2021届高三数学精准培优专练 圆锥曲线综合(文) 学生版

2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）专题09 圆锥曲线姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．椭圆22154x y +=的长轴长是（ ）A ．2B ．4C ．D ．10【答案】C【解析】因为椭圆的方程是22154x y +=， 所以25a =，解得a =，所以长轴长是2a =2．双曲线22221124x y m m−=+−的焦距是（ ）A ．4B ．C ．8D ．【答案】C【解析】由题意可得，c 2�a 2+b 2�m 2+12+4�m 2�16 �c ＝4 焦距2c �8 3．抛物线214y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,016B ．()1,0C ．1-,016D ．()0,1【答案】D 【解析】214y x =即24x y =，所以其焦点在y 轴正半轴，坐标为()0,1 4．抛物线212x y =的准线方程为（ ） A ．18y =− B ．18y =C ．12x =−D ．12x =【答案】A【解析】解：由于抛物线22x py =的准线方程为2p y =−， 则有抛物线212x y =的准线方程是18y =−． 5．已知12F F 、是双曲线2222:1x y E a b−=的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）．A B ．2C ．1+D ．2+【答案】C【解析】由题意得222222210,11b c c a ac e e e e a=⇒−=⇒−−=>⇒=6．焦点在x 轴上的椭圆222125x y a +=焦距为8，两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF 的周长为（ ）A ．20B ．28C ．D ．【答案】D【解析】解：因为焦点在x 轴上的椭圆222125x y a += 焦距为8，所以22254a −=，解得a =如图，根据椭圆的定义可得122AF AF a +=，122BF BF a +=，所以22211224ABF C AB AF BF AF BF AF BF a =++=+++== 故选：D7．抛物线24y x =的焦点到双曲线221x y −=的渐近线的距离为（ ）A ．12BCD ．2【答案】B【解析】因为抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为0x y ±=，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d8．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点（设点A 在第一象限），分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为11,A B ，若1AFA 为等边三角形，1BFB 的面积为1S ，四边形11A B BF 的面积为2S ，则12S S =（ ）A ．13B ．14C ．16D ．17【答案】D【解析】由条件可得1160AFx AFA A FO °∠=∠=∠=，1130BFB OFB °∠=∠=，直线AB的方程为2p yx − ，与22y px =联立，消去y ，整理得2233504p x px −+=，解得6p x =或32p x =，故3,,26p pA B ，则1|2|||623p p p BF BB ==+=，则1BFB的面积为11262p p S =×+ 11A B BF的面积为2S p p=+−⋅=，故1217S S =．二、多选题9．已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和p 的值可以是( ) A ．2 B ．6C ．4D ．8【答案】AC【解析】设M 的横坐标为x ，由题意，32px +=，28px =，解得2p =或4p =. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y −=，则（ ）A ．实轴长为2 B．渐近线方程为y =C ．离心率为2D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3【答案】BC【解析】由双曲线方程221412x y −=，得2a =，b =4c ==，所以实轴长24a =，故选项A 错误；渐近线方程为b y x a=±，故选项B 正确； 离心率2cea==，故选项C 正确； 准线方程21a x c=±=±，取其中一条准线1x =，y =与1x =的交点(A ，点A到直线y =的距离dD 错误.11．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则（ ）A ．C 的准线方程为4x =−B ．F 点的坐标为()0,4C ．12FN = D．三角形ONF 的面积为（O 为坐标原点）【答案】ACD【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F ′，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A . 由抛物线的解析式可得准线方程为4x =−，F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF ′=，在直角梯形ANFF ′中，中位线62AN FF BM′+==，由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==，故6612FN FM NM =+=+=，ON =，142QNF S =×=△.12．已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；三、填空题13．双曲线2213x y −=的焦距长为_______．【答案】4【解析】1,a b==，222c a b =+ ，2c ∴=，焦距长24c=.14．以双曲线22145x y −=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．【答案】22195x y +=【解析】由双曲线的相关性质可知，双曲线22:145x y C -=的焦点为(3,0)±，顶点为(20)±,，所以椭圆的顶点为(3,0)±，焦点为(20)±,，因为2225b a c =-=，所以椭圆的方程为22195x y +=15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，C ：()(2216x a y −+−=过点F 且与l相切，则p =______. 【答案】2或6【解析】解：02p F，在()(2216x a y −+−=上所以(220162p a −+−=，即22pa −=（1）， ()(2216x a y −+−=和与l 相切，42pa +=（2）， 由（1）（2）得，所以2p =或6p =16．如图，椭圆E 的左右焦点为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆E 在第一象限交于点P ，若过P ､1F 的直线l 与圆2F 相切，则直线l 的斜率k =______；椭圆E 的离心率e =______.1 【解析】连接2PF ，由于l 是圆2F 的切线，所以12PF PF ⊥.在12Rt PF F 中，212PF OF OF c ===， 所以21212PF F F =，所以126PF F π∠=，所以直线l的斜率6tan πk ==. 1PF =，根据椭圆的定义可知1212212F F c cea aPF PF ====−+.四、解答题17．求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2（2）经过(2,(A B 两点 【解析】（1）椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a ==，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n+=+= ，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．18．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b−=>>的一个焦点在直线:3120l y ++=上，且其一条渐近线与直线l 平行，求该双曲线的方程.【解析】依题意得，双曲线的焦点在y 轴上，又直线l 与y 轴的交点为(0,4)−，所以双曲线的一个焦点坐标为(0,4)−，即4c ==.又因为直线l的斜率为a b =224,12a b ==， 故双曲线的方程为221412y x −=.19．已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程为1x =−. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）直线:1l y x =−交抛物线于A 、B 两点，求弦长AB .【解析】（Ⅰ）依已知得12p =，所以2p =； （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x =− =消去y ，得2610x x −+=， 则126x x +=，121x x =，所以AB =8=. 20．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b −=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，且经过点(2,3)． （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程和其渐近线方程； （Ⅱ）设直线l 经过点(0,1)−，且斜率为k ．求直线l 与双曲线C 有两个公共点时k 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由已知，双曲线的焦点为(2,0)−和(2,0)根据定义有：221a a −⇒= 故21a =，24c =，23b =，从而所求双曲线C 的方程为2213y x −=其渐近线方程为：y =.（Ⅱ）由22133y kx x y =− −= 得：()223240k x kx −+−=当230k −≠，即k ≠时，若>0∆，即()()22244(4)31240k k k ∆=−−−=−>24022k k ⇒−>⇒−<<时， 直线与双曲线相交，有两个公共点；所以，当22k −<<，且k ≠时，直线与双曲线有两个公共点．21．已知椭圆M ：22219x y b+=（0b >）的一个焦点为()2,0，设椭圆N 的焦点恰为椭圆M 短轴上的顶点，且椭圆N 过点． （1）求N 的方程；（2）若直线2y x =−与椭圆N 交于A ，B 两点，求AB ．【解析】（1）由椭圆M ：22219x y b+=（0b >）的一个焦点为()2,0，得2c =，且222945b a c =−=−=，∴椭圆N 的焦点为(0,，(．又椭圆N 过点，∴椭圆N∴椭圆N 1．∴N 的方程为2216y x +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立22216y x y x =− +=消去y ，整理得27420x x −−=， 则1247x x +=，1227x x =−， ∴127AB =. 22．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =−相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？ （2）设点P 的坐标为()0,a −，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠.【解析】（1）设(),Q x y，由题意得y a =+，化简得24x ay =， 所以动圆圆心Q 的轨迹方程为24x ay =， 它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线.（2）不妨设()2,04t A t t a >. 因为24x y a=，所以2x y a ′=， 从而直线PA 的斜率为2402t a t a t a+=−，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=. 设直线m 的方程为y kx a =−，代入24x ay =并整理， 得22440x akx a −+=.所以()221610a k ∆=−>，解得1k <−或1k >. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x ak +=，2124x x a =. ()()2112121212FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x −+−−−+=+= ()()()21121212122222x kx a x kx a a x x k x x x x −+−+==− 224204a ak k a ⋅=−=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠， 此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,−∞−∪+∞.。

2021年高考数学一轮复习 8.9圆锥曲线的综合问题课时跟踪训练 文一、选择题1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( ) A ．1 B ．1或3 C ．0D ．1或0解析：由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.答案：D2．已知椭圆C 的方程是x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3 解析：根据已知条件c ＝16－m 2，则点16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m2＝1(m >0)上，所以16－m 216＋16－m22m 2＝1.从而解得m ＝2 2. 答案：B3．(xx·合肥第二次模拟)过椭圆C ：x 25＋y 2＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B两点，交y 轴于点M ，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，则λ1＋λ2＝( )A ．10B ．5C ．－5D ．－10解析：特殊地，当直线l 斜率为0时，为x 轴，则A 、B 、M 坐标分别为(5，0)、(－5，0)、(0,0).MA →＝(5，0)，AF →＝(2－5，0)，MB →＝(－5，0)，BF →＝(2＋5，0)．∴λ1＝－(25＋5)，λ2＝25－5，∴λ1＋λ2＝－10，选D. 答案：D4．P 是双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5,0)与F 2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，易知(|PM |－|PN |)max ＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2×3＋3＝9，故选D.答案：D5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．只有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为A ，B 两点到直线x ＝－2的距离之和等于5，所以x 1＋2＋x 2＋2＝5.所以x 1＋x 2＝1.由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝3.而抛物线的焦点弦的最小值(当弦AB ⊥x 轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．答案：D6．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2 B.7 C.13 D.15 解析：画出图形，由双曲线的定义得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，又∵△ABF 2为等边三角形，∴|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，|BF 2|＝|BA |＝4a ，|BF 1|＝6a ，△BF 1F 2中|F 1F 2|＝2c ，∠F 1BF 2＝60°.∴由余弦定理可得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，离心率e ＝c a ＝7，故选B.答案：B 二、填空题7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．解析：因为一条切线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 所以椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1， 设点P 1，12，连接OP (图略)，则OP ⊥AB ， 因为k OP ＝12，所以k AB ＝－2.又因为直线AB 过点(1,0)， 所以直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0. 因为点(0，b )在直线AB 上， 所以b ＝2.又因为c ＝1，所以a 2＝5， 故椭圆方程是x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝18．已知点F1，F2分别是双曲线x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围为________．解析：据题意由双曲线的对称性可得若△ABF2为锐角三角形，只需∠BF2F1<45°即可，故在Rt△BF2F1中，tan∠BF2F1＝b2a2c＝b22ac<tan45°＝1，整理可得c2－a2<2ac，两侧同除以a2，e2－1<2e，解不等式结合e>1，可得离心率的取值范围是(1,1＋2)．答案：(1,1＋2)9．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为__________．解析：设P(x P，y P)(y P>0，由抛物线定义知，x P＋2＝42，∴x P＝32，y P＝42×32＝26，因此S△POF＝12×26×2＝2 3.答案：2 3三、解答题10．(xx·绵阳市第三次诊断)已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，O、F分别为C的顶点和焦点，若OA→＝λFB→(λ∈R)，求k的值．解：如图，直线y＝k(x＋1)过点F′(－1,0)，F(1,0)，所以O为F′F的中点．由OA→＝λFB→知OA∥FB，所以A为F′B的中点，设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22－48，y 22，代入y 2＝4x ，得y 2＝22，B (2,22)，∴k ＝222－－1＝223. 11．(xx·东城区检测)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上且过点P 3，12，离心率是32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 过点E (－1,0)且与椭圆C 交于A ，B 两点，若|EA |＝2|EB |，求直线l 的方程．解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，3a 2＋14b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由已知，若直线l 的斜率不存在，则过点E (－1,0)的直线l 的方程为x ＝－1，此时令A －1，32，B －1，－32， 显然|EA |＝2|EB |不成立．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k x ＋1，整理得(4k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0.由Δ＝(8k 2)2－4(4k 2＋1)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 故x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋1，①x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.②因为|EA |＝2|EB |，即x 1＋2x 2＝－3.③①②③联立解得k ＝±156. 所以直线l 的方程为15x ＋6y ＋15＝0和15x －6y ＋15＝0. 12．(xx·焦作一模)已知椭圆的离心率e ＝22，左、右焦点分别为F 1、F 2，定点P (2，3)，点F 2在线段PF 1的中垂线上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M ，F 2N 的倾斜角满足α＋β＝π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．解：(1)由椭圆C 的离心率e ＝22，得c a ＝22，其中c ＝a 2－b 2， 椭圆C 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 又点F 2在线段PF 1的中垂线上，∴|F 1F 2|＝|PF 2|，∴(2c )2＝(3)2＋(2－c )2. 解得c ＝1，a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1，且kF 2M ＝kx 1＋mx 1－1，kF 2N＝kx 2＋mx 2－1. 由已知α＋β＝π，得kF 2M ＋kF 2N ＝0， 即kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋mx 2－1＝0， 化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0， ∴2k ·2m 2－22k 2＋1－4km m －k 2k 2＋1－2m ＝0，整理得m ＝－2k .∴直线MN 的方程为y ＝k (x －2)，因此直线MN 过定点，该定点的坐标为(2,0)．23308 5B0C 嬌38404 9604 阄T30367 769F 皟28135 6DE7 淧B34917 8865 补285816FA5 澥27411 6B13 欓34832 8810 蠐 V32238 7DEE 緮h39020 986C 顬。

