抛物线及其标准方程练习题

§2.3 抛物线2．3.1 抛物线及其标准方程一、选择题1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标 答案 B解析 ∵y 2＝－8x ，∴p ＝4，∴焦点坐标为(－2,0)．2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1) 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 B解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2.由题设知－p2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0.故选B.3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，它与圆相切，所以必有3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4，p ＝2. 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 考点 抛物线定义题点 由抛物线定义求距离 答案 B解析 由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6. 5．过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程 答案 C解析 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，轨迹方程为x 2＝12y .6．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，且点A (－2,3)在准线上，故－p 2＝－2，解得p ＝4.所以抛物线方程为y 2＝8x ，焦点F 的坐标为(2,0)，这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.7．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．2 2 C ．2 3D ．4考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求三角形面积 答案 C解析 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而纵坐标y P ＝±2 6. ∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3.二、填空题8．若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a ＝________. 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 －18解析 y ＝ax 2可化为x 2＝1ay .∵准线方程为y ＝2，∴a <0且－14a ＝2，∴a ＝－18.9．若椭圆x 23＋4y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 为________．考点 圆锥曲线的综合应用 题点 圆锥曲线的综合应用 答案6解析 由题意知，左焦点为⎝⎛⎭⎫－p 2，0，则c ＝p 2. ∵a 2＝3，b 2＝p 24， ∴3＝p 24＋p 24，得p ＝ 6.10．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是__________． 考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标 答案1516解析 抛物线方程化为x 2＝14y ，准线为y ＝－116.由于点M 到焦点的距离为1，所以点M 到准线的距离也为1，所以点M 的纵坐标等于1－116＝1516.11．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.考点 圆锥曲线的综合应用 题点 圆锥曲线的综合应用 答案 4解析 由双曲线x 23－16y 2p 2＝1得标准形式为x 23－y 2p216＝1，由此c 2＝3＋p 216，左焦点为⎝⎛⎭⎫－3＋p 216，0， 由y 2＝2px 得准线为x ＝－p2，∴－ 3＋p 216＝－p 2， ∴p ＝4. 三、解答题12．如图所示，抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴上，准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)若点A ，B 都在抛线C 上，且FB →＝2OA →，求点A 的坐标． 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义求点的坐标解 (1)依题意，可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，其准线l 的方程为y ＝－p2.∵准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，∴圆心(0,0)到准线l 的距离d ＝0－⎝⎛⎭⎫－p2＝1， 解得p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝4y 1，①x 22＝4y 2，②由题意得F (0,1)， ∴FB →＝(x 2，y 2－1)，OA →＝(x 1，y 1)， ∵FB →＝2OA →，∴(x 2，y 2－1)＝2(x 1，y 1)＝(2x 1,2y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1，y 2＝2y 1＋1，代入②得4x 21＝8y 1＋4， 即x 21＝2y 1＋1，又x 21＝4y 1，所以4y 1＝2y 1＋1，解得y 1＝12，x 1＝±2，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，12或⎝⎛⎭⎫－2，12. 13．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若点B 的坐标为(3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值． 考点 抛物线的定义 题点 由抛物线定义求最值解 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1.由抛物线的定义知，点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF ，AF 与抛物线的交点即为点P ，故最小值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为 5. (2)如图，把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±2 3.因为23>2，所以点B 在抛物线内部．过点B 作BQ 垂直于准线，垂足为点Q ，交抛物线于点P 1，连接P 1F .此时，由抛物线定义知，|P 1Q |＝|P 1F |.所以|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4. 四、探究与拓展14．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．以上都对考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的应用答案 B解析 如图，取线段MF 的中点C ，作CE 垂直于抛物线的准线l 于点E ，则|CE |＝12(|MF |＋p )＝12|MF |＋p 2， 所以|CD |＝|CE |－p 2＝12|MF |，所以MF 的中点C 到y 轴的距离等于|MF |的一半．15．已知曲线C 上的任意一点到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等． (1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 上有两个定点A ，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|F A |＝2，|FB |＝5，求原点O 到直线AB 的距离． 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线方程解 (1)因为曲线C 上任意一点到点F (1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等， 所以曲线C 的轨迹是以F (1,0)为焦点的抛物线， 且p2＝1，所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)由抛物线的定义结合|F A |＝2可得，A 到准线 x ＝－1的距离为2，即A 的横坐标为1，代入抛物线方程可得y ＝2， 即A (1,2)，同理可得B (4，－4)，故直线AB 的斜率k ＝2－(－4)1－4＝－2，故AB 的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0， 由点到直线的距离公式，得原点O 到直线AB 的距离为|－4|22＋12＝455.。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.3.2 抛物线及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：抛物线的基本运算 因为抛物线中的基本量之间存在着内在联系，所以从方程的角度来讲，可以已知一部分求另一部分，请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 对抛物线ay 4x 2=（0a ≠），下列说法中正确的是A. 若0a >，焦点为（0，a ），若0a <，焦点为（0，-a ）B. 若0a >，焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2a ,0；若0a <，焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ,0C. 不论0a >，还是0a <，焦点都是（0，a ）D. 不论a 0>，还是0a <，焦点都是⎪⎭⎫⎝⎛2a ,02. 已知椭圆14y 5x 22=+的中心为A ，右准线为l ，那么A 为顶点，l 为准线的抛物线方程为A. x 20y 2-=B. x 20y 2=C. x 10y 2-=D. x 10y 2=3. 已知P （8，a ）在抛物线px 4y 2=上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 164. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1），能使此抛物线方程为x 10y 2=的条件是___________。

（要求填写合适条件的序号）。

题型二：求抛物线的方程 求抛物线方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~7题。

5. 如图2-3-1所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线6. 已知点A （-2，0）、B （3，0），动点P （x ，y ）满足2x PB PA =⋅，则点P 的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线7. 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，直线AB 交抛物线C 于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于点M （m ，0），A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，求抛物线C 的方程。

抛抛抛抛抛抛抛抛一、单选题1. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px(p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 ( )A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)2. 若抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点在直线x +2y −2=0上，则p 等于( )A. 4B. 0C. −4D. −63. 设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l 于点A ，若|PF|=8，则直线AF 的斜率为 ( )A. √3B. √33C. ±√3D. ±√334. 已知点A(2,3)到抛物线y =px 2(p >0)的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为( )A. (0,13)B. (0,116)C. (0,2)D. (0,4)5. 已知抛物线C 的方程为y =−4x 2，则C 的焦点坐标是( )A. (0,−1)B. (−1,0)C. (0,−116)D. (0,116) 6. 如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =1，那么它的焦点坐标为( )A. (1,0)B. (2,0)C. (3,0)D. (−1,0)7. 抛物线x 2=4y 的准线与y 轴的交点的坐标为( )A. (0,−12)B. (0,−1)C. (0,−2)D. (0,−4) 8. 抛物线y =−14x 2的准线方程为( )A. x =116B. y =1C. x =1D. y =116 9. 抛物线x =2py 2(p >0)的焦点坐标为( )A. (p 2,0)B. (18p ,0)C. (0,p 2)D. (0,18p ) 10. 抛物线y =4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( )A. (0,a)B. (a,0)C. (0,116a )D. (116a ,0)二、填空题11. 以原点为顶点，x轴为对称轴，并且经过P(−2,−4)的抛物线的标准方程为______．12. 已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为．13. 若点(−1,2)在抛物线x=ay2上，则该抛物线的准线方程是．14. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m,−2)到焦点的距离为4，则m的值为________________．15. 已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且|AF|=3，则抛物线E的方程为________．16. 已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线E上，若点M的横坐标为3，且|MF|=4，则p=________．17. 已知抛物线关于x轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为2√3的等边三角形，则抛物线的标准方程为．18. 已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，则p=___．答案和解析1.解：将x=2代入抛物线y2=2px，可得y=±2√p，OD⊥OE，可得k OD⋅k OE=−1，即2√p2⋅−2√p2=−1，解得p=1，所以抛物线方程为：y2=2x，它的焦点坐标(12,0)．故选：B．2.解：由题意知抛物线C的焦点在x轴上，即焦点坐标(p2,0)，令y=0，则x=2，即p2=2，所以p=4．故选A．3.解：∵依据抛物线的性质|PA|=|PF|，∴|PA|=8，∵抛物线y2=8x，2p=8，∴p=4，F的坐标(2,0)，准线l的方程为：x=−2，设P点坐标为(x P,y P)，则A点坐标为(−2,y P)，∴x P=8−p2=6，∴y P=±√8×6=±4√3，∴A点坐标为(−2,±4√3)，∴直线AF的斜率为±4√3−0−2−2=±√3．故选C．4.解：由题意点A(2,3)到抛物线y=px2(p>0)的准线的距离为5，抛物线的开口向上，焦点在y轴的正半轴上，可得14p +3=5，解得p=18，抛物线方程为：x2=8y，故可求焦点F坐标为：(0,2)；故选：C．5.解：由题意，x2=−14y，故其焦点在y轴负半轴上，p=18，∴焦点坐标为(0,−116).故选：C．6.解：∵准线x=−a4=1，∴a=−4，即y2=−4x．∴焦点坐标为(−1,0)．故选D．7.解：抛物线x2=4y的准线方程为y=−1，则抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标为(0,−1)，故选：B．8.解：∵抛物线方程y=−14x2化简，得x2=−4y，∴−2p=−4，可得p2=1，因此抛物线的焦点坐标为F(0,−1)，准线方程为y=1．故选：B．9.解：抛物线x=2py2(p>0)的标准方程为：y2=12p x，∴抛物线的焦点坐标为(18p,0)．故选B．10.解：抛物线方程化标准方程为x2=14a y，因为焦点在y轴上，焦点为(0,116a)．故选C．11.解：抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点P(−2,−4)设它的标准方程为y2=2px(p>0)∴(−4)2=2p⋅(−2)解得：p=−4∴y2=−8x．故答案为：y2=−8x．12.解：∵抛物线方程为y2=2px(p>0)，∴抛物线焦点为F(p2,0)，准线方程为x=−p2，又∵点M(1,m)到其焦点的距离为5，根据抛物线的定义，得1+p2=5，∴p=8，∴准线方程为x=−4．故答案为：x=−4．13.解：将点坐标代入抛物线方程得：−1=a×22，解得a=−14，则抛物线的方程为x=−14y2，即y2=−4x，故其准线方程为x=1，故答案为x=1．14.解：∵抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点(m,−2)，∴设抛物线的方程为：x2=−2py(p>0)，∴其准线方程为：y=p2，∵抛物线上一点P(m,−2)到焦点F的距离等于4，∴由抛物线的定义得：|PF|=p2+2=4，∴p=4，∴所求抛物线的方程为x2=−8y，y=−2时，有x2=16，则x=±4，故答案为±4．15.解：由抛物线E：y2=2px(p>0)知，准线方程为x=−p2，根据抛物线的定义，2−(−p2)=3，解得p=2，所以抛物线方程为y2=4x．故答案为y2=4x．16.解：由抛物线E：y2=2px(p>0)知，准线方程为x=−p2，根据抛物线的定义，3−(−p2)=4，解得p=2．故答案为2．17.解：如图，当抛物线的焦点在x轴正半轴时，设抛物线的方程为y2=2px，(p>0)，∵△MNF为等边三角形，且|MF|=2√3，∴|DF|=p=√32×2√3=3，∴所求抛物线的标准方程为y2=6x，同理可得，当抛物线的焦点在x轴负半轴时，抛物线的标准方程为y2=−6x，综上可得抛物线的标准方程为y2=−6x或y2=6x．故答案为y2=−6x或y2=6x．18.解：抛物线y2=2px(p>0)上的一点M到x轴的距离为4，则点M的纵坐标绝对值|y M|=4，带入抛物线方程得：y M2=2px M，∴x M=8p，易知抛物线准线方程为x=−p2，又点M到焦点的距离为5，∴x M+p2=5，即8p+p2=5，解得p=2或p=8经检验p=2与p=8均符合题意．故答案为2或8．。

