2018江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷09答案

2018 届高三年级第三次模拟考试 (十三 )数学(满分 160 分，考试时间 120 分钟 )参考公式： 柱体体积公式 V 柱体 ＝Sh ，其中 S 为柱体的底面积，h 为高 .锥体的体积公式1 h 为高．V 锥体 ＝ Sh ，其中 S 为锥体的底面积，3一、 填空题：本大题共 14 小题 ，每小题 5 分，共计 70 分．1. 已知集合 A ＝ { － 1， 0， 3，5} ，B ＝ {x|x － 2>0} ，则 A ∩ B ＝ ________.2. 已知 (1＋3i )(a ＋ bi)＝ 10i ，其中 i 为虚数单位， a ， b ∈ R ，则 ab 的值为 ________．3. 已知一组数据 82， 91， 89， 88， 90，则这组数据的方差为 ________．4. 根据如图所示的伪代码， 已知输出值 y 为 3，则输入值 x 为________．5. 函数 y ＝ lg(4－ 3x － x 2)的定义域为 ________．6. 袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色外完全相 同．现从中随机摸出1 只球，若摸出的球不是红球的概率为0.8，不是黄球的概率为 0.5，则摸出的球为蓝球的概率为 ________．7. 在△ ABC 中，若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ 4∶5∶ 6，则 cos C 的值为________．x 2 y 28. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 12－b 2＝ 1(b>0) 的焦点到渐 近线的距离为 2，则该双曲线的离心率为________．9. 已知 {a n } 是等比数列， S n 是其前 n 项和．若 a 3＝ 2，S 12＝4S 6，则 a 9 的值为 ________．10. 现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8 倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件 (不计材料损耗 )．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S ，S ，则S 1的值12S 2为 ________．11. 已知实数 a ，b ，c 成等比数列， a ＋ 6，b ＋2，c ＋ 1 成等差数列，则 b 的最大值为 ________．12. 如图，在平面四边形 ABCD 中， AB ＝ 4， AD ＝ 2，∠ DAB ＝ 60°，AC ＝ 3BC ，则边 CD 长的最小值为 ________．13. 如图，已知 AC ＝ 2，B 为 AC 的中点，分别以 AB ，AC 为直径在 AC 同侧作半圆，→ →M ，N 分别为两半圆上的动点 (不含端点 A ，B ，C)，且 BM ⊥ BN ，则 AM ·CN 的最大值为 ________．ax － 1，x ≤0，则实数 a 的取值 14.已知函数f(x)＝x 3－ax ＋ |x － 2|，的图象恰好经过三个象限， x>0范围是 ________________ ．二、 解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分 14 分 )如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C1D 1中，底面 ABCD 为平行四边形，C1B ＝ C1D. 求证：(1)B 1D1∥平面 C1BD ；(2)平面 C1BD ⊥平面 AA 1C1C.16. (本小题满分14 分)如图是函数f(x) ＝ A sin(ωx＋φ)A>0 ，ω >0， |π在一个周期内的图象．已知点φ|≤ 2P( －6， 0)， Q(－2，－ 3)是图象上的最低点，R 是图象上的最高点．(1)求函数 f(x) 的解析式；(2)记∠ RPO＝α，∠ QPO＝β (，αβ均为锐角 )，求 tan(2 α＋β)的值．17.(本小题满分 14 分 )如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ， AB ∥ CD， AB ⊥ BC，AB ＝ 3 百米，CD ＝ 2 百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP( 宽度忽略不计 )，点 P 在道路 ACπ上 (异于 A ，C 两点 )，∠ BAC ＝6，∠ DPA＝θ.(1)用θ表示直道 DP 的长度；(2) 计划在△ ADP 区域内种植观赏植物，在△CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏DP 植物的成本为每平方百米 2 万元，种植经济作物的成本为每平方百米 1 万元，新建道路的成本为每百米 1 万元，求以上三项费用总和的最小值．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x2y2＝ 1(a>b>0) 的右焦点为 F，P 为右准线a2＋b2上一点，点Q 在椭圆上，且FQ⊥FP.1(1) 若椭圆的离心率为2，短轴长为 2 3.①求椭圆的方程；②若直线OQ ， PQ 的斜率分别为k1， k2，求 k1·k2的值；(2) 若在 x 轴上方存在P， Q 两点，使O， F， P， Q 四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．19. (本小题满分16 分)已知数列 {a n} 满足 a n＋1＋ (－ 1)n a n＝n＋5(n∈N* )，数列 { a n} 的前 n 项和为 S n.2(1)求 a1＋a3的值；(2)若 a1＋a5＝ 2a3.①求证：数列 { a2n} 为等差数列；②求满足 S2p＝ 4S2m(p， m∈N* )的所有数对 (p， m)．20. (本小题满分16 分)对于定义在区间 D 上的函数f(x) ，若存在正整数k，使不等式1k<f(x)<k恒成立，则称f(x)为 D(k) 型函数．(1) 设函数 f(x) ＝ a|x|，定义域 D＝ [ － 3，－ 1]∪ [1， 3]．若 f(x) 是 D(3) 型函数，求实数 a 的取值范围；(2)设函数 g(x) ＝ e x－ x2－ x，定义域 D＝ (0，2)．