三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质
在数学中，三角函数是一种基本的函数类型，其中的很多图像和性质对理解数学十分重要。它们有助于理解各种模型的表示和应用，增强数学思维的能力和加深数学知识。本文就三角函数的图像与性质做一些简单的介绍。
I、三角函数图像
1、正弦曲线：正弦曲线是由参数从0到2𝜋（2𝜋是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线。它是圆的切线，有一定的规律性，并且把圆分为一个完整的一个周期，表现的曲线是一个“s”字形，形成有节奏的变化形式。
2、余弦曲线：余弦曲线是一条由参数从0到2𝜋（2𝜋是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线，它也是圆的切线，有一定的规律性，但是它把圆分为两个半周期，比较起来更加缓和，表现的曲线是一个“v”字形，形成有节奏的变化形式。
3、正切曲线：正切曲线可以由参数0到𝜋（𝜋是将一个周期跨越一次）形成的曲线。它也是一个椭圆的切线，有一定的规律性，把椭圆分为一完整周期，表现的曲线是一个“z”字形，形成有节奏的变化形式。
II、三角函数的性质
1、周期性：三角函数的周期性就是说其值的变化是有如左图5000式的一个循环周期，在实际应用中可以利用该性质进行参数估计。
2、增减性：三角函数具有明显的增减性，具体表现为当参数逐渐增加时，函数值会自动增大，而当参数逐渐减小时，函数值则会自动减小。
3、几何性：三角函数有一个令人惊讶的性质，即在几何上其值就等于一定参数的弧度，而且参数的变化也不会影响该弧度。
4、极限性：参数𝜋/2处的正切函数的值无穷大，表示非常接近的范围内函数的变化是接近无穷大的，而参数为0处的余弦函数为1，表示函数在某一点的取值趋势没有了变化，变成一个规定值。
总结来说，三角函数可以说是数学之中一个基本的概念，其图形和性质极其重要，可以帮助我们更深入的理解数学，增进数学的应用能力，因此，值得我们认真好好的学习。
第1页 §三角函数的图像与性质
一、知识要点、方法梳理
1．三角函数图像及性质
函数 正弦函数 余弦函数 正切函数
图
像
定义域 R R Zkkxx,2|
值域 ]1,1[
]1,1[ R
周期性 2 2
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 )0,(k（Zk）即正弦值为0的点 )0,2(k（Zk）即余弦值为0的点 )0,2(k（Zk）
对称轴 kx2（Zk） kx（Zk） 无
单调性
区间：]22,22[kk，（Zk）是增区间；
区间：]223,22[kk，（Zk）是减区间； 区间：]2,2[kk，（Zk）是增区间；
区间：]2,2[kk，（Zk）是减区间； 区间：)2,2(kk（Zk）是增区间
2. 三角函数图像的五点作图法：如正弦：)0,0(；)1,2(；)0,(；)1,23(；)0,2(，
余弦：)1,0(；)0,2(；)1,(；)0,23(；)1,2(
这五点是函数图像在一个周期内的最高点、最低点与平衡点。
3．函数图像的变换：
振幅变换：)(xfy 横坐标不变，纵坐标伸长（或缩短）为原来的A倍 )(xAfy 第2页 周期变换：)(xfy
纵坐标不变，横坐标伸长（或缩短）为原来的w1倍 )(wxfy
相位变换：)(xfy 向左（或向右）平移个单位 )(xfy
平移变换：)(xfy 向上（或向下）平移k个单位 kxfy)(
（其中kwA,,,为正数）
二、易错细节与常用小结论梳理
1．三角函数的周期问题：
○1函数kwxAy)sin(、kwxAy)cos(，|)sin(|hwxAy（Rx且,,A为常数，且,0Ah）的周期||2wT。
三角函数图像与性质知识点
三角函数是数学中的重要概念，它们的图像与性质对于理解和解决各种数学问题具有重要的作用。本文将介绍三角函数的图像与性质的知识点，希望能帮助读者更好地掌握这一概念。
一、正弦函数的图像与性质
正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像可以用来描述周期性变化的现象。它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。正弦函数的图像为连续的波浪线，称为正弦曲线。
正弦函数的图像具有以下性质：
1. 周期性：正弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，正弦函数的图像重复出现。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称。
二、余弦函数的图像与性质
余弦函数是与正弦函数相似的三角函数，它也可以用来描述周期性变化的现象。它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。余弦函数的图像为连续的波浪线，称为余弦曲线。
余弦函数的图像具有以下性质：
1. 周期性：余弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，余弦函数的图像重复出现。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。
3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称。
三、正切函数的图像与性质
正切函数是另一个重要的三角函数，它描述的是角度的比值。它的定义域为实数集，值域为全体实数。正切函数的图像为由正无穷连续延伸到负无穷的曲线，称为正切曲线。
正切函数的图像具有以下性质：
1. 周期性：正切函数的最小正周期为π，在一个周期内，正切函数的图像重复出现。 2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
3. 垂直渐近线：正切函数的图像有两条垂直渐近线，分别为x=π/2+kπ（k为整数）和x=-π/2+kπ（k为整数）。
四、割函数与余割函数的图像与性质
割函数和余割函数是与正切函数和余弦函数相对应的两个三角函数。割函数的定义域为实数集减去所有使得余切函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。余割函数的定义域为实数集减去所有使得正弦函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。
1
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象
（1）函数y=sinx的图象 （2）余弦函数y=cosx的图象
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (2,1) (,0) (23,-1) (2,0)
余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是
(0,1) (2,0) (,-1) (23,0) (2,1)
讲解范例：例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]， (2) y=|sinx|， （3）y=sin|x|
例2 用五点法作函数2cos(),[0,2]3yxx的简图.
例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
1(1)sin;2x 15(2)cos,(0).22xx
课后作业：作业：
补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象
2．分别在[-4,4]内作出y=sinx和y=cosx的图象
3．用五点法作出y=cosx,x[0,2]的图象
“五点（画图）法”-----描点、连线，画出简图。
例1． 画出下列函数的简图：
（1） y＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕
（2） ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕
一、 合作学习
●探究1
如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？
小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
●探究2
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？