《抛物线》典型例题 12例典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程. (1) X 2=4y(2) X =ay 2(a H 0)分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 P,再写出焦点 坐标和准线方程.（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 P 及 焦点坐标与准线方程.解：（1）寫P =2,.••焦点坐标是（0, 1）,准线方程是：y = -1（2）原抛物线方程为：y 2 a 1 ，二2P = — a ①当2时，牛右，抛物线开口向右, 二焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x = 4a 4a ②当a <0时，牛-右，抛物线开口向左, 1 1 •••焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x =-' 4a 4a 综合上述，当a H0时，抛物线x=ay 2的焦点坐标为（丄,0），准线方程是：x = - 1 4a 4a 典型例题 例2若直线y =kx-2与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2, 求此直线方程. 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解.另由于已知与直线 斜率及弦中点坐标有关，故也可利用 作差法”求k. 解法一：设 A （x 1, y 1）、y = kx — 2B( x 2, y 2)，则由：｛ 2 可得：k 2x 2-(4k+8)x + 4 = 0 . 2 C l y =8x•••直线与抛物线相交,” k H 0 且 i >0，贝U kA —1 .••• AB 中点横坐标为:解得：k=2或k=—12 （舍去）.k 2 =2，故所求直线方程为：y =2x—2 .解法二：设AX，%）、B（X2，y2），则有 y12 =8x1 y/ = 8x2两式作差解：（％-y2）（y1 +丫2）=8（x1 -X2），即*72X1 —X2 y1 + y2打x^i +X2 = 4 二yt + 丫2 =kx1—2 +kx2 —2 = “X t + x?）— 4 = 4k 一4，8/. k=----- 故 k=2或k=—1 （舍去）.4k 一4则所求直线方程为：y =2x-2 .典型例题三例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析：可设抛物线方程为寸=2px（ p>0）.如图所示，只须证明则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.证明：作AA丄I于A i, BB i丄丨于B i . M为AB中点，作MM i丄丨于M i，则由抛物线的定义可知:在直角梯形BB i A i A 中:MM, AB2=MM ,1=2（AA +BB1）=?（|AF|+|BF|）= 2ABAB，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例4 （1）设抛物线y2 =4x被直线y=2x+k截得的弦长为3^5，求k值.（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标.分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离22求p 点坐标.解: (1)由卩 "x 得：4x 2+(4k —4)x + k 2=0 l y =2x+kk设直线与抛物线交于A （x 1, y 1）与B （x 2, y 2）两点.则有：治+ x ? = 1 -k,为凶=一 4 二 AB | = J (1 +22)(X 1 -X 2)2 = j 5(x 1 +X 2)2 -4x 1X 2 ] = 751(1-k)2-k 2】= j 5(1-2k)/. AB|J5(1-2k) =3^5，即 k = —4•••点P 在x 轴上，.••设P 点坐标是（X 0,O ）二X o = -1或X o =5，即所求P 点坐标是（—1, 0）或（5, 0）.典型例题五例5已知定直线I 及定点A （A 不在I 上），n 为过A 且垂直于I 的直线，设N 为 I 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B,点B 关于AN 的对称点为P,求证P 的 轨迹为抛物线.分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明 P 点的轨迹符合抛物线 的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，I 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 PA = PN 且PN 丄丨 即可.寫AB 丄I.二PN 丄丨.则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线.2天9 675⑵，S A =9，底边长为矗，•三角形高h y 5则点P 到直线y=2x-4的距离就等于h,即2x 0 — 0 — 4 6yl5证明：如图所示, 连结 PA PN 、NB.由已知条件可知: PB 垂直平分NA,且B 关于AN 的对称点为P. ••• AN 也垂直平分P B.则四边形PABN 为菱形.即有PA=PN .21 2典型例题六例6若线段P 1P 2为抛物线C: y2 * 4=2px （p >0）的一条分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间 的距离表示出来，其计算量是很大的.我们可以用 抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物 线的定义与平面几何知识，把结论证明出来.证法一：寫F （号,0），若过F 的直线即线段PP 2所在 直线斜率不存在时, 则有 RF =P2F =P ，二… . PF| P 2F设 P （X i , yj, P 2（X 2, y 2）.焦点弦，F 为C 的焦点，求证：12RF P 2F根据抛物线定义有: RF =X i十卫 +卫 ,P 2F =X 1 +升.P 1P 2=X i + X2 + P则丄+丄=I RF I+R F L X i +x2 + P RF| |F2F RFlpFl （X i 垮）（X 2埠）X 1X 2请将①②代入并化简得：1+ R F | IP 2F若线段PP 2所在直线斜率存在时，设为k ， 则此直线为: y = k （x-^）（kH0），且y =k （X-号） 由｛ 2得: y =k （x —夕）I 2k 2X 2 -P （k 2 +2）x + k P2-=04 P （k 2+2）/. % +X 2 =2k又 ％丫2 =tana(x i —X 2)典型例题七例7设抛物线方程为y 2=2px(p >0)，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为a ，求证: 焦点弦长为AB 二一2^ .sin Ct 分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题. 证法一：抛物线y 2 = 2 px(p >0)的焦点为 导0)，过焦点的弦AB 所在的直线方程为：y =tanad-^) 由方程组厂tag(x专)消去y 得:2l y =2 px222224x tan o-4p(tan ^)+ p tan a =02设 A(X i ，y i ),B(x 2，y 2)，则｛ 2 tan ° [x i 2 十证法二：如图所示，设R 、P 2、F 点在C 的准线I 上的射影分别是P 、F 2、且不妨设|P 2F 21= ncm=|PP|，又设P ?点在FF由抛物线定义知, F 2F =n. RF =m, FF i = p 又' F 2AF s i P 2BP 1，二 即m = m-n m+n ”p(m + n) =2mn 1 1 2——+ —=— ■ m n p故原命题成立.AF BR L ，2% +X 2 = P(t an ： +2)= p(1+2cot2a )”AB| = ^(VH tan %t )(x ^x 2)2 =蟲 I 2 「2 2 p 21 =(1+tan a ) I P (1 +cot a ) —4 — IV L 4JIQQnQ=J sec a 4p cot a (1 +cot a ) =J 4 p 2*亠 V sin a2psin 2 a 即 ABsin a证法二：如图所示，分别作AA i 、BB i 垂直于准线I .由抛物线定义有: AF = AA = AF co 少 + PBF = BB 1二 AB = AF + BF=P + P1—cosa 1+ coset —2p21 —cos a _ 2p2sin a故原命题成立.典型例题八例8已知圆锥曲线C 经过定点P(3,2^3)，它的一个焦点为F (1, 0),对应于该 焦点的准线为x = -1，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB,若弦AB 的长度不超过8, 且直线AB 与椭圆3x 2 +2y 2 =2相交于不同的两点，求 (1) AB 的倾斜角日的取值范围.+ tan 2a )(为 +X 2)2-4皿2 】 于是可得出: AF =—P — 1 -COSaBF| =—P — 1 + cosa=P - BF COSay\4 3 3 4(2)设 CD 中点 M(x,y)、C(X 3，y 3)、 D(X 4，y 4)又0<0<:兀，•所求9的取值范围是:兀 V. 兀 2応 3花（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程.分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其 斜率为k,弦AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出k 的取值范围，从而可得e 的 取值范围，求CD 中点M 的轨迹方程时，可设出M 的坐标，利用韦达定理化简 即可. 解：（1）由已知得|PF | =4 .故P 到x = —1的距离d =4，从而|P F |=d •••曲线C 是抛物线，其方程为y 2=4x 设直线AB 的斜率为k,若k 不存在，则直线AB 与3x 2+2y 2=2无交点.••• k 存在.设AB 的方程为y = k （x_1）-4x可得：ky 2-4y_4k=0= k(x-1)4B 坐标分别为（X i ，y i ）、（X 2，y 2），贝U: % + y ? =— % 也=*k二 AB | = Jo + k2)(y1 -y2)2、'1 +k 2 匚一；一—=—:—』(％中丫2)-4%丫2 k4(1 +k 2)2•••弦AB 的长度不超过8，.罟兰8即宀由 得：(2k2+3)x 2-4k—••• AB 与椭圆相交于不同的两点，二k 2<3由 k 2>1 和 k^3 可得：1 <^73 或一J 3<k <-1 故 1 <tan 9 < J 3或一 J 3 e tan 9 < -1设A 、k 2由仃::二得：（2k2+3）x—=04k 22（k 2-1）/. X3 +x 4 =—2——,X | M =2k 2+32… X 3 +X 42k -X = ----------- = ------ 2 ----22k 2+3gl-^3—2k +32寫 1 <k 2 v 32.•.5<2k +3v 9 2 1 则2兰1-—5 2k2. 2k 2…X = -- 2 --2k 2 +322亠 （X-1）2化简得：3x 2+2y 2-3x=0 •••所求轨迹方程为：3x2+2y2-3x =o 0x <|）典型例题九例9定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2=x 上移动，求AB 的中点到 y 轴的距离的最小值，并求出此时 AB 中点的坐标.分析：线段AB 中点到y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值.这是中点坐 标问题，因此只要研究 A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可.解：如图，设F 是y 2=x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是 AC 、BD ，22亠+3（X-1）222k +3C、D和N是垂足，则4 3 3 4 (2)设 CD 中点 M(x,y)、C(X3，y3)、D(X4，y4)等式成立的条件是AB 过点F .5 1当 x =—时，y 讨2 = -p2 =—，故4 4, 、2 2 2 C C 1 C (%+丫2)=* +y 2 +2%丫2 =2x-2 =2，厂运yi+y 2占2，“±牙 所以M(5, ±〈2)，此时M 到y 轴的距离的最小值为54 24说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简.典型例题十例10过抛物线y=2px 的焦点F 作倾斜角为日的直线，交抛物线于A 、B 两点, 求AB的最小值.分析：本题可分e = 2和° ’2两种情况讨论.g I 时先写出I AB 的表达式, 再求范围.解: (1)若日=2，此时 I AB =2p. (2)若Th I ，因有两交点，所以£工0 . AB ： y = tan 日(x-#)，即 x = 代入抛物线方程，有y 2- Cytan 。