圆锥曲线大题综合归类：五个方程型目录重难点题型归纳 1【题型一】基础型 1【题型二】直线设为：x=ty+m型 4【题型三】直线无斜率不过定点设法：双变量型 7【题型四】面积最值 10【题型五】最值与范围型 13【题型六】定点：直线定点 15【题型七】定点：圆过定点 18【题型八】定值 21【题型九】定直线 23【题型十】斜率型：斜率和定 26【题型十一】斜率型：斜率和 29【题型十二】斜率型：斜率比 31【题型十三】斜率型：三斜率 34【题型十四】定比分点型：a=tb 36【题型十五】切线型 38【题型十六】复杂的“第六个方程” 41好题演练 45重难点题型归纳重难点题型归纳题型一基础型【典例分析】1已知椭圆x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0有共同的焦点，双曲线的左顶点为A-1,0，过A斜率为3的直线和双曲线仅有一个公共点A，双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍.(1)求双曲线和椭圆的标准方程；(2)椭圆上存在一点P x P,y P-1<x P<0,y P>0，过AP的直线l与双曲线的左支相交于与A不重合的另一点B，若以BP为直径的圆经过双曲线的右顶点E，求直线l的方程.1已知F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点，过点P t ,b 的直线l 交C 于不同两点A ,B .当t =a ，且l 经过原点时，AB =6,AF +BF =22.(1)求C 的方程；(2)D 为C 的上顶点，当t =4，且直线AD ,BD 的斜率分别为k 1,k 2时，求1k 1+1k 2的值.题型二直线设为：x =ty +m 型【典例分析】1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为P ，点Q 0,b ，PF 2=1，∠F 1PQ =60°.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 经过点F 2，且与双曲线C 相交于A ，B 两点，若△F 1AB 的面积为610，求直线l 的方程.1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，右顶点为A，离心率为22，B为椭圆C上一动点，△FAB面积的最大值为2+1 2．(1)求椭圆C的方程；(2)经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，x轴上点P满足PM=PN，若MN=λFP，求λ的值．题型三直线无斜率不过定点设法：双变量型【典例分析】1已知抛物线：y 2=2px p >0 ，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，与椭圆x 2a 2+y 2=1a >1 交于C 、D 两点，其中OA ⋅OB =-3．(1)求抛物线方程；(2)是否存在直线AB ，使得CD 是FA 与FB 的等比中项，若存在，请求出AB 的方程及a ；若不存在，请说明理由．1已知双曲线E 的顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且S △OFG =324.点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H .(1)求双曲线E 的标准方程；(2)求证：OP ⋅OH 为定值.题型四面积最值【典例分析】1已知椭圆x 23+y 22=1的左、右焦点分别为F 1，F 2．过F 1的直线交椭圆于B ,D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ,C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P ．(1)设P 点的坐标为(x 0,y 0)，证明：x 203+y 202<1；(2)求四边形ABCD 的面积的最小值．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题(海南卷)题型五最值与范围型【典例分析】1设F 1、F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1 ⋅PF 2 =-54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．1已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)一个顶点A(0,-2)，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．2021年北京市高考数学试题题型六定点：直线定点【典例分析】1已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为1．(1)求C的方程；(2)过点F作一条直线l ，交C于A,B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，四点P 12,2 ，P 20,2 ，P 3-2,2 ，P 42,2 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMP 2=2∠ABP 2，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.题型七定点：圆过定点【典例分析】1如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py(p>0)上．(1) 求抛物线E的方程；(2) 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【变式演练】1已知动点P到点F1,0的距离与到直线l:x=4的距离之比为12，记点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)曲线E与x轴正半轴交于点M，过F的直线交曲线E于A，B两点(异于点M)，连接AM，BM并延长分别交l于D，C，试问：以CD为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．【典例分析】1如图，已知抛物线C :x 2=4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ,B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)与直线y =2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2-|MN 1|2为定值，并求此定值.【变式演练】1已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O 为原点，QM =λQO ，QN =μQO ，求证：1λ+1μ为定值．.【典例分析】1已知直线l:x=my-1，圆C:x2+y2+4x=0.(1)证明：直线l与圆C相交；(2)设直线l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；(3)在(2)的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【变式演练】1已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，F1F2=23且双曲线E经过点A3,2．(1)求双曲线E的方程；(2)过点P2,1作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足PMPN=MHHN，求证：点H恒在一条定直线上．【典例分析】1已知点F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且tan∠PFO=33.(1)求椭圆的离心率e；(2)已知M1,0，N4,3，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点.设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2，求椭圆E的方程.【变式演练】1在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0)，且与直线x=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)过点F的两条直线l1、l2与曲线Γ相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1、k2，若k1+k2=-1，求证：直线MN恒过定点.【典例分析】1设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，A-2,0，B2,0分别是椭圆的左、右顶点，动直线l过点C6,0，当直线l经过点D-2,2时，直线l与椭圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l与椭圆交于P，Q(异于A，B)两点，且直线AP与BQ的斜率之和为-12，求直线l的方程.【变式演练】1已知点M1,3 2在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线MA和MB的斜率之和满足：k MA+k MB=-1.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为1的直线交椭圆于P，Q两点，椭圆上是否存在定点T，使直线PT和QT的斜率之和满足k PT+k QT=0(P，Q与T均不重合)？若存在，求出T点坐标；若不存在，说明理由.【典例分析】1已知圆F 1:x 2+y 2+2x -15=0和定点F 2(1,0),P 是圆F 1上任意一点，线段PF 2的垂直平分线交PF 1于点M ，设动点M 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)设A (-2,0),B (2,0)，过F 2的直线l 交曲线E 于M ，N 两点(点M 在x 轴上方)，设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1,k 2，求证：k 1k 2为定值．【变式演练】1已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >0，b >0)，离心率e =55，P 为椭圆上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，若△PF 1F 2的周长为2+25.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知四边形ABCD (端点不与椭圆顶点重合)为椭圆的内接四边形，且AF 2 =λF 2C ，BF 2 =μF 2D ，若直线CD 斜率是直线AB 斜率的52倍，试问直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学(理)试题题型十三斜率型：三斜率【典例分析】1已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，且P1,32在椭圆C上，PF垂直于x轴.(1)求椭圆C的方程.(2)过点F的直线l交椭圆C于A,B(异于点P)两点，D为直线l上一点.设直线PA,PD,PB的斜率分别为k1,k2,k3，若k1+k3=2k2，证明：点D的横坐标为定值.【变式演练】1在平面内动点P与两定点A1(-3,0),A2(3,0)连线斜率之积为-23．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0)，过点P作轨迹E的切线其斜率记为k(k≠0)，当直线PF1,PF2斜率存在时分别记为k1,k2．探索1k⋅1k1+1k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．题型十四定比分点型：a =tb【典例分析】1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，倾斜角为30°的直线过椭圆的左焦点F 1和上顶点B ，且S △ABF 1=1+32(其中A 为右顶点).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点M (0,m )的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且PM =2MQ ，求实数m 的取值范围.【变式演练】1已知点M ，N 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点与上顶点，原点O 到直线MN 的距离为32，且椭圆的离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点F 2，并且与椭圆交于A ，B 两点，若AF 2 =12F 2B ，求直线AB 的方程．题型十五切线型【典例分析】1法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，离心率e =12，左、右焦点分别是F 1、F 2，上顶点为Q ，且QF 2 =2，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程，并请直接写出椭圆C 的蒙日圆的方程；(2)设P 是椭圆C 外一动点(不在坐标轴上)，过P 作椭圆C 的两条切线，过P 作x 轴的垂线，垂足H ，若两切线斜率都存在且斜率之积为-12，求△POH 面积的最大值.【变式演练】1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，三角形AF1F2的周长为6，面积为3．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M是椭圆C外一点，过点M所作椭圆的两条切线互相垂直，求三角形AF2M面积的最大值．题型十六复杂的“第六个方程”【典例分析】1如图，已知点B2,1，点N为直线OB上除O，B两点外的任意一点，BK，NH分别垂直y轴于点K，H，NA⊥BK于点A，直线OA，NH的交点为M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若E3,0，C，G是点M的轨迹在第一象限的点(C在G的右侧)，且直线EC，EG的斜率之和为0，若△CEG的面积为152，求tan∠CEG.【变式演练】1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点且与l平行的直线与椭圆交于点P.求SΔPAN⋅SΔPAM(SΔAOP)2的值.好题演练1(2023·贵州毕节·统考模拟预测)已知椭圆C的下顶点M，右焦点为F，N为线段MF的中点，O为坐标原点，ON=32，点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为3-2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l：y=kx+m k≠0与椭圆C交于A，B两点，若存在过点M的直线l ，使得点A与点B关于直线l 对称，求△MAB的面积的取值范围.2(2023·天津南开·统考二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，坐标原点O到直线AD的距离为255.(1)求椭圆的方程；(2)过A点作两条互相垂直的直线AP，AQ与椭圆交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值.3(2023·河北·统考模拟预测)已知直线l ：x =12与点F 2,0 ，过直线l 上的一动点Q 作直线PQ ⊥l ，且点P 满足PF +2PQ ⋅PF -2PQ =0．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作直线与C 交于A ，B 两点，设M -1,0 ，直线AM 与直线l 相交于点N ．试问：直线BN 是否经过x 轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．4(2023·北京东城·统考二模)已知焦点为F 的抛物线C :y 2=2px (p >0)经过点M (1,2)．(1)设O 为坐标原点，求抛物线C 的准线方程及△OFM 的面积；(2)设斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ,B ，若以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．5(2023·四川自贡·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =22，设A 62,12 ，B -62,12，P 0,2 ，其中A ，B 两点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 的直线交椭圆C 于M ，N 两点(M 在线段AB 上方)，在AN 上取一点H ，连接MH 交线段AB 于T ，若T 为MH 的中点，证明：直线MH 的斜率为定值．6(2023·江西赣州·统考二模)在平面直角坐标系xOy 中，F 1(-1,0)，F 2(1,0)，点P 为平面内的动点，且满足∠F 1PF 2=2θ，PF 1 ⋅PF 2 cos 2θ=2．(1)求PF 1 +PF 2 的值，并求出点P 的轨迹E 的方程；(2)过F 1作直线l 与E 交于A 、B 两点，B 关于原点O 的对称点为点C ，直线AF 2与直线CF 1的交点为T ．当直线l 的斜率和直线OT 的斜率的倒数之和的绝对值取得值最小值时，求直线l 的方程．7(2023·四川乐山·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (2,0)，短轴长等于焦距．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线交C 于P ，Q ，交直线x =22于点N ，记OP ，OQ ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，若(k 1+k 2)k 3=1，求|OP |2+|OQ |2的值．8(2023·贵州贵阳·统考模拟预测)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 与椭圆C 2：x 22+y 2=1的离心率相等，C 1的焦距是22．(1)求C 1的标准方程；(2)P 为直线l ：x =4上任意一点，是否在x 轴上存在定点T ，使得直线PT 与曲线C 1的交点A ，B 满足PA PB =AT TB？若存在，求出点T 的坐标．若不存在，请说明理由．。

2021年新高考数学专题复习-圆锥曲线专项练习1．已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆Γ相交于两点M N 、，各点互不重合，且满足12PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值；（3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.2．已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1. （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点.3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且离心率2e =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 且不过点P 的直线l 交C 于,A B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，求直线l 的斜率k .4．如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点()10B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.5．已知双曲线C 的方程为：22186x y -=，其左右顶点分别为：1A ，2A ，一条垂直于x轴的直线交双曲线C 于1P ，2P 两点，直线11A P 与直线22A P 相交于点P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）过点)Q的直线，与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，试探讨ABMQ是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由. 6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(l 与x 轴不重合)，1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8. （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点T ，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T 的坐标；若不存在，请说明理由.7．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =10x +-=被以椭圆C . （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围.8．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：2y x a =+与抛物线C 交于A ，B 两点.（1）若1a =-，求FAB 的面积；（2）若抛物线C 上存在两个不同的点M ，N 关于直线l 对称，求a 的取值范围. 9．如图，直线l 与圆22:(1)1E x y ++=相切于点P ，与抛物线2:4C x y =相交于不同的两点,A B ，与y 轴相交于点(0,)(0)T t t >.（1）若T 是抛物线C 的焦点，求直线l 的方程；（2）若2||||||TE PA PB =⋅，求t 的值.10．在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，设动圆的圆心Q 的轨迹为曲线Γ. （Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点F 的两条直线1l 、2l 与曲线Γ相交于A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别为AB 、CD 的中点.设1l 与2l 的斜率依次为1k 、2k ，若121k k +=-，求证：直线MN 恒过定点.11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且直线1x y a b +=与圆222x y +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ﹐B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上．记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围． 12．已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为,F 点Р在抛物线E 上，点Р的横坐标为2,且2PF =.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若,A B 为抛物线E 上的两个动点(异于点P )，且AP AB ⊥，求点B 的横坐标的取值范围.13．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2=2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |=3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点G (-1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线.14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2.（∠）求椭圆C 的方程；（∠）设过定点()02T ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．参考答案1．（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【分析】（1）由题意，得到2b =和222(2)(2)2(2)a b c +=，结合222a b c =+，求得2a 的值，即可求得椭圆Γ的标准方程；（2）由直线l 的方程为1y x =-+，根据12PM MQ PN NQ λλ==，，求得12121211x x x x λλ==--，，得到121212112x xx x λλ++=-，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解；（3）设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，由1PM MQ ，得到111x m x λ=-和222xm xλ=-，联立方程组，结合根与系数的关系和123，求得2m =，得到直线l 的方程，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =， 设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列， 可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c +=又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =-+，可得而(01)(10)P Q ，，，，设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，， 从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，，可得(0,)(,0)P km Q m -，，由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，， 所以()111x x m λ=-，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-， 又123，∠212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=， 则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③∠代入∠得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∠2m =，(满足∠)故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 2．（1）24y x =；（2）证明见解析，定值1-；（3）证明见解析.【分析】（1）根据题意转化为动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，结合抛物线的定义，即可求得曲线C 的方程；（2）由:2(1)PA l y k x -=-和2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组，求得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合斜率公式，即可求解； （3）由：:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()222,22k k B k k ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭，求得2(2)22AB k k k k k -=-+，求得直线AB l 的方程，即可求解. 【详解】（1）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1，等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C 的轨迹时以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的方程，且2p =，所以曲线C 的方程为24y x =.