判断 g(x) 是否为 D(2) 型函数，并给出证明． (参考数据： 7< e2<8)2018 届高三年级第三次模拟考试(十三 )数学附加题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟 )21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题 ，请选定其中两小题 ，并作答．若多做 ，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [ 选修 41：几何证明选讲 ]( 本小题满分 10 分 )如图， 在△ ABC 中，已知 AB ＝ 3，BC ＝6，AC ＝ 4，D 是边 BC 上一点， AC 与过点 A ，B ，D 的圆 O 相切，求 AD 的长.B. [ 选修 42：矩阵与变换 ](本小题满分 10 分)1 0 1 2， C ＝AB . 已知矩阵 A ＝ 1 ， B ＝3－ 1 0(1) 求矩阵 C ；(2) 若直线 l 1 ：x ＋ y ＝ 0 在矩阵 C 对应的变换作用下得到另一直线 l 2，求 l 2 的方程．C. [ 选修 44：坐标系与参数方程 ]( 本小题满分 10 分 )x ＝ 3＋ 3t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，圆 C 的参数y ＝ 1－ 4t方程为 x ＝ rcos θ，4，求 r 的值．(θ为参数， r >0)．若直线 l 被圆 C 截得的弦长为y ＝ rsin θD. [ 选修 45：不等式选讲](本小题满分10 分)已知 a， b， c 是正实数，且a＋b＋ c＝ 5，求证： a2＋2b2＋c2≥ 10.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.(本小题满分 10 分 )将 4 本不同的书随机放入如图所示的编号为1， 2， 3， 4 的四个抽屉中．(1)求 4 本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；(2) 随机变量X 表示放在 2 号抽屉中书的本数，求X 的分布列和数学期望E(X) ．123423.(本小题满分 10 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F 为抛物线 y2＝ 2px(p>0) 的焦点，直线 l 过点 F 与抛物线相交于 A ，B 两点 (点 A 在第一象限 )．4 2(1)若直线 l 的方程为 y＝3x－3，求直线 OA 的斜率；(2)已知点 C 在直线 x＝－ p 上，△ ABC 是边长为 2p＋ 3 的正三角形，求抛物线的方程．2018 届江苏七市联考高三年级第三次模拟考试(十三 )数学参考答案1.{3 ， 5}2.33. 104.－ 25. (－ 4，1)6. 0.37. 188. 2339. 610. 2511.3412. 61－ 3213. 1414. (－∞， 0)∪ (2，＋∞ )15. (1) 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1 ∥ DD1 ，且 BB1 ＝ DD1 ，所以四边形BDD1B1 为平行四边形，所以 B1D1 ∥BD.(4 分 )又 BD ? 平面 C1BD ，B1D1 ?平面 C1BD ，所以 B1D1 ∥平面 C1BD.(6 分 )(2)如图，设 AC 与 BD 交于点 O，连结 C1O.因为底面ABCD 为平行四边形，所以 O 为 BD 的中点．又 C1B ＝ C1D ，所以 C1O⊥ BD.(8 分 )在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD.又 BD ? 平面 ABCD ，所以 C1C⊥ BD.(10 分)因为 C1O∩C1C＝ C1， C1O， C1C? 平面 AA1C1C ，所以 BD ⊥平面 AA1C1C.(12 分 )因为 BD ? 平面 C1BD ，所以平面C1BD ⊥平面 AA1C1C.(14 分 )16. (1) 如图，因为图象在一个周期内的最低点为Q(－ 2，－ 3)，与 x 轴的交点为P(－6，0)，所以 A ＝ 3， T＝ 4× (－ 2＋6)＝ 16，所以ω＝ 2π T＝π8，所以 f(x) ＝3sinπ8x＋φ .(3 分)将点 Q(－2，－ 3)代入，得－ 3＝ 3sin－ 2× π 8＋φ，所以－π 4＋φ＝－π 2＋ 2kπ， k∈ Z，所以φ＝－π 4＋ 2kπ， k∈ Z.(5 分 )又 |φ |≤ π 2，所以φ＝－π 4，所以 f(x) ＝3sinπ8x－π 4.(7 分 )(2)点 R 的横坐标 xR＝ xQ＋ 12T＝－ 2＋8＝ 6，所以 R(6， 3)． (9 分 )因为α，β均为锐角，从而 tan α＝ 14， tan β＝34，所以 tan 2α＝ 2tan α 1－ tan2 α＝ 2× 141－ 142＝ 815， (12 分 )所以 tan(2α＋β )＝ tan 2α＋ tan β 1－ tan 2α tan β＝ 815＋ 341－ 815× 34＝7736.(14 分 )17.(1) 过点 D 作 DD ′垂直于线段 AB ，垂足为 D′ .在 Rt△ ABC 中，因为 AB ⊥ BC ，∠ BAC ＝π 6， AB ＝ 3，所以 BC＝3.在 Rt△ ADD ′中，因为 AD ′＝ 1， DD ′＝ 3，所以 AD ＝ 2，所以 sin ∠ DAD ′＝ 32，所以∠ DAD ′＝π 3.因为∠ BAC ＝π 6，所以∠ DAP ＝π 6.(2 分 )在△ ADP 中，由正弦定理得ADsinθ ＝DPsinπ 6，所以 DP＝ 1sin θ，π 6< θ <5π6.(6 分 )(2) 在△ ADP 中，由正弦定理得APsin ∠ ADP ＝ ADsin 所以 AP＝ 2sin ∠ ADPsin θ＝ 2sin 5π 6－θ sin θ，所以 S△APD ＝ 12AP?PD?sin θ＝ 12?2sin 5π 6－θ sinθ ，θ ?1sinθ?sinθ＝ sin 5π 6－θsinθ .S△ ADC ＝ 12AD?DC?sin ∠ADC ＝ 12× 2× 2sin 2π 3＝ 3，所以 S△DPC＝ S△ADC －S△ APD ＝ 3－ sin 5π 6－θ sin θ .