Μ2)(iΠ)2∑Nr=1a2r(rΠ)22,　i=j

0, i≠j

(i,j=1,2,…,N)

引入力函数7(a)=(KL-RxKR+ΚKA+K

NL)󰃖

a=0

(10) 对力函数7(a+∆a)

做一阶泰勒级数展开

7(a+∆a)=7(a)+d7(a)󰃗da󰃖∆a=0

(11)

222振　动　工　程　学　报第22卷　其中,d7(a)󰃗da=KL-RxKR+ΚKA+KN2=Ktan,KN2=(KN2ij)N×N,KN2ij=3(1-Μ2)(iΠ)23(iΠ)2a2i+∑r≠i(rΠ)2a2r,　i=j6(1-Μ2)(iΠ)2(jΠ)2aiaj, i≠j (i,j=1,2,…,N) 应用牛顿下山法迭代求解气流速压和热载荷联合作用下壁板的后屈曲变形,由式(11)可得到迭代计算格式如下 7(a)(i)=(KL-RxKR+ΚKA+KNL(i))a(i)a(i+1)=a(i)-ti(K(i)tan)-17(a)(i)(12) 式(12)需保证‖7(a)(i+1)‖<‖7(a)(i)‖(13) 应用迭代格式(12)时,每步可取ti=1,12,122,…,直到式(13)满足为止。迭代停止的判据是‖7(a)(i+1)‖3种稳定性情况:情况󰂪,壁板只能稳定在对应零解的平衡点P0,即图2中边界线CDBEA的左边区域;

情况󰂫,壁板不存在稳定的平衡点,对应图2中边界线AEBF以上的区域;情况󰂬,壁板存在多个局域渐近稳定的平衡点(P1和P

2

),对应图2中边界线

CDBF以下的区域。表1　受热壁板的平衡点及稳定性区　域󰂪󰂫󰂬

图2中位置CDBEA左边区域AEBF以上区域CDBF以下区域

稳定的平衡点P0-P1,P2

不稳定的平衡点-P0P

0

3　受热壁板的非线性颤振响应根据上述分析,受热壁板在如下两种情况下会发生颤振:

1.不存在稳定的平衡点(表1中区域󰂫);2.存在多个稳定平衡点(表1中区域󰂬)。第1种情况,壁板不能静态稳定在任一个平衡位置,因此必然发生颤振,将这种颤振称为壁板的基本型颤振;第2种情况,壁板既有可能稳定在某一个后屈曲静态平衡位置,也有可能动态失稳而发生颤振,这种颤振称为壁板的二次失稳型颤振。

311　基本型颤振基本型颤振在整个区域󰂫(表1)中都会发生。采用固定时间步长的4阶Runge2Kutta法对颤振方程(5)进行数值求解,取无量纲时间步长∃Σ=

01002,初值W

0

(Ν)=1,壁板上顺气流70%长度

处(Ν=017

)典型的非线性颤振响应的相轨迹图见图

3。可见在温升不很大时,受热壁板的非线性颤振响应大多具有单谐波极限环振荡的特点(图3

(

b))

;在

壁板温度较高的某些情况下,非线性颤振响应会表现出多谐波振荡(图3

(

c))甚至混沌振荡(图

3

(d))等复杂的非线性动力学现象。

在非线性颤振响应分析中,主要关心极限环振荡的幅值,但是仅绘制颤振幅值随参量变化的曲线,

却不能反映单谐波极限环和多谐波极限环的区别,

因此将响应峰值提取出来作为反映系统性质的参量。典型的位移响应峰值Wp随温升变化的∃T～W

p

映射图见图4

(

a)

。可见,随着壁板温度升高,超音

速气流中的壁板存在3种动态响应情况:

322　第3期杨智春,等:超音速气流中二维壁板的非线性热颤振响应分析