（2）设直线PA 的斜率为k ，因为直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为k -，则:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:联立方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭联立方程组22(1)4y k x y x-=--⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k +--=，即()()2+420ky k y +-=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()22224242122ABk kk k k k k k k ----==-+--，即直线AB 的斜率为定值1-. （3）设直线PA 的斜率为k ，所以直线PB 的斜率为2k -， 则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--：两类方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 联立方程组()222(1)4y k x y x⎧-=--⎨=⎩，可得()22440k y y k --+=，即()()2220k y k y ---=⎡⎤⎣⎦，可得()222,22k k B k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭所以()()22222242(2)22222ABk kk k k k k k k k k k k ----==-+---， 所以()2222(2)2222AB k k k k l y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪ ⎪--+-⎝⎭:，整理得()2(2)122k k y x k k -=+-+ 所以直线AB 恒过()1,0-.3．（1）2212x y +=；（2. 【分析】（1）由题意可得222221112a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组即可求得,,a b c 的值，进而可得椭圆C 的标准方程；（2））设直线PA的方程为()112y k x -=-，()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立消元可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得1x ，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得2x ，再利用1212y y k x x -=-即可求得直线l 的斜率k .【详解】（1）因为1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，所以221112a b +=，又2c e a ==，222a b c =+，由上述方程联立可得22a =，21b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）设直线PA的方程为()112y k x -=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由122(1)12y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得： ())222111111222210k xk k x k +++--=，所以21112121112k x k --⨯=+，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得21122121112k x k +-⋅=+，因为2112214212k x x k -+=+，1122112x x k --=+，所以()111121112112121212222k x k k x k k x x k y y k x x x x x x ⎛-+--++ +--⎝⎭===---2242212k k k k --+=== 4．（1）22143x y+=（2）存在，(4)6y x =-或4)6y x =--．【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同. 【详解】（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =．因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =． 所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）存在直线2l 使得2DN DM =．方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=． 则21223234k x x k +=+， ① 2122641234k x x k-=+， ② 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 因为2DN DM =，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③把③代入①得21241634k x k +=+，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得6k =±，满足1122k -<<．所以直线2l的方程为：(4)6y x =-或4)6y x =--． 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-，(2,0)DM =-此时2DN DM ≠．因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)24360t y ty +++=． 由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t >，则1222434ty y t +=-+， ① 1223634y y t =+， ②因为2DN DM =，所以212y y =． ③把③代入①得12834t y t =-+，221634ty t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，t =±2t <-或2t >． 所以直线2l的方程为4)y x =-或4)y x =-． 5．（1）22186x y +；（2）为定值，4.【分析】（1）设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y，利用三点共线得到==，两式相乘化简得22022088y y x x =---，再利用点1P 在双曲线上代入整理即可得到答案；（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，易证4ABMQ=，②当0k ≠时，利用点斜式设出直线l 方程，联立直线l 与椭圆的方程消y ，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理以及弦长公式求出AB ，求出AB 的中点坐标，利用点斜式求出线段AB 的垂直平分线的方程，求出点M 的坐标，利用两点间的距离公式求解MQ ，即可得出答案. 【详解】（1）由题意知：()1A -，()2A ，设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y ， 由11,,A P P 三点以及22,,A P P 三点共线，则==，两式相乘化简得：22022088y y x x =---， 又2200186x y -=， 代入上式得轨迹E 的方程：22186x y +.（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，直线l 的方程为：0y =，线段AB 为椭圆的长轴，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，则AB =，()0,0M,MQ =所以4ABMQ=； ②当0k ≠时，设方程为：(y k x =，联立方程得(22186y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，化简整理得：()2222348240kxx k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，212221223482434x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，)2122143k AB x k +=-==+，线段AB的中点的坐标为222,3434P k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，线段AB的垂直平分线的方程为：22213434y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪ ⎪++⎝⎭， 令0y =，则M ⎫⎪⎪⎝⎭，)22134k MQ k +==+，∴4ABMQ=. 综上：4ABMQ=. 6．（1）22198x y ；（2）存在，坐标为(3,0)-和(3,0).【分析】（1）由1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8，可求椭圆基本量，进一步确定方程. （2）设直线代入消元，韦达定理整体代入定点满足的关系，探求恒成立的条件. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2(0)c c >，由题意可得412228a a c =⎧⎨+=⎩，解得31a c =⎧⎨=⎩，所以b =因此椭圆C 的方程为22198x y .（2）因为直线l 过点2(1,0)F 且不与x 轴重合，所以设l 的方程为1x my =+，联立方程221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()228916640m y my ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12212216896489m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以()1212218289x x m y y m +=++=+， ()()()2212121212272911189m x x my my m y y m y y m -+=++=+++=+. 设(,0)T t ，则直线TM 与TN 的斜率分别为11TM y k x t =-，22TN y k x t=-， 则()()1212TM TN y y k k x t x t ⋅=--()2122221212226489729188989y y m m x x t x x t t t m m -+==-+-++-⋅+++ ()222648729189t m t t -=-+-+.所以当28720t -=，即当3t =-时，m ∀∈R ，49TM TN k k ⋅=-； 当3t =时，m ∀∈R ，169TM TN k k ⋅=-. 因此，所有满足条件的T 的坐标为(3,0)-和(3,0).7．（1）2214x y +=；（2）2]3.【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得1b =.由椭圆的离心率可得2a =，则椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）当直线l 的斜率为0时，求出MA ，MB ，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 方程为4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程可得()2248120m y my +++=，满足题意时212m >，结合韦达定理以及弦长公式，化简整理，结合不等式的性质，据此即可所求范围. 【详解】（1）因为原点到直线10x +-=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =. 又22222314c b e a a ==-=，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=,所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >，所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y y +=+=+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<<.23λ<≤，即2]3.8．（12）12a <- 【分析】（1）联立直线与抛物线，根据弦长公式求出||AB ，根据点到直线的距离公式求出点F 到直线的距离，根据三角形面积公式可求得结果；（2）设直线MN 的方程为12y x m =-+代入抛物线，利用判别式大于0可得2m >-， 根据韦达定理求出MN 的中点坐标，将其代入直线l 得到m 与a 的关系式，根据m 的范围可得a 的范围. 【详解】抛物线C ：24y x =的焦点为F (1,0)，（1）当1a =-时，直线:21l y x =-，联立2214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得21204x x -+=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x +=，1214x x =，所以||AB ===点F 到直线:21l y x =-的距离d ==，所以FAB的面积为11||22AB d ==. （2）因为点M ，N 关于直线l 对称，所以直线MN 的斜率为12-， 所以可设直线MN 的方程为12y x m =-+， 联立2124y x m y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 并整理得22(416)40x m x m -++=， 由22(416)160m m ∆=+->，得2m >-，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，所以34416x x m +=+，所以343411()2(416)2822y y x x m m m +=-++=-⨯++=-， 所以MN 的中点为(28,4)m +-，因为点M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点(28,4)m +-在直线:2l y x a =+上，所以42(28)m a -=++，得420a m =--，因为2m >-，所以12a <-.9．（1）1y =+；（2）12. 【分析】（1）由(0,)(0)T t t >为抛物线焦点，即可设直线l 的方程为1y kx =+，根据直线l 与圆相切可求k 值，写出直线方程.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由直线上两点距离公式可知()()0022||||14PA PB kxy ⋅==+-，根据直线l 与圆相切、2||||||TE PA PB =⋅求0y ，切线性质：直线l 与PE 互相垂直及00t y kx =-即可求t 的值.【详解】（1）因为(0,)(0)T t t >是抛物线2:4C x y =的焦点，所以1t =，即(0,1)T ，设直线l 的方程为1y kx =+，由直线l 与圆E1=，即k =，所以，直线l的方程为1y =+.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx tx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx t --=，124x x k +=，124x x t ⋅=-，∴1020||||PA PB x x ⋅=-⋅-()()221201201kx xx x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()220014k x kx t ⎡⎤=+-+⎣⎦()()220014k x y =+-. 由直线l 与圆E1=，即221(1)k t +=+.由||1TE t =+，2||||||TE PA PB =⋅，得()()2220014(1)kxy t +-=+.所以20041x y -=，又()220011x y ++=，解得03y =-+.由直线l 与PE 互相垂直，得0011PE xk k y =-=-+， 200001i x t y kx y y =-=++220000001112x y y y y y ++-===++. 10．（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）设(,)Q x y，根据题意得到|1|x +=Γ的方程；（Ⅱ）设1l ，2l 的方程为12(1),(1)y k x y k x =-=-，联立方程组分别求得2121122,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，和2222222,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而得出MN k ，进而得出()111MN k k k =+，得出直线MN 的方程，即可判定直线MN 恒过定点. 【详解】（Ⅰ）由题意，设(,)Q x y ，因为圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，可得|1|x +=24y x =.（Ⅱ）设1l ，2l 的方程分别为1(1)y k x =-，2(1)y k x =-，联立方程组12(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得()2222111240k x k x k -++=， 所以21122124k x x k ++=，则2121122,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2222222,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 所以121222121222122222MNk k k k k k k k k k k -==+++-， 由121k k +=-，可得()111MN k k k =+，所以直线MN 的方程为()2111211221k y k k x k k ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭ 整理得()1121(1)y k k x +=+-，所以直线MN 恒过定点(1,2)-.11．（1）22163x y +=；（2）,33⎣⎦． 【分析】（1）依题意得到c a ==，再根据222c b a +=解方程即可；（2）由M 为线段AB 的中点，可得12OM S S OP=，对直线l 的斜率的斜率存在与否分两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，根据0OA OB ⋅=，即可得到12120x x y y +=，从而得到m 与k 的关系，即可求出面积比的取值范围； 【详解】解：（1）∵椭圆的离心率为2，∴2c a =（c 为半焦距）． ∵直线1x y a b+=与圆222x y +==．又∵222c b a +=，∴26a =，23b =．∴椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△． （ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，由OA OB ⊥及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22A x =．则22M x =，26P x =，∴123OM S S OP ==． （ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222214260k x kmx m ++-=＋． ∴()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22630k m -+>．∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+． ∵点O 在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=． ∴()()221212121210x x y y kx xkm x x m +=++++=． ∴()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭． 化简，得2222m k =＋．经检验满足0∆>成立．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭． 当0k =时，22m =．此时123S S ==． 当0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-．由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得2221221P k x k =+，22321P y k =+． ∴M P OM y OP y == ∴12S S ==12,33S S ⎛∈ ⎝⎭． 综上，12S S的取值范围为33⎣⎦．12．（1）24x y =；（2）[)(,)610--⋃∞+∞，. 【分析】()1由抛物线的定义可得022p y =-，再代入可求得p ，可得抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由直线垂直的条件建立关于点A 、B 的坐标的方程，由根的判别式可求得范围.【详解】解：()1依题意得0,,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭设()002,,22p P y y =-， 又点Р是E 上一点，所以4222p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =， 所以抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由题意知()2,1P ， 设221212,,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()2111114224APx k x x -==+-，因为12x ≠-，所以142AB k x =-+，AB 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立24x y =. 因为1x x ≠，得11(216(0))x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()224216)0(x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-经检验，当6x =-时，不满足题意.所以点B 的横坐标的取值范围是[)(,)610--⋃∞+∞，. 13．（1）y 2=4x ；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用抛物线定义，由|AF |=2+2p=3求解. （2）根据点A (2，m )在抛物线E 上，解得m ,不妨设A (2，)，直线AF 的方程为y(x -1)，联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，然后论证k G A +k G B =0即可 【详解】（1）由抛物线定义可得|AF |=2+2p=3，解得p =2. ∠抛物线E 的方程为y 2=4x .（2）∠点A (2，m )在抛物线E 上， ∠m 2=4×2，解得m，由抛物线的对称性，不妨设A (2，)，由A (2，，F (1，0)，∠直线AF 的方程为y (x -1)，由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 得2x 2-5x +2=0，解得x =2或12，∠B 1,2⎛ ⎝.又G (-1，0)，∠k G A =3，k G B =3-∠k G A +k G B =0， ∠∠AGF =∠BGF . ∠GF 为∠AGB 的平分线. 【点睛】关键点点睛：由GF 为∠AGB 的平分线，即∠AGF =∠BGF ，转化为 k G A +k G B =0结合韦达定理证明.14．（∠）23x +y 2＝1；（∠）11k ⎛⎫⎛∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 【分析】（∠）根据椭圆短轴长公式、离心率公式，结合椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；（∠）根据平面向量数量积公式，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】（∠）由已知得 2b ＝2，所以1b =，又因为c a =所以有：2223c a =，而222c a b =-， 解得23a =，即椭圆C 的方程为23x +y 2＝1．（∠）直线l 方程为y ＝kx +2，将其代入23x +y 2＝1，得（3k 2+1）x 2+12kx +9＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴△＝（12k ）2﹣36（1+3k 2）＞0，解得k 2＞1，由根与系数的关系，得x 1+x 2＝21213kk -+，x 1x 2＝2913k + ∵∠AOB 为锐角， ∴OA ⋅OB ＞0， ∴x 1x 2+y 1y 2＞0，∴x 1x 2+（kx 1+2）（kx 2+2）＞0， ∴（1+k 2）x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4＞0，化简得2213313k k -+＞0，解得2133k <，由21k >且2133k <，解得1133k ⎛⎫⎛∈--⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，．。