抛物线及其标准方程一、选择题1．抛物线y=-2x 2的焦点坐标为 ( D ) A. (21-,0) B. (0, 21-) C. (81-,0) D. (0, 81-) 2． 抛物线y 2=-2px(p>0)上横坐标为-4的点到焦点的距离为10，则该抛物线的方程是(D )A ．y 2=-8xB ．y 2=-12xC ．y 2=-20xD ．y 2=-24x3．过抛物线x=41y 2的焦点的直线的倾角为3π，则抛物线顶点到直线的距离是( A ) A. 23 B. 3 C. 21 D. 1 4．抛物线y 2=4x 截直线y=2x+k 所得弦长为35，则K 的值是( D )A ．2B ．-2C ．4D ．-45．已知抛物线2y =4x 的焦点为F ，准线l 交x 轴于R ，过抛物线上一点P(4,-4)作PQ ⊥l 于点Q ，则梯形PQRF 的面积是( C )A ．18B ．16C ． 14D ．126．抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线2x-y-6=0上的抛物线的标准方程是( B )A ．2y =6x 或2x =-12yB ．2y =12x 或2x =-24yC ．2y =-6x 或2x =12yD ．2y =-12x 或2x =24y7． 抛物线y 2=2px(p>0)上一点M(x 0,y 0)和焦点的连线叫做点M 处的焦半径，它的值是( B )A. x 0-2pB. x 0+2p C. x 0-p D. x 0+p 8．一动圆圆心在y 2=8x 上，且动圆与定直线x+2=0相切，则此动圆必过定点( B )A ．（4，0）B ．（2，0）C ．（0，2）D ．（0，-2）9．“直线与抛物线有且只有一个公共点”是“直线与抛物线相切”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分与不必要条件10． 一条直线被抛物线x y 162=所截得的弦被点（2，4）所平分，则这条直线方程为( D )A ．4x-y-4=0B ．8x-y-12=0C ．2x+y-8=0D ．2x-y=011．抛物线y 2=18x 与圆100)6(22=++y x 的公共弦所在的直线方程是( B )A ．x=±2B ．x=2C ．x=-6D ．x=2或x=-612．设定点M （3，2）与抛物线y 2=2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线的距离为d 2，则当d 1+d 2取最小值时，P 点的坐标为( C )A ．（0，0）B ．（1，2）C ．（2，2）D ．（21,81-） 二、填空题13．抛物线x 2=4y 上一点M 到焦点的距离是2，则点M 的坐标是 (2,1)(-2,1)14．以椭圆19722=+y x 的中心为顶点，椭圆的左焦点为焦点的抛物线方程为 15．已知某抛物形拱桥，跨度20m ，每隔4m 需用一根支柱支撑，已知拱高为4m ，则从桥端算起，第二根支柱的长度是 3 。

抛物线专题练习1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.163．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．85．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．56．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )7．A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.538．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．489．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l的斜率为( )A ．3B ．1C ．2D.1210．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝163，则k＝.15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A(2，y0)，且点A到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l：y＝x＋m与抛物线交于两个不同的点P，Q，若OP⊥OQ，求实数m的值．16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为⊥AGB的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标．1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y【答案】D【解析】将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，⊥a ＝112.当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，⊥a ＝－136. ⊥抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.16【答案】D【解析】由抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，可得p ＝3，则抛物线的标准方程为x 2＝13y ，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D.]3．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y 【答案】C【解析】设所求抛物线方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，又点(－4,4)在抛物线上，则有－4k ＝16或4m ＝16，解得k ＝－4或m ＝4，所求抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故选C.]4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]5．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.]6．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3 7．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.53【答案】A【解析】因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p 2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px ，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x Ax D ＝2pp 8＝16.故选A 8．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．48【答案】B【解析】由准线方程为x ＝－2，可知p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x .由抛物线的定义可知，|MN |＝|MF |＋|NF |＝x 1＋x 2＋4＝8，则x 1＋x 2＝4，即y 218＋y 228＝4，故y 21＋y 22＝32.故选B.] 9．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( )A ．3B ．1C ．2 D.12【答案】B【解析】由于R (2,1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．根据抛物线的定义|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝2×2＋p ＝5，解得p ＝1，抛物线方程为y 2＝2x .y 2A ＝2x A ，y 2B ＝2x B，两式相减并化简得y B－y A x B －x A ＝2y A ＋y B ＝22×1＝1，即直线l 的斜率为1.故选B.]10．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，解得－1＜k ＜1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．x 1＋x 2＝8k 2－4.⊥ x 1x 2＝4.⊥ 根据抛物线的定义及|F A |＝2|FB |，得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，⊥且x 1＞0，x 2＞0，由⊥⊥解得x 1＝4，x 2＝1，代入⊥得k 2＝89，k ＞0，⊥k ＝223.故选D.11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．【答案】－22【解析】⊥双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，⊥抛物线方程为y 2＝8x .⊥|AF |＝3，⊥x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.⊥点A 在第一象限，⊥A (1,22)，⊥直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.]12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．【答案】9【解析】根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.]13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．【答案】63【解析】如图，设⊥AOB 的边长为a ，则A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，⊥点A 在抛物线y 2＝3x 上，⊥14a 2＝3×32a ，⊥a ＝6 3.] 14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝ .【答案】±3【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝± 3.]15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 【解析】(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到准线的距离为4， ⊥2＋p2＝4，⊥p ＝4，⊥抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x 得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝8，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝8m . ⊥OP ⊥OQ ，⊥x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0， ⊥m ＝0或m ＝－8.经检验，当m ＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意． 当m ＝－8时，Δ＝(－24)2－4×64＞0，符合题意． 综上，实数m 的值为－8.16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为⊥AGB 的平分线． 【解析】(1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.⊥抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：⊥点A (2，m )在抛物线E 上，⊥m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)， ⊥直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，⊥B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，⊥k GA ＝223，k GB ＝－223，⊥k GA ＋k GB ＝0， ⊥⊥AGF ＝⊥BGF .⊥GF 为⊥AGB 的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．【解析】(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，⊥p ＝2. ⊥抛物线方程为y 2＝4x .(2)⊥点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又⊥F (1,0)，⊥k F A ＝43， ⊥MN ⊥F A ，⊥k MN ＝－34. ⊥F A 的方程为y ＝43(x －1)， ⊥ MN 的方程为y －2＝－34x ， ⊥联立⊥⊥，解得x ＝85，y ＝45， ⊥点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.。

