抛物线及标准方程

抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。

抛物线及其标准方程抛物线是平面上一个点到一定直线的距离等于该点到另一定点的距离的轨迹。

抛物线是一种非常常见的曲线，在日常生活和数学领域都有着广泛的应用。

在本文中，我们将重点介绍抛物线及其标准方程，希望能够帮助读者更好地理解和运用抛物线的相关知识。

首先，让我们来看一下抛物线的基本特点。

抛物线是由一个定点（焦点）F 和一条定直线（准线）l 组成的，其定义是，对于平面上的任意一点 P，到焦点的距离等于到准线的距离。

这个定义可以用一个简单的实例来说明，假设你站在一个点 P，到篮球场的中心点（焦点）的距离等于到篮球场两边观众席的距离（准线），那么你所走过的路径就是一个抛物线。

接下来，我们来讨论抛物线的标准方程。

抛物线的标准方程通常写作 y = ax^2 + bx + c。

其中 a、b、c 分别为抛物线的参数，而 x 和 y 分别为抛物线上的点的横纵坐标。

在标准方程中，参数a 决定了抛物线的开口方向和大小，当 a 大于 0 时，抛物线开口向上；当 a 小于 0 时，抛物线开口向下。

参数 b 决定了抛物线在x 轴上的位置，而参数 c 决定了抛物线在 y 轴上的位置。

为了更好地理解抛物线的标准方程，我们可以通过一个简单的例子来说明。

假设我们有一个抛物线，其标准方程为 y = 2x^2 + 3x + 1。

根据标准方程，我们可以得知参数 a 的值为 2，参数 b 的值为 3，参数 c 的值为 1。

根据参数 a 的取值，我们可以得知这个抛物线开口向上；而根据参数 b 和参数 c 的取值，我们可以确定抛物线在 x 轴和 y 轴上的位置。

通过这个例子，我们可以看到，抛物线的标准方程可以帮助我们直观地理解抛物线的形状和特点。

总之，抛物线是一种非常重要的曲线，在数学和实际生活中都有着广泛的应用。

通过理解抛物线的基本特点和标准方程，我们可以更好地应用抛物线的相关知识，解决实际问题。

希望本文能够帮助读者更好地理解抛物线及其标准方程，为进一步学习和应用抛物线打下坚实的基础。

高中数学公式—抛物线及抛物线标准方程_公式总结
高中数学公式之抛物线公式：
抛物线：y=ax^2+bx+c
就是y等于ax 的平方加上bx再加上c
a &gt; 0时开口向上
a &lt; 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a(x+h)^2 + k
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 以上是小编为大家整理的高中数学公式的抛物线方程，希望便于大家牢记。