2021年高考数学 8.5 圆锥曲线的综合问题课时提升作业文（含解析）一、选择题1.(xx·济南模拟)过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=( )(A)-2 (B)- (C)-4 (D)-2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )(A)[-,] (B)[-2,2](C)[-1,1] (D)[-4,4]3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为( )(A)1 (B) (C)2 (D)24.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)85.(能力挑战题)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )(A)+2 (B)+1 (C)-2 (D)-16.(xx·河池模拟)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1·e2的取值范围是( ) (A)(0,+∞) (B)(,+∞)(C)(,+∞) (D)(,+∞)二、填空题7.(xx·南宁模拟)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若<k<,则椭圆离心率的取值范围为.8.设连接双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的4个顶点的四边形面积为S1,连接其4个焦点的四边形面积为S2,则的最大值为.9.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,则的值为.三、解答题10.(xx·广州模拟)如图,已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,离心率为,若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且·=0.(1)求椭圆C的方程.(2)求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.11.(能力挑战题)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,a2与b2的等差中项为.(1)求椭圆E的方程.(2)A,B是椭圆E上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(t,0),求实数t的取值范围.12.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线C2:y2=4x的焦点重合,椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P,|PF2|=.圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点,圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4.(1)求椭圆C1的方程.(2)证明:无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点.13.(xx·成都模拟)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在坐标原点O,半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”,若椭圆C的一个焦点为F2(,0),其短轴上的一个端点到F2的距离为.(1)求椭圆C及其“伴随圆”的方程.(2)若过点P(0,m)(m<0)的直线与椭圆C只有一个公共点,且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2,求m的值.(3)过椭圆C“伴随圆”上一动点Q作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,试判断直线l1,l2的斜率之积是否为定值,并说明理由.答案解析1.【解析】选D.由y=2x2得x2=y,其焦点坐标为F(0,),取直线y=,则其与y=2x2交于A(-,),B(,),∴x1x2=(-)·()=-.【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探索其值即可.2.【解析】选C.设直线方程为y=k(x+2),与抛物线联立方程组,整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点.当k≠0时,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1且k≠0.综上-1≤k ≤1.3.【解析】选D.设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a2-b2=c2,由题意,·2c·b=1,∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.∴a≥.∴长轴的最小值为2.4.【解析】选C.设P(x0,y0),则+=1即=3-,又∵F(-1,0),∴·=x0·(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2],∴(·)∈[2,6],所以(·)max=6.5.【思路点拨】画出图象,通过图象可知点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1,过焦点F作直线l的垂线,此时d1+d2最小,根据抛物线方程求得F的坐标,进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值.【解析】选D.如图所示,由抛物线的定义知,|PF|=d1+1,∴d1=|PF|-1,d1+d2=d2+|PF|-1,显然当直线PF垂直于直线x-y+4=0时,d1+d2最小,此时d2+|PF|为F到直线x-y+4=0的距离.由题意知F点的坐标为(1,0),所以(d2+|PF|)min==.∴(d1+d2)min=-1.6.【解析】选B.由题意知|PF1|=r1=10,|PF2|=r2=2c,且r1>r2.e2====;e1====.∵三角形两边之和大于第三边,2c+2c>10,即c>,∴e1·e2==>,因此选B.7.【解析】由题意知:B(c,),∴k===1-e.又<k<,∴<1-e<,解得<e<.答案:(,)8.【思路点拨】将用a,b表示,利用基本不等式求最值.【解析】S1=·2a·2b=2ab,S2=·2·2=2(a2+b2),=(a>0,b>0),∴=≤(当且仅当a=b时取等号).答案:9.【解析】设直线PA的斜率为k PA,PB的斜率为k PB,由=2px1,=2px0,得k PA==,同理k PB=,由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,因此=-,即y1+y2=-2y0(y0>0),那么=-2.答案:-210.【解析】(1)依题意有⇒故椭圆C的方程为:+y2=1.(2)由·=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1(k≠0).将y=kx+1代入椭圆C的方程+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-,因此P的坐标为(-,-+1),即(-,),将上式中的k换成-,得Q(,).直线l的方程为y=(x-)+,化简得直线l的方程为y=x-,因此直线l过定点N(0,-).11.【解析】(1)由题意得解得:.即椭圆E的方程为+=1.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.又交点为P(t,0),故|PA|=|PB|,即(x1-t)2+=(x2-t)2+,∴t=+ ①∵A,B在椭圆上,∴=4-,=4-.将上式代入①,得t=.又∵-3≤x1≤3,-3≤x2≤3,且x1≠x2,∴-6<x1+x2<6,则-<t<,即实数t的取值范围是(-,).【一题多解】(1)同原题.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2. (ⅰ)若y1=y2,则线段AB的垂直平分线方程为x=0,即t=0.(ⅱ)若y1≠y2,则线段AB的垂直平分线方程为y-=-(x-).∵P(t,0)在直线上,∴t=+ ①∵A,B在椭圆上,∴=4-,=4-.将上式代入①,得t=.又∵-3≤x1≤3,-3≤x2≤3,且x1≠x2,∴-6<x1+x2<6,则-<t<.综合(ⅰ)(ⅱ)得实数t的取值范围是(-,).12.【思路点拨】(1)根据抛物线的方程,求出其焦点坐标,然后求出椭圆的焦点坐标,通过定义建立方程,化简即可得到椭圆C1的方程.(2)设出点T的坐标,将抛物线方程代入圆的方程,得到一元二次方程,利用此方程恒成立求解. 【解析】(1)∵抛物线C2:y2=4x的焦点坐标为(1,0),∴点F2的坐标为(1,0).∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1(-1,0),抛物线C2的准线方程为x=-1.设点P的坐标为(x1,y1),由抛物线的定义可知|PF2|=x1+1,∵|PF2|=,∴x1+1=,解得x1=.由=4x1=,且y1>0,得y1=.∴点P的坐标为(,).在椭圆C1:+=1(a>b>0)中,c=1.2a=|PF1|+|PF2|=+=4,∴a=2,b==,∴椭圆C1的方程为+=1.(2)设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r,∵圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4,∴|MN|=2=4,∴r=,∴圆C3的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=4+(*),∵点T是抛物线C2:y2=4x上的动点,∴=4x0(x0≥0),∴x0=.把x0=代入(*)消去x0整理得:(1-)-2yy0+(x2+y2-4)=0(**)方程(**)对任意实数y0恒成立,∴解得∵点(2,0)在椭圆C1:+=1上,∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点(2,0).13.【解析】(1)由题意得:a=,半焦距c=,则b=1,椭圆C方程为+y2=1,“伴随圆”方程为x2+y2=4.(2)设过点P且与椭圆有一个交点的直线为:y=kx+m.则整理得(1+3k2)x2+6kmx+(3m2-3)=0,所以Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)=0,解3k2+1=m2①.又因为直线截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2,则有2=2,化简得m2=2(k2+1)②.联立①②解得:k2=1,m2=4,所以k=±1,m=-2(∵m<0).(3)当l1,l2都有斜率时,设点Q(x0,y0),其中+=4,设经过点Q(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=k(x-x0)+y0由消去y得到x2+3[kx+(y0-kx0)]2-3=0,即(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0,Δ=[6k(y0-kx0)]2-4·(1+3k2)[3(y0-kx0)2-3]=0,经过化简得到:(3-)k2+2x0y0k+1-=0,因为+=4,所以有(3-)k2+2x0y0k+(-3)=0,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,所以k1,k2满足方程(3-)k2+2x0y0k+(-3)=0,因而k1k2=-1,即直线l1,l2的斜率之积为定值-1.【变式备选】在平面直角坐标系xOy中,椭圆G的中心为坐标原点,左焦点为F1(-1,0),P为椭圆G的上顶点,且∠PF1O=45°.(1)求椭圆G的标准方程.(2)已知直线l1:y=kx+m1与椭圆G交于A,B两点,直线l2:y=kx+m2(m1≠m2)与椭圆G交于C,D两点,且|AB|=|CD|,如图所示.①证明:m1+m2=0;②求四边形ABCD的面积S的最大值.【解析】(1)设椭圆G的标准方程为+=1(a>b>0).因为F1(-1,0),∠PF1O=45°,所以b=c=1.所以a2=b2+c2=2.所以椭圆G的标准方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).①由消去y得:(1+2k2)x2+4km1x+2-2=0.则Δ=8(2k2-+1)>0,所以|AB|====2.同理|CD|=2.因为|AB|=|CD|,所以2=2.因为m1≠m2,所以m1+m2=0.②由题意得四边形ABCD是平行四边形,设两平行线AB,CD间的距离为d,则d=.因为m1+m2=0,所以d=.所以S=|AB|·d=2·=4≤4=2.当且仅当2k2+1=2时,四边形ABCD的面积S取得最大值为2.36324 8DE4 跤25693 645D 摝24715 608B 悋35516 8ABC 誼uE 33199 81AF 膯33814 8416 萖36409 8E39 踹)25331 62F3 拳38110 94DE 铞20866 5182 冂_。

2021年高考数学尖子生培优 专题09 圆锥曲线一、单选题（共8题；共16分）1.直线 x −y =0 与双曲线 2x 2−y 2=2 有两个交点为 A ， B ，则 |AB|= （ ） A. 2 B. 2√2 C. 4 D. 4√2 【答案】 C【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】由 {2x 2−y 2=2x −y =0 ，得 {x 1=√2y 1=√2 ， {x 2=−√2y 2=−√2 ， ∴ |AB|=√(2√2)2+(2√2)2=4 . 故答案为：C ．【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，直接解得焦点坐标，再计算两点间的距离即可得到答案。

2.已知动点 M 的坐标满足方程 5√x 2+y 2=|3x +4y −12| ，则动点 M 的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】 C【考点】圆锥曲线的轨迹问题【解析】【解答】设点 M(x,y) ，由 5√x 2+y 2=|3x +4y −12| 可得出 √x 2+y 2=√32+42，由题意可知，点 M 到原点的距离等于点 M 到直线 3x +4y −12=0 的距离， 由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹为抛物线. 故答案为：C.【分析】将题干中的等式变形为 √x 2+y 2=√32+42，利用距离的几何意义以及抛物线的定义可得出点M 的轨迹的形状.3.已知抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点为 F ，准线为l ，过点F 且斜率为 √3 的直线交抛物线于点 M ( M 在第一象限)， MN ⊥l ，垂足为 N ，直线 NF 交 y 轴于点 D ，若 |MD|=2√3 ，则抛物线的方程是（ ）A. y 2=xB. y 2=2xC. y 2=4xD. y 2=8x 【答案】 C【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】由题意如图，过点 F 且斜率为 √3 的直线交抛物线于点 M(M 在第一象限），可知，∠NMF=60°，MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，准线与x轴的交点为A，所以MN=FM，则三角形NMF是正三角形，因为O是AF的中点，AN//OD，所以D是NF的中点，所以MD⊥NF，∠DMF=30°，|MD|=2√3，所以|MF|=|MD|cos30°=4，则|MN|=4，由三角形NMF是正三角形可知F在MN上的射影是MN是中点，所以AF=BN=2，则F(1,0)，可得p=2，所以抛物线方程为：y2=4x．故答案为：C．【分析】画出图形，利用抛物线定义可判断三角形NMF是正三角形，结合已知条件求出MN，结合F 在MN上的射影是MN是中点，然后求解抛物线方程．4.双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0,b>0）的渐近线与圆x2+y2−2x+15=0相切，则双曲线C的离心率为（）A. √52B. √2 C. √5 D. √172【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程为bx−ay=0，圆的方程为x2+y2−2x+15=0，即(x−1)2+y2=45，圆心为(1,0)，半径为2√55，因为双曲线的渐近线与圆相切，得22=2√55，化简得b=2a，离心率e=√1+b2a=√1+4=√5.故答案为：C【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心坐标，利用圆心到直线的距离等于半径求解关系式，即可得到双曲线的离心率．5.如图，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|PF1|=4|QF2|，则直线PF2的斜率为（）A. -2B. -1C. −12D. 1【答案】A【考点】椭圆的定义，直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】如下图，连接PF1,QF1，设|QF2|=x(x>0)，则|PF1|=4x，因为|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，所以|PF2|=2a−4x，|QF1|=2a−x，在△PF1Q中，∠F1PF2=90°，所以|PF1|2+|PQ|2=|QF1|2，即(4x)2+(2a−4x+x)2=(2a−x)2，整理得a=3x，所以tan∠PF2F1=|PF1||PF2|=4x2a−4x=4x6x−4x=2，所以直线PF2的斜率为k=tan(180°−∠PF2F1)=−2.故答案为：A.【分析】连接PF1,QF1，设|QF2|=x(x>0)，则|PF1|=4x，根据椭圆的定义，可求得|PF2|= 2a−4x，|QF1|=2a−x，结合∠F1PF2=90°，可得|PF1|2+|PQ|2=|QF1|2，计算可得a= 3x，从而可求出tan∠PF2F1，由直线PF2的斜率为k=tan(180°−∠PF2F1)，可求出答案.6.已知平行于x 轴的一条直线与双曲线x 2a 2−y 2b 2 =1(a>0，b>0)相交于P ，Q 两点，|PQ|=4a ，∠PQO= π3 (O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )A. √62B. √52C. √6D. √5【答案】 D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】如图所示，∵P ，Q 两点关于y 轴对称，不妨设x P <x Q ， ∴x Q = 12 PQ=2a ，又∵Q 在双曲线上，∴(2a)2a 2−y 2b 2=0 ⇒ y= √3 b ，Q(2a ， √3 b)；又∵∠PQO= π3 ，∴△PQO 为等边三角形；即|OQ|=|PQ|= 4a∴根据两点间距离公式得 √(2a)2+(√3b)2 =4a ⇒ b 2=4a 2 ⇒ e= √5 。

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数学(理)培优点一函数的图象与性质01 培优点二函数零点06 培优点三含导函数的抽象函数的构造10 培优点四恒成立问题14 培优点五导数的应用18 培优点六三角函数23 培优点七解三角形29 培优点八平面向量33 培优点九线性规划36 培优点十等差、等比数列40培优点十一数列求通项公式43 培优点十二数列求和47 培优点十三三视图与体积、表面积51 培优点十四外接球56 培优点十五平行垂直关系的证明59 培优点十六利用空间向量求夹角67 培优点十七圆锥曲线的几何性质76 培优点十八离心率81 培优点十九圆锥曲线综合86 培优点二十几何概型932019届高三精准培优专练1．单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-(2)223y x x +-+=的单调递增区间为________．2．利用单调性求最值例2:函数y x =________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3:（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ,b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2)定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增,且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________． ４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增,则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点,且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数,则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ）培优点一 函数的图象与性质A ．404B ．804C ．806D ．402６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ) A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+ D ．()3f x +是奇函数７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-, 则()()20172019f f +的值为（ ） A ．1-B ．1C ．0D ．无法计算一、选择题 1．若函数()2f x x a=+的单调递增区间是[)3,+∞，则a 的值为( ）A ．2-B ．2C ．6-D ．62．已知函数()2log 1y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（ ） A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数 C ．偶函数,且在(0,1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称,且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()2b f =, ()3c f =,则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=,())114(f g -=+，则()1g 等于( ）A ．4B ．3C ．2D ．1对点增分集训36．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（ )7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数,且()12f =,则()()45f f +的值为（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．2-8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（ ）A ．()1e xf x +=B ．()1e xf x -=C ．()1e xf x -+=D ．()1e xf x --=9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（ ) A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()65f -．，1()f -,()0f 的大小关系是( ） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-<D ．()10()( 6.5)f f f -<<-11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =， 则()()20152016f f +=( ） A ．0B ．2C ．3D ．412．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =,则实数b 的取值范围为（ ） A ．[0,3]B ．(1,3)C ．22,22⎡-+⎣D ．()22,22+二、填空题13．设函数()100010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______．14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x xx f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-,对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=;②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-,则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．