《地图投影》考前复习

《地图投影》考前复习

第一章 投影概论

地图的数学基础

是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物之间保持一定对应关系的数学基础。包括：地图投影、经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等。

两个矛盾：球面与平面之间的矛盾; 大与小的矛盾.

可见,地球椭球面是不可展开的面.无论如何展开都会产生褶皱,拉伸或断裂等无规律变形,无法绘制科学,准确的地图.因此解决

球面与平面之间的矛盾——地图投影(将地球椭球面上的点转换成平面上的点)

大与小的矛盾——比例尺

地图投影: 就是建立平面上的点(用平面直角坐标或极坐标表示)和地球表面上的点(用纬度φ和经度λ表示) 之间的函数关系，用数学式表达这种关系，就是：

地图投影的实质：球面上的经纬网按照一定的数学法则转移到平面图纸上。

地图投影的基本任务：研究将地理坐标描写到平面上建立地图数学基础的各种可能的方法；讨论这些方法的理论、变形规律、实用价值以及不同投影坐标的互相换算等问题。

地图制图的基本要求

地球椭球面是曲面，但地图是平面，需要用一定的数学方法把大地坐标系转化为某投影面上的平面直角坐标系。GIS用各种平面坐标系统去描绘地球，而每种平面坐标均基于特殊的地图投影。地图投影之后的结果记录是以地图作为保存形式的。地图投影的使用保证了空间信息从地理坐标变换为平面坐标后能够保持在地域上的联系和完整性。

进行空间操作和空间分析的基本前提

虽然由于地球表面形态发生了变化，但在一定的空间范围内却提供了很好的近似，可以帮助人们对地理空间建立一个良好的视觉感，进行各种量算以及进一步的空间数据处理和分析。

地图精度的基本要求

随着GIS不断普及，应用层次多样化、应用人员复杂化，很多人因为不懂投影，而一筹莫展；而一部分人在似懂非懂中，不管什么来源的数据，只管数字化建库或者强行配准迭加。

关于数据精度只注意数字化和编辑过程中的偶然误差和外围设备的系统误差，而忽视了地图投影的所产生的变形误差。其后果是：显示或输出的图形文件发生变形或扭曲，有些变形在视觉上不易直接观察。这一方面严重影响到地图的精度，属性数据空间顺序和空间联系分析结果的准确性；另一方面严重的影响到GPS的应用效果。

长度比：

投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。

长度变形：

面积比：

投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。

面积变形

P = a·b = m · n (= 90)（主方向和经向纬向一致）

P = m · n · sin (≠90)（阿波隆尼定理）

a,b为主方向长度比；m,n为经纬线长度比。

面积比是变量，随位置的不同而变化。

角度变形：

投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。

最大角度变形可用极值长度比a,b表示

实用上常以下公式求得：

长度变形是各种变形的基础！

地图投影中的主要矛盾

曲面(地球椭球体或球体表面)和平面(地图平面)之间的矛盾

变形椭圆：取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。

代入： X2 + Y2 = 1，得

该方程证明: 地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。

主方向（底索定律）：无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一对线的方向成为主方向。取主方

向为作为微分椭圆的坐标

地形图对地图投影的要求

首先，应确保方向上的正确性，投影后应无角度变形，即形状保持相似；于是能满足图上内容与实地相应地物之间的相似关系。

其次，各类地理要素和地物彼此间的相关位置应该基本正确，例如对距离来说，即便有误差也应控制在规范所制订的容许范围之内。

如上所述，只有等角投影能满足地形图的基本要求，因为等角投影无角度变形，图上方向是确的，变形椭圆表现为圆，这充分说明在较小范围内图上的形状是与实地保持相似关系的。

选择地图投影的类型依据下列几个因素来决定：

1．制图区域的范围、形状和大小；

2．制图区域所占的具体地理位置；

3．所设计的地图对各类变形的特殊要求；

4．地图的用途及其使用效果；

5．地图所含的具体内容等。

第二章 地球形状与投影变形

地球的形状:地球并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。

地球的物理表面

（一）大地水准面（一级逼近）

假想将静止的平均海水面延伸到大陆内部，形成一个连续不断的，与地球比较接近的形体，其表面称为大地水准面。

它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面.

大地水准面的意义

1. 地球形体的一级逼近：对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。

2. 起伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图中，均把地球当作正球体。

3. 重力等位面：可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。

(二)旋转椭球体（地球椭球体）(二级逼近)

地球的数学表面——对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面

地球椭球体三要素：

长轴a （赤道半径） 短轴b （极半径） 椭球扁率：f＝（a－b）/a

（三）地球椭球体定位（三级逼近）

通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点垂直的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近。

一、 地理坐标

—— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。

① 天文经纬度

②

大地经纬度

③ 地心经纬度

天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。

• 天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。

• 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。

大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度λ、大地纬度  和大地高 H

表示。

• 大地经度l ：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。

• 大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。

地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度λ ，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。

在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。

在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。

在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。

曲率：描述曲线的弯曲程度。

曲率半径：一般称 为曲线在某一点的曲率半径。

经线圈曲率半径（子午圈曲率半径）M

卯酉圈曲率半径N

平均球体半径RA，

我们采用地球椭球三轴半径的算术平均值作为球体半径，即

等角投影条件

1）经纬线投影后正交，即 ；

2）一点上任一方向的方位角投影前后保持相等，即α=α′。

方位投影变形特点：

① 等变形线与纬圈一致；

②在切方位投影中，切点上无变形，随着远离切点，变形增大；

③ 在割方位投影中，在所割小圆上 ，角度变形与“切”的情况一样，其他变形12

（长度变形与面积变形）则自所割小圆向内与向外增大。

圆柱投影变形特点：

① 变形随纬度变化，与经差无关；

② 在切圆柱投影中，赤道无变形，变形自赤道向两侧随纬度的增加而增大；

③在割圆柱投影中，在两条标准纬线上无变形，变形自标准纬线向内和向外增大。

适宜于低纬度沿纬线伸展的地区。

圆锥投影变形特点:

①变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变形是相同的；

②切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于n。=1，其余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大；

③在割圆锥投影中，标准纬线n1=n2=1,变形自标准纬线 向内、向外增大，在

之间n<1,在 之外n>1.

适合中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影

变形椭圆：

伪方位投影：在正轴方位投影的基础上，纬线仍投影为同心圆，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。且交于纬线的共同圆心。

特点：可设计等变形线与制图区域轮廓近似一致。如：椭圆形、卵形、三角形、三叶玫瑰形和方形等规则几何图形。

伪圆柱投影：在正轴圆柱投影基础上，规定纬线仍为平行线，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

举例：桑逊投影：（Sanson-Flamsteed)

特点①等面积；

②中央经线和赤道无长度变形；

③纬线越高之处变形越大。

适合沿赤道和沿中央经线方向伸展的地区

伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，规定纬线仍为同心圆弧，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

举例：彭纳（等面积伪圆锥投影）

多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴21、21、

圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。

按变形性质地图投影分类

等角投影 等积投影 任意投影

第三章 方位投影

方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。