极限的性质及运算法则

lim x2
x3 1 x2 3x 5
lim x 3 lim 1
x2
x2
lim( x 2 3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
(2) lim xex x2
(3)
lim
x
8x2 2x2
6x 3 4x 7
(4) lim xn 1 x1 x 1
(5) lim ( 1 x x)
x
xX
xX
xX
(2) lim cf (x) clim f (x)
xX
xX
(3) lim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) A B;
xX
xX
xX
(4)
lim
f (x)
lim f (x)
xX
A
,
其中B 0.
xX g(x) lim g(x) B
xX
结论 : 如果lim f (x)存在,而n是正整数,则 xX
二函数极限的性质及运算法则
(一)极限的性 质 def 2.3 f(x)在x x0时有界 : 若M 0,当x yO (x0 ) \ {x0 }时有f (x) M
y f (x)
M
o
x0
x0
x0
x
-M
性质2.5.局部有界性
若limf (x) A,则称f (x)在x X过程所允许的 xX
lim nsin 1 1,
n
n
lim
n
n sin 1 1, n
n2 n 1
lim sin n n 1
n2
1
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等.
当 0 x 时,
x 0 cos x 1 1 cos x
2
2sin 2
x
2( x )2
x2
2
0,
2
22
lim(1 cos x) 0, lim cos x 1, 得证.
x0
x0
例1
求
lim
x0
x
1 x
解
:
1 x
1
1 x
1 x
(如 : 2.5 2, 2.5 1 2.5 2.5,)
lim[f (x)]n [lim f (x)]n .
xX
xX
例1 求下列极限
(1)
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
xX
yA
性质2.10中条件g(x) A,不能省去,否则结论未必成立.
意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量代换(u ( x))的理论依据.
例1 求 lim ln(1 x) .
x0
x
1
解 原式 lim ln(1 x)x x0
1
ln[lim(1 x)x ] ln e 1. x0
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得ACO .
B
ox D
A
OAB的高为BD, 扇形OAB的圆心角为x ,
于是有 sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, (对 x 0也成立)
例2
求
ex lim
1.
x0 x
解 令 e x 1 源自文库, 则 x ln(1 y),
当x 0时, y 0.
原式 lim y y0 ln(1
y)
lim 1 y0 ln(1
1
y) y
1.
同理可得
ax 1
lim
ln a.
x0 x
例如, lim sin x 1 x0 x
y sin x x
某一邻域内有界.
性质2.6．局部保号性
若limf (x) A,lim g(x) B, A B,则f (x)与g(x)
xX
xX
在x X中所允许的某一邻域内有f (x) g(x).
特别地f (x) B 说明:
O2 (B) O1 (A)
B
A
f (x) O1 (A),g(x) O2 (B)
特别地 若 lim f (x) A,且A 0(或A 0), xx0 则 0,当x O (x0 ) \ {x0 }时,f (x) 0(或f (x) 0).
若在极限过程x X所允许的某一邻域内,
g(x) f (x) h(x),且lim g(x) limh(x) A,
xX
xX
则limf (x) A xX
说明: 在x的某一邻域内有
g(x) A f (x) A h(x) A
利用夹逼定理可证重要极限
C
(2) lim sin x 1 x0 x
当x
0,有1
x
x1x
1
lim
x0
x[1] x
1
当x
0,有1
x1x
1
x
lim
x0
x[1] x
1
lim x[1] 1 x0 x
(二)极限的运算法则
性质2.9
设 lim f (x) A,lim g(x) B,则
xX
xX
(1) lim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) A B;
(6)
lim
x1
( 1
1
x
1
3 x2
)
消除0因子 根式有理化 先通分
(7) lim x 8 x64 3 x 4
1
变量替换: x6 t
性质2.10(复合函数的极限法则)
若limg(x) A(或),y g(x) A, limf (y) B,
xX
yA
则limf (g(x)) limf (y) B
性质2.7 若limf (x) A,lim g(x) B,且在x X
xX
xX
过程下有f (x) g(x)(或f (x) g(x)),则A B
特别地
若
lim
xx0
f
(x)
A,且
0,当x
O (x0
)
\
{x0
}时,
f (x) 0(或f (x) 0),则A 0(或A 0).
性质2.8(函数极限的夹逼定理)