高中数学第三章函数的应用章末专题整合课件新人教A版必修1

学习资料

班 级： 科 目： 2021-2022学年高中数学 第三章

函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例讲义教案 新人教A版必修1 3.2。2 函数模型的应用实例

学

习 目 标 核 心 素 养

1.会利用已知函数模型解决实际问题．（重点)

2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点）

3．了解拟合函数模型并解决实际问题．（重点） 通过本节内容的学习,使学生认识函数模型的作用,提升学生数学建模、数据分析的素养.

1．常用函数模型

常用函数模型 （1）一次函数模型 y＝kx＋b(k,b为常数，k≠0)

（2）二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c（a,b，c为常数，a≠0）

(3)指数函数模型 y＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0,a>0且a≠1）

（4）对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数,m≠0,a〉0且a≠1)

(5）幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

(6)分段函数模型 y＝错误!

2。建立函数模型解决问题的基本过程

思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？

提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：

(一)审题；(二)建模；(三)求模；（四)还原．

这些步骤用框图表示如图：

1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( ）

x 4 5 6 7 8 9 10 y

15 17 19 21 23 25 27

A。一次函数模型 B．二次函数模型

C．指数函数模型 D．对数函数模型

A [自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A。］

2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x(年）的关系为y＝alog2（x＋1）,若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到（ ）

学习资料

班 级： 科 目： 2021-2022学年高中数学 第三章

函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型讲义教案 新人教A版必修1 3。2 函数模型及其应用

3.2。1 几类不同增长的函数模型

学

习 目 标 核 心 素 养

1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点）

2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点）

3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．（难点） 借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养。

三种函数模型的性质

y＝ax(a>1） y＝logax(a〉1) y＝xn（n>0）

在（0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数

图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 随n值而不同

增长速度 ①y＝ax(a〉1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(n〉0)的增长速度，y＝logax（a〉1)的增长速度越来越慢；

②存在一个x0,当x>x0时，有ax>xn>logax

1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是( ）

A．y减少1个单位 B．y增加1个单位

C．y减少2个单位 D．y增加2个单位

C [结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]

2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（ )

A．y＝ex B．y＝ln x C．y＝x2 D．y＝e－x

A [结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知A正确．]

3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t（年)的函数关系如图所示．

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．

其中说法正确的序号是________．

②③ [结合图象可知②③正确，故填②③.]

几类函数模型的增长差异

3.2 函数模型及其应用举例

问题探究

问题1如何解有关函数的应用题？

探究：解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图，引入变量，建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言；二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解，要注重数学能力的培养.

问题2应用题中列出函数关系式有哪些方法？

探究：(1)待定系数法：已知条件中已给出了含参数的函数关系式，或可确定函数类别，此种情形下应用待定系数法求出函数表达式中的相关参数(未知系数)的值，就可以得到确定的函数式.

(2)归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出相应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数表达式.

(3)方程法：用x表示自变量及其他相关的量，根据问题的实际意义，运用掌握的数学、物理等方面的知识，列出函数关系式，此种方法形式上和列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数关系式就是含x、y的二元方程.

典题精讲

例1：某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x，其中哪个模型能符合公司要求？

思路分析：

某个奖励模型符合公司要求，即当x∈［10,1 000］时，能够满足y≤5，且xy≤25%，可以先从函数图象得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.

解：借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象,如图3-2-1所示.

图3-2-1

观察图象发现，在区间［10,1 000］上模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在y=5的上方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断.

1 1、函数零点的概念：对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点。

2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．

3、函数零点的求法：

○1 （代数法）求方程0)(xf的实数根；

○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、基本初等函数的零点：

①正比例函数(0)ykxk仅有一个零点。

②反比例函数(0)kykx没有零点。

③一次函数(0)ykxbk仅有一个零点。

④二次函数)0(2acbxaxy．

（1）△＞０，方程20(0)axbxca有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程20(0)axbxca有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程20(0)axbxca无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

⑤指数函数(0,1)xyaaa且没有零点。

⑥对数函数log(0,1)ayxaa且仅有一个零点1.

⑦幂函数yx，当0n时，仅有一个零点0，当0n时，没有零点。 2 5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成0fx，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,yy（基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。

6、选择题判断区间,ab上是否含有零点，只需满足0fafb。

7、确定零点在某区间,ab个数是唯一的条件是:①fx在区间上连续，且0fafb②在区间,ab上单调。