【高考数学培优专题】第38讲 圆锥曲线离心率综合问题

圆锥曲线离心率问题解题技巧梳理一．焦点三角形中的离心率 1.椭圆（1）椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为α、β，则sin()sin sine(正弦定理)。

12122sin sin()2sin sin sin sin F F c c e a a PF PF θαβαβαβ+=====+++222121212212121221212221212212212(2)2cos =()22cos =()2(1cos ) ()2()(1cos )21=()[1(1cos )]21=()(F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF θθθθθ=+-+--+-++≥+-++-++12222222cos )==2111144(cos )cos (12sin )sin 222222sin2PF PF P c c a a e θθθθθθ-∴≥-≥-=--=∴≥（当且仅当取，即在短轴端点处）即2.双曲线：利用焦点三角形两底角,αβ来表示:sin()sin sine。

12122sin sin()2sin sin sin sin +=====---F F c c e a a PF PF θαβαβαβ二．双曲线的渐进线与离心率关系 直线与双曲线相交时，两个交点的位置（1）两个交点在双曲线的两支：b k e a >⇔=（2）两个交点在双曲线的同一支:b k e a <⇔=（3）两个交点在双曲线的左支:12120x x 0x x 0>⎧⎪⎪+<⎨⎪>⎪⎩（4）两个交点在双曲线的右支:12120x x 0x x 0>⎧⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩三．焦点弦与离心率关系BF AF λ=，则有11cos +-=λλθe (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。

技巧1 焦点三角形中的离心率【例1】(1)．已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x轴垂直，12tan FMF ∠=E 的离心率为（ ） A ．B ．2CD（2）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若在椭圆E 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆E 的离心率的取值范围为（ ）A．⎫⎪⎪⎣⎭B．⎛ ⎝⎭C．⎫⎪⎪⎣⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【举一反三】1．已知点P 在以12,F F 为左，右焦点的椭圆()2222:102x y C b b b +=>上，在12PF F △中，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，则()sin sin sin αβαβ+=+（ ）A ．12B ．2C ．2D2．已知点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，若12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）A B ．13C ．23D ．123．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，P 是圆上一动点，则12cos F PF ∠的最小值是（ ）A ．13-B ．3-C ．1-D ．0技巧2 点差法中的离心率【例2】（1）过点()1,2M 作直线16y x m =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则该椭圆的离心率是（ ）A ．23B C ．1112D （2）已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为()A ．3B ．3C ．23D ．3【举一反三】1．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BCD ．32．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.A ．1(0)2， B ．(0)2， C ．1(22，D ．1)23．若1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A 1B ．3C 1D ．2技巧3 渐近线与离心率【例3】已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞ 【举一反三】1．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与直线y x =无公共点，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．(]1,2D ．()1,22．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过原点O C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A 1 C ．2D ．2技巧4 焦点弦与离心率【例4】已知椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =，则椭圆的离心率=（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3【举一反三】1．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 2．已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B ．2C 或．2或3．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43BC D ．2巩固练习1．已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB的中点，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．32D 2．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞3．已知1F ，2F 分别是椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 是此椭圆上一点，若为12F PF △直角三角形，则这样的点P 有（ ）. A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个4．已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x y a b a b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C 上存在点P 使12F PF ∠为钝角, 则椭圆C 的离心率的取值范围是A ．2⎛⎫⎪⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知椭圆 22221(0)x y a b a b +=>> ，点M,N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使1(,0)2MH NH k k ∈- ,则离心率e 的取值范围为A ．B ．(0,2C ．D ．6．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若F ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12 B C －1 7．已知椭圆（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2．P 是椭圆上一点．PF 1F 2为以F 2P 为底边的等腰三角形，当60°<PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（0）8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为,A B ，P 是椭圆上异于,A B 的一点，若直线PA的斜率PA k 与直线PB 的斜率PB k 乘积14PA PB k k =-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．29．）已知双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，直线)y x c =+与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D 111．若A 、B 为椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)长轴的两个端点，垂直于x 轴的直线与椭圆交于点M 、N ，且14AM BN k k ⋅=，则椭圆C 的离心率为______ 12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作倾斜角60°的直线l 交C 于A ，B 两点（A 在第一象限），则AF BF=________.13．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得122PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是____.14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线2AF 交椭圆于另一点P ，若1PF PA =，则椭圆的离心率为15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若12(0,)3PF F π∠∈，则该椭圆的离心率的取值范围是16．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为17．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -，过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12//l l ，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为18．已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为。

