新高考数学复习考点知识培优专题讲解专题06 圆锥曲线中的定值问题一、单选题1．过原点的直线l 与双曲线226x y -=交于A ,B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（ ）A ．4B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】设(,)A m n ，(,)B m n --，(,)P x y ，代入双曲线的方程，作差，可得22221y nx m -=-，再由直线的斜率公式，结合平方差公式，计算可得所求值.【详解】由题意可设(,)A m n ，(,)B m n --，(,)P x y ，则226m n -=，226x y -=，即有2222y n x m -=-，即22221y n x m -=-， 由PA y n k x m -=-，PB y nk x m+=+，可得2222·1PA PBy n k k x m-==-， 因为2PA k =，所以12PB k =. 故选：C .二、多选题2．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（ ）A ．22:1:2a b =B ．直线AB 与直线OD 的斜率之积为2-C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12-D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2- 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =-，21·2OE k k =-，31·2OF k k =-，即可判断．解：椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为2，∴222112b e a =-=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， 两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +-=-=-+-． 11·2OD k k ∴=-，同理21·2OE k k =-，31·2OF k k =-， 故B 错，C 正确．又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=-++=-， 故选：CD ．方法点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标公式、点差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，处理中点弦问题常用的求解方法：（1）点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有12121212,,y y x x y y x x -++-三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式即可求得斜率；（2）根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解3．设()()1122,,,A x y B x y 是抛物线24y x =上两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，下列结论正确的为（ ）A ．12y y 为定值B ．直线AB 过抛物线24y x =的焦点C ．AOBS最小值为16 D ．O 到直线AB 的距离最大值为4【答案】ACD【分析】由抛物线方程及斜率公式即可判断A ；设直线AB 方程，结合韦达定理即可判断B ；利用韦达定理求得12y y -的最小值，即可判断C ；由直线AB 过定点可判断D.【详解】对于A ，因为OA OB ⊥，所以12122212121216144OA OB y y y y k k y y x x y y =⋅=⋅==-， 所以1216y y =-，故A 正确；对于B ，设直线:AB x my b =+，代入24y x =可得2440y my b --=，所以12416y y b =-=-，即4b =，所以直线AB 过点()4,0，而抛物线24y x =的焦点为()1,0，故B 错误；对于C ，因为128y y -==≥，当0m =时，等号成立，又直线AB 过点()4,0，所以()min 148162AOB S =⨯⨯=△，故C 正确； 对于D ，因为直线AB 过点()4,0，所以O 到直线AB 的距离最大值为4，故D 正确.故选：ACD.【点睛】解决本题的关键是利用抛物线的方程合理化简及韦达定理的应用，细心计算即可得解.三、解答题4．已知点P 到(2,0)A -的距离是点P 到()10B ,的距离的2倍. （1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，点(5,8)C ，求22QB QC +的最大值；（3）若过B 的直线与第二问中Q 的轨迹交于E ，F 两点，试问在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使ME MF ⋅恒为定值?若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()2224x y -+=；（2）138；（3）存在，()1,0M ，3-.【分析】（1）设点(),P x y ，由題意可得2PA PB =，利用两点之间的距离公式化简整理可得.（2）先由P 的轨迹方程求出Q 点的轨迹方程，利用两点间距离公式整理22QB QC +从而转化为：线性规划问题处理.（3）代入消元，韦达定理，整体思想代入，整理可得解.【详解】（1）设点(),P x y ，由題意可得2PA PB ==化简可得()2224x y -+=.（2）设()00,Q x y ，由(1)得P 点满足的方程()2224x y -+=，又点B 是点P 与点Q 的中点，则00210x x y y +=⨯⎧⎨+=⎩，代入上式消去可得22004x y +=，即Q 的轨迹为224x y +=.()()()2222222215822121690QB QC x y x y x y x y +=-++-+-=+--+()12169843498x y x y =--+=-++令34z x y =+，则3144y x z =-+，14z 可视为直线3144y x z =-+在y 轴上的截距，34x y ∴+的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，所以340x y z +-=，25zd ==，所以min 10z =-. 因此22QB QC +的最大值为138.（3）存在点()1,0M ，使得ME MF ⋅为定值3-.