拉氏变换基本性质ppt课件

1； p2 p 2
(3)
F
(
p)
(
p
1 1)( p
2)2
；
(2)
F( p)
1； p2 ( p 1)
(4)
F( p)
p(
1 p2 1)2
.
7
解
(1)
因
F( p)
p2
1 p
2
p
2 1 2 2
7 4
2， 7
£ £ 则 f (t)
1[F ( p)] 2 7
7
1
2
p
1 2
2
7 4
f (t) dt
F ( p)dp.
利用该结论，有
0t
0
sin t dt 0t
0
1 p2 1 dp
arctan
p
0
2
.
二、拉氏逆变换的方法
拉氏逆变换即已知象函数 F (P)，求象原函数 f (t)，可借 助拉氏变换表及拉氏变换的性质来解决。
例5 求下列函数的拉氏逆变换
(1)
F( p)
[( p 2)2 32 ]2 ( p2 4 p 13)2 ( p 2).
例3 求函数 f (t) t te2t cos 3tdt 的拉氏积分变换。 0
解 由例2及拉氏变换的积分性质，便可直接写出结果：
£ £ [ f (t)]
t te2t cos 3tdt
0
1 p
p2 4p 5 ( p2 4 p 13)2
若
f (t) dt 存在，则
f (t) dt
F ( p)dp.
0t
0t
0
£ 这里F ( p) [ f (t)] F ( p) ( p 0).

解
L[eat ]
eat estdt
0
1 e(sa)t sa
0
这个积分当s>a时收敛，此时
L[eat ] 1 (s a) sa
练习3 [三角函数] 求函数 f (t) =coswt旳拉氏变换 。
解 当s>0时，有
L[cos wt] cos wt estdt 0
s2
1 w2
est (wsin
F (s) L[ f (t)]
阐明：
(1)定义中,只要求在 t 0 上f (t)有定义,为了以便,
假定t<0时, f (t) =0;
(2)拉氏变换是将给定旳函数经过广义积分转换成一 种新旳函数,是一种积分变换,一般地在科学技术中遇 到旳函数,它旳拉氏变换总是存在旳,故后来不再对其 存在性进行讨论．
f (0) f (0) f (n1) (0) 0
由性质2旳推广有：
L[ f n (t)] snF (s) snL[ f (t)]
因为 f (n) (t) n! ，代如上式,得
L[n!] snL[ f (t)]
又
L[n!] n!L[1]
其中
L[1] 1
s
联立解（1）、（2）式, 得
n!L[1] n! L[ f (t)] sn sn1
（1） （2）
练习2
求 L[t neat ] （n为自然数）
解 由性质4,可得
L[t neat ]
(s
n! a)n1
(s a)
练习3 [单位阶跃函数]
求函数
u(t
)
0 1
t 旳拉氏变换． t
解 因为 L[u(t)] 1 ,由性质5有 s
怎样求解此微分方程呢？

.
一些常用函数的Laplace变换表
函数，F（t） A t
Ae-at
A (eatebt) ba
Ate-at
L氏变换，f（s） A/s 1/s2
A/(s+a) A/s(s+a)
A/(s+a)(s+b)
A/(s+a)2
四、L氏变换解线性微分方程
1. 零级静脉输注 速度表达式： dX k0 kX
dt
L氏变换
s[L X(t) ]X(0)k0k[L X(t)] s
sXX(0)k0kX S
X k0 s(s k)
方程终解 Xk0(1ekt) K.
2. 静脉注射 dX kX dt
( t=0, X=X0)
s[X L (t) ]X (0 ) k[X L (t)]
sXX(0)kX
X X0 sk
XX0ekt.
sLf(t) f (0)
三、L氏变换的重要性质 ❖ L氏变换是线性变换
设 F (t) n A iF i(t) i 1
则 L F ( t) nA iL F i( t) i 1
即 代数多项式的L氏变换等于各项 变换的代数和。
❖ 微分性质
若 L F (t)f(S )
则 L F ' ( t ) s ( S ) F f ( 0 ) s F ( t ) L F ( 0 )
L(A)0estAdtSA
2. 指数函数 f（t）= e-at
L (e a)t0 e s(te a)tdt0 e (s a)tds t 1a
L(Aeat) A sa
f) t0 estdd (tf)td t0 esd t (tf)
Lddf(tt)f (0)s0est f (t)dt

ur
Ri
1 C
idt
uc
1 C
idt
(2 1)
式中: i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变
量i,可得:
RC
duc dt
uc
ur
(2 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
T
duc dt
uc
ur
(2 3)
北京航空航天大学
• 例2. 设有一弹簧•质 量• 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t)作 用于系统时，系统将
产生运动，试写出外 力F(t)与质量块的位移 y(t)之间的动态方程。 其中弹簧的弹性系数 为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量 为m。
F(t) f
k M y(t)
解：分析质量块m受力，有
外力F,
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t) / dt
F(t)
惯性力 md 2 y / dt 2
由于m受力平衡，所以
1 lim
(m 1)! ss1
d m1 dsm1
[( s
si
)m
A(s) B(s)
eskt ],
t 0
f
(t)
n k m1
( ) A sk eskt B(sk )
1 lim
(m 1)! ss1
d m1 dsm1
[( s
si
)m
A(s) B(s)
eskt ],
t 0
例2
求
F
(s)
1
s (s 1)2
4)终值定理
lim x(t) lim sX (s)
t
s0
5)初值定理
x(0) lim x(t) lim sX (s)