线性变换7.8(2)

线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使

线性变换第七章线性变换[教学过程]§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算⼀、定义和例⼦定义设V 是数域P 上的线性空间，A 是V 上的变换，如果P k V ∈?∈?,,βα，有()()()()()A A A A k kA αβαβαα+=+?=则称V V A →:为V 上的线性变换。

例1 在R 2中，A 为平⾯上绕原点逆时钟⽅向旋转θ⾓的变换，即cos sin sin cos x x y y θθθθ'-= ? ???'??容易验证A 是V 上的线性变换。

例2 P[x]中，令D （f(x)）=f(x)的导数，容易验证A 是V 上的线性变换,⼆、⼏个特殊的线性变换1、恒等（单位）变换E ：V E ∈?=ααα,)(。

2、零变换0：V ∈?=αα,0)(0。

3、数乘变换k ：V k k ∈?=ααα,)(。

三、性质：1、)()(,0)0(ααA A A -=-=。

2、若r r k k k αααβ+++= 2211，则)()()()(2211r r A k A k A k A αααβ+++= 。

3 若r ααα,,,21 线性相关，则)(,),(),(21r A A A ααα也线性相关。

练习：323P 1。

四、记{}()L V A A V =是的线性变换1 乘法：对()()()()()A B L V AB A B αα?∈=，，定义可证()AB L V ∈，设A ，B ，C ()L V ∈，有)()(BC A C AB =。

2、定义加法：()()()()αααB A B A +=+，可证()A B L V +∈。

则()L V 也是P 上的线性空间。

（若⼜有()()CA BA A C B AC AB C B A +=++=+,，则()L V 作成⼀个环）。

五、逆变换：()A L V ∈若()B L V ?∈，使E BA AB ==，则称A 是可逆的线性变换，⽽B 称为A 的逆变换，记为1-=A B ，则1-A 也是可逆的线性变换。

其中 k , l 是 的线性变换。
P
A 中数， ,
B
是V 上
分析
设 L (V ) 是 V 的所有线性变换的集合， 对如上定义的加法与数量乘法满足线性空 间定义中的所有条件, 故 L (V ) 也构成 V 上 的线性空间。
可逆变换
定义4 V 的线性变换 A 称为可逆的，如 果有V 中的变换 B ，使得
(A ) A
其中 m ,
n 是非负整数。
注意
(A B ) A B
n n n
如果 A 是可逆的线性变换，规定
(A )
n
(A
1
)
n
此时，指数法则可以推广到任意整 数的情形 。
线性变换的多项式 定义6 设
f ( x) am x
m
a m 1 x
m 1
a0
是 P [ x ] 中一多项式，A 是 V 的一线性变 换，定义
线性变换的乘积仍为线性变换。
线性变换的乘法的性质： （i）乘法满足结合律：
(A B )C = A (B C )
乘法不满足交换律，如 （ii）
D J= E , JD E
（iii） E A = A = A E
线性变换的加法 定义2 设 A 和 B 是线性空间 V 的两个 线性变换，用A + B 表示 V 的如下变换：
f (A ) a m A
m
a m 1 A
m 1
a0E
则 f (A ) 是一线性变换，称为线性变换 A 的多项式。 同一个线性变换的多项式的乘法是 可交换的。
(A + B )( ) A ( ) B ( ), V
称为线性变换 A 与 B 的和。 线性变换的和仍为线性变换。

第 7章 线性变换7、1知识点归纳与要点解析一.线性变换的概念与判别 1、线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ与数域P 中的任意数k ,都有:()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=。

注:V 的线性变换就就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2、线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么:σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3、线性变换的性质设V 就是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα∀∈L 。

性质1、 ()()00,σσαα==-;性质2、 若12s ,,,αααL 线性相关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。

性质3、 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,αααL 线性无关,那么()()()12s ,,,σασασαL也线性无关。

注:设V 就是数域P 上的线性空间,12,,,m βββL ,12,,,s γγγL 就是V 中的两个向量组, 如果:11111221221122221122s s s sm m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L LL LL记:()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LL L M M M L于就是,若()dim V n =,12,,,n αααL 就是V 的一组基,σ就是V 的线性变换,12,,,m βββL 就是V 中任意一组向量,如果:()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++L L LLLL记:()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=L L那么:()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L M M M L设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LM M M L,12,,,m ηηηL 就是矩阵B 的列向量组,如果12,,,r i i i ηηηL 就是12,,,m ηηηL 的一个极大线性无关组,那么()()()12,r i i i σβσβσβL 就就是()()()12,m σβσβσβL 的一个极大线性无关组,因此向量组()()()12,m σβσβσβL 的秩等于秩()B 。