当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线l 的方程为()1y k x =-，由()2241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得()22221240k x k x k +-+-=，显然0∆>， 设()11,E x y ，()22,F x y 则212221k x x k +=+，212241k x x k -=+，又()11,ME m x y =--，()22,MF m x y =--，则()2121212ME MF m m x x x x y y ⋅=-+++()()()2212121211m m x x x x kx x =-+++--()()()()()()()2222222222121222421111k k k x x m k x x m k k m k m k k k-=+-++++=+-+++++ ()22222241m m k m k --+-=+要使上式恒为定值，需满足22224m m m --=-，解得1m =，此时()1,0M ，ME MF ⋅为定值3-.当直线l 的斜率不存在时，(E ，(1,F ，由()1,0M 可得3ME MF ⋅=-. 所以存在点()1,0M ，使得ME MF ⋅为定值3-.【点睛】方法点睛：本题为直线与圆的综合题，与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．（2）与圆上点(),x y 有关代数式的最值的常见类型及解法：①形如y bz x a-=-型的最值问题，可转化为过点(),a b 和点(),x y 的直线的斜率的最值问题； ②形如z ax by =+型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如()22()x a y b -+-型的最值问题，可转化为动点(),x y 到定点(),a b 的距离平方的最值问题．5．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，且过点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，1AF B △的周长为（1）求椭圆E 的方程；（2）对于椭圆E ，问否存在实数λ，使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22132x y +=；（2）存在，实数λ=【分析】（1）利用椭圆的定义，结合三角形的周长，求出a ，设出椭圆方程，代入点的坐标求解即可得到椭圆的方程；（2）求出2(1,0)F ，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用韦达定理，不妨设10y >，20y <，求出22,AF BF ，化简整理即可求得结果【详解】解：（1）根据椭圆的定义，可得122AF AF a +=，122BF BF a +=， ∴1AF B △的周长为111122||4AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++=，∴4a =a =∴椭圆E 的方程为22213x y b +=，将P ⎛ ⎝⎭代入得22b =，所以椭圆的方程为22132x y +=.（2）由（1）可知22241c a b =-=，得2(1,0)F ，依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+，由221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，整理得()2223440m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122423m y y m -+=+，122423y y m -=+， 不妨设10y >，20y <，211AF y y ====，同理222BF y y ==，所以22121111AF BF y y ⎛⎫+==-⎪⎭223423mm+===⋅-+==即2222AF BF BF+=⋅，所以存在实数λ=2222AF BF AF BFλ+=⋅成立【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理将22,AF BF表示出来，然后代入2222AF BF AF BFλ+=⋅中可求出λ的值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题6．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>(,0),(0,),(0,0),A aB bO OAB∆的面积为2（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：||||AN BM⋅为定值.【答案】（1）22132x y+=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据离心率和面积建立等式求解；（2）分别求出PB 直线方程，P A直线方程，得出N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭M ⎛ ⎝，即可求出AN BM .【详解】（1）由题：222312a b c c a ab ⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆方程为22132x y +=； （2）设()2222,,1,23632m n P m n m n +=+=， PB直线方程-=+n y x mN ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，P A直线方程y x =，M ⎛⎫ ⎝，AN BM ⎛= ⎝22===【点睛】此题考查求椭圆的方程，根据直线与椭圆的位置关系证明定值问题，关键在于准确写出方程和点的坐标，建立等式求解.7．已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线y ＝kx 交椭圆于P ，Q 两点，M 是椭圆上不同于P ，Q 的任意一点，直线MP 和直线MQ 的斜率分别为k 1，k 2．（1）证明：k 1·k 2为定值； （2）过F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且222AF F B =，求|AB |．【答案】（1）证明见解析；（2）278. 