抛物线的标准方程1．经过点P (4，－2)的抛物线标准方程为（ ）A.y 2=x 或x 2=－8yB.y 2=x 或y 2=8xC.y 2=－8xD.x 2=－8y2.抛物线42x y =的焦点坐标是( )A (0,161) B (161 ,0) C (0,1) D (1,0) 3.抛物线y 2=-8x 的焦点到准线的距离是( ) A 4 B 1 C 2 D.84.抛物线y=-2x 2的准线方程是( ) A x=-21 B x=21 C y=81 D y=-81 5．已知抛物线的准线方程是x =－7，则抛物线的标准方程是（ ） A.x 2=－28y B.y 2=28x C.y 2=－28x D.x 2=28y6.已知抛物线的焦点在直线3x-y+36=0上，则抛物线的标准方程是（ ）A.x 2=72yB.x 2=144yC.y 2=-48xD.x 2=144y 或y 2=-48x7．抛物线y =ax 2的准线方程是y =2，则a 的值是 .8.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．129．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ___________． 10．抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线2x-y-6=0上的抛物线的标准方程是( )A ．y 2=6x 或x 2=-12yB ．y 2=12x 或x 2=-24yC ．y 2=-6x 或x 2=12yD ．y 2=-12x 或x 2=24y11．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PF PA + 取得最小值时点P 的坐标是 （ ）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（2，2）D ．)1,21(12．抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 13．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 （ ）A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ．y x 82-=14．已知点（－2，3）与抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点的距离是5，求p 的值为______. 15．求焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程______.16．动点到点(3，0)的距离比它到直线x =－2的距离大1，则动点的轨迹是（ ）A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线 17．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 18．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x19．抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ．抛物线的简单几何性质1．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1 B.2 C. 3 D.42．过抛物线x=41y 2的焦点的直线的倾角为3π，则抛物线顶点到直线的距离是( ) A23B 3 C21D 1 3．抛物线x 2=4y 上一点M 到焦点的距离是2，则点M 的坐标是 4．抛物线y 2=-2px(p>0)上一点M(x 0,y 0)和焦点的连线叫做点M 处的焦半径， 它的值是( ) A.x 0-2p B x 0+2pC x 0-pD x 0+p 5．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ） A ．8 B ．10 C ．6 D ．4 6．抛物线y 2=2px(p>0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)，(y 0≠0)， 则弦PQ 的斜率是（ ） A0y p B -0y p C px 0 D -px 07．抛物线y 2=9x 与直线2x －3y －8=0交于M 、N 两点，线段MN 中点坐标是（ ）A.)427,8113(- B.)427,8113(C.)427,8113(-- D.)427,8113(-8．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于（ ）A.15B.215C.215 D.159．抛物线y 2=4x 截直线y=2x+k 所得弦长为35，则K 的值是( )A ．2B ．-2C ．4D ．-410．A 、B 是抛物线y 2=2px(P>0)上的两点，并满足OA ⊥OB ，求证： ⑴A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值； ⑵直线AB 经过一个定点。

抛物线及其标准方程班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1．动点P (x ，y )到点F (3，0)的距离比它到直线x ＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线解析：选D ．依题意可知动点P (x ，y )在直线右侧，设P 到直线x ＋2＝0的距离为d ，则|PF |＝d ＋1，所以动点P 到F (3，0)的距离与到x ＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线．故选D ．2．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B ．因为a 2＝6，b 2＝2，所以c 2＝a 2－b 2＝4，c ＝2，即椭圆的右焦点为(2，0)，所以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为(2，0)，所以p2＝2，p ＝4.3．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝－8y B ．y 2＝x 或y 2＝8x C ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y解析：选A ．因为点P 在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .4．已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px (p >0)上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选B ．由题意可知准线方程为x ＝－p ， 所以8＋p ＝10，所以p ＝2. 所以焦点到准线的距离为2p ＝4.5．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )解析：选D ．a 2x 2＋b 2y 2＝1其标准方程为x 21a 2＋y 21b 2＝1，因为a >b >0，所以1a 2<1b 2，表示焦点在y 轴上的椭圆；ax ＋by 2＝0其标准方程为y 2＝－abx ，表示焦点在x 的负半轴的抛物线．6．已知O 为坐标原点，A (0，2)，抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则△OFN 的面积为( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选A ．抛物线C ：y 2＝mx 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，设点N 的坐标为(x N ，y N )，点M 在准线上的射影为点K ，由抛物线的定义，知|MF |＝|MK |，由|FM |∶|MN |＝1∶3，可得|KM |∶|MN |＝1∶3，则|KN |∶|KM |＝2∶1，k FN ＝0－2m 4－0＝－8m .又k FN ＝－|KN ||KM |＝－2，所以8m ＝2，即m ＝42，所以y N ＝4，故△OFN 的面积为12·y N ·|OF |＝12×4×2＝2 2.故选A ．7．已知函数y ＝2x在区间[0,1]的最大值为a ，则抛物线y 212＝ax 的准线方程是( )A ．x ＝－3B ．x ＝－6C ．x ＝－9D ．x ＝－12B [函数y ＝2x 在[0,1]上为增函数，∴最大值为a ＝2．∴抛物线y 212＝2x 化为标准方程是y 2＝24x ，则2p ＝24，p ＝12，p 2＝6．∴抛物线y 212＝2x 的准线方程为x ＝－6．]8．(多选题)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在y 轴上，若线段FM 的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为324，则点M 的坐标为( )A ．(0，－4)B ．(0，－2)C ．(0,2)D ．(0,4)BC [根据题意，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2．设B 的坐标为(m ，n )，若B 为F 、M 的中点，则m ＝0＋p 22＝p4，又由点B 到抛物线准线的距离为324，则p4－⎝⎛⎭⎫－p 2＝324，解可得p ＝2．则抛物线的方程为y 2＝22x ，且m ＝24，又B 在抛物线上，则n 2＝22×24＝1解得n ＝±1，则B ⎝⎛⎭⎫24，±1，M (0，2)或(0，－2)．] 9．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12B [∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为x ＝－2，∴椭圆E 的右焦点为(2,0)，∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，c ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝12，∴椭圆E 方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆E 的方程解得A (－2,3)，B (－2，－3)， ∴|AB |＝6，故选B ．]二、填空题10．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________．解析：由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x ＝－p2，由题意知3＋p2＝4，所以p ＝2.答案：211．在抛物线y 2＝－12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：由方程y 2＝－12x ，知焦点F (－3，0)，准线l ：x ＝3.设所求点为P (x ，y )，则由定义知|PF |＝3－x .又|PF |＝9，所以3－x ＝9，x ＝－6，代入y 2＝－12x ，得y ＝±6 2.所以所求点的坐标为(－6，62)，(－6，－62)． 答案：(－6，62)，(－6，－62)12．若抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点的横坐标是________． 解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知点A 到焦点F 的距离等于点A 到准线的距离，即|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋12.同理|BF |＝x 2＋p 2＝x 2＋12.故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝5，即x 1＋x 2＝4，得x 1＋x 22＝2，故线段AB 的中点的横坐标是2.答案：213．如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则抛物线的方程为 ．y 2＝4x [如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4＝48，p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ．] 14．抛物线C ：y 2＝2x 的焦点坐标为 ，经过点P (4,1)的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，且点P 为恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则|AF →|＋|BF →|＝ ．⎝⎛⎭⎫12，0 9 [由抛物线C ：y 2＝2x ，得2p ＝2，p ＝1，则p 2＝12，∴抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，过A 作AM ⊥准线，BN ⊥准线，PK ⊥准线，M 、N 、K 分别为垂足． 则由抛物线定义可得|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |，再根据P 为线段AB 的中点，有12(|AM |＋|BN |)＝|PK |＝92，∴|AF |＋|BF |＝9．]三、解答题15．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 解：(1)由双曲线方程得x 29－y 216＝1，其左顶点为(－3，0)． 因此抛物线的焦点为(－3，0)．设其标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则p2＝3.所以p ＝6.因此抛物线的标准方程为y 2＝－12x .(2)当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， A (x 0，－3)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9＝2px 0，x 0＋p2＝5. 解得p ＝1，或p ＝9.当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为 y 2＝－2px (p >0)， A (x 0，－3)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9＝－2px 0，p 2－x 0＝5.解得p ＝1或p ＝9. 综上所述，所求抛物线的标准方程为 y 2＝±2x 或y 2＝±18x .16．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6,0)，求抛物线的方程．[解] 设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)， 则其准线为x ＝－p 2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为|AF |＋|BF |＝8， 所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p ．因为Q (6,0)在线段AB 的垂直平分线上，所以|QA |＝|QB |， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1，1)，求|P A |＋d 的最小值； (2)若B (3，2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义，知|PF |＝d ，于是问题转化为求|P A |＋|PF |的最小值．如图(1)所示，连接AF ，交抛物线于点P ，则|P A |＋d 的最小值为22＋12＝ 5.(2)把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±23，因为23>2，所以点B 在抛物线内部．自点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1(如图(2)所示)．由抛物线的定义，知|P 1Q |＝|P 1F |，则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.抛物线及其标准方程班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1．动点P (x ，y )到点F (3，0)的距离比它到直线x ＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线解析：选D ．依题意可知动点P (x ，y )在直线右侧，设P 到直线x ＋2＝0的距离为d ，则|PF |＝d ＋1，所以动点P 到F (3，0)的距离与到x ＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线．故选D ．2．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B ．因为a 2＝6，b 2＝2，所以c 2＝a 2－b 2＝4，c ＝2，即椭圆的右焦点为(2，0)，所以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为(2，0)，所以p2＝2，p ＝4.3．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝－8y B ．y 2＝x 或y 2＝8x C ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y解析：选A ．因为点P 在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .4．已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px (p >0)上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选B ．由题意可知准线方程为x ＝－p ， 所以8＋p ＝10，所以p ＝2. 所以焦点到准线的距离为2p ＝4.5．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )解析：选D ．a 2x 2＋b 2y 2＝1其标准方程为x 21a 2＋y 21b 2＝1，因为a >b >0，所以1a 2<1b 2，表示焦点在y 轴上的椭圆；ax ＋by 2＝0其标准方程为y 2＝－abx ，表示焦点在x 的负半轴的抛物线．6．已知O 为坐标原点，A (0，2)，抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则△OFN 的面积为( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选A ．抛物线C ：y 2＝mx 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，设点N 的坐标为(x N ，y N )，点M 在准线上的射影为点K ，由抛物线的定义，知|MF |＝|MK |，由|FM |∶|MN |＝1∶3，可得|KM |∶|MN |＝1∶3，则|KN |∶|KM |＝2∶1，k FN ＝0－2m 4－0＝－8m .又k FN ＝－|KN ||KM |＝－2，所以8m ＝2，即m ＝42，所以y N ＝4，故△OFN 的面积为12·y N ·|OF |＝12×4×2＝2 2.故选A ．7．已知函数y ＝2x在区间[0,1]的最大值为a ，则抛物线y 212＝ax 的准线方程是( )A ．x ＝－3B ．x ＝－6C ．x ＝－9D ．x ＝－12B [函数y ＝2x 在[0,1]上为增函数，∴最大值为a ＝2．∴抛物线y 212＝2x 化为标准方程是y 2＝24x ，则2p ＝24，p ＝12，p 2＝6．∴抛物线y 212＝2x 的准线方程为x ＝－6．]8．(多选题)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在y 轴上，若线段FM 的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为324，则点M 的坐标为( )A ．(0，－4)B ．(0，－2)C ．(0,2)D ．(0,4)BC [根据题意，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2．设B 的坐标为(m ，n )，若B 为F 、M 的中点，则m ＝0＋p 22＝p4，又由点B 到抛物线准线的距离为324，则p4－⎝⎛⎭⎫－p 2＝324，解可得p ＝2．则抛物线的方程为y 2＝22x ，且m ＝24，又B 在抛物线上，则n 2＝22×24＝1解得n ＝±1，则B ⎝⎛⎭⎫24，±1，M (0，2)或(0，－2)．] 9．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12B [∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为x ＝－2，∴椭圆E 的右焦点为(2,0)，∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，c ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝12，∴椭圆E 方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆E 的方程解得A (－2,3)，B (－2，－3)， ∴|AB |＝6，故选B ．]二、填空题10．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________．解析：由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x ＝－p2，由题意知3＋p2＝4，所以p ＝2.答案：211．在抛物线y 2＝－12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：由方程y 2＝－12x ，知焦点F (－3，0)，准线l ：x ＝3.设所求点为P (x ，y )，则由定义知|PF |＝3－x .又|PF |＝9，所以3－x ＝9，x ＝－6，代入y 2＝－12x ，得y ＝±6 2.所以所求点的坐标为(－6，62)，(－6，－62)． 答案：(－6，62)，(－6，－62)12．若抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点的横坐标是________． 解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知点A 到焦点F 的距离等于点A 到准线的距离，即|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋12.同理|BF |＝x 2＋p 2＝x 2＋12.故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝5，即x 1＋x 2＝4，得x 1＋x 22＝2，故线段AB 的中点的横坐标是2.答案：213．如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则抛物线的方程为 ．y 2＝4x [如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4＝48，p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ．] 14．抛物线C ：y 2＝2x 的焦点坐标为 ，经过点P (4,1)的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，且点P 为恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则|AF →|＋|BF →|＝ ．⎝⎛⎭⎫12，0 9 [由抛物线C ：y 2＝2x ，得2p ＝2，p ＝1，则p 2＝12，∴抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，过A 作AM ⊥准线，BN ⊥准线，PK ⊥准线，M 、N 、K 分别为垂足． 则由抛物线定义可得|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |，再根据P 为线段AB 的中点，有12(|AM |＋|BN |)＝|PK |＝92，∴|AF |＋|BF |＝9．]三、解答题15．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 解：(1)由双曲线方程得x 29－y 216＝1，其左顶点为(－3，0)．因此抛物线的焦点为(－3，0)．设其标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则p 2＝3.所以p ＝6. 因此抛物线的标准方程为y 2＝－12x .(2)当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，A (x 0，－3)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9＝2px 0，x 0＋p 2＝5. 解得p ＝1，或p ＝9.当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，A (x 0，－3)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9＝－2px 0，p 2－x 0＝5.解得p ＝1或p ＝9. 综上所述，所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .16．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)[解] 如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．依题意有P ′(1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12． 故得抛物线方程为x 2＝－y ．B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2，即|AB |＝2，则|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2)m ，约为5 m ，即水池的直径至少应设计为5 m ．17．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6,0)，求抛物线的方程．[解] 设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则其准线为x ＝－p 2． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为|AF |＋|BF |＝8，所以x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8， 即x 1＋x 2＝8－p ．因为Q (6,0)在线段AB 的垂直平分线上，所以|QA |＝|QB |， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，物线的焦点．。