三、解答题17．已知函数()ln(2)a f x x x=+-,其中a 是大于0的常数． （1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值; (3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-,当10x -≤≤时，()f x x =-．(1)判定()f x 的奇偶性；(2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．1．零点的判断与证明例1:已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，培优点二 函数零点求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内, 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．ln 31,93e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 31,92e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-4．复合函数的零点例4:已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2一、选择题1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ）对点增分集训高三优质精准培优专练数学(理)(学生版)(word 版可编辑修改) A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．已知a 是函数()12log 2x x f x =-的零点，若00x a <<,则()0f x 的值满足( )A ．()00f x =B ．()00f x >C ．()00f x <D ．()0f x 的符号不确定3．函数2()2f x x a x=--的一个零点在区间()1,2内,则实数a 的取值范围是（ ) A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,24．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（ ） A ．(),a b 和(),b c 内 B ．(,)a -∞和(),a b 内 C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(,)a -∞和(),c +∞内5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()2201ln 0x x x xx f x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为( ）A ．3B ．2C ．7D ．07．已知函数()101x x xf x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是( ）A ．()1,2B ．(],2-∞-C ．()(),12,-∞+∞D ．(][),12,-∞+∞8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．已知函数()00ex x x f x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数m 的取值范围是（ ）A ．[)0,1B ．(1),-∞C ．(](),12,-∞+∞D ．(](),01,-∞+∞10．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数,若函数221()()y f x f x λ++=-只有一个零点，则实8数λ的值是（ ） A ．14B ．18C ．78-D ．38-11．已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,1][23,+)∞ B ．(]0,13[),+∞ C ．(0,2][23,+)∞D ．(0,2][3,+)∞12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题: （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 (2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 （3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 (4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根则正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．函数()052log ||x f x x -=-．的零点个数为________．14．设函数31y x =与2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ,若0,1()x n n ∈+，n ∈N ，则0x 所在的区间是______．15．函数()22026ln 0f x x x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．16．已知函数()23||f x x x =+，R x ∈，若方程()1|0|f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________． 三、解答题17．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．18．设函数()1()10f x x x=->．（1）作出函数()f x 的图象;（2）当0a b <<且()()f a f b =时，求11a b+的值；（3）若方程()f x m =有两个不相等的正根，求m 的取值范围．1．对于()()'0f x a a >≠,可构造()()h x f x ax =-例1:函数()f x 的定义域为R ,()12f -=，对任意R x ∈,()2f x '>，则()24f x x >+的解集为( ） A ．()1,1-B ．()1-+∞，C ．()1-∞-，D ．()-∞+∞，培优点三 含导函数的抽象函数的构造2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->,构造()()f x h x x=例2:已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立，()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =,则a ，b ，c 的大小关系是（ )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =;对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造()()ex f x h x =例3：已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ∀∈,均有()()f x f x '>，则有（ ） A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f > B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f < C ．2016e (2016)(0)f f ->,2016(2016)e (0)f f > D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f < 4．()f x 与sin x ,cos x 构造例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则（ ）A ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．()03f f π⎛⎫<2- ⎪⎝⎭C34f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一、选择题1．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <， 则必有( ）对点增分集训A ．()()af b bf a <B ．()()bf a af b <C ．()()af a bf b <D ．()()bf b af a <2．已知函数()()R f x x ∈满足()11f =，且()12f x '<,则()122x f x <+的解集为( ） A ．}{11x x |-<<B ．}{1x x |<-C ．}{11x x x |<->或D ．}{1x x |>3．已知函数()f x 的定义域为R ,()f x '为()f x 的导函数，且()()()10f x x f x '+->,则( ） A ．()10f =B ．()0f x <C ．()0f x >D ．()()10x f x -<4．设函数()f x '是函数()()R f x x ∈的导函数,已知()()f x f x '<,且()()4f x f x ''=-，()40f =,()21f =则使得()2e 0x f x -<成立的x 的取值范围是（ ）A ．()2-+∞，B ．()0+∞，C ．()1+∞，D ．()4+∞，5．已知函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()sin cos f x x f x x >'（其中()f x '是函数()f x 的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）A ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 3ππ42f ⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ223f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 5π3π64f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ',若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()2018f x +为奇函数，则不等式()2018e 0x f x +<的解集为( ) A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1e ,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1e,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数()2f x +是偶函数，且当2x >时满足()()()2xf x f x f x ''>+，则（ ） A ．()()214f f <B ．()3232f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()5042f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()()13f f <8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x =',当0x ≠时，()()0f x f x x+'>， 若1133a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()33b f =--,11ln ln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<9．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ',()()222e x f x f x --=（e 为自然对数的底数)， 且当1x ≠时，()()()10x f x f x -->⎡⎤⎣⎦'，则（ ) A ．()()10f f <B ．()()2e 0f f >C ．()()33e 0f f >D ．()()44e 0f f <10．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ,()00f =若对任意R x ∈，都有()()'1f x f x >+，则使得()e 1f x x +<成立的x 的取值范围为（ ） A ．(),1∞-B ．(),0∞-C ．()1,+∞-D ．0,+∞（）11．已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，满足()0f x >且()()'0f x f x +<（()'f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()()1f a a f b >+ B ．()()()1f b a f a >- C ．()()af a bf b >D ．()()af b bf a >12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，不等式()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =,21(2)ef =．则(1)f 的值为________．14．已知,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭π，()1y f x =-为奇函数，()()'tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为_________．15．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足()27f =，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为__________．16．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数,且()10f =．若0x <时，()()'0xf x f x ->， 则不等式()0f x >的解集为__________．1．参变分离法例1：已知函数()ln af x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________． 2．数形结合法例2:若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________． 3．最值分析法培优点四 恒成立问题例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立,求a 的取值范围___________．一、选择题1．已知函数()()2ln 1,03,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞B ．[]2,1-C ．[]0,3D ．[)3,+∞2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立,则实数m 的取值范围是（ ） A ．()3,11-B ．()3,11C ．[]3,11D ．[]2,73．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．()2,-+∞C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 4．已知对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2e xax >恒成立(其中e 2.71828=，是自然对数的底数），则实数a的取值范围是( ）A ．e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),2e -∞-D ．24,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．已知函数()2e x f x x =，当[]1,1x ∈-时,不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ )A ．1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)e,+∞D ．()e,+∞6．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--7．函数()2e 1xf x x=-+，若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立,则实数m 的范围是（ ） 对点增分集训A ．21e 5,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．1e,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是( )A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．若对于任意实数0x ≥，函数()e x f x ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e -∞B ．(],e -∞-C ．[)e,+∞D ．()e,-+∞10．已知函数()()()3f x a x a x a =-++，()22x g x =-，若对任意x ∈R ,总有()0f x <或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是( ） A ．(),4-∞-B ．()4,0-C ．[)4,0-D ．()4,-+∞11．已知函数()e xf x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞B ．(),e -∞C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．设函数()()e 31x f x x ax a =--+,其中1a <,若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤,则a 的取值范围是( ）A ．23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭ B ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,1e⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．设函数()f x x a =+,()1g x x =-,对于任意的x ∈R ，不等式()()f x g x ≥恒成立,则实数a 的取值范围是__________．14．函数()ln 1f x x x ax =-+，其中a ∈R ，若对任意正数x 都有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为____________．15．已知函数()21ln 22f x x ax x =--，若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．16．已知关于x 的不等式21log 02m mx x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-在[]1,2上恒成立，则实数m 的取值范围为___________． 三、解答题17．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R ， （1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若0x ∀>，()0f x ≥成立,求a 的取值范围．18．设函数()2e mx f x x mx =+-，（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意1x ，[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．培优点五导数的应用1．利用导数判断单调性例1:求函数()()32=+--的单调区间333e xf x x x x-2．函数的极值例2:求函数()e x f x x -=的极值．3．利用导数判断函数的最值例3：已知函数()()ln m f x x m x=-∈R 在区间[]1,e 上取得最小值4，则m =___________．一、单选题1．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．() 0,1 B ．() 0,+∞ C ．() 1,+∞D ．()() ,01,-∞+∞2．若1x =是函数()ln f x ax x =+的极值点，则（ ) A ．()f x 有极大值1-B ．()f x 有极小值1-对点增分集训C ．()f x 有极大值0D ．()f x 有极小值03．已知函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，且()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值，则实数a 的取值范围是( ） A ．2a >-B ．3a ≥-C ．32a -≤<-D ．32a -≤≤-4．函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（ ） A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数1ln sin 1x y x x -⎛⎫=+⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．6．函数()321213f x x ax x =+-+在()1,2x ∈内存在极值点,则( ) A ．1122a -<<B ．1122a -≤≤ C ．12a <-或12a >D ．12a ≤-或12a ≥7．已知()22f x ax x a =++，x ∈R ，若函数()()()322g x x a x f x =---在区间()1,3-上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-或3a >B ．1a ≤-或3a ≥C ．9a <-或3a >D ．9a ≤-或3a ≥8．函数()y f x =在定义域3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内可导，其图像如图所示．记()y f x =的导函数为()y f x ='，则不等式()0f x '≤的解集为（ )A ．[]1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．[)31,1,222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31144,,,323233⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦9．设函数()()1ln 03f x x x x =->，则()y f x =（ ）A ．在区间1,1e⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,e 内均有零点B ．在区间1,1e⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,e 内均无零点 C ．在区间1,1e⎛⎫⎪⎝⎭内有零点,在区间()1,e 内无零点D ．在区间1,1e⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间()1,e 内有零点10．若函数()()323321f x x ax a x =++++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．12a -<<B ．12a -≤≤C ．1a ≤-或2a ≥D ．1a <-或2a >11．已知函数()3223f x x ax bx c =+++的两个极值点分别在()1,0-与()0,1内，则2a b -的取值范围是( )A ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭12．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x '',若在区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()5421122012f x x mx x =--在区间()1,3上为“凹函数”,则实数m 的取值范围为（ ） A ．31,9⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,59⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],5-∞D ．(],3-∞-二、填空题13．函数()3222f x x x =-在区间[]1,2-上的最大值是___________．14．若函数()32334f x x ax x a =-+-在(),1-∞-，()2,+∞上都是单调增函数，则实数a 的取值集合是______．15．函数()()2ln 1f x x a x a =--∈R 在[]1,2内不存在极值点，则a 的取值范围是___________． 