【分析】（1）设P （m ，n ），M （x ，y ），则Q （-m ，-n ），则可表示出12,k k ，进而可得12k k ⋅的表达式，又根据点P ，M 在椭圆上，利用点差法，即可得证；（2）设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆可得关于y 的一元二次方程，利用韦达定理，可得1212,y y y y +的表达式，根据222AF F B =，可得12,y y 的关系，即可求出245t =，代入弦长公式，即可求得结果. 【详解】（1）证明：设P （m ，n ），M （x ，y ），则Q （-m ，-n ）， 则1y n k x m -=-，2y n k x m +=+，则221222y n y n y n k k x m x m x m -+-⋅=⨯=-+-， 又22143x y +=，22143m n +=， 故2222043x m y n --+=， 所以22122234y n k k x m -⋅==--为定值． （2）设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立221,1,43x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得（3t 2＋4）y 2＋6ty -9＝0， 则有122634t y y t -+=+，122934y y t -=+． 又222AF F B =，所以-y 1＝2y 2， 故222226349234t y t y t -⎧-=⎪⎪+⎨-⎪-=⎪+⎩，解得245t =，所以27||8AB ==． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键设直线x ＝ty ＋1可简化计算，联立直线与曲线，利用韦达定理，弦长公式等进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.8．已知双曲线的方程22:21C x y -=.（1）求点()0,1P 到双曲线C 上点的距离的最小值；（2）已知圆22:1M x y +=的切线l (直线l 的斜率存在)与双曲线C 交于A ，B 两点，那么∠AOB 是否为定值?如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1；（2）是定值，90AOB ∠=︒. 【分析】（1）设双曲线上任意一点为()00,N x y ，则220021x y -=，利用两点间的距离公式求出PN ，利用二次函数求最值即可；（2）设直线l 的方程为：y kx b =+，利用直线l 与圆相切可得到221b k =+，设()()1122,,,A x y B x y ，直线与双曲线的方程联立消y ，利用韦达定理得到212222k x x k --=-，再求出212222k y y k+=-，最后利用OA OB ⋅得出结论即可. 【详解】（1）设双曲线上任意一点为()00,N x y ，则220021x y -=，PN ===≥， 当023y =时，等号成立，即点()0,1P 到双曲线C； （2）设直线l 的方程为：y kx b =+，因为直线l 与圆相切，所以圆M 的圆心()0,0到直线l 的距离等于圆的半径1，2211b k =⇒=+，①设()()1122,,,A x y B x y ，由2221x y y kx b⎧-=⎨=+⎩消y 得，()2222210k x kbx b ----=，由题意知：22k -≠0，()()2222244214160k b k b k ∆=+-+=+>， 由韦达定理得12221222212kb x x k b x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩， 由①得：2212221222b k x x k k----==--， 则()22222121212222222b k k y y k x x kb x x b k k -+=+++==--，因为2212122222022k k OA OB x x y y k k--+⋅=+=+=--， 所以90AOB ∠=︒为定值.【点睛】关键点睛：求解圆锥曲线中的定值问题，直线与曲线方程联立利用韦达定理求解是解题的关键.9．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰为椭圆()22211y x a a +=>的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F 且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.（1）求抛物线及椭圆的标准方程；（2）过点F 作两条直线1l ，2l ，且1l ，2l 的斜率之积为1-.①设直线1l 交抛物线于A ，B 两点，2l 交抛物线于C ，D 两点，求11AB CD+的值； ②设直线1l ，2l 与椭圆的另一个交点分别为M ，N .求FMN 面积的最大值.【答案】（1）24y x =；2212y x +=(2) ①14 ②169 【分析】(1)由抛物线的焦点为椭圆的右焦点可得p ，求出抛物线方程，根据通径与准线间的距离可求a ，c ，即可求出椭圆方程；（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，由根与系数关系及弦长公式可求出弦长，代入即可计算求解②设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系，得出弦长，同理可得另外一条弦长，根据三角形面积公式表示出面积，换元后求最值即可.【详解】 (1) 2221(1)y x a a+=>, ∴右顶点为(1,0)，即抛物线()220y px p =>的焦点 (1,0)F ,2p ∴=， 故抛物线方程为24y x =，因为抛物线的通径的长等于椭圆的两准线间的距离，所以2224a p c==， 222221c b c a c ==+=+∴，1,c a ∴==∴椭圆的标准方程为：2212y x += (2) ①设()1:1l y k x =-，代入 24y x =消元得：2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，212221224421k x x k k x x ⎧++==+⎪∴⎨⎪=⎩，21224(1)k AB x x k +∴=-==， 又12CD k =-， 同理可得2224(1)||41)11(k CD k k +==+ 222114(1)41(1)14k k A CD k B +=+++=②仍设()1:1l y k x =-， 代入椭圆方程2212y x +=消元得： ()2221220k x x -+-=，即2(1)(1)2(1)0x k x x ⎡⎤--++=⎣⎦， 2221,2F N k x x k -∴==+，24|||2|F M F x x M k =-=+，同理得24||12FN k =+，1|2FMN S FM FN =⋅=∣228225k k ⋅++，2212k k +≥=（当且仅当 1k =±时，等号成立）， 令2t =≥=，则 22212k k t +=-， ()228881212252FMN t t S t t t t ∴===+-++,对于11222()y t t t t=+=+，在 [2,)+∞上是增函数， ∴当2t =时，即1k =±时，min 92y =， 812FMN S t t∴=+，FMN ∴△面积的最大值为169. 