(8 分 )设三项费用总和为f( θ )，则 f( θ )＝ sin 5π 6－θ sin θ × 2＋ 3－ sin 5π 6－θsin θ× 1＋ 1sin θ ×1＝3＋ sin 5π 6－θ＋ 1sin θ，＝12cos θ＋1sinθ＋ 332，π6<θ <5π6， (10 分 )所以 f′ (θ )＝－ 12－ cos θ sin2 θ .令 f′ ( θ)＝ 0，θ＝ 2π 3.当θ化， f ′ (θ )， f( θ)的化情况如下：所以当θ＝2π 3 ， f( θ )min ＝ 23.故以上三用和的最小23 万元． (14 分 )18.(1) ① 的焦距 2c.由意，得ca＝ 12，2b＝ 23，a2＝ b2＋ c2，解得 a＝2， b＝ 3， (2 分 )所以的方程x24＋ y23＝ 1.(4 分 )②由①得焦点F(1， 0)，准方程x＝ 4，焦点 P(4，t) ， Q(x0， y0) ， x204 ＋ y203＝ 1，所以 y20＝ 3－ 34x20.所以 FQ→＝ (x0－1， y0) ， FP→＝ (3， t)，因 FP⊥FQ，所以 FQ→ ?FP→＝ 3(x0 － 1)＋ ty0 ＝0，所以－ ty0＝ 3(x0 －1)． (6 分 )所以k1?k2＝ y0x0?y0－ tx0 － 4＝ y20 － ty0x20 － 4x0＝ 3－ 34x20 ＋ 3（ x0－ 1） x20 － 4x0 ＝－34.(10 分 )(2)Pa2c， t， Q(x0， y0) ．因 FP⊥ FQ，所以△ FPQ 的外接即以PQ 直径的x－a2c(x－ x0)＋ (y－ t)(y － y0) ＝ 0.(12 分 )由意知焦点 F、原点 O 均在上，所以 c－ a2c（c－ x0）＋ ty0 ＝ 0， a2cx0＋ ty0＝ 0，消去 ty0 得 c－a2c(c－x0) － a2cx0＝ 0，所以 x0＝ c－ a2c.(14 分 )因点 P，Q 均在 x 上方，所以－ a<c－ a2c<c，即 c2＋ ac－ a2>0，所以 e2＋ e－1>0.因 0<e<1，所以5－12<e<1.(16 分)19. (1) 由条件，得a2－ a1＝ 3，① a3＋a2＝ 72，②②－①得 a1＋ a3＝ 12.(3 分)(2) ①因 an＋ 1＋( －1)nan＝ n＋ 52，所以 a2n－ a2n－ 1＝ 2n＋ 42，③a2n＋ 1＋a2n＝ 2n＋ 52，④④－③得 a2n－ 1＋ a2n＋ 1＝ 12， (6 分 )所以 1＝ 12＋ 12＝ (a1＋ a3)＋ (a3＋ a5)＝ 4a3，所以 a3＝ 14，从而 a1＝ 14.(8 分 )所以 a2n－1－ 14＝－ a2n－ 3－14＝⋯＝ (－ 1)n－ 1?(a1－14)＝ 0，所以 a2n－1＝ 14，将其代入③式，得a2n＝ n＋ 94，所以 a2(n＋ 1)－a2n＝ 1(常数 )，所以数列 {a2n} 等差数列． (10 分 )②注意到a1＝ a2n＋ 1，所以 S2n＝a1＋ a2＋⋯＋ a2n＝ (a2＋ a3)＋ (a4＋ a5)＋⋯＋ (a2n＋a2n ＋1)＝＝ n22＋3n.(12 分 )由 S2p＝ 4S2m 知 p22＋ 3p＝ 4m22＋3m.所以 (2m＋ 6)2＝ (p＋ 3)2＋ 27，即 (2m＋ p＋ 9)(2m － p＋ 3)＝ 27.又 p， m∈ N* ，所以 2m＋ p＋9≥ 12 且 2m＋ p＋ 9， 2m－p＋ 3 均正整数，所以 2m＋ p＋9＝ 27， 2m－ p＋ 3＝ 1，解得 p＝ 10， m＝ 4，所以所求数对为 (10， 4)． (16 分 )20. (1) 因为 f(x) ＝a|x|是 D(3) 型函数，所以13＜ a|x|＜ 3 在[ －3，－ 1]∪ [1， 3]上恒成立，即 13|x|＜ a＜ 3|x|在 [ － 3，－ 1]∪ [1， 3]上恒成立． (2 分 )又 |x|的取值范围为 [1， 3]，所以 a＜ 3|x|min＝ 1， a＞ 13|x|max＝ 13，所以实数 a 的取值范围为13，1.(4 分 )(2)g(x) 是 D(2) 型函数．证明如下：①先证明g(x) ＜ 2，记 h(x) ＝ x2 ＋x＋ 2ex，0＜ x＜ 2，所以 h′ (x)＝－（ x2 － x＋1） ex＝－ x－ 122＋ 34ex＜ 0，所以 h(x) 在 (0， 2)上为单调减函数， (6 分 )所以 h(x) ＞ h(2)＝ 8e2＞ 1，所以 x2＋ x＋ 2ex＞ 1，即 ex－ x2－ x＜ 2，所以 g(x) ＜ 2 成立． (8 分 )②再证明g(x) ＞ 12.记 r(x) ＝ x2＋ x＋ 12ex， 0＜ x＜2，所以 r′ (x) ＝－ x2－x－ 12ex.令 r′ (x) ＝0，得 x＝ 1＋ 32∈(0 ，2)，记 x0＝ 1＋ 32，则 x0＋ 12＝ x20.当 0＜ x＜ x0 时， r′ (x) ＞ 0；当 x0＜ x＜2 时， r′ (x) ＜ 0，所以 r(x) 在(0， x0)上为单调增函数，在 (x0， 2)上为单调减函数，所以 r(x)max ＝r(x0) ＝ x20＋ x0＋ 12ex0＝ 2x20ex0.(12 分 )要证 g(x) ＞ 12，只要证 r(x) ＜ 1，只要证 r(x)max ＜1，即证 2x20ex0＜ 1，即证 (2x0)2 ＜ ex0，即证 2ln 2 ＋2ln x0 ＜ x0.(*)要证明 (*) 式，先证当x＞ 1 时， ln x ＜ x2－ 12x.记 p(x) ＝ln x － x2－ 12x， x＞ 1，所以 p′ (x)＝ 1x－12－ 12x2＝－（ x－ 1） 22x2＜ 0，所以 p(x) 在 (1，＋∞ )上为单调减函数，所以 p(x)<p(1) ＝ 0，即 ln x<x2 － 12x 得证，所以 2ln 2<2 × 2－ 122＝ 12， 2ln x0<2?x20 －12x0＝ x0－ 1x0，故要证明 (*) 式，只需证明 12＋ x0－1x0<x0 ，即证 x0<2.又 x0＝ 1＋32<2，从而 g(x)>12.由①②得12<g(x)<2 ，即 g(x) 是 D(2) 型函数． (16 分 )21. A.因为过点A，B，D的圆O与AC相切，所以∠ CAD＝∠ ABC.又∠ ACD ＝∠ BCA ，所以△ ACD ∽△ BCA ， (5 分 )所以 ADAB ＝ACBC.因为 AB ＝3，BC＝6，AC＝4，所以 AD3 ＝46，所以 AD ＝ 2.(10 分)B. (1) C ＝AB ＝ 10－ 111203＝12－ 11.(4 分 )(x′， y′ )，(2) 设直线 l1：x＋ y＝ 0 上任意一点 (x ，y)在矩阵 C 对应的变换作用下得到点则 x′ y′＝ 12－ 11xy，其坐标变换公式为x′＝ x＋2y ， y′＝－ x＋ 2y.