抛物线练习题抛物线是二次函数的图像，它在数学中有着重要的应用。

本文将为您提供一些抛物线的练习题，帮助您更好地理解和应用抛物线的概念。

练习题一：抛物线的标准方程已知抛物线的顶点坐标为（2，3），经过点（1，0）。

求该抛物线的标准方程。

解答：由于已知抛物线的顶点坐标为（2，3），则抛物线的标准方程可以表示为：y = a(x - 2)^2 + 3又因为抛物线经过点（1，0），将该点代入方程中可得：0 = a(1 - 2)^2 + 30 = a + 3a = -3所以，该抛物线的标准方程为：y = -3(x - 2)^2 + 3练习题二：抛物线的焦点和准线已知抛物线的顶点坐标为（0，0），焦点为（2，0）。

求该抛物线的准线方程。

由于已知抛物线的顶点坐标为（0，0），准线方程可以表示为：y = -p又因为抛物线的焦点坐标为（2，0），代入焦准距离公式可得：p = 2所以，该抛物线的准线方程为：y = -2练习题三：抛物线的对称轴给定抛物线的焦点坐标为（3，0），顶点坐标为（1，2）。

求该抛物线的对称轴方程。

解答：由于已知抛物线的焦点坐标为（3，0），顶点坐标为（1，2），对称轴方程可以表示为：x = h其中，抛物线的对称轴与焦点的x坐标相等，所以对称轴方程为：x = 3练习题四：抛物线的焦点和顶点已知抛物线的焦点坐标为（0，1），顶点坐标为（1，4）。

求该抛物线的准线方程。

由于已知抛物线的焦点坐标为（0，1），顶点坐标为（1，4），首先可以求得焦准距离的值：p = 3根据抛物线性质可知，焦点的y坐标为顶点的y坐标减去焦准距离的绝对值，所以焦点的y坐标为：1 = 4 - |3|解得焦点的y坐标为1。

因此，该抛物线的准线方程为：y = 1练习题五：抛物线的焦点和顶点已知抛物线的焦点坐标为（2，-1），顶点坐标为（1，0）。

求该抛物线的准线方程。

解答：由于已知抛物线的焦点坐标为（2，-1），顶点坐标为（1，0），首先可以求得焦准距离的值：p = 1根据抛物线性质可知，焦点的y坐标为顶点的y坐标减去焦准距离的绝对值，所以焦点的y坐标为：-1 = 0 - |1|解得焦点的y坐标为-1。

2.3.1抛物线及其标准方程一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] ∵定点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，∴轨迹为直线． 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2，∴x 0＝74，∴y 0＝±72.3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8[答案] B[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1ay ，其准线为y ＝2，∴a <0,2＝1－4a ，∴a ＝－18.4．(2010·湖南文，5)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12[答案] B[解析] 本题考查抛物线的定义．由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是 ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能[答案] B[解析] 特值法：取AB 垂直于抛物线对称轴这一情况研究．6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y[答案] C[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意． 因为焦点坐标为(1,0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．8．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A ．20 B ．8 C ．22D ．24[答案] A[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18， ∴|PF |＝x 0＋p2＝20.9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3B. 3C.123 D.143 [答案] B[解析] p 2＝c ＝32，∴p ＝ 3.10．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )[答案] D[解析] 解法一：将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0转化为标准方程x 21a 2＋y 21b 2＝1，y 2＝－a bx .因为a >b >0，因此1b >1a>0. 所以有椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左．解法二：将方程ax ＋by 2＝0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明ax ＋by 2＝0的图象关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴，排除A. 二、填空题11．已知圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________. [答案] 4或8[解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p2，圆心坐标为(－3,0)，半径为1，由题意知3－p 2＝1或p2－3＝1，∴p ＝4或p ＝8.12．到点A (－1,0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是________． [答案] y 2＝8－8x[解析] 设动点坐标为(x ，y )， 由题意得(x ＋1)2＋y 2＝|x －3|，化简得y 2＝8－8x .13．以双曲线x 216－y 29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．[答案] y 2＝－20x[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 又p ＝10，∴y 2＝－20x .14．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y 2＝2x 的准线和双曲线x 216－y 29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．[解析] 设圆心坐标为(a ，b )，则a >0，b >0. ∵y 2＝2x 的准线为x ＝－12，x 216－y 29＝1的渐近线方程为3x ±4y ＝0. 由题意a ＋12＝1，则a ＝12.|3a ±4b |＝5，解得b ＝138或b ＝78，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，138、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，78.三、解答题15．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程．[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6， ∴设点M 的坐标为(x,6)． ∵点M 到准线的距离为10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧62＝2px x ＋p 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1p ＝18，故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x . 当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .16．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝y 2－8. (1)求动点P 的轨迹方程．(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点． 求证：OC ⊥OD (O 为原点)[解析] (1)由题意可得PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8 化简得x 2＝2y(2)将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2) 整理得x 2－2x －4＝0 可知Δ＝20>0设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2∴y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4 ∵OC →·OD →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴OC ⊥OD17．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的任意一条直线m ，交抛物线于P 1，P 2两点，求证：以P 1P 2为直径的圆和该抛物线的准线相切．[证明] 如下图，设P 1P 2的中点为P 0，过P 1，P 2，P 0分别向准线l 引垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q 0，根据抛物线的定义，得|P 1F |＝|P 1Q 1|，|P 2F |＝|P 2Q 2|，所以|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|.因为P 1Q 1∥P 0Q 0∥P 2Q 2，|P 1P 0|＝|P 0P 2|，所以|P 0Q 0|＝12(|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|)＝12|P 1P 2|.由此可知，P 0Q 0是以P 1P 2为直径的圆P 0的半径，且P 0Q 0⊥l ，因此，圆P 0与准线相切．18．抛物线的焦点F 是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心． (1)求该抛物线的标准方程；(2)直线l 的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l 与抛物线、圆依次交于A ，B ，C ，D ，求|AB |＋|CD |.[解析] (1)由圆的方程知圆心坐标为(2,0)．因为所求的抛物线以(2,0)为焦点，所以抛物线的标准方程为y 2＝8x .(2)如右图，|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |，又|BC |＝4，所以只需求出|AD |即可．由题意，AD 所在直线方程为y ＝2(x －2)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2(x －2)⇒x 2－6x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4，|AD |＝|AF |＋|DF |＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＝x 1＋x 2＋4＝6＋4＝10，所以|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |＝6.[点拨] 本题求出x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得|AD |＝|AF |＋|DF |＝x 1＋x 2＋p ，则简单利落．。