【点睛】 关键点点睛：本题求解过程中，需要熟练运用弦长公式，以及类比的思想的运用，在得到三角形面积FMN S k 228225k k⋅++后，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，题目较难.10．设抛物线24C y x =：，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 交于A B ，两点.（1）设l 的斜率为2，求AB 的值；（2）求证：OA OB ⋅为定值.【答案】（1）5；（2）证明见解析.【分析】（1）求出直线方程为()21y x =-，联立直线与抛物线，由12AB AF BF x x p =+=++即可求解；（2）设直线方程为1x ky =+，由韦达定理表示出1212OA OB x x y y ⋅=+，即可得出定值.【详解】（1）依题意得()10F ，， 所以直线l 的方程为()21y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()11A x y ，，()22B x y ，， 由()2214y x y x⎧=-⎨=⎩得，2310x x -+=， 所以123x x +=，121=x x . 所以12325AB AF BF x x p =+=++=+=. （2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，直线l 与抛物线的交点为()11A x y ，，()22B x y ，， 由214x ky y x=+⎧⎨=⎩得，2440y ky --=，所以124y y k +=，124y y =-.因为()()()()11221212121211OA OB x y x y x x y y ky ky y y ⋅=⋅=+=+++，，()222121212144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-.所以OA OB ⋅为定值.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.11．已知圆221:(1)4M x y -+=，动圆N 与圆M 相外切，且与直线12x =-相切.(1)求动圆圆心N 的轨迹C 的方程.(2)已知点11(,),(1,2)22P Q --，过点P 的直线l 与曲线C 交于两个不同的点,A B （与Q 点不重合），直线,QA QB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）是，83. 【分析】(1)根据题意分析可得N 到直线1x =-的距离等于N 到(1,0)M 的距离，由抛物线的定义可知，N 的轨迹C 为抛物线，其方程为24y x =；(2) 设直线l 的方程为11()22x m y +=+，点1122(,),(,)A x y B x y ，直线,QA QB 的斜率分别为1k 和212,k k k λ+=，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得12y y +和12y y ，根据斜率公式得1k 和2k ，利用12y y +和12y y 化简12k k λ=+即可得到定值.【详解】(1)设N 直线12x =-的距离为d ，因为动圆N 与圆M 相外切，所以12MN d =+，所以N 到直线1x =-的距离等于N 到(1,0)M 的距离，由抛物线的定义可知，N 的轨迹C 为抛物线，其焦点为(1,0)M ，准线为：1x =-，所以抛物线C 的方程为24y x =.(2)设直线l 的方程为11()22x m y +=+，即2210x my m -+-= 因为,A B 与Q 点不重合，所以35m =/设直线,QA QB 的斜率分别为1k 和212,k k k λ+=，点1122(,),(,)A x y B x y联立22210,4,x my m y x --+=⎧⎨=⎩消去x 并整理得24220y my m --+=， 则124y y m +=，1222y y m =-，由2(4)4(22)0m m ∆=-->，解得1m <-或12m >，且35m =/.可得1111111222(2)1123(21)12y y y k x my m my m ---===-+-+--，同理可得2222(2)23y k my m -=+-，所以121212221212122(2)2(2)2[43(1)()4(3)]232342(3)()(3)y y my y m y y m my m my m m y y m m y y m λ---++--=+=+-+-+-++-22222[4(22)3(1)44(3)]8(523)84(22)2(3)4(3)3(523)3m m m m m m m m m m m m m m m --+----+===-+-+---+， 故直线,QA QB 的斜率之和为定值83. 【点睛】关键点点睛：利用斜率公式转化为,A B 两个点的纵坐标之和与纵坐标之积，再根据韦达定理代入化简是解题关键，本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题.12．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>经过点(2,1)M -，且右焦点F .（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）过(1,0)N 且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t MA MB =⋅，若t 的最大值和最小值分别为1t ，2t ，求12t t +的值.【答案】（1）22163x y +=；（2）132. 【分析】（1）根据焦点坐标得出c 的值，由223b a =-，将点(2,1)M -代入椭圆的方程，解出26a =，即可得出椭圆Γ的标准方程；（2）设直线AB 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆方程，由韦达定理以及向量的数量积公式得出2(152)210t k k t -+--=，利用判别式法得出2213160t t --，最后由韦达定理得出12t t +的值．【详解】（1）由椭圆22221x y a b+=的右焦点为，知223a b -=，即223b a =-，则222213x y a a +=-，23a >．