第25课时：第三章 数列——数列的实际应用

1
一．课题：数列的实际应用
二．教学目标：1．理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法；
2．能够把实际问题转化成数列问题．
三．教学重点：建立数列模型解决数列实际应用问题．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．解应用问题的核心是建立数学模型；
2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型；

3．注意问题是求什么（,,nnnaS）．
（二）主要方法：
1．解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答；
2．在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确；
3．在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；
4．在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程
度的要求．
（三）例题分析：
例1．某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为25％，因生产建设的需要

每年年底要砍伐的木材量为b，设na为n年后该地区森林木材的存量，

（1）求na的表达式；
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79a，
如果1972ab，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参
考数据：lg20.3）
解：（1）设第一年的森林的木材存量为1a，第n年后的森林的木材存量为na，则

1
15
(1)44aabab
，

2
21

555
()(1)444aabab
，

32
32

5555
()[()1]4444aabab
，

„„„
12*55555()[()()1]()4[()1]()44444nnnnnnaaabnN

．

（2）当1972ba时，有79naa得55197()4[()1]44729nnaaa即5()54n，

所以，lg51lg27.2lg52lg213lg2n．
2

答：经过8年后该地区就开始水土流失．
例2．轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月
底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳房租和所得税为
该月所得金额（包括利润）的10%，每月的生活费开支300元，余款作为资金全
部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行
贷款的年利率为5%，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？
解：第一个月月底余

1
(120%)10000(120%)1000010%30010500a
元，

设第n个月月底余na，第1n个月月底余1na，
则1(120%)(120%)10%3001.08300(1)nnnnaaaan，
从而有137501.08(3750)nnaa，
设13750,6750nnbab，∴{}nb是等比数列111.08nnbb，
∴167501.083750nna，111267501.08375019488.6a，
还贷后纯收入为1210000(15%)8988.60a元．

例3．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利
息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两
种方案：
甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上
年增加30％的利润；
乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多
获利5000元．
两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％
的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数

据：10101.12.594,1.313.796）
解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：
10
29
1.311(130%)(130%)(130%)42.621.31




（万元）

到期时银行的本息和为1010(110%)102.59425.94（万元）
∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.6225.9416.7（万元）
乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：
10(15.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502

（万元）
3

贷款的本利和为：1091.111.1[1(110%)(110%)]1.117.531.11（万元）
∴乙方案扣除本息后的净获利为：32.5017.5315.0（万元）
所以，甲方案的获利较多．

例4．某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员
第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按

上一年的23领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，
该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每
人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年
a

元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为na元，

（1）求{}na的通项公式；
（2）当827ab时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
（3）当38ab时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前
的年收入？
解：（1）由题意得，当1n时，1aa，当2n时，1223()()32nnnaab，

∴12(1)23()()(2)32nnnanaabn．
（2）由已知827ab，
当2n时，1121222832838()()2[()()]327232729nnnnnaaaaaa要使得上式等号
成立，当且仅当12283()()3272nnaa，即22422()()33n，解得3n，因此这个人第
三年收入最少为89a元．
（3）当2n时，

12121223233233()()()()2()()32382382nnnnnnnaaaabaaa

，上述等号成

立，须38ab且2233121log1log223n因此等号不能取到，
4

当38ab时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．
（四）巩固练习：某工厂生产总值月平均增长率为p，则年平均增长率为（ ）
()Ap ()B12p ()C12(1)p ()D
12
(1)1p

五．课后作业：