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十五 抛物线及其标准方程基础全面练 (20分钟 35分)1．下列抛物线中，其方程形式为y 2＝2px(p>0)的是( )【解析】选A.根据方程形式为y 2＝2px(p>0)，可得其图象关于x 轴对称，且x≥0，故可得该抛物线对称轴为x 轴，开口朝右．【补偿训练】抛物线y ＝14 x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2【解析】选A.因为y ＝14 x 2，所以x 2＝4y ，所以抛物线的准线方程是y ＝－1.2．抛物线y ＝2x 2的焦点到准线的距离为( )A ．18B ．12C ．14D ．4【解析】选C.根据题意，抛物线的方程为y ＝2x 2，其标准方程为x 2＝12 y ，其中p ＝14 ， 则抛物线的焦点到准线的距离p ＝14 .3．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2 x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4 2 ，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4【解题指南】由|PF|＝4 2 及抛物线的定义求出点P 的坐标，进而求出面积．【解析】选C.抛物线C 的准线方程为x ＝－ 2 ，焦点F( 2 ，0)，由|PF|＝4 2 及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝3 2 ，从而y P ＝±2 6 ，所以S △POF ＝12 |OF|·|y P |＝12 × 2 ×2 6 ＝2 3 .4．已知抛物线的方程为x ＝136 y 2，则该抛物线的准线方程是________．【解析】x ＝136 y 2，焦点在x 轴上，且p 2 ＝9，所以抛物线的准线方程是x＝－9.答案：x＝－95．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－ 3 ，那么|PF|＝________．【解析】如图，∠AFE＝60°，因为点F(2，0)，所以点E(－2，0)，则|AE||EF|＝tan 60°，即|AE|＝4 3 ，所以点P的坐标为(6，4 3 )，故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.答案：86．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．【解析】(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，又p2＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x2＝8y.(2)因为点(3，－4)在第四象限，所以设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝9 4.所以所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.综合突破练(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2021·柳州高二检测)已知点A⎝⎛⎭⎫2，a为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则||AF等于()A．3 B．2 2 C．2 D． 2【解析】选A.由抛物线方程知F⎝⎛⎭⎫1，0，所以||AF＝2＋1＝3.2．若点P到定点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x＜0)【解析】选C.因为点F(4，0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以点P到F(4，0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A．172B．3 C． 5 D．92【解析】选A.由抛物线的定义知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，如图，所以点P 到准线x ＝－12 的距离d ＝|PF|，易知点A(0，2)在抛物线y 2＝2x 的外部，连接AF ，当A ，P ，F 三点共线时取最小值，又|PA|＋d ＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝⎝⎛⎭⎪⎫0－122＋（2－0）2 ＝172 ，故最小值为172 .4．过点A(1，0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】选D.设P 为满足条件的点，则点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，即点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，所以点P 的轨迹为抛物线．5．抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点F ，其准线与双曲线x 23 －y 23 ＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝( )A ．3B ．4C ．6D ．8【解析】选C.如图，在正三角形ABF 中，DF ＝p ，BD ＝33 p ，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，－p 2 ， 又点B 在双曲线上，故13p 23 －p 243 ＝1，解得p ＝6.二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的点且||MF ＝3，N ⎝⎛⎭⎫－2，0 ，则直线MN 的斜率为________．【解析】设M(x ，y)，抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，由||MF ＝3，则x ＋2＝3，得x ＝1，y ＝±2 2 ，故MN 的斜率为±221－（－2） ＝±223 .答案：±2237．以椭圆x 216 ＋y 29 ＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．【解析】因为椭圆的方程为x 216 ＋y 29 ＝1，所以右顶点为(4，0).设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)，则p 2 ＝4，即p ＝8，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x.答案：y2＝16x8．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4，5)，|PA|＋d的最小值为________．【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1.由题意得d＝|PF|－1，所以|PA|＋d≥|AF|－1＝（4－1）2＋52－1＝34 －1，当且仅当A，P，F三点共线时，|PA|＋d取得最小值34 －1.答案：34 －1三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知抛物线y2＝2px经过点M(4，－4 2 )，双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且双曲线的离心率为2，求抛物线与双曲线的方程．【解析】由抛物线y2＝2px经过点M(4，－4 2 )得，8p＝32，解得p ＝4，所以抛物线焦点为(2，0)，又因为双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，故c＝2，又由双曲线的离心率为2，可得a＝1，b＝c 2－a 2 ＝ 3 ，所以抛物线方程为：y 2＝8x ，双曲线方程为：x 2－y 23 ＝1.10．若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离比它到y 轴的距离大12 .求点M 的轨迹方程．【解题指南】把|MF|比M 到y 轴的距离大12 ，转化为|MF|与点M 到x ＝－12 的距离相等，从而利用抛物线定义求解．【解析】由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离比它到y 轴的距离大12 ，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离与它到直线l ：x ＝－12 的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px(p>0)的形式，而p 2 ＝12 ，所以p ＝1，2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x(x≠0).创新迁移练1．已知曲线C 的方程为F(x ，y)＝0，集合T ＝{(x ，y)|F(x ，y)＝0}，若对于任意的(x 1，y 1)∈T ，都存在(x 2，y 2)∈T ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称曲线C 为Σ曲线．下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有________．(写出所有Σ曲线的序号)①x2＝1；②x2－y2＝1；③y2＝2x；2＋y2④|y|＝||x＋1.＝1的图象既关于x轴对称，也关于y轴对称，且【解析】①x22＋y2图象是封闭图形，所以对于任意的点P⎝⎛⎭⎫x2，y2x1，y1，存在着点Q⎝⎛⎭⎫使得OP⊥OQ，所以①满足；②x2－y2＝1的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P，Q在双曲线同一支上，此时∠POQ<90°，当P，Q不在双曲线同一支上，此时∠POQ>90°，所以∠POQ≠90°，OP⊥OQ不满足，故②不满足；③y2＝2x的图象是焦点在x轴上的抛物线，且关于x轴对称，连接OP，再过O点作OP的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q点，所以∠POQ＝90°，所以OP⊥OQ，所以③满足；④取P⎝⎛⎭⎫0，1，若OP⊥OQ，则有y2＝0，显然不成立，所以此时OP⊥OQ 不成立，所以④不满足．答案：①③2．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1 000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？【解析】如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，所以A(10，－2).设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，则102＝－2p(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－150x2.若货船沿正中央航行，船宽16 m，而当x＝8时，y＝－150×82＝－1.28 m，即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m)，而船体高为5 m，所以无法通行，又因为5－4.72＝0.28(m)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1050(t)，即若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t，而船最多还能装1 000 t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．关闭Word文档返回原板块。

抛物线及其标准方程同步试题1.以下哪个方程代表一个抛物线？A)y=x^2+2x+3B)x=y^2+2y-3C)y=x^2-2x+3D)y=(x-2)^2+32.抛物线的焦点坐标是(2,4)，且顶点在原点，它的标准方程是？A)y=x^2+4B)x=y^2+4C)y=x^2+2x+4D)x=y^2+2y+43.抛物线的焦点坐标是(-1,-3)，且顶点在原点，它的标准方程是？A)y=x^2+6B)x=y^2-6C)y=x^2+2x+6D)x=y^2+2y+64.抛物线对称轴的方程是x=3，焦点坐标是(3,5)，它的标准方程是？A)y=x^2+6x+10B)x=y^2+6y+10D)x=y^2-6y+105.抛物线经过点(1,4)和(3,16)，且顶点在原点，它的标准方程是？A)y=x^2+3x+4B)x=y^2-3y+4C)y=x^2-3x+4D)x=y^2+3y+46.抛物线经过点(2,5)和(4,9)，且顶点在原点，它的标准方程是？A)y=x^2-x+2B)x=y^2+y-2C)y=x^2+x+2D)x=y^2-y-27.以下哪个方程不代表一个抛物线？A)y=2x^2+3x-1B)x=3y^2+2y-1C)y=2x^2-3x+1D)y=(2x-3)^2+18.抛物线的焦点坐标是(0,3)，且顶点在(1,2)，它的标准方程是？A)y=x^2-4x+2C)y=x^2+4x+2D)x=y^2+4y+29.抛物线的焦点坐标是(2,6)，对称轴的方程是x=2，它的标准方程是？A)y=x^2+4x+6B)x=y^2+4y+6C)y=x^2-4x+6D)x=y^2-4y+610.抛物线经过点(-1,-2)和(3,0)，且焦点在x轴上，它的标准方程是？A)y=x^2-x-4B)x=y^2+y-4C)y=x^2+x-4。

