§2.2 抛物线§2.2.1 抛物线及其标准方程一、课前预习学习目标掌握抛物线的定义，会推导抛物线的标准方程。
要点梳理（预习教材P33~ P34 ，完成下面的空格，并找出疑惑之处）1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过F )的 的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的 ，定直线l 叫做抛物线的 ．2．抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程二、课内探究※ 学生汇报自学成果，提出自学中遇到的问题。
※ 新课探究：1、关于抛物线定义的理解（1）抛物线的定义中有“一动三定”：一动点设为M ，一定点F 为焦点，一定直线l 叫做抛物线的准线，一个定值即点M 与点F 的距离和它到定直线l 的距离的比为1.（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性．故二者可相互转化，这是在解题中常用的．（3）抛物线上任一点P (x 0，y 0)与其焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0连接得到的线段叫做抛物线的焦半径，利用抛物线的定义，易推得抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦半径公式为|PF |＝x 0＋p 2.2、求抛物线方程的方法（1）定义法：直接利用抛物线的定义求解．（2）待定系数法（3）统一方程法※ 典型例题:例1.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)；(2)焦点在x 轴上，且抛物线上一点A (3，m )到焦点的距离为5.例2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．※ 变式训练:1.求焦点在直线x －2y －4＝0上的抛物线的标准方程；2.已知椭圆x 216＋y 29＝1的右焦点为F 2，在y 轴正半轴上的顶点为B 2，求分别以F 2，B 2为焦点的抛物线标准方程及其准线方程．三、当堂检测1.求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)过抛物线y 2＝3mx 的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝6.四、课后巩固提高一、选择题1．平面内到定点F 的距离等于到定直线l 的距离的点的轨迹是( )A ．抛物线B ．直线C ．抛物线或直线D ．不存在[答案] C[解析] 当F ∈l 上时，是直线，当F ∉l 上时，是抛物线．2．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是( )A ．y 2＝94xB ．x 2＝43y C ．y 2＝－94x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝43y [答案] D[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴9＝4p ，p ＝94，4＝6p ′，p ′＝23.3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8[答案] B[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1ay ，其准线方程为y ＝2， ∴a <0,2＝1－4a，∴a ＝－18. 4．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516C.78D ．0 [答案] B[解析] ∵抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116，由抛物线的定义知y M ＋116＝1， ∴y M ＝1516. 5．抛物线y 2＝8px (p >0)，F 为焦点，则p 表示( )A ．F 到准线的距离B ．F 到准线距离的14C ．F 到准线距离的18D ．F 到y 轴的距离 [答案] B[解析] 设y 2＝2mx (m >0)，则m 表示焦点到准线的距离，又2m ＝8p ，∴p ＝m 4. 6．抛物线y ＝14ax 2(a ≠0)的焦点坐标为( ) A ．a >0时为(0，a )，a <0时为(0，－a ) B ．a >0时为(0，a 2)，a <0时为(0，－a 2) C ．(0，a ) D ．(1a，0) [答案] C[解析] a >0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )；a <0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴负半轴上．故不论a 为何值，x 2＝4ay 的焦点总为(0，a )，故选C.7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233. 因而这样的直线有且仅有两条．8．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．24[答案] A[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18，∴|PF |＝x 0＋p 2＝20. 9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D ．3 [答案] A[解析] 设(x 0，y 0)为抛物线y ＝－x 2上任意一点，∴y 0＝－x 20，∴d ＝|4x 0＋3y 0－8|5＝|－3⎝⎛⎭⎫x 0－232－203|5， ∴d min ＝2035＝43. 10．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝________.[答案] 8[解析] 由抛物线定义，得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程是________．[答案] y 2＝8x[解析] 由题意可设抛物线方程为y 2＝2ax ，∵点P (2,4)在抛物线上，∴42＝4a ，∴a ＝4.即所求抛物线的方程为y 2＝8x .12．在抛物线y 2＝12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．[答案] (6，±62)[解析] 设抛物线的焦点F (3,0)，准线x ＝－3，抛物线上的点P ，满足|PF |＝9，设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋P 2＝x 0＋3＝9，∴x 0＝6，∴y 0＝±6 2. 三、解答题13．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：(1)y 2＝6x ；(2)2y 2＋5x ＝0；(3)x ＝ay 2(a ≠0)．[解析] (1)∵2p ＝6，∴p ＝3.