16．已知函数()e ln x f x a x =+， ①当1a =时,()f x 有最大值；②对于任意的0a >，函数()f x 是()0,+∞上的增函数; ③对于任意的0a <，函数()f x 一定存在最小值； ④对于任意的0a >，都有()0f x >．其中正确结论的序号是_________．(写出所有正确结论的序号） 三、解答题17．已知函数()()ln f x x ax a =-∈R（1）讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性； （2）证明：2e e ln 0x x ->恒成立．18．已知函数()()2e ,x f x a x bx a b =+-∈R ,其导函数为()'y f x =．（1)当2b =时，若函数()'y f x =在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围； （2)设0a ≠,点()(),,P m n m n ∈R 是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数()00x x m ≠使得()()000'2x m f x n f x m +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭成立？并证明你的结论．1．求三角函数值 例1：已知π3π044βα<<<<，π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π5sin 413β⎛⎫+=⎪⎝⎭,求()sin αβ+的值．2．三角函数的值域与最值例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．3．三角函数的性质例3：函数()2cos2f x x x +( ）A ．在ππ,36⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减 B ．在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增培优点六 三角函数C ．在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增一、单选题1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( ) A ．13-B ．79-C ．13D ．792．函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是( ）A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．15B ．14C ．13D ．124．关于函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，下列命题正确的是( ）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成()π3cos 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3π,14⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称 5．函数()2πππcos 2sin sin 555f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（ ） 对点增分集训高三优质精准培优专练数学(理)(学生版)(word 版可编辑修改)A ．1B ．πsin 5C ．π2sin 5D ．56．函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω,ϕ的值分别可以是（ ）A ．1，π3B ．1，2π3-C ．2,2π3D ．2,π3-7．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是（ ） A ．3B ．5C ．7D ．98．已知函数()cos sin f x x x =⋅,给出下列四个说法：2014π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭①②函数()f x 的周期为π； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称其中正确说法的序号是（ ) A ．②③B ．①③C ．①④D ．①③④9．已知0ω>,函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,则ω的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．同时具有性质：①()f x 最小正周期是π；②()f x 图象关于直线π3x =对称；③()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是（ ）A ．πsin 23xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．关于函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（ ）①函数()f x 的图像关于直线8π3x =对称； ②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位所得图像的函数为1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；③函数()f x 在区间π5π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④若()f x a =，则1πcos 233a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．A ．1B ．2C ．3D ．412．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，它的最小正周期为π，则函数()f x 图象的一个对称中心是（ ） A ．π,012⎛⎫-⎪⎝⎭B ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5π,012⎛⎫⎪⎝⎭D ．π,012⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_________．14．已知()0,πα∈，且3cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________________．15．函数()sin 2f x x x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为_________．16．关于()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝，有下列命题①由()()120f x f x ==可得12x x -是π的整数倍；②()y f x =的表达式可改写成π4cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()y f x =图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =图象关于π6x =-对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上）． 三、解答题17．已知()π2sin 2cos26f x x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()a ∈R ，其图象在π3x =取得最大值．（1）求函数()f x 的解析式；(2）当π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()65f α=，求sin2α值．18．已知函数()()2πsin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π． (1）求ω的值;（2）求函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ,c ,若c b =，60B =，则C =_____．2．恒等式背景例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ,C 的对边， 且有cos sin 0a C C b c --=．培优点七 解三角形（1）求A ;（2)若2a =,且ABC △b ,c ．一、单选题1．在ABC △中，1a =,6A π∠=,4B π∠=，则c =（ ） ABCD2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅等于( ） A ．19B ．19-C ．18D ．18-3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ,若2cos c a B =，则三角形一定是（ ) A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．ABC △的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，c 3b a =，则ABC △的面积为( ) ABCD对点增分集训5．在ABC △中,内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ，c ,若22a b bc -=，sin C B =，则A =（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．设ABC △的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ,c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且a =那么ABC △外接圆的半径为（ ） A ．1BC ．2D ．47．在ABC △中，角A ,B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是( ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ,c 且满足cos cos a B b A c -=,则ABC △是( ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．在ABC △中，内角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为( ）A ．8B ．16C ．32D ．6410．在ABC △中，a ，b ,c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=， 则A =（ ） A ．4πB ．3πC ．34π D ．23π 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC △是（ ） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,已知a =c =tan 21tan A cB b+=， 则C ∠=( ） A ．6π B ．4πC ．4π或34π D ．3π二、填空题13．在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ，c ，c =2216b a -=,则角C 的最大值为_____；14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ,b ，c 所对的角分别为A ，B ,C ，则sin cos B B +的取值范围是_________．15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠,所对的边分别是a ，b ，c ，若()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，且23a =，则ABC △面积的最大值是________16．在锐角ABC △中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ,B ，C 成等差数列,3b =，则ABC △面积的取值范围是__________． 三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ,B ，C 的对边,且3cos 2sin a A C+=．（1)求角A 的大小;(2）若5b c +=,且ABC △的面积为3，求a 的值．18．如图,在ABC △中，点D 在BC 边上,60ADC ∠=︒，27AB =，4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=，求AC 的长．1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a ,b ()⊥+a a b ,则b 在a 方向上的投影为（ ) A ．3 B ．3-C ．D 2．几何法例2：设a ,b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 3．建立直角坐标系例3:在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =,3CA CE =，则AD BE ⋅=__________．培优点八 平面向量B CADE一、单选题1．已知向量a，b满足1=a,2=b，且向量a，b的夹角为4π,若λ-a b与b垂直，则实数λ的值为( ）A．12-B．12C．24-D．242．已知向量a，b满足1=a，2=b,7+=a b,则⋅=a b（）A．1 B．2C．3D．23．如图，平行四边形ABCD中，2AB=，1AD=，60A∠=，点M在AB边上，且13AM AB=,则DM DB⋅=（）A．1-B．1 C．3-D．34．如图，在ABC△中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB=a,AC=b,则AO=( ）对点增分集训高三优质精准培优专练数学(理)(学生版)(word 版可编辑修改) A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b5．在梯形ABCD 中,AB CD ∥，1CD =,2AB BC ==，120BCD ∠=，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=，18DQ DC λ=，则AP BQ ⋅的最大值为（ ） A ．2-B ．32- C ．34D ．986．已知ABC △中，2AB =，4AC =,60BAC ∠=︒,P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅的范围是（ )A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]24-，7．已知非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4πB ．2πC ．34π D ．π8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅的最大值为（ ) A ．2-B ．0C ．2D ．9．设向量a ,b ,c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=a b c c ，则c 的最大值等于( )A ．1 BC D ．210．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为( ）A ．1,1⎡+⎣B ．2⎡-+⎣C ．D ．3⎡-+⎣11．平行四边形ABCD 中,AC ，BD 在AB 上投影的数量分别为3,1-，则BD 在BC 上的投影的取值范围是( ） A ．()1,-+∞B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,312．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ,()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 14．若向量a ，b 满足1=a ，2=b ()⊥+a a b ,则a 与b 的夹角为__________．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点,则求AE BD ⋅的最大值为________．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =,P 为线段AB 上一点，则PB PC +的取值范围为____．1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到例1：已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（ )A ．4B ．5C ．6D ．72．目标函数为二次式例2：若变量x ,y 满足120x x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最大值为（ ）培优点九 线性规划AB．7C．9D．10 3．目标函数为分式例3:设变量x，y满足约束条件22022010x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11ysx+=+的取值范围是（）A．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．[]1,2D．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．面积问题例4：若不等式组3434xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线4y kx=+分成面积相等的两部分，则k的值为（ )A．73B．37C．173-D．317-一、单选题1．若实数x,y满足10xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y=-的最大值为（ )A．2B．1 C．0 D．1-2．已知实数x，y满足线性约束条件3023004x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为（）A．94B．274C．9D．2723．已知实数x，y满足122022x yx yx y-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x ay=-只在点()43,处取得最大值，则a的取值范围是( ）对点增分集训高三优质精准培优专练数学(理)(学生版)(word 版可编辑修改)A ．()1-∞-,B ．()2-+∞,C ．()1-∞,D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,4．已知实数x ，y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5x z y -=的取值范围为( ） A ．2433⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B ．4233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,C ．3324⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭,,D ．3342⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭,,5．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =+的最大值是( ）A B ．4 C ．9 D ．106．已知点()12A ,，若动点()P x y ,的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（ )AB．1 C D7．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A ．12或1-B ．2或12C ．2或1D ．2或1-8．若x ，y 满足不等式组40240 4x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,则215y x ≤+成立的概率为（ ）A ．1556B ．1116C ．58D ．389．若x ,y 满足不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32z x y =-+的最小值为( ）A ．7B ．6C ．265D ．4高三优质精准培优专练数学(理)(学生版)(word 版可编辑修改)10．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若()M x y ,为D 上动点，点A的坐标为)．则z OM OA =⋅的最大值为（ ）A．B． C ．4 D ．311．若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域内存在点()00x y ,，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是（ )A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞12．已知圆()()22:1C x a y b -+-=,平面区域60:400x y x y y +-≤⎧⎪Ω-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切,则圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率的取值范围是（ ） A ．77,,35⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．77,,35⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．77,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．77,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．设x ,y 满足10302x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,则21z x y =++的最大值为____________． 14．若变量x ，y 满足约束条件210220x x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y =+的最小值为_________．15．已知实数x ，y 满足110x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22x y x ++的最小值为______．16．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过对本地养鱼场年利润率的调研,其结果是：年利润亏损10%的概率为02.，年利润获利30%的概率为0.4，年利润获利50%的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20%的可能性为0.1．为确保本地的鲜鱼供应,市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍．根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万．1．等差数列的性质例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列,若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______． 2．等比数列的性质例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A ．10B ．20C ．100D ．2003．等差、等比综合培优点十 等差、等比数列例3:设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=，若11a b =，1111a b =， 则有（ ） A ．66a b =B ．66a b >C ．66a b <D ．66a b >或66a b <一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤,长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．"意思是：“现有一根金锤，长5尺,头部1尺,重4斤，尾部1尺，重2斤,且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ） A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =,则7S =（ ） A ．66B ．68C ．77D ．843．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+,则λ的值为( ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=,则11S =（ ） A ．140B ．70C ．154D ．775．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列,且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或126．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，212a -，3a 成等差数列，若11a =，则4S =（ ） A ．5-B ．0C ．5D ．77．等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( ）对点增分集训。