又椭圆过点(2,1)M -，∴224113a a +=-，又23a >，∴26a =． ∴椭圆Γ的标准方程为22163x y +=．（2）设直线AB 的方程为(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y由221,63(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(1)6x k x +-=，即()2222124260k x k x k +-+-= ∵点(1,0)N 在椭圆内部，∴0∆>∴由韦达定理可得：212221224122621k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（*） 则()()()()12122211t MA MB x x y y =⋅=+++--()()()1122212411x x x x k k x k x k =++++--⋅--()()()22212121225k x x k k x x k k =++--++++()()222222226412252121k k t k k k k k k k -∴=+⋅+--⋅+++++将（*）代入上式得：22152121k k t k +-=+， 即2(152)210t k k t -+--=，R k ∈，则2124(152)(1)0t t ∆=+-+≥∴(215)(1)10t t -+-≤，即2213160t t --≤由题意知1t ，2t 是2213160t t --=的两根∴12132t t +=． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交题型，本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，12x x ⋅，然后表示出t MA MB =⋅，得到等量关系2(152)210t k k t -+--=，由其10∆≥，得到关于t 的不等式，即可求出12t t +，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于较难题．13．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为2，短轴一个端点到右焦点F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 交椭圆于A ､B 两点，交y 轴于P 点，设1PA AF λ=，2PB BF λ=，试判断12λλ+是否为定值？请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，定值为4-.【分析】（1）由题意可得a ，c ，b ，可求得椭的圆方程；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆的方程联立整理得：()2222124220kxk x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由一元二次方程的根与系数的关系可得212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，再根据向量的坐标运算表示出1111x x λ=-， 2221x x λ=-，代入计算可求得定值. 【详解】（1）由题可得a =，又2c e a ==，所以1c =1b =因此椭圆方程为2212x y +=（2）由题可得直线斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得：()2222124220k x k x k +-+-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 又()1,0F ，()0,P k -，则()11,PA x y k =+，()111,AF x y =--，由1PA AF λ=可得()1111x x λ=-，所以1111x x λ=- 同理可得2221x x λ=-， 所以()()()121212121212121212122211111x x x x x x x x x x x x x x x x x x λλ+-+-+=+==-----++ 2222222242221212442211212k k k k k k k k --⨯++==---+++ 所以，12λλ+为定值4-.【点睛】关键点点睛：该题考查直线与椭圆的定值问题，关键在于联立方程组，得出交点的坐标的关系，将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题目.14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>> 的左、右焦点，A ，B 分别椭圆E 的左、右顶点，且2250AF BF +=．（1）求椭圆E 的离心率；（2）已知点(1,0)D 为线段2OF 的中点，M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ，试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒成立？，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)23;(2) 47λ=- 【分析】(1)借助题设条件运用向量的相等建立方程得23a c =求解；(2)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系联立坐标方程求解.【详解】（1）()222250,5,5AF BF AF F B a c a c +=∴=+=-,化简得23a c=,椭圆E 的离心率23c e a == （2）存在满足条件的常数4,7λλ=-.设()()()()11223344,,,,,,M x y N x y P x y Q x y ,因为点()1,0D 为线段2OF 的中点,2c ∴=,从而3,a b ==左焦点()12,0F -,故椭圆E 的方程为22195x y +=. 则直线MD 的方程为1111x x y y -=+,代入椭圆方程22195x y +=整理得,2112115140x x y y y y --+-=. ()1111331114,55y x y y y y x x -+=∴=--,从而131595x x x -=-,故点1111594(,)55x y P x x ---.同理,点2222594(,)55x y Q x x ---.因为三点M 、1F 、N 共线，所以121222y y x x =++,从而()1221122x y x y y y -=-.