又∵开口向右，∴焦点坐标是(32，0)， 准线方程为x ＝－32. (2)将2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x . ∴2p ＝52，p ＝54，开口向左． ∴焦点为(－58，0)，准线方程为x ＝58. (3)∵原抛物线方程为y 2＝1a x ，∴2p ＝1|a |. 当a >0时，p 2＝14a ，抛物线开口向右，焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x ＝－14a； 当a <0时，p 2＝－14a ，抛物线开口向左，焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x ＝－14a.故当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2的焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x ＝－14a.14．已知抛物线过点(1，－2)，求抛物线的标准方程．[解析] ∵点(1，－2)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p ′y (p ′>0)，又点(1，－2)在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，或1＝4p ′，p ′＝14，。
抛物线及其标准方程授课教师：黄冈中学高级教师胡华川1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（不过该定点）的距离相等的点的轨迹叫抛物线；点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2、抛物线的标准方程：①推导过程：如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．设|KF|＝p (p>0)，那么焦点F的坐标为（，准线l的方程为设点M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合将上式两边平方并化简，得y2＝2px ①方程y2＝2px叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是②抛物线标准方程的四种形式：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py．这四种抛物线的图形，标准方程，焦点坐标及准线方程列表如下：相同点：（1）顶点为原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）顶点到焦点的距离＝顶点到准线的距离＝．不同点：（1）一次变量为，则对称轴为轴；（2）一次项的系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向．例1、已知抛物线方程如下，求出焦点坐标和准线方程．（1）（2）（3）（）解：（1）易知，焦点F，准线方程是．（2）化成，∴，焦点F，准线方程是．（3）化成，∴，焦点F，准线方程是．例2、求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点（－3，2）；解：设抛物线方程为x2＝2p1y或y2＝－2p2x（p1>0，p2>0），代入点（－3，2）得：9＝4p1或4＝－2p2·(－3)．解得．故抛物线的标准方程为（2）焦点在直线x－2y－4＝0上．解：直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点为（4，0），（0，－2）．①当焦点为（4，0）时，抛物线设为y2＝2p1x(p1>0)，．∴抛物线为y2＝16x．②当焦点为（0，－2）时，抛物线设为x2＝－2p2y(p2>0)，．∴抛物线为x2＝－8y．∴抛物线的方程为y2＝16x或x2＝－8y．例3、点M与点的距离比它到直线l：的距离小1，求点M的轨迹方程．解：题意等价于点M到点的距离与到直线的距离相等，∴M的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，所求的方程为．例4、动点M到y轴的距离比到点(2，0)的距离小2，求点M的轨迹方程．解：题目条件等价于动点M到x＝－2的距离等于到点(2，0)（备注：视频中－2改为2）的距离，或M在x 轴的非正半轴上，∴轨迹方程为y2＝8x或y＝0(x≤0)．例5、已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标．解：当x＝3时，y2＝2×3＝6，∴．，∴A在抛物线内部．抛物线y2＝2x，焦点为，准线为L：．过P作，为垂足，则．，当PA，共线时，取到最小值．此时P的纵坐标为2，∴横坐标为2．∴P为（2，2）．。
抛物线及其标准方程抛物线是平面上一个点到一定直线的距离等于该点到另一定点的距离的轨迹。
抛物线是一种非常常见的曲线，在日常生活和数学领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将重点介绍抛物线及其标准方程，希望能够帮助读者更好地理解和运用抛物线的相关知识。
首先，让我们来看一下抛物线的基本特点。
抛物线是由一个定点（焦点）F 和一条定直线（准线）l 组成的，其定义是，对于平面上的任意一点 P，到焦点的距离等于到准线的距离。
这个定义可以用一个简单的实例来说明，假设你站在一个点 P，到篮球场的中心点（焦点）的距离等于到篮球场两边观众席的距离（准线），那么你所走过的路径就是一个抛物线。
接下来，我们来讨论抛物线的标准方程。
抛物线的标准方程通常写作 y = ax^2 + bx + c。
其中 a、b、c 分别为抛物线的参数，而 x 和 y 分别为抛物线上的点的横纵坐标。
在标准方程中，参数a 决定了抛物线的开口方向和大小，当 a 大于 0 时，抛物线开口向上；当 a 小于 0 时，抛物线开口向下。
参数 b 决定了抛物线在x 轴上的位置，而参数 c 决定了抛物线在 y 轴上的位置。
为了更好地理解抛物线的标准方程，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个抛物线，其标准方程为 y = 2x^2 + 3x + 1。
根据标准方程，我们可以得知参数 a 的值为 2，参数 b 的值为 3，参数 c 的值为 1。
根据参数 a 的取值，我们可以得知这个抛物线开口向上；而根据参数 b 和参数 c 的取值，我们可以确定抛物线在 x 轴和 y 轴上的位置。
通过这个例子，我们可以看到，抛物线的标准方程可以帮助我们直观地理解抛物线的形状和特点。
总之，抛物线是一种非常重要的曲线，在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
通过理解抛物线的基本特点和标准方程，我们可以更好地应用抛物线的相关知识，解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解抛物线及其标准方程，为进一步学习和应用抛物线打下坚实的基础。