高三数学文科圆锥曲线大题训练1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系. 1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C的离心率2c e a ==............4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0∆>. ..............5分设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y ,则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+......................7分 因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥,因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k++++===---+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即218k =,所以4k =±,....................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分2．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率e =F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点． （1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.2．解：（1）由已知，椭圆方程可设为()222210x y a b a b+=>>． --------1分∵长轴长为离心率2e =，∴1,b c a === 所求椭圆方程为2212x y +=． ----------- 4分 （2）因为直线l 过椭圆右焦点()1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =-．设()()1122,,,P x y Q x y ，由 2222,1,x y y x ⎧+=⎨=-⎩ 得 23210y y +-=，解得 1211,3y y =-=．∴ 1212112223POQ S OF y y y y ∆=⋅-=-=． --------------9分（3）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x =，此时POQ ∠小于90，,OP OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由 ()2222,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()2222124220k x k x k +-+-=．∴22121222422,1212k k x x x x k k-+==++．11(1)y k x =-，22(1)y k x =-212212k y y k -∴=+因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQ ⇔⋅=uu u r uuu r .由221212222201212k k OP OQ x x y y k k--⋅=+=+=++uu u r uuu r 得22k =，k ∴=.∴所求直线的方程为1)y x =-． ----------------14分3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A -，离心率为3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程． 3. 解：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴上，因为2a =，3c a =，所以 c =22243b ac =-=． 所以 椭圆的方程为223144x y +=． …………4分 （2）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为0，设l 的斜率为k ，则可设直线l 的方程为(2)y k x =+， 则原点O 到直线l 的距离为d =．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 2234y kx x y =⎧⎨+=⎩ 消y 得22(31)4k x +=． 可得P ，(Q ．因为 以PQ 为直径的圆与直线l 相切，所以1||2PQ d =，即||OP d =． 所以 222+=， 解得 1k =±．所以直线l 的方程为20x y -+=或20x y ++=． ………14分4．的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．4．解：（1）由已知得e =，则12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=>由题意可知点(2,1)P 在椭圆上， 所以224114b b+=．解得22b =． 故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分 （2）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0． 因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1). 依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立. 即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-. 因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+．所以2288214A k k x k--=+． 当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切. 由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--．同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k ----+-==+-+．由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠，且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则 112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++21614k k =+ 由于12k >，故216161144k S k k k==++. 当12k >时，144k k +>，即110144k k<<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t=+在1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t -'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增. 则当12t >时，()(4,)f t ∈+∞，即S ∈()0,4.) 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是()0,4. ………14分5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当A M A N =时，求m 的取值范围.5．解: （1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，………….2分则右焦点F的坐标为)，3=，解得23a =，故所求椭圆的标准方程为2213x y +=. ………………………….5分6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0+=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线. （1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.6．（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , ……1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =.……2分∴ 2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =-，(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分即 11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或P ,此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.1=-(1x ≠，① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分 ∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-,代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.若点(1)P -或1)P , 此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或2⎛⎫⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法1：点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =分x ==………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =∴S =≤==. ……12分当且仅当2x =时, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩………………………13分∴△ABQ, 此时,点Q的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 解法2：由于AB ==故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大． (10)分 设与直线AB 平行的直线为0x m ++=， 由220,25,x m x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得225250y c ++-=， 由()223220250m m ∆=--=，解得2m =±． (11)分 若m =2y =-，x =；若m =2y =，x =． …12分故当点Q 的坐标为22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为122S AB ==． ………………………14分 7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．7．【解析】： （1）解：F （1，0），|AF|=a+c ，|BF|=a ﹣c ．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项． ∴，解得a=2，c=1，∴b 2=a 2﹣c 2=3． ∴椭圆C 的方程为=1．（2）证明：直线l 的方程为：x=﹣2，直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k≠0），联立，化为（3+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2﹣12=0，∴，∴x P =，∴y P =k （x P +2）=，∵QF ⊥AP ，∴k PF =﹣． 直线QF 的方程为：y=﹣，把x=﹣2代入上述方程可得y Q =， ∴Q．∴k PQ ==，k BQ =．∴k PQ =k BQ ，∴B ，P ，Q 三点共线．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，且经过点()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．8．解析：（1）解：∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1，∴ 21b =.∵222c a b c a ==+， ∴24a =． ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ……………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解．由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． …………6分 从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．①………7分()228414214M km kmx k k =-=-++，22241414M M k m m y kx m m k k =+=-+=++. ……9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. ……………10分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，∴OMk k ⨯=2211414414m k k km k +⨯=-≠--+. …………11分 ∴ OM 与AB 不垂直. ……12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ………13分 ∴AM BM +=0不成立. ………14分解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解．由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． ………6分 从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．① ………7分()228414214M km kmx k k =-=-++， ………………8分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,得()2221250k x kmx m +++-=.…………9分 ∴ 12221N x x kmx k+==-+. …………10分 若N M x x =,得224114km kmk k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. …………13分 ∴ AM BM +=0不成立. ………14分9．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值． 9．【解析】（1）由题可知(,0)2p F ，则该直线方程为：2py x =-，………1分 代入22(0)y px p =>得：22304p x px -+=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有123x x p +=…3分∵8MN =，∴128x x p ++=，即38p p +=，解得p =2∴抛物线的方程为：24y x =．………5分 （2）设l 方程为y x b =+，代入24y x =，得22(24)0x b x b +-+=，因为l 为抛物线C 的切线，∴0∆=，解得1b =，∴:l 1y x =+ ………7分 由（1）可知：126x x +=，121x x =设(,1)P m m +，则1122(,(1)),(,(1))PM x m y m PN x m y m =--+=--+所以1212()()[(1)][(1)]PM PN x m x m y m y m ⋅=--+-+-+2212121212()(1)()(1)x x m x x m y y m y y m =-+++-++++126x x +=，121x x =，21212()1616y y x x ==，124y y =-， 2212124()y y x x -=-，∴12121244x x y y y y -+==-221644(1)(1)PM PN m m m m ⋅=-+--+++ ………10分222[43]2[(2)7]14m m m =--=--≥-当且仅当2m =时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN ⋅的最小值为14-．………12分 10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标. 10．解析：（1）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得=， （2分）化简得24x y =. （2分） （2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，由24x y y kx bìï=ïíï=+ïî消去y 得2440x kx b --=设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x bì+=ïïíï=-ïî，且21616k b D =+ （2分）以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即2111124y x x x =- 同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，12x x ¹Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïíïï==-ïïïî，即(2,)A k b - 则：220k b +-=，即22b k =- （2分） 代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>12||||PQ x x \=-=(2,)A k b -到直线PQ的距离为d =（2分）3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+\当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分） 解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y = 上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即1112y x x y =- 同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =- （2分） 设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010101011212y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî，\点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：0012y x x y =- （2分）代入抛物线方程24x y =消去y 可得：200240x x x y -+=00(,)A x y 到直线PQ的距离为d = （2分）33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+所以当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ． （1）求a 的值；（2）若S T =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．11．（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……1分 第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==， 由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x xx x x x x x kk---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x kk++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ………3分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242kk k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ………5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …………7分∵ST =，∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±. ……8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …… 9分（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点， 则0SP TP ⋅=， ………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， …11分整理得，()224410x x y k+-++=. …12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. …14分12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，（1）求椭圆C 的方程；（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.12．【解】(I)设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=2222222b a c e c b a ，解得：1,2===c b a因此：椭圆C 的方程为1222=+y x (II)（1）当B A ,两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为m x =，由题意可得：)2,0()0,2( -∈m将x m =代入椭圆方程1222=+y x ，得22||2m y -= 所以：4622||2=-=∆m m S AOB ，解得：232=m 或212=m ① 又)0,()0,2(21)(21mt m t OB OA t OE t OP ==+==因为P 为椭圆C 上一点，所以12)(2=mt ② 由①②得：42=t 或342=t ，又知0>t ，于是2=t 或332=t （2）当B A ,两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为h kx y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+h kx y y x 1222得：0124)21(222=-+++h khx x k 设),(),,(2211y x B y x A ，由判别式0>∆可得：2221h k >+此时：2212122212212122)(,2122,214k hh x x k y y k h x x k kh x x +=++=++-=+-=+， 所以222221221221211224)(1||k h k kx x x x kAB +-++=-++=因为点O 到直线AB 的距离21||kh d +=所以：222221||212112221||21kh k h k k d AB S AOB+⨯+-+⨯+⨯⨯==∆ 46||21212222=+-+=h k h k ③令221k n +=，代入③整理得：016163422=+-h n h n解得：24h n =或234h n =，即：22421h k =+或223421h k =+④又)21,212(),(21)(21222121k htk kht y y x x t t t ++-=++=+==因为P 为椭圆C 上一点，所以1])21()212(21[22222=+++-kh k kh t ，即121222=+t k h ⑤ 将④代入⑤得：42=t 或342=t ，又知0>t ，于是2=t 或332=t ，经检验，符合题意综上所述：2=t 或332=t13．已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。