抛物线及其标准方程
抛物线是一种二次曲线，其标准方程为y^2=2px。

这个方程表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0)，准线方程为x=-p/2。

抛物线的标准方程有不同的形式，如y^2=2px、y^2=-2px、x^2=2py和x^2=-2py等。

这些方程分别表示了不同的抛物线，其中p为焦点到准线的距离，决定了抛物线的形状和大小。

除了标准方程外，抛物线还可以用一般形式来表示，即y=ax^2+bx+c。

这个方程表示抛物线的开口方向、顶点坐标和与y轴的交点等特性。

另外，抛物线还可以用顶点式来表示，即y=a(x-h)^2+k。

这个方程表示抛物线的顶点坐标为(h,k)，a为开口方向的系数。

在求解抛物线的问题时，需要根据具体问题选择适当的方程形式，并利用已知条件来求解未知量。

§3.3 抛物线3．3.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程． 导语通过前面的学习可以发现，如果动点M 到定点F 的距离与M 到定直线l (不过点F )的距离之比为k ，当0<k <1时，点M 的轨迹为椭圆；当k >1时，点M 的轨迹为双曲线．一个自然的问题是：当k ＝1时，即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等时，点M 的轨迹会是什么形状？ 一、抛物线的定义问题1 利用信息技术作图，如图所示，F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是直线l 上任意一点，过点H 作MH ⊥l ，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M ，拖动点H ，点M 随之运动，你能发现点M 满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？提示 点M 随着点H 运动的过程中，始终有|MF |＝|MH |，即点M 与定点F 的距离等于它到定直线l 的距离，点M 的轨迹形状与二次函数的图象相似． 知识梳理1．定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．2．焦点：定点F . 3．准线：定直线l . 注意点：(1)“一动三定”：一动点M ；一定点F (即焦点)；一定直线l (即准线)；一定值1(即动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为1)．(2)若点F 在直线l 上，点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线．问题2 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？提示 我们取经过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy .设|KF |＝p (p >0)，那么焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线l 的方程为x ＝－p2.设M (x ，y )是抛物线上任意一点，点M 到准线l 的距离为d .由抛物线的定义，抛物线是点的集合P ＝{M ||MF |＝d }． 则M 到F 的距离为|MF |＝⎝⎛⎭⎫x －p 22＋y 2，M 到直线l 的距离为⎪⎪⎪⎪x ＋p 2， 所以⎝⎛⎭⎫x －p 22＋y 2＝⎪⎪⎪⎪x ＋p 2，将上式两边平方并化简，得y 2＝2px (p >0)． 知识梳理图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0) ⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0) ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p >0) ⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0) ⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2注意点：(1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x 或y )的取值范围．例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．解(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，；则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝16若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝92.故所求抛物线的标准方程为y2＝－12＝－9y.3x或x(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p＝3，所以p＝6，2此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，p＝4，所以p＝8，2此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.反思感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．跟踪训练1 (1)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________． 答案 2 x ＝－1解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________． 答案 x 2＝10y 和x 2＝－10y解析 设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y . 二、抛物线定义的应用例2 (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 A解析 ∵14＋x 0＝54x 0，∴x 0＝1.(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P ，点(0,2)和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172.延伸探究1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值． 解 将x ＝3代入y 2＝2x ，得y ＝±6.所以点A 在抛物线内部．设点P 为其上一点，点P 到准线(设为l )x ＝－12的距离为d ，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋d .由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值是72.即|P A |＋|PF |的最小值是72.2．若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l 1：3x －4y ＋72＝0，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 解 如图，作PQ 垂直于准线l 于点Q ，|P A 1|＋|PQ |＝|P A 1|＋|PF |≥|A 1F |min .|A 1F |的最小值为点F 到直线3x －4y ＋72＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪3×12＋7232＋(－4)2＝1.即所求最小值为1.反思感悟 抛物线定义的应用实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．跟踪训练2 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________． 答案 4解析 把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4.(2)设点A 的坐标为(1，15)，点P 在抛物线y 2＝8x 上移动，P 到直线x ＝－1的距离为d ，则d ＋|P A |的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由题意知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，点P 到准线x ＝－2的距离为d ＋1，于是|PF |＝d ＋1，所以d ＋|P A |＝|PF |－1＋|P A |的最小值为|AF |－1＝4－1＝3. 三、抛物线的实际应用问题例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高0.75 m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m 时，小船开始不能通航．反思感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3 某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h ，跨径为a ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.a 28h B.a 24h C.a 22h D.a 2h答案 A解析 如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系Oxy .设抛物线为x 2＝－2py (p >0)，结合题意可知，该抛物线经过点⎝⎛⎭⎫a 2，－h ，则a 24＝2hp ，解得p ＝a 28h，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p ＝a 28h.1．知识清单： (1)抛物线的定义．(2)抛物线的标准方程的四种形式． (3)抛物线定义的应用．2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归． 3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式．1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是( )A ．x ＝132B ．x ＝12C ．y ＝2D ．y ＝4答案 C解析 将y ＝－18x 2化为标准方程x 2＝－8y ，由此可知准线方程为y ＝2.2．已知抛物线y ＝2px 2过点(1,4)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A ．(1,0) B.⎝⎛⎭⎫116，0 C.⎝⎛⎭⎫0，116 D ．