抛物线及其标准方程练习题一．基础练习题1．已知抛物线的焦点是(0，－14)，则抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝－y B ．x 2＝y C ．y 2＝x D ．y 2＝－x2．抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标是( ) A ．(0，132) B ．(132，0) C ．(0，－2) D ．(－2,0) 3．(2009年高考四川卷)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是________．4．以双曲线y 29－x 216＝1的焦点为焦点的抛物线的方程为________． 5．分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x －2y －4＝0上．二．能力提升题1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8 2．若抛物线y 2＝2px 上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则焦点到准线的距离为( )A.12B ．1C ．2D ．4 3．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A.1716B.1516C.78D ．0 4．过P (－2,3)点的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y 5．抛物线y 2＝2px (p >0)过点M (2,2)，则点M 到抛物线准线的距离为________．6．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．7.已知抛物线C 的焦点F 在x 轴的正半轴上，点A (2，32)在抛物线内．若抛物线上一动点P 到A 、F 两点距离之和的最小值为4，求抛物线C 的方程．。

抛物线的标准方程练习题一1．抛物线y 2=ax(a ≠0)的准线方程是 ( ) (A)x= -4a (B)x=4a (C)x= -4|a | (D)x=4|a | 2．已知M(m,4)是抛物线x 2=ay 上的点，F 是抛物线的焦点，若|MF|=5，则此抛物线的焦点坐标是 ( )(A)(0,-1) (B)(0,1) (C)(0,-2) (D)(0,2)3．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是 ( )(A)y 2=16x (B)y 2=12x (C)y 2= -16x (D)y 2= -12x4．过抛物线y 2=4x 的焦点F 作倾斜角为34π的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB 的长是 ( ) (A)42 (B)4 (C)8 (D)25.已知抛物线方程为y ＝ax 2（a ＞0），则其准线方程为（ ） (A) 2a x -= (B) 4a x = (C) a y 21-= (D) ay 41-= 6.抛物线21x my =（m ≠0）的焦点坐标是（ ） (A) （0，4m ）或（0，4m -） (B) （0，4m ） (C) （0，m 41）或（0，m 41-） (D) （0，m41） 7.焦点在直线3x －4y －12＝0上的抛物线标准方程是（ ）(A) y 2＝16x 或x 2＝16y (B) y 2＝16x 或x 2＝12y(C) x 2＝－12y 或y 2＝16x (D) x 2＝16y 或y 2＝－12x8．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是（ ）(A) （0，41） (B) （0，81） (C) （21，0） (D) （41，0） 9．以椭圆192522=+y x 的中心为顶点，左准线为准线的抛物线标准方程（ ） (A) y 2＝25x (B) x y 2252= (C) x y 3252= (D) x y 4252= 10．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是11．平面上的动点P 到点A （0，－2）的距离比到直线l ：y ＝4的距离小2，则动点P 的轨迹方程是12. （1）焦点是F （－2，0）的抛物线的标准方程是__________________（2）准线方程是31=y 的抛物线的标准方程是__________________ （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是_________（4）经过点A （6，－2）的抛物线的标准方程是_______________________13．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）y 2＝8x （2）x 2＝4y （3）2y 2＋3x ＝0 （4）261x y -=14．已知抛物线y2＝x上的点M到准线的距离等于它到顶点的距离，求P点的坐标．15．抛物线x2＝4y上的点p到焦点的距离是10，求p点坐标16.求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）（2）经过点A（2，－3）17.已知抛物线的标准方程是（1）y2＝12x，（2）y＝12x2，求它的焦点坐标和准线方程．18．根据下列条件写出抛物线的标准方程（1）过点（－3，4）（2）过焦点且与x轴垂直的弦长是1619．点M到点（0，8）的距离比它到直线y＝－7的距离大1，求M点的轨迹方程．20．抛物线y2＝16x上的一P到x轴的距离为12，焦点为F，求｜PF｜的值．。

高中数学第二册（上）同步练测（34）抛物线及其标准方程班级 学号 姓名1、 抛物线42xy =的焦点坐标是( ) A (0,161) B (161 ,0) C (0,1) D (1,0)2、抛物线y 2=-8x 的焦点到准线的距离是( ) A 4 B 1 C 2 D.83、抛物线y=-2x 2的准线方程是( ) A x=-21 B x=21 C y=81 D y=-81A B C D5、动点M 到定点F （4，0）的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则点M 的轨迹是( ) A y 2=4x B y 2=16x C x 2=4y D x 2=16y6、经过点P （4，-2）的抛物线的标准方程为 A y 2=16x 或 x 2=16y B y 2=16x 或x 2=12y Cx 2=-12y 或y 2=16x D x 2=16y 或y 2=-12x7、抛物线的标准方程y 2=2px 中，P 称 ，P 的取值范围是 ，P 的几何意义是 。

8、抛物线y 2=2px(p>0)上任一点与其焦点连线的中点的轨迹方程为 。

9、抛物线x 2=4y 上和焦点距离等于5的点是 。

10、抛物线y 2=x 上和焦点相距最近的点的坐标是 。

11、过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影是A 1，B 1，则∠A 1FB 1= .12、动圆M 过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M 的轨迹方程是 . 13、（1）经过点P （-2，-4）的抛物线标准方程是 .（2）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y=12上的抛物线方程是 .14、有一抛物线，它的顶点在原点，对称轴与椭圆19422=+yx短轴所在直线的负方向重合，焦参数P 是双曲线16x 2-9y 2=6的焦点到同侧准线的距离，求此抛物线的方程。

15、如图，A 处为我军一炮兵阵地，距A 处1000米的C 处有一小山，山高为580米，在山的另一侧距C 处3000米有敌武器库B ，且A 、B 、C 在同一水平直线上，已知我炮兵轰击敌武器库的炮弹轨迹是一段抛物线，这段抛物线的最大高度OE 为800米。