从而()()()()121221121234121212341212124457557595944455y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x --++----=====--------, 故21407k k -=,从而存在满足条件的常数4,7λλ=-. 【点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题.本题第二问的求解过程中,先将MD 的方程设为1111x x y y -=+,然后代入22195x y +=消去变量建立了以其交点横坐标为主元的二次方程,通过研究坐标之间的关系式,再借助题设条件,求出1111594(,)55x y P x x ---,2222594(,)55x y Q x x ---.最后借助三点M 、1F 、N 共线,探究出了方程21407k k -=,属于难题. 15．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设左、右顶点分别为A 、B ，点M 在椭圆上（异于点A 、B ），求MA MB k k 的值；（3）过点2F 作一条直线与椭圆C 交于,P Q 两点，过,P Q 作直线2a x c=的垂线，垂足为,S T .试问：直线PT 与QS 是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）34-；（3）是，5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由题意，列出,,a b c 所满足的等量关系式，结合椭圆中,,a b c 的关系，求得224,3a b ==，从而求得椭圆的方程；（2）写出(2,0),(2,0)A B -，设00(,)M x y ，利用斜率坐标公式求得两直线斜率，结合点在椭圆上，得出2200334x y =-，从而求得结果；（3）设直线PQ 的方程为：1x my =+，()()1122,,,P x y Q x y ，则()()124,,4,S y T y ，联立方程2234121x y x my ⎧+=⎨=+⎩可得：()2234690m y my ++-=，结合韦达定理，得到()121223my y y y =+，结合直线PT 的方程，得到直线所过的定点坐标.【详解】（1）由题意可知，122c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，又222a b c =+，所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.（2）(2,0),(2,0)A B -,设00(,)M x y ，因为点M 在椭圆上，所以2200143x y +=，20002000224MA MBy y y k k x x x ==-+-， 又2200334x y =-，2020333444MA MBx k k x -∴==--. （3）设直线PQ 的方程为：1x my =+，()()1122,,,P x y Q x y ，则()()124,,4,S y T y ，联立方程2234121x y x my ⎧+=⎨=+⎩可得：()2234690m y my ++-=，所以12122269,3434m y y y y m m +=-=-++， 所以()121223my y y y =+ ，又直线PT 的方程为：()()()()211244y y x x y y --=--，令0y =，则()()112212121212121241482242y my y y x y y y my y x y y y y y y -+---=+==---()()()()121212121282355222y y y y y y y y y y --+-===--，所以直线PT 恒过5,02⎛⎫⎪⎝⎭， 同理，直线QS 恒过5,02⎛⎫⎪⎝⎭，即直线PT 与QS 交于定点5,02⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关椭圆的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合椭圆中,,a b c 的关系，建立方程组求得椭圆方程；（2）根据斜率坐标公式，结合点在椭圆上，整理求得斜率之积，可以当结论来用；（3）将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理，结合直线方程，求得其过的定点.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2，1)，P 是动点，且.OP OA PA k k k +=（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过A 作斜率为1的直线与轨迹C 相交于点B ，点T (0，t )(t >0)，直线AT 与BT 分别交轨迹C 于点11,A B 设直线11A B 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t =λk ，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）24x y =；（2）存在3λ=满足条件．【分析】（1）设P 的坐标，可得直线OA ，OP ，PA 的斜率，由题意可得P 的轨迹C 的方程；（2）由题意可得直线AB 的方程，与轨迹C 的方程联立求出B 的坐标，进而求出直线AT ，BT 的方程，分别与曲线C 联立求出1A ，1B 的坐标，求出直线11A B 的斜率k 的表达式可得k 与t 的关系，进而可得常数λ的值满足条件．【详解】解：（1）设(,)P x y ，由题意可得OP y k x =，12OA k =-，12PA y k x -=+， 而OP OA PA k k k +=．所以1122y y x x --=+，整理可得：24x y =， 所以动点P 的轨迹C 的方程为：24x y =；（2）由题意直线AB 的方程为：12y x -=+，即3yx ，代入曲线C 中可得24120x x --=，解得6x =或2x =-，所以可得(6,9)B ，直线AT 的方程为：12t y x t -=+， 代入抛物线的方程：22(1)0x t x t ---=，所以12?A x t -=-，所以12A t x =，所以1234A t ty +=，所以1(2t A ，23)4t t+，直线BT 的方程为：96t y x t -=+-，与抛物线联立22(9)03t x x t -+-=， 所以16?B x t =-，所以16B t x =-，12936B t ty -=，所以1(6t B -，227)36t t+，由题意可得22327436326t t t tt k t t ++-==+，所以3t k =， 由题意t k λ=，所以3λ=．所以存在3λ=满足条件．