(6 分 )由此得 x＝x′－ 2y′ 3，y＝ x′＋ y′3，代入 x＋ y＝ 0，得 2x′－ y′ 3＝ 0，即 2x′－ y′＝0,所以直线l2 的方程为2x－ y＝0.(10 分 )C.直线 l 的普通方程为 4x＋3y－ 15＝0，圆 C 的普通方程为 x2＋ y2＝ r2.(4 分 )因为圆心C(0 ， 0)到直线l 的距离 d＝ |－ 15|5＝3，又直线 l 被圆 C 截得的弦长为4，所以 r＝ 32＋22＝ 13.(10 分)D. 由柯西不等式得[a2＋ (2b)2＋ c2]?12＋ 222＋12≥ (a＋ b＋ c)2.(6 分)因为 a＋ b＋ c＝ 5，所以 (a2＋ 2b2＋ c2)×52≥ 25，所以 a2＋ 2b2＋ c2≥ 10，当且仅当a＝ 2b＝c 时取等号． (10 分 )22. (1)将 4 本不同的书放入编号为1， 2，3，4 的四个抽屉中，共有44＝ 256(种 )不同放法．记“ 4 本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件事件 A 共包含 A44 ＝24(个 )基本事件，所以 P(A) ＝24256＝ 332，所以 4 本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为A ，332.(3 分 )(2)X 的可能取值为 0， 1， 2，3， 4，P(X ＝ 0)＝ 3444＝ 81256， P(X ＝ 1)＝ C14× 3344＝ 2764 ，P(X ＝ 2)＝C24× 3244＝ 27128，P(X ＝ 3)＝C34× 344＝ 364， P(X ＝4)＝ C4444＝ 1256.所以 X 的分布列为：X01234P812562764271283641256(8 分)所以 X 的数学期望E(X) ＝ 0× 81256＋1× 2764＋2× 27128＋ 3× 364＋ 4× 1256＝ 1.(10 分 )23.(1) 由题意，焦点 Fp2， 0 在直线 l 上，所以 43× p2－ 23＝ 0，解得 p＝1.所以抛物线的方程为y2＝ 2x.由 y＝ 43x－ 23， y2＝ 2x 消去 x 得 2y2－ 3y － 2＝0，所以 y＝ 2 或 y＝－ 12.因为点 A 在第一象限，所以点 A 的坐标为 (2， 2)，所以直线OA 的斜率为 1.(3 分 )(2)依题意，直线 l 的斜率存在，且不为零．设直线 l 的方程为 y＝kx － p2，设 A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2)， C(－ p， y3)， AB 的中点为M(x0 ， y0)．由 y2＝ 2px， y＝ kx－ p2 消去 y 得 k2x2－ (k2p ＋ 2p)x＋ 14k2p2 ＝0，＝ 4p2＋ 4k2p2>0 ，x1， 2＝（ k2p ＋ 2p）±2k2，所以 AB ＝ x1＋ x2＋ p＝ 2p＋ 2pk2＝ 2p＋ 3，即 2pk2＝ 3.(5 分 )MC ＝（ x0＋ p） 2＋（ y0－ y3） 2＝ 1＋1k2|x0 ＋ p|.因为 x0＝ x1＋ x22＝k2p ＋ 2p2k2＝ 12p＋ pk2 ，所以 MC ＝1＋ 1k232p＋ pk2，将 1k2＝ 32p 代入得 MC ＝1＋ 32p32p＋ 32.(8 分 )因为△ ABC 是边长为2p＋ 3 的正三角形，所以 MC ＝32(2p ＋ 3)，所以 1＋ 32p32p＋ 32＝ 32(2p＋ 3)，解得 p＝ 3，所以抛物线的方程为y2＝ 23x.(10 分 )。

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．38 6．－9 7． 2 8．79．43 10．(－1，1) 11． 2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0) 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1．因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分（2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形，所以MN ∥BF ． ……………………………………4分 又MN ⊄平面BEC ，BF ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 解法二：取AE 中点G ，连接MG ，GN .因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD ． 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC ． 又因为MG ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以MG ∥平面BEC ． ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE ．又因为GN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以GN ∥平面BEC ． 又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN ⊂平面GMN ，所以平面GMN ∥平面BEC ． ……………………………………4分 又因为MN ⊂平面GMN ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 （2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ．因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE ． ……………………………………8分 因为AH ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分 因为BC ∩BE ＝B ，BC ⊂平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分 又因为CE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分 17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1 d 12，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△P AB 中，AB ＝10，P A ＝15，∠P AB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋P A 2－2AB ·P A cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分又d 12＝P A 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1 d 12－k S 2 d 22＝k S 1 d 12－k λS 1 d 22＝kS 1(1 d 12－λd 22)， …………………………4分将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分（2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，由m 1＜m 2得，k S 1 d 12＜k S 2d 22，将S 2＝λS 1代入，得d 22＜λd 12．……8分代入坐标，得(x －10)2＋y 2＜λ(x 2＋y 2)，化简得(1－λ) x 2＋(1－λ) y 2－20x ＋100＜0． ……………………10分 因为0＜λ＜1，配方得 (x －101－λ)2＋y 2＜(10λ1－λ)2， 所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是：圆心为C (101－λ，0)，半径为r 1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)是：圆心为B (10，0)，半径为r 2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B 内含于圆C ，即BC ＜| r 1－r 2|． …………………………12分 因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)． …………………………14分解法二：要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”， 则当d 2≤2时，不等式m 1＜m 2恒成立．由m 1＜m 2，得k S 1 d 12＜k S 2 d 22＝k λS 1 d 22，化简得d 12＞d 22λ． …………………………8分设∠PBA ＝θ，则d 12＝P A 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ， …………………………10分所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1，所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，(第17题)所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2． 因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0 ，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分即x 02＝2y 0(m －y 0)． ①又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y 0x 0＝－1， …………………………8分即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x 0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y 0y 20＋2x 20， …………………………12分 所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|．由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1，所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m |＝43－2m ． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12，所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋2k 2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k 2)， 所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km ． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m 1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2 ∈(12，1)，此时△＝8(2k 2＋1－m )＞0，所以实数m 的取值范围为(12，1)． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC ＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆E 方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0（舍），即x 3＝－8k1＋8k 2． …………………12分 又因为x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k 1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|－8k 1＋8k 2－2k 1＋4k 2|＝4＋16k 21＋8k 2． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12，此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值－1e ． ………………………2分（2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x 2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0， 所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分＝1－x 0－ln 1ex 0＋k ＝1＋k ．因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k ＞0，即k ＞－1． ……………………8分 （3）证明：由（2）知m ＝x 0，①当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F (x )≥0恒成立，于是G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1．因为x ∈(0，m )，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，m )上单调递增． ……………………10分 ②当1＋k ＜0，即k ＜－1时，0＜e k ＜12＜x 0＝m ，F (e k )＝e k ( e e k－1)＞0，F (m )＝F (x 0)＝1＋k ＜0， 又F (x )在(0，m )上单调递减且图像不间断，所以F (x )在(0，m )上存在唯一的零点x 1． ……………………12分 当0＜x ≤x 1时，F (x )≥0，G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 因为0＜x ≤x 1，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，x 1]上单调递增； ① ……………………14分 当x 1≤x ＜m 时，F (x )≤0，G (x )＝－F (x )＋ln x ，G ′(x )＝－F ′(x )＋1x，由（2）知，当x 1≤x ＜m 时，F ′(x )＜0，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在[x 1，m )上单调递增； ② 设任意s ，t ∈(0，m )，且s ＜t ， 若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ), 若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ), 因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ②……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ …………………………6分 ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ …………………………8分 ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ． …………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*， 即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)， 于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m＋k ＋2)，整理得2n －m＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4， …………………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD ，因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA ．因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ， ………………3分 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD ． ………………8分 又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ，所以⎩⎨⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解方程组得⎩⎨⎧a ＝0，λ＝1． …………………………5分所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分 所以1＋a ＝3，解得a ＝2． ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分 |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分 方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分 因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分 综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124．所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312． …………………………5分（2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14．则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576，P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝193576．