(0,1) 答案 C解析 由抛物线y ＝2px 2过点(1,4)，可得p ＝2， ∴抛物线的标准方程为x 2＝14y ，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116，故选C. 3．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．答案 y 2＝16x解析 ∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点的坐标为(4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则p2＝4，即p ＝8， ∴抛物线的标准方程为y 2＝16x .4．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为________． 答案 (－9,6)或(－9，－6)解析 由抛物线方程y 2＝－2px (p ＞0)， 得其焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0， 准线方程为x ＝p2.设点M 到准线的距离为d ， 则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝－4x . 由点M (－9，y )在抛物线上，得y ＝±6， 故点M 的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．课时对点练1．准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．x 2＝－2y答案 B解析 由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p > 0)， 则(－2)2＝2p ，解得p ＝1，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x .2．(多选)经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程可以为( ) A ．y 2＝x B ．x 2＝8y C ．x 2＝－8y D ．y 2＝－8x 答案 AC解析 若抛物线的焦点在x 轴上， 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， 又因为抛物线经过点P (4，－2)， 所以(－2)2＝2p ×4， 解得p ＝12，所以抛物线的方程为y 2＝x . 若抛物线的焦点在y 轴上， 设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)， 又因为抛物线经过点P (4，－2)， 所以42＝－2p ×(－2)，解得p ＝4， 所以抛物线的方程为x 2＝－8y .3．过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线 D ．抛物线 答案 D解析 由题意可知，动圆的圆心到点A 的距离与到y 轴的距离相等，满足抛物线的定义，故应选D.4．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝±8x答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .5．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.115 D.3716答案 A解析 易知直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线，如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为PF 的长度，其中F (1,0)为抛物线y 2＝4x 的焦点．由图可知，距离和的最小值即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|42＋(－3)2＝2.6．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为 2 m ，镜深0.25 m ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点( )A ．0.5 mB ．1 mC ．1.5 mD ．2 m 答案 B解析 若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，集光板端点A (1,0.25) ，代入抛物线方程可得2×0.25p ＝1，p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝4y ，故焦点坐标是F (0,1)．所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝33x ，且一个焦点在抛物线y 2＝8x 的准线上，则该双曲线的方程为___________．答案 x 23－y 2＝1 解析 ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝33x ， ∴b a ＝33，① ∵抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，该双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝8x 的准线上，∴c ＝2，而c ＝a 2＋b 2， ∴a 2＋b 2＝4，②由①②，得a 2＝3，b 2＝1，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. 8．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上的一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.答案 8解析 如图，∠AFE ＝60°，因为F (2,0)，所以E (－2,0)，则|AE ||EF |＝tan 60°， 即|AE |＝43，所以点P 的坐标为(6,43)，故|PF |＝|P A |＝6＋2＝8.9．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.解 (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p 2＝－3， ∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .10．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上两点A ，B 且AB ⊥y 轴，OA ⊥OB ，△AOB 的面积为16，求抛物线C 的方程．解 不妨设点A 在第一象限且A (m ，n )，则B (－m ，n )，可得m 2＝2pn ，AB ⊥y 轴，且OA ⊥OB ，即△AOB 为等腰直角三角形，则OA 的斜率为1，即m ＝n ，由△AOB 的面积为16，可得12·2m ·n ＝16， 解得m ＝n ＝4，p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .11．已知P 为抛物线y ＝x 2上的动点，A ⎝⎛⎭⎫0，14，B (1,2)，则|P A |＋|PB |的最小值为( ) A.32 B.74 C.94 D.52答案 C解析 由题意知，A 为抛物线的焦点．设点P 到准线y ＝－14的距离为d ， 则|P A |＋|PB |＝d ＋|PB |，d ＋|PB |的最小值为B 到准线的距离，故最小值为2＋14＝94. 当PB 垂直于准线时取最小值．12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( )A.72B.52C ．3D ．2 答案 C解析 过点Q 作QQ ′⊥l 于点Q ′，如图．∵FP →＝4FQ →，∴|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，∴|QF |＝|QQ ′|＝3.13．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)．由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6. 14．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)答案 ②④解析 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足； 由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝⎛⎭⎫52，0，设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．15．已知P 为抛物线x 2＝12y 上一个动点，Q 为圆(x －4)2＋y 2＝1上一个动点，则点P 到点Q 的距离与点P 到x 轴距离之和的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 D解析 由抛物线的方程可知焦点F (0,3)，则准线方程为y ＝－3，如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点A ，延长P A 交准线于点B ，设圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为点C .根据抛物线的定义可得|P A |＝|PB |－|AB |＝|PF |－|AB |，∴|P A|＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－|AB|＝|PF|＋|PQ|－3，∴当|P A|＋|PQ|最小时，则|PF|＋|PQ|最小，即F，P，Q(Q位于C，P之间)三点共线时，|P A|＋|PQ|最小，∴(|PF|＋|PQ|)min＝|FC|－|QC|＝32＋42－1＝4，∴(|P A|＋|PQ|)min＝(|PF|＋|PQ|)min－3＝4－3＝1.16．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|P A|＋d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．解(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|P A|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，此时|P A|＋d最小，最小值为22＋12＝ 5.(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±23，因为23>2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.。