【点睛】求轨迹方程的主要方法有直接法、相关点代入法、消参法等，轨迹方程求完后，要记得验证，是否要挖去不符合条件的点.17．已知P 为圆1F：22(16x y ++=上一动点，点2F坐标为(0)，线段2F P 的垂直平分线交直线1F P 于点Q .（1）求点Q 的轨迹C 方程；（2）已知(0,1)B -，过点(0,2)作与y 轴不重合的直线l 交轨迹C 于,E F 两点，直线,BE BF 分别与x 轴交于,M N 两点.试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是定值，理由见解析. 【分析】（1）由中垂线可知1214QF QF QF QP +=+=，所以Q 点的轨迹为椭圆；（2）设,E F 两点的坐标，利用直线方程用,E F 两点坐标表示,M N 的横坐标；再把直线l 代入椭圆方程消元，韦达定理，整理,M N 的横坐标的乘积可得结论.由已知线段2F P 的垂直平分线交直线1F P 于点Q .得，2QF P Q =,又P 为圆1F：22(16x y ++=上一动点，所以12114QF QF QF QP F P +=+==，Q 点的轨迹为以12F F 、为焦点，长轴为4的椭圆椭圆方程：2214x y +=设()()1122,,,E x y F x y ，则直线BE 方程: 1111y y x x +=-， 令0y =，得111M x x y =+，同理可得221Nx x y =+ 由题设直线l ：2y kx =+，代入方程2214x y +=整理得()221416120k xkx +++=，且0∆≥1221614k x x k +=-+，1221214x x k=+， ()()()121212212121212113339M N x x x x x x x x y y kx kx k x x k x x =⨯==+++++++22221212414121693391414k k k k k k +===⎛⎫⨯+-+ ⎪++⎝⎭故43M N x x =（定值）利用已知的几何条件求轨迹方程是常用的求轨迹的方法；运用韦达定理及整体思想求特定的量是直线与圆锥曲线中常见的处理策略.18．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=与y 轴交于C ，D 两点，点P 在第一象限且为圆O 外一点，直线PC ，PD 分别交圆O 于点A ，B ，交x 轴于点Q ，R ．（Ⅰ）若直线BD 的倾斜角为60°，||1AC =，求点P 坐标；（Ⅱ）过P 作圆O 的两条切线分别交x 轴于点M ，N ，试问||||MQ NR 是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，说明理由．【答案】（Ⅰ）)2；（Ⅱ）定值为1.【分析】（Ⅰ）由题可得直线BD 的方程为1y =-，由AOC △为正三角形，可得直线AC 方程为1y x =+，联立直线方程即可求出P 的坐标； （Ⅱ）设(),P a b ，切线与x 轴交点为()0,0x ，可得切线方程为()000bx a x y x b ---=，利用相切得出()()222200120b x ax a b-+-+=，可得221MN a xx b +=-，利用共线得1Q a x b =-，1Rax b=+，则可求出0NR MQ -=，进而得出定值.【详解】（Ⅰ）由题可知()()0,1,0,1C D -，直线BD 的倾斜角为60°，则直线BD的方程为1y =-，1AC OA OC ===，故AOC △为正三角形，则直线AC 的倾斜角为30，故直线AC 方程为1y x =+， P 为直线BD和直线AC交点，联立方程11y y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ )P∴；（Ⅱ）设(),P a b ，切线与x 轴交点为()0,0x ，则切线方程为000x x y b a x --=--，即()000bx a x y x b ---=， 又O 到切线的距离为1，整理得()()222200120b x ax a b-+-+=，则,M N x x 是方程的两根，221M N ax x b ∴+=-，由P ，C ，Q 共线得10100Q b x a --=--，解得1Q a x b =-，同理可得1R a x b=+， ,Q M N R MQ x x NR x x ∴=-=-，()()222222011111N M R Q a aa a a NR MQ x x x xb b b b b ⎛⎫∴-=+-+=-+=-= ⎪--+--⎝⎭， NR MQ ∴=，即||1||MQ NR =. 【点睛】关键点睛：第一问的关键是将点P 的坐标转化为直线BD 和AC 的交点坐标，通过求两直线方程可求出；第二问的关键是将,,,M N Q R 的坐标全部转化为与P 的坐标有关，通过求0NR MQ -=来得出结果.19．在平面直角坐标系xOy 中，有三条曲线：①221(04)4x y m m +=<<；②221(0)4x y n n-=>；③22(0)y px p =>.请从中选择合适的一条作为曲线C ，使得曲线C 满足：点F (1，0)为曲线C 的焦点，直线y =x -1被曲线C 截得的弦长为8.（1）请求出曲线C 的方程；（2）设A ，B 为曲线C 上两个异于原点的不同动点，且OA 与OB 的斜率之和为1，过点F 作直线AB 的垂线，垂足为H ，问是否存在定点M ，使得线段MH 的长度为定值?若存在，请求出点M 的坐标和线段MH 的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）利用焦点以及弦长排除①②，从而可得12p=，进而求出抛物线. （2）OA 、OB 的斜率存在且不为0，AB 不可能是斜率为0的直线，设AB 方程：x my t =+，与抛物线联立，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用韦达定理求出4t m =-，再将AB 、FH 方程联立，求出交点H ，AB 过点()0,4，观察两个定点()1,0F ，()0,4M '，由MH FH '⊥，根据直角三角形的性质即可证出.【详解】（1）对于②，21c =>>，故排除②；假设①为曲线C ，则有41m =+，解得3m =，将直线1y x =-代入22143x y +=，整理可得27880x x --=，解得47x ±=，此时弦长为24877=≠，故排除①； 所以曲线C 为③，则12p=，解得2p =， 所以曲线C 的方程为24y x =.