所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7 }，数列T 的个数为C 27×A 22＝42． ………………………………2分（2）当k ＝1时，则a 1＞a 2，a 2＜a 3＜…＜a n ，此时a 2为1，a 1共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1个． ……………………………3分当2≤k ≤n －2时，则a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＞a k ＋1，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ，从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的n －k 个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的数列的个数为C k n C n －k n －k ，这里包含了a k ＜a k ＋1即a 1＜a 2＜…＜a k ＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C k n －1． ………………………………7分当k ＝n －1时，则a 1＜a 2＜…＜a n －1，a n －1＞a n此时a n －1为n ，a n 共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝n －1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C n －1n －1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T 的个数为：C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1＝C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n －n ＋1 ＝2n －C 0n －C n n －n ＋1＝2n －n －1． ………………………………10分。

2018江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷12参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n i ＝1n x i .一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 设集合A ＝{x|x ＞1}，B ＝{x|x 2＜9}，则A ∩B ＝__________．2. 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若(a ＋bi)·i ＝2－5i ，则ab 的值为__________．(第5题)3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，则该双曲线的离心率为__________．4. 已知一组数据9.8，10.1，10，10.2，9.9，那么这组数据的方差为__________．5. 右图是一个算法流程图，运行后输出的结果是__________．6. 若函数f(x)＝asin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是偶函数，则实数a 的值为__________．7. 正四棱锥的底面边长为2 cm ，侧面与底面所成二面角的大小为60°，则该四棱锥的侧面积为__________cm 2.8. 将函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移2个单位后得到的函数图象关于原点对称，则实数φ的值为____________．9. 二次函数y ＝f(x)＝ax 2＋bx ＋c(x ∈R )的部分对应值如下表：则关于x 10. 在正五边形ABCDE 中，已知AB →·AC →＝9，则该正五边形的对角线的长为__________．11. 用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是__________．12. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x －lnx ＋5＋a ，x ＞0的最小值为f(0)，则实数a 的取值范围是__________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(－1，0)，Q(2，1)，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点P 在直线l 上的射影为H ，则线段QH 的取值范围是__________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝3＋2x －x 2－3(x ∈[0，2])的图象绕坐标原点O 按逆时针方向旋转角θ，若 θ∈[0，α]，旋转后所得曲线都是某个函数的图象，则α的最大值为__________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 已知θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝55. (1) 求sin θ的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋2π3的值．如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E.求证：(1) DE ∥平面AA 1C 1C ； (2) BC 1⊥AB 1.17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2.(1) 若椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫62，1，求椭圆C 的标准方程；(2) 设A(－2，0)，F 为椭圆C 的左焦点．若椭圆C 上存在点P ，满足PAPF ＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围．如图，扇形AOB 是一个植物园的平面示意图，其中∠AOB ＝2π3，半径OA ＝OB ＝1 km.为了便于游客观赏，拟在园内铺设一条从入口A 到出口B 的观赏道路，道路由弧AC ，线段CD ，线段DE 和弧EB 组成，且满足：AC ︵＝EB ︵，CD ∥AO ，DE ∥OB ，OD ∈⎣⎡⎦⎤33，63(单位：km)．设∠AOC ＝θ.(1) 用θ表示CD 的长度，并求出θ的取值范围； (2) 当θ为何值时，观赏道路最长？已知公差不为0的等差数列{a n }的首项为1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 是等差数列．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设lgb n ＝a n3n (n ∈N *)，问：b 1，b k ，b m (k ，m 均为正整数，且1＜k ＜m)能否成等比数列？若能，求出所有的k 和m 的值；若不能，请说明理由．20. (本小题满分16分)设a 为正常数，函数f(x)＝ax ，g(x)＝lnx. (1) 求函数h(x)＝f(x)·g(x)的极值；(2) 证明： x 0∈R ，使得当x ＞x 0时，f(x)＞g(x)恒成立．。