《抛物线》典型例题12 例典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．22（1）x24 y （2）x ay2（a 0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）p 2 ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y 12 1 1（2）原抛物线方程为：y2 1 x， 2 p 1 a a①当 a 0时，p 1，抛物线开口向右，2 4a11∴焦点坐标是（1 ,0），准线方程是：x 1．4a 4a②当a 0 时，p 1，抛物线开口向左，2 4a11∴焦点坐标是（ ,0），准线方程是：x ．4a 4a2 1 1 综合上述，当a 0时，抛物线x ay2的焦点坐标为（1 ,0），准线方程是：x14a 4a 典型例题二例 2 若直线y kx 2与抛物线y28x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k ．故所求直线方程为： y 2x 2 ．则所求直线方程为： y 2x 2 ．典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为 y 2 2px(p 0)．如图所示，只须证明 A 2B MM 1 ，解法一：设 A(x 1, y 1) 、 B(x 2, y 2 ) ，则由：y kx 22y 28x可得：k 2x 2 (4k 8)x 4 0．∵直线与抛物线相交， k 0 且 0， 则k1．∵AB 中点横坐标为： x 1 x 2 4k 82 k 22，解得： k 2 或 k 1舍去)．解法二： 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2) ，则有 y 1 28x 12y28x 2 ．两式作差解： ( y 1 y 2)(y 1 y 2) 8(x 1 x 2) ，即y 1 y 2 x 1x28 y 1 y 2x 1 x 2 4 y 1y 2 kx 1 2 kx 2 2 k( x 1 x 2) 4 4k 4 ，k 4k 8 4 故 k2或 k 1 (舍去)．1MM 1AB ，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．12说明：类似有： 以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离， 以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线 y 2 4x 被直线 y 2x k 截得的弦长为 3 5，求 k 值．为 9 时，求 P 点坐标．求 P 点坐标．k 2x 1 x 2 1 k, x 1 x 242 解：（ 1）由 yy4x 2x 得： 4x 2 k2(4k 4)x k 2 0AB (1 22)( x 1 x 2)2 5( x 1 x 2)2 4x 1x 2 5 (1 k)2 k 2 5(1 2k)AB 3 5, 5(1 2k) 3 5 ，即 k 4 2）S 9 ，底边长为 3 5 ，∴三角形高 h 2 9 6 535 ∵点 P 在x 轴上，∴设 P 点坐标是 （x 0,0） 则点 P 到直线 y 2x 4的距离就等于 h ，即 0 2 2 22 12655x1或 x 0 5，即所求 P 点坐标是（－ 1，0）或（ 5，0）．典型例题五MM 111 12( AA 1 BB 1) 12(AF2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积 分析：（1）题可利用弦长公式求 k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离设直线与抛物线交于 A （x 1,y 1）与B （x 2,y 2） 两点．则有：BF )范文 范例 指导 参考例5 已知定直线 l 及定点 A (A 不在 l 上)，n 为过A 且垂直于 l 的直线，设 N 为 l 上任一点， AN 的垂直平分线交 n 于 B ，点 B 关于 AN 的对称点为 P ，求证 P 的轨迹为抛物线．分析：要证 P 的轨迹为抛物线， 有两个途径， 一个证明 P 点的轨迹符合抛物线的 定义，二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程， 可先用第一种方法，由 A 为定点， l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 PA PN 且 PN l 即可． 证明： 如图所示，连结 PA 、PN 、NB ．由已知条件可知： PB 垂直平分 NA ，且 B 关于 AN 的对称点为 P ． ∴ AN 也垂直平分 PB ．则四边形 PABN 为菱形．即有 PA PN ．AB l. PN l.则 P 点符合抛物线上点的条件：到定点 A 的距离与到定直线的距离相等，所以 P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段 P 1P 2为抛物线 C:y 2 2px(p 0)的一条 分析： 此题证的是距离问题，如果把它们用两点间 的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用 抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：F(2p ,0)，若过 F 的直线即线段 P 1P 2所在直线斜率不存在时，则有 P 1F P 2F p,111 1 2P 1F P 2F p p p焦点弦， F 为 C 的焦点，求证：1 12 P 1F P 2F p若线段P1P2 所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：y k(x 2p)(k 0) ，且设P1(x1,y1),P2(x2,y2) ．k(x p )2得：k(x p )2 k2x2p(k22)xk2p24x 1 x22p(k 22)k2x 1 x 2根据抛物线定义有：P1 F x1 2p,P2F x12p , P1P2 x1 x2 p则 1 1 P1F P2F P1F P2 F P1F P2Fx1x2(x1 2p)(x2 2 )x2 p2p4x1x1x2 2p (x1 x2)1请将①②代入并化简得：112P1F P2F p证法二：如图所示，设P1、P2 、F点在C的准线l 上的射影分别是P1 、P2 、F ，且不妨设P2P2 n m P1P1 ，又设P2 点在FF P1P1 上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，P2 F n, P1F m, FF p又P2 AF ∽P2 BP1 ，AF P2 F BP1 P2P1p(m n ) 2mn 112 m n p即 AB 2psin 2故原命题成立．典型例题七例 7 设抛物线方程为 y 2 2px(p 0) ，过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为 焦点弦长为 AB 2 2p ．sin分析： 此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题． 证法一： 抛物线 y 2 2px( p 0)的焦点为 (2p ,0)， 过焦点的弦 AB 所在的直线方程为： y tan ( x 2p ) 由方程组 y tan (x 2p)消去 y 得： y 2 2 px2 2 2 2 24 x 2 tan 2 4 p(tan 2 ) p 2 tan 2，求证：x 1 x2设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2) ，则x1x2p(tan 22)tan 22p4p(1 2cot 2 )又 y 1 y 2 tan ( x 1 x 2 )AB (1 tan 2 )( x 1 x 2)2 (1 tan 2 ) (x 1 x 2) 2 4x 1x 2 (1 tan 2 ) p 2 (1 cot 2 ) 4 p4sec 2 4p 2 cot 2 (1 cot 2 )2p 2 sin1 4 sin证法二： 如图所示，分别作 AA 1、 BB 1垂直于准线 l ．由抛物线定义有：AFAA 1 AF cos p BFBB 1pBF cos典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点 P （3,2 3） ，它的一个焦点为 F （1，0），对应于该 焦点的准线为 x 1，过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB ，若弦 AB 的长度不超过 8， 且直线 AB 与椭圆 3x 2 2y 2 2 相交于不同的两点，求 （ 1） AB 的倾斜角 的取值范围．（2）设直线 AB 与椭圆相交于 C 、 D 两点，求 CD 中点 M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线， AB 为抛物线的焦点弦，设其 斜率为 k ，弦 AB 与椭圆相交于不同的两点， 可求出 k 的取值范围， 从而可得 的 取值范围，求 CD 中点 M 的轨迹方程时，可设出 M 的坐标，利用韦达定理化简即 可．于是可得出：AFp1 cosBFp1 cosABAF BFpp1 cos1 cos2p21 cos2p2sin故原命题成立．解：(1)由已知得PF 4 ．故P到x 1 的距离 d 4 ，从而PF d ∴曲线C是抛物线，其方程为y24x ．设直线AB的斜率为k，若k 不存在，则直线AB与3x2∴k 存在．设AB的方程为y k ( x 1)4 x 2可得：ky24 y 4k 0 k( x 1)2 y22 无交点．2 由y2y设A、B坐标分别为(x1,y1)、(x2, y2)，则：y1y2y1y2 4AB12 (1 k2 )(y1y2)2 1k k2 (y1 y2)2 k4(1 k2 )4y1 y2 k2∵弦AB的长度不超过8，24(1 k 2)k28即k2由y2k(x21)得：(2k23x22 y223)x24k 2x 2(k21)∵AB与椭圆相交于不同的两点，k2由k21和k2 3可得： 1 k故1 tan 3 或 3 tan又0 ，∴所求的取值范围是：3或232) 设CD中点M ( x, y) 、C( x3, y3 )、D(x4,y4)由y2k(x21)得：(2k23)x24k2x3x22 y222(k 21) 0典型例题九例 9 定长为 3的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y 2 x 上移动，求 AB 的中点到 y 轴的距离的最小值，并求出此时 AB 中点的坐标．分析： 线段 AB 中点到 y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐 标问题，因此只要研究 A 、 B 两点的横坐标之和取什么最小值即可．解：如图，设 F 是y 2 x 的焦点， A 、 B 两点到准线的垂线分别是 AC 、BD ， 又M 到准线的垂线为 MN ， C 、 D 和N 是垂足，则x34k 22, x 3 x 12k 232 x3 x 42k 2 2k 2 3 1 232k 2 3 k 2 322k 23 9x42(k 2 1) 2k 2 3则2 51 2k 21 2223即25yx12k 2 2k 2322 y 2 2 (x 1)2 22 y 22 ( x 1) 2化简得： 3x 2 2 y 2 3x∴所求轨迹方程为： 3x 22y 23x 0( 2 x 2) 531 3 1 设M 点的横坐标为 x ，纵坐标为 y ， MN x ，则 x 42 4等式成立的条件是 AB 过点 F ．2 2 21(y 1 y 2) y 1 y 2 2y 1y 2 2x 2 2，y 1 y 2 2 ， y5 2 5 所以 M(54, 22) ，此时 M 到y 轴的距离的最小值为 45 ．说明：本题从分析图形性质出发， 把三角形的性质应用到解析几何中， 解法较简．典型例题十例 10 过抛物线 y 2 px 的焦点 F 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 A 、B 两点， 求 AB 的最小值．分析：本题可分 2 和 2两种情况讨论．当 2 时，先写出 AB 的表达式， 再求范围．解：(1) 若 2 ，此时 AB 2p ．11 12( AC BD) 21( AFBF)12AB当x 45时， y 1y 2 P 214，故MN1AB ：y tan (x 2p )，即 x ta y n说明：(2) 若 2 ，因有两交点，所以 0．代入抛物线方程，有 ta 2 3n p y tan p 2 0 ．故 ( y 2 y 1 ) 2 4 p 2tan 2 4p 2 4p 2 csc( x 2 x 1) 2 ( y 2 y 1)2tan 2 22 csc4 p 2 2tan 故 AB 22 4 p csc (1 12 ) 4p 2 csc 4 tan 2所以 AB 2p 2 sin 2p ．因 2 ，所以这里不能取“=” 综合(1)(2) ，当 2 时， AB 最小值 2p ．(1) 此题须对 分 2 和 2两种情况进行讨论；的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点 A 在抛物线上，由抛物线定义，则 AA ' AF 1 2， 又 AA ' // x 轴 1 3 ． ∴ 2 3，同理 4 6 ， 而 2 3 6 4 180 ，∴ 3 6 90 ，∴ A 'FB ' 90 ．选 C ．②过AB 中点 M 作MM ' l ，垂中为 M '，∴以 AB 为直径的圆与直线 l 相切，切点为 M ' ．又 F ' 在圆的外部，∴ AF 'B 90 ． 特别地，当 AB x 轴时， M '与 F '重合， AF 'B 90 ．即 AF 'B 90 ，选 B ．典型例题十二例 12 已知点 M(3,2)， F 为抛物线 y 2 2x 的焦点，点 P 在该抛物线上移动， 当 PM PF 取最小值时，点 P 的坐标为 __________ ．分析： 本题若建立目标函数来求 PM PF 的最小值是困难的，若巧妙地利用抛则 MM1(AA ' BB ' ) 2 1 12( AF BF ) 1 AB 2物线定义，结合图形则问题不难解决．1 由定义知PF PE ，故PM PF PF PM ME MN 3 ．取等号时，M 、P、E三点共线，∴ P点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P点坐标为(2, 2) ．。

抛物线标准方程及其简单性质（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知动点满足，则点的轨迹是( )A.两条相交直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：抛物线的定义2.抛物线，是焦点，则表示( )A.F到准线的距离B.F到准线的距离的C.F到准线的距离的D.F到轴的距离答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：抛物线的标准方程3.已知抛物线的点到定点和定直线的距离相等，则( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：抛物线的标准方程4.顶点在原点，准线与轴垂直，且经过点的抛物线方程是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：抛物线的标准方程5.已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则抛物线的准线方程为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题6.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：抛物线的定义7.一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：抛物线的定义8.抛物线（）的焦点为，倾斜角为的直线过点且与抛物线的一个交点为，，则抛物线的方程为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题9.直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，分别从两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为，则是( )A.锐角B.直角C.钝角D.直角或钝角答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：抛物线的定义10.已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：抛物线的标准方程。