（2）易知OA 、OB 的斜率存在且不为0，AB 不可能是斜率为0的直线，设AB 方程：x my t =+，代入24y x =，可得2440y my t --=，0∆>，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则124y y m +=，124y y t ，且()1212221212124444144y y y y m y y y y y y t+-+=+===，解得4t m =-， 联立AB 、FH 方程，即()1x my t y m x =+⎧⎨=--⎩，解得()()2241411m m x m m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()22441,11m m m m H m m -+⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭， 已知AB 过点()0,4，不妨猜测M 可能为()0,4，则MH ==MH 为定值，观察两个定点()1,0F ，()0,4M '，由于MH FH '⊥，故H 在以M F '为直径的圆上，MF'∴的中心为圆心，圆心到H 的距离恒为122M F '=. M F '中点M 为1,22⎛⎫⎪⎝⎭，MH =，所以定点M 1,22⎛⎫⎪⎝⎭，线段MH 的长度为定值，且MH = .【点睛】关键点点睛：根据焦点以及弦长确定曲线C ，解题的关键是求出直线AB 过点()0,4，围绕()0,4以及焦点()1,0F ，进行求解，考查了考生的计算求解能力.20．如图，点A 为椭圆221:21C x y +=的左顶点，过A 的直线1l 交抛物线()22:20C y px p =>于B ，C 两点，点C 是AB 的中点．（Ⅰ）若点A 在抛物线2C 的准线上，求抛物线2C 的标准方程：（Ⅱ）若直线2l 过点C ，且倾斜角和直线1l 的倾斜角互补，交椭圆1C 于M ，N 两点，（i ）证明：点C 的横坐标是定值，并求出该定值：（ii ）当BMN △的面积最大时，求p 的值．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）（i ）点C 的横坐标为定值12，证明见详解；（ii ）956p =【分析】（Ⅰ）根据点A 在抛物线2C 的准线上，可得p ，进而可得抛物线2C 的标准方程：（Ⅱ）（i ）设1l 的方程为1x my =-，设()11,B x y ，()22,C x y ，与椭圆联立，利用点C 是AB 的中点得到122y y =，计算可得点C 的横坐标为定值；（ii ）设直线2l 的方程为21()32pm x m y =--+，与椭圆方程联立，利用点C 是AB 的中点可得BMNAMNSS=，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求BMN △的面积最大值，由取等号的条件解得p 的值【详解】解：（Ⅰ）由题意得()1,0A -，点A 在抛物线2C 的准线上，则12p=，即2p = 所以抛物线2C 的标准方程为24y x =；（Ⅱ）（i ）证明：因为过A 的直线1l 和抛物线交于两点，所以1l 的斜率存在且不为0，设1l 的方程为1x my =-，其中m 是斜率的倒数， 设()11,B x y ，()22,C x y ，联立方程组212x my y px=-⎧⎨=⎩， 整理得2220y pmy p -+=，0∆>且121222y y pmy y p +=⎧⎨=⎩，因为C 是AB 的中点，所以122y y =，所以223pm y =，294m p =，2222111332pm p x m m =⋅-=-=， 所以点C 的横坐标为定值；（ii ）因为直线2l 的倾斜角和直线1l 的倾斜角互补，所以2l 的斜率和1l 的斜率互为相反数.设直线2l 的方程为21()32pm x m y =--+，()(),,,m m n n M x y N x y ， 即2x my =-+，联立方程组222,210,x my x y =-+⎧⎨+-=⎩整理得22(2)430m y my +-+=， 222(4)12(2)4240m m m ∆=-+=->，所以26m >，242M N m y y m +=+，232M Ny y m =+. 因为点C 是AB 中点，所以BMNAMNS S=，因为()1,0A -到MN 的距离d =|M N MN y y =-，所以1||2AMN SMN d =⋅=.令26t m =-，则8AMNS==≤=， 当且仅当8t =，214m =时等号成立，所以9144p=， 956p =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆中的定值问题及面积最值问题，考查学生计算能力与分析能力，是一道中档题.21．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2，且经过点Q12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，.直线l 过右焦点且不平行于坐标轴，l 与椭圆C 有两个不同的交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）点P 在椭圆C 上，求12PF PF ⋅的取值范围； （2）证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；【答案】（1）[0,1]；（2）证明见解析.【分析】（1）由椭圆定义求得2a ，然后可得b ，从而得椭圆方程，然后设点(),P x y ，计算12PF PF ⋅可得范围；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)代入椭圆方程得()2222214220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得段线AB 的中点M 的坐标122M x x x +=，然后计算OM l k k ⋅可得定值．【详解】解：（1）因为焦距22c =，则1c =，所以左焦点()11,0F -，右焦点()21,0F则122a QF QF =+==所以a =222,1a b ==，所以椭圆方程为2212x y +=.设点(),P x y ，则()2222212=(1,)1,11122x x PF PF x y x y x y x ⋅---⋅--=-+=-+-=因为[x ∈，所以12PF PF ⋅的取值范围为：[0,1] （2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)联立()()221210x y y k x k ⎧+=⎪⎨⎪=-≠⎩消去y 得()2222214220k x k x k +-+-=其中：2210k +>，0∆>，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为线段AB 的中点则2122421k x x k ， 所以21222221M x x k x k +==+，()2121M M k y k x k -=-=+ 所以12M OM M y k x k -==所以1122OM l k k k k -⨯=⨯=-为定值. 【点睛】。