2018江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷06一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若全集为U ＝R ，A ＝{x|x 2－x ＞0}，则∁U A ＝____________．2. i 为虚数单位，计算1－i 2－i＝____________． 3. 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为____________．(第5题)4. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤2，x ＋y ≤8，x ≥1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．5. 阅读如图所示的程序框，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是____________．6. 已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(1，0)，则|2a ＋b|＝______________．7. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝1－log 2x ，则不等式f(x)＜0的解集是____________．8. 设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：① 若b ⊂α，c ∥α，则b ∥c ；② 若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α；③ 若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β；④ 若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是__________．(填序号)9. 以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为____________．10. 一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为 3 cm ，则圆锥的体积是____________ cm 3.11. 函数y ＝asin(ax ＋θ)(a ＞0，θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为____________．12. S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝____________． 13. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ＞0，12－|12＋x|，x ≤0，若关于x 的方程f(x)＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为____________．14. 由sin36°＝cos54°，可求得cos2 016°的值为____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，四棱锥PABCD 中，PD ＝PC ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点．求证：(1) AM ∥平面PBC ；(2) CD ⊥PA.16.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(a －c ，b ＋c)，n ＝(b －c ，a)，且m ∥n .(1) 求B ；(2) 若b ＝13，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝33926，求a.如图，某工业园区是半径为10 km的圆形区域，离园区中心O点5 km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．(1) 设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；(2) 为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．18. (本小题满分16分)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，左顶点为A(－3，0)，圆心在原点的圆O与椭圆的内接△AEF的三条边都相切．(1) 求椭圆方程；(2) 求圆O方程；(3) B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．已知数列{a n }的各项都为自然数，前n 项和为S n ，且存在整数λ，使得对任意正整数n 都有S n ＝(1＋λ)a n －λ恒成立．(1) 求λ值，使得数列{a n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{a n }为等比数列，此时存在正整数k ，当1≤k ＜j 时，有 i ＝kja i ＝2 016，求k.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2a ＋1]e x .(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 设x ＞0，2a ∈[3，m ＋1]，f(x)≥b 2a －1e 1a 恒成立，求正数b 的范围．。