2021年高考数学一轮复习圆锥曲线章节专项测试文一．基础题组1.【广东省华附、省实、广雅、深中xx届高三上学期期中联考】与双曲线过一、三象限的渐近线平行且距离为的直线方程为 .2.【广东省揭阳市xx届高三学业水平考试】若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A. B. C. D.二．能力题组1.【广东省佛山市xx届高三教学质量检测一】已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．三．拔高题组1.【广东省佛山市xx届高三教学质量检测一】如图所示,已知椭圆的两个焦点分别为、,且到直线的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 若圆的圆心为(),且经过、,是椭圆上的动点且在圆外,过作圆的切线,切点为,当的最大值为时,求的值.试题解析：(Ⅰ)设椭圆的方程为(),依题意,,所以，又,. .xyF1 F2O图72.【广东省华附、省实、广雅、深中xx届高三上学期期末联考】已知椭圆：的离心率为且与双曲线：有共同焦点.（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆落在第一象限的图像上任取一点作的切线，求与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；（3）设椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆上的一点作轴的垂线交轴于点，若点满足，，连结交于点，求证：.（2）设直线的方程为：，代入椭圆方程中，消去y，得到关于x的一元二次方程，其判别式等于零，可得,在求出直线l与坐标轴的交点，写出围成的三角形的面积，再把代入，即可最的最小值.与坐标轴围成的三角形的面积⑤，④代入⑤可得：（当且仅当时取等号）（3）由（1）得，设，，可设，3.【广东省广州市xx届高三年级调研测试】在圆上任取一点，设点在轴上的正投影为点．当点在圆上运动时，动点满足，动点形成的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点，若、是曲线上的两个动点，且满足，求的取值范围.（2）解：因为，所以．所以．设点，则，即． 所以()222222211111111334212112244433x EA BA EA x y x x x x x ⎛⎫⋅==-+=-++-=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为点在曲线上，所以． 所以．所以的取值范围为.考点：1.相关点法求轨迹方程；2.平面向量的数量积；3.二次函数的最值 4.【广东省揭阳市xx 届高三学业水平考试】如图（6），已知是椭圆的右焦点；圆 与轴交于两点，其中是椭圆的左焦点. （1）求椭圆的离心率；（2）设圆与轴的正半轴的交点为，点是点关于轴的对称点，试判断直线与圆的位置关系； （3）设直线与圆交于另一点，若的面积为，求椭圆的标准方程.图（6）y xBOEFD，直线与圆相切；（3）是的中线，22343BDG BFD S S DF OB c c ∆∆∴==⋅== ，从而得，，椭圆的标准方程为.Gy xBOAEFD考点：1.椭圆的离心率；2.直线与圆的位置关系；3.椭圆的方程5.【广东省珠海市xx 学年第一学期期末学生学业质量监测】已知椭圆的左、右焦点分别为、，为原点.（1）如图1，点为椭圆上的一点，是的中点，且，求点到轴的距离；（2）如图2，直线与椭圆相交于、两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围．【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）先设点的坐标，并利用点的坐标来表示点的坐标，利用以及点在（2）设，，， 四边形是平行四边形图1OyxN M F 2F 1（第21题图）线段的中点即为线段的中点，即，，整理得代入④式得，又，或，的取值范围是.考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.韦达定理38729 9749 靉> ,X 29437 72FD 狽^21931 55AB 喫eH36666 8F3A 輺y35242 89AA 親33540 8304 茄。

一．基础题组1. 【湖南省长沙市长郡中学2017届高三入学考试数学（文）试题】已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，若PF x ⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．21+B ．2C ．21-D ．31+ 【答案】A考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质.2. 【湖南省长沙市长郡中学2017届高三入学考试数学（文）试题】抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = . 【答案】3【解析】考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.3. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）（开学考试）数学（文）试题】已知中心在原点且关于坐标轴对称的双曲线M 3且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线M 的方程不可能是（ ）A ．22124x y -= B ．22124y x -= C ．2224x y -= D ．22142x y -= 【答案】D考点：双曲线的性质．4. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）（开学考试）数学（文）试题】抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ,焦点为点F ,点P 是抛物线C 上的任意一点, 令PA t PF=,则t 的最大值为（ ）A ．1B 2C ．2D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：过点P 作PQ 与准线垂直，垂足为Q ，则||||11||||cos cos PA PA t PF PQ APQ PAF====∠∠,当t 取得最大值时，PAF ∠必须取得最大值，此时直线AP 与抛物线相切，设切线方程为(1)y k x =+与24y x =联立，消去x,得2440ky y k -+=,所以216160,k ∆=-=所以1k =±，从而PA 的斜率为1±,此时45PAF ∠=,所以max 12cos 45t ==.考点：抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系．5. 【山西省长治二中、忻州一中、 临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三上学期第一次联考数学（文）试题】已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，定点)2,0(-A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛物线C 的准线交于点N ，则FN MN :的值是（ ） A ．5:)25(- B ．5:2 C ．52:1D 5(15)【答案】D考点：直线与抛物线位置关系6. 【山西省长治二中、忻州一中、 临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三上学期第一次联考数学（文）试题】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，等边三角形21F PF 与双曲线交于N M ,两点，若N M ,分别为线段21,PF PF 的中点，则该双曲线的离心率为 ．3+1 【解析】试题分析：由题意得1221c,32(31)3131c MF MF c a MF MF c a ==⇒=-=⇒==-，所以双曲线3+1 考点：双曲线定义【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.7. 【广东省珠海市2017届高三9月摸底考试数学（文）试题】抛物线24y x =-的焦点坐标是 A.（0，18-） B.（10,16-） C.（1,0-） D.（1,016-） 【答案】B 【解析】考点：1、抛物线定义及其标准方程.8. 【广东省珠海市2017届高三9月摸底考试数学（文）试题】已知双曲线C 的离心率为52，左、右焦点为12,F F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=__________. 【答案】1316考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质；3、余弦定理在解三角形中的应用.【思路点睛】本题主要考查了双曲线的定义、双曲线的简单几何性质与余弦定理在解三角形中的应用，属中档题.其解题的一般思路为：首先运用双曲线的定义可求出||1A F 的值，然后结合已知条件可得||21F F 的值，再在21F AF ∆中应用余弦定理即可得出所求的结果.其解题的关键是正确地运用余弦定理在焦点三角形中的应用.9. 【河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试（一）数学（文）试题】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为R ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的 垂线，垂足为Q .若QRF ∆的面积为2，则点P 的坐标为（ ） A ．（1,2）或（1，-2） B ．（1,4）或（1，-4） C ．（1,2） D ．（1,4） 【答案】A 【解析】试题分析：依题意()1,0R -，设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,Q t -，面积为2112,224t t t ⎛⎫+==± ⎪⎝⎭，故选A.考点：直线与圆锥曲线位置关系．10.【四川省成都市2017届高中毕业班摸底测试数学（文）试题】对抛物线212x y =，下列判断正确的是（ ）A ．焦点坐标是(3,0)B ．焦点坐标是(0,3)- 【答案】C考点：抛物线的方程及性质.11. 【四川省成都市2017届高中毕业班摸底测试数学（文）试题】已知O 为坐标原点，M 是双曲线22:4C x y -=上的任意一点，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN •的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．5 【答案】B 【解析】考点：1、双曲线的性质；2、点到直线的距离公式.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题先利用点到直线距离公式及勾股定理求出,OM MN ，再利用224x y -=解问题的.12. 【山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期第一次月考（开学考）数学（文）试题】已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P使2112sin sin PF F e PF F ∠=∠，则221F P F F ⋅的值为（ ）A ．3B ．2C ．3-D ．2-【答案】B考点：1、双曲线的定义及正弦定理、余弦定理；2、平面向量的数量积公式.13. 【北京市2017届高三入学定位考试数学（文）试题】已知双曲线22221x ya b-=的离心率为2，此双曲线的一个焦点坐标为（4,0），则a=______；b=________.【答案】223【解析】考点：双曲线的性质.14. 【湖北省襄阳市第四中学2017届高三七月第二周周考数学（文）试题】平面直角坐标系中，点P、Q 是方程表示的曲线C上不同两点，且以PQ为直径的圆过坐标原点O，则O到直线PQ的距离为（）A．2 B．65C．3 D．125【答案】D考点：椭圆的标准方程和参数方程．15. 【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试数学（文）试题】双曲线M ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴的两个端点为A 、B ，点P 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，若动点Q 满足,QA PA QB PB ⊥⊥,则动点Q 的轨迹为（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ） 双曲线 （D ）抛物线 【答案】C二．能力题组1. 【湖南省长沙市长郡中学2017届高三入学考试数学（文）试题】（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点(0,3).（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点,A B 除外），设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若1234k k =，证明：,,A P Q 三点共线. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）见解析.（2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以221111612x y +=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -•==--. 又因为1234k k =，所以21PA k k •=-.（a ） 由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径， 所以QA QB ⊥，所以21QA k k •=-（b ）由（a ）（b ）可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ， 所以,,A P Q 三点共线.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.2. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）（开学考试）数学（文）试题】（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y E a b +=的离心率为12,点12,F F 是椭圆E 的左、右焦点, 过定点()0,2Q 的动直线l 与椭圆E 交于,A B 两点, 当1,,F A B 共线时,2F AB ∆ 的周长为8.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设弦AB 的中点为D ,点()0,E t 在y 轴上, 且满足DE AB ⊥,试求t 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）1(,0)2-.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 即为y 轴，此时直线AB 与直线DE 重合，即DE AB ⊥不成立.(5分)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，代入22143x y +=,消去y ，得22(34)1640,k x kx +++=由22(16)16(34)0,k k ∆=-+>得1||,2k >（6分） 设1122(,),(,)A x y B x y ,D 00(,)x y ， 则121222164,4343k x x x x k k +=-=++.(7分） 121200(),222x x k x x x y ++==+，故1212()(,2)22x x k x x ED t ++=+-， 2121(,()),AB x x k x x =--展开化简得212(1)()420,k x x k kt +++-=（10分）将1221643k x x k +=-+代入，化简得2243t k =-+,又 1||,2k >所以221(,0)432t k =-∈-+.综上所述t 的取值范围为1(,0)2-. (12分) 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题．3. 【山西省长治二中、忻州一中、 临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三上学期第一次联考数学（文）试题】（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，且过点(2,1)P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12,A A 分别是椭圆的左、右顶点，动点M 满足212MA A A ⊥，且1MA 交椭圆C 于不同于1A 的点R ，求证：OR OM ⋅为定值．【答案】（1）22142x y +=（2）4OR OM ⋅=考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.4. 【广东省珠海市2017届高三9月摸底考试数学（文）试题】(本题满分12分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>6椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为23． ⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值． 【答案】（1）221553x y += ；（2）49.【解析】（2）将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>，2122631k x x k +=-+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++4222316549319k k k k ---=+++49=考点：（1）椭圆的定义及性质；（2）直线与椭圆的位置关系及定值问题中的运算能力.的圆与直线01cos sin =-+θθy x 相切（θ为常数）. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若椭圆C 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 作直线l 与椭圆分别交于两点N M 、，求N F M F 11⋅ 的取值范围.【答案】（1）1222=+y x ；（2）7[1,]2-.考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及到向量，就用点的坐标来表示. 6. 【天津市耀华中学2017届高三上学期开学考试（暑假验收考试）数学（文）试题】已知过抛物线22y px =（0p >）的焦点，斜率为2211(,)A x y ，22(,)B x y （12x x <）两点，且||9AB =． （1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+，求λ的值． 【答案】（1）28y x =；（2）0λ=或2λ=.（2）由4p =，方程22450x px p -+=，化为2540x x -+=． 解得11x =，24x =，122y =-，242y = 所以(1,2)A -，(4,2)B ．则(1,22)(4,42)(14,2242)OC OA OB λλλλ=+=-+=+-．因为C 为抛物线上一点，所以2(242)8(14)λλ-=+，整理得220λλ-=，所以0λ=或2λ=．7.【河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试（一）数学（文）试题】（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，求OAD ∆与OAC ∆的 面积之差的绝对值的最大值.（O 为坐标原点）【答案】（I ）22143x y +=；（II ）32.（Ⅱ）解法一：设OAD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S .当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =-，此时不妨设3(1,)2D -，3(1,)2C --，且OAD ∆，OAC ∆面积相等，12||0S S -=.………………………………………………………………………………………（6分） 当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，和椭圆方程联立得221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=.………………………（7分） 显然0∆>，方程有根，且2122834k x x k+=-+.……………………………………………………………（8分）考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想.长轴长是2a ，焦点和短轴端点构成等边三角形，这个已知条件我们需要用到等边三角形的几何性质来做，也就是角度为6π，并且2a c =，第一问就可以求出来了.第二问要先讨论斜率是否存在.8. 【四川省成都市2017届高中毕业班摸底测试数学（文）试题】（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，离心率22.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 在y 轴正半轴上的顶点为P ，若直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，椭圆C 的左焦点1F恰为PAB ∆的垂心（即PAB ∆三条高所在直线的交点），求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）43y x =--.（2）易知P 为(0,1).∵椭圆C 的左焦点1(1,0)F -恰为PAB ∆的垂心，∴1PF AB ⊥, 同理，1BF PA ⊥.设直线1,PF AB 的斜率分别是1,PF AB k k ，则11PF AB k k •=-. ∵11PF k =，∴1AB k =-.设直线l 的方程为y x m =-+，点,A B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y .联立2222y x m x y =-+⎧⎨+=⎩消去y ，可得2234220x mx m -+-=.【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系、韦达定理及数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b+=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.本题（1）就是先求出a c 、，进而得到椭圆方程的.9. 【山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期第一次月考（开学考）数学（文）试题】已知椭圆C 的离心率为32，过上顶点和左焦点的直线的倾斜角为6π，直线过点(1,0)E -且与 椭圆C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的椭圆方程；（2）△AOB 的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）3.（2）因为直线过点(1,0)E -，所以可设直线的方程为1x my =-或0y =（舍）．由条件得221,41,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得22(4)230m y my +--=，22(2)12(4)0m m ∆=-++>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中12y y >． 解得12224m y y m +=+，12234y y m -=+， 则22123||4m y y m +-=+，则211||||2AOB S OE y y ∆=-22222321+433m m m m +==++，设23t m =+1()g t t t=+，3t ≥，则()g t 在区间)3,⎡+∞⎣上为增函数，所以3()3g t ≥． 所以3AOB S ∆≤0m =时等号成立，即max 3()AOB S ∆=．所以存在△AOB 面积的最大值．AOB S ∆的最大值为32． 考点：1、待定系数法求椭圆方程；2、韦达定理、弦长公式、三角形面积公式、基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，函数单调性法求三角形面积最值的.10. 【北京市2017届高三入学定位考试数学（文）试题】（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，右焦点(1,0)F ，,M N 是椭圆上关于x 轴对称的两 点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知(2,0)Q ，若MF 与QN 相交于点P ，证明：点P 在椭圆C 上.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）证明见解析.考点：（1）椭圆的标准方程；（2）整体代入思想.11. 【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试数学（文）试题】（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 上的点到两个焦点的距离之和为32， 短轴长为21，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点。