高中数学必修五北师大版 1.2 余弦定理 作业(含答案)3
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第2章 1.2
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )
A.π3 B.π6
C.π4 D.π12
解析： ∵a＞b＞c，
∴C为最小角，且0＜C＜60°，
由余弦定理cos C＝a2＋b2－c22ab
＝72＋432－1322×7×43＝32.
∴C＝π6.
答案： B
2．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且∠A＝75°，则b＝(
)
A．2
B．4＋23
C．4－23 D.6－2
解析： △ABC中，易知∠B＝30°，
由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac·cos 30°，
∴b2＝2(6＋2)2－2(6＋2)2×32
＝(2－3)(6＋2)2＝4(2＋3)(2－3)＝4，
∴b＝2.
答案： A
3．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2 ) A.π2，π B.π3，π2 C.π4，π2 D.0，π2 解析： 根据余弦定理：cos A＝b2＋c2－a22bc>0， ∴A为锐角． ∵在不等边三角形中，a是最大边， ∴A是最大角， ∴△ABC为锐角三角形，∴π3 答案： B 4．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则边AC上的高为( ) A.322 B.323 C.32 D．33 解析： 由余弦定理可得，cos A＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝42＋32－1322×3×4＝12.∴sin A＝32， 则AC边上的高h＝AB·sin A＝3×32＝323，故选B. 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状是______． 解析： 由题设和正、余弦定理得2×a2＋c2－b22ac＝ca， 化简得a2－b2＝0，即a＝b. 答案： 等腰三角形 6．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝3b＝12，则c的值为________． 解析： 由3a＝3b＝12，得a＝4，b＝43，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8. 答案： 4或8 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＝(2a－c)cos B. (1)求角B的大小； (2)若b2＝ac，试确定△ABC的形状． 解析： (1)由已知及正弦定理，得 sin Bcos C＝(2sin A－sin C)cos B， 即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos B， ∴sin(B＋C)＝2sin Acos B. ∵sin(B＋C)＝sin A≠0， ∴2cos B＝1， 即cos B＝12，∴B＝60°. (2)根据余弦定理， 有b2＝a2＋c2－2accos B，又b2＝ac， 则ac＝a2＋c2－2accos 60°， 即a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0， 即a＝c. 从而b＝ac＝a＝c， 故△ABC为正三角形． 8．在△ABC中，已知sin A＝35，sin A＋cos A＜0，a＝35，b＝5，求c. 解析： ∵sin A＋cos A＜0，且sin A＝35， ∴cos A＝－1－sin2A＝－45， 又∵a＝35，b＝5， ∴由a2＝b2＋c2－2bcos A，得 (35)2＝52＋c2－2×5×c×－45， 即c2＋8c－20＝0.解得c＝2或c＝－10(舍去)， ∴c＝2. 尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且(sin B＋sin C＋sinA)·(sin B＋sin C－sin A)＝185sin Bsin C，边b和c是关于x的方程：x2－9x＋25cos A＝0的两根(b＞c)， (1)求角A的正弦值； (2)求边a，b，c； (3)判定△ABC的形状，并求其内切圆的半径． 解析： (1)由已知：(sin B＋sin C＋sin A)(sin B＋sin C－sin A)＝185sin Bsin C， 结合正弦定理可得： sin2 B＋sin2 C－sin2 A＝85sin Bsin C， ∴b2＋c2－a2＝85bc. 由余弦定理， cos A＝b2＋c2－a22bc＝45， ∴sin A＝35. (2)由(1)得方程x2－9x＋25cos A＝0可化为x2－9x＋20＝0，则b＝5，c＝4， ∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝9，∴a＝3.