离心率问题1.椭圆离心率)(,112222222c b a a b a c a ce =-<-===2.双曲线离心率)(,112222222c b a ab ac ace =+>+===3.常用二级结论：设圆锥曲线C 的焦点F 在x 轴上，过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，若0)(B F F A >=λλ ，则|11|12+-+=λλk e ，设直线倾斜角为θ，则有|11||cos |+-=λλθe .特别地，对于抛物线有|11||cos |+-=λλθ 经典举例例1：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆上一点，线段AF 1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若B F 3B A 2=，则椭圆C 的离心率为（）A ．31B ．33C ．32D ．36解：如上左图，B F 3B A 2 =得A 、F 2、B 共线，B F 3B F F A 222=+得B F 2F A 22 =，设BF 2=m ，则AF 2=2m ,，AB=3m ,故BF 1=3m ,BF 1+BF 2=4m ，得AF 1=2m ，AF 1=AF 2,故A 为上顶点或下顶点.如上右图，作BD ⊥x 轴得BD=2b，DF 2=2c 即B(2,23bc -)，代入椭圆方程得33=a c ，选B点评：画出草图，利用向量关系、垂直平分线、椭圆的性质得到点A 处于特殊位置，利用相似得到点B 坐标，进而得到离心率.例2：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心，当IG ⊥x 轴时，椭圆的离心率为（）A ．31B ．21C ．23D ．36解：设P(x 0,y 0)，重心G(3,300y x )，同时021212212)(y c r F F PF PF ⋅⋅=++得c a cy r +=0得I(ca cy x +00,3)，在PDI 中，PD 2+DI 2=PI 2，即有200200202)()31()()(c a cy y x x c a cy c a +-+-=++-得1)(49220220=+-b y c a x 又1220220=+b y a x 得22)(49c a a -=得31=a c ，故选A 点评：明显此题对同学们的基本功底有一定的要求，例如重心坐标公式、三角形内切圆半径的求解.例3：已知椭圆C 1：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线C 2：)00(122222222>>=-b a b y a x ，有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线在第一象限的交点，且21F F 在P F 1 上的投影等于|P F 1|，e 1，e 2分别是椭圆C 1和双曲线C 2的离心率，则9e 12+e 22的最小值是（）A ．4B ．6C ．8D ．16解：21F F 在P F 1 上的投影等于|P F 1 |，可知PF 1⊥PF 2于是2212221F F PF PF =+即有222214PF PF c =+，同时2211212,2PF PF a PF PF a =-=+两边同时平方得,4PF PF 2PF PF ,4PF PF 2PF PF 2221222121212221a a =⋅-+=⋅++两式相加得2112221=+e e ，于是8)9210(21910(2111)(9(2192221212222212122222122212221=⋅+≥++=++=+e e e e e e e e e e e e e e ，当且仅当222121229e e e e =即123e e =时成立，故选C例4：已知F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，以原点为圆心，|OF 1|为半径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若PF 1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A ．),5(+∞B ．)5,1(C ．),15(+∞D ．)15,1(解：如图，设双曲线方程为12222=-b y a x ，圆的方程为222c y x =+，联立得P(cb c c b a 222,+-),PF 1与双曲线右支有交点，则a b k PF <1,即有a b ccc b a c b <++-222，整理可得2>a b ，故5>e ，选A. 精选好题1．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点，△PF 1F 2是以F 1P为底边的等腰三角形，且32312ππ<∠<F PF 则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．（1，2）B ．)213,1(+C ．)2213(，+D ．)213(∞++2．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若3AB >，则双曲线的离心率取值范围是（）A ．332,1(B ．31(，C ．),3[+∞D ．),332[+∞3．设O 为坐标原点，F 1，F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点，l 1，l 2为双曲线的两条渐近线，F 1A 垂直l 1于A ，F 1A 的延长线交l 2于B ，若|OA |+|OB |＝2|AB |，则双曲线的离心率为（）A ．6B ．5C ．26D ．254．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F 1P ＞F 2P ，线段F 1P 的垂直平分线过F 2.若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2221e e +的最小值为（）A ．6B ．3C ．6D ．35．已知双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，若以OF （O 为坐标原点）为直径的圆被双曲线C 的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C 的虚轴长，则双曲线C 的离心率为（）A ．25B ．2C ．45D ．26．已知F 1、F 2分别是双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 1向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P ，直线F 2P 与y 轴交于点Q （P ，Q 在轴同侧），连接QF 1，若△PQF 1的内切圆圆心恰好落在以F 1F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A ．3B ．2C ．5D ．27．已知双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），过点F 1的直线l （斜率存在）交双曲线C 的渐近线于A ，B 两点，若|F 2A |＝|F 2B |，2F BF F AF 58S S 2121c =+∆∆＝（2121F BF F AF S S ∆∆、表示△AF 1F 2，△BF 1F 2的面积），则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．26C ．5D ．3158．已知双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），若双曲线不存在以点（2a ，a ）为中点的弦，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A ．(1，]332B ．]332,25[C ．),332[+∞D ．]25[∞+，9．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FB FA =⋅→→，|FB |≤|FA |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．35,22[B ．)1,35[C.]13,22[- D.)1,13[-10．已知直线y ＝kx （k ≠0）与双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．511．如图，α，β，γ是由直线l 引出的三个不重合的半平面，其中二面角α﹣l ﹣β大小为60°，γ在二面角α﹣l ﹣β内绕直线l 旋转，圆C 在γ内，且圆C 在α，β内的射影分别为椭圆C 1，C 2．记椭圆C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则e 12+e 22的取值范围是（）A ．)43,31[B ．)45,31[C ．)43,21[D ．45,21[12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心，当IG ⊥x 轴时，椭圆的离心率为（）A ．31B ．21C ．23D ．3613．椭圆的焦点)0,22(F 1-，)0,22(F 2长轴长为2a ，在椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，对于直线y ＝a ，在圆x 2+（y ﹣1）2＝2上始终存在两点M ，N 使得直线上有点Q ，满足∠MQN ＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．)1,322[B ．)1,22[C ．322,22[D ．322,0(14.过双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）右焦点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点，，若→→=PF 2QP ，0FQ QP =⋅→→，则C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．7D ．1015．已知双曲线E ：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0），斜率为81-的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，点P的坐标为（﹣1，2），直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D ．若直线CD 的斜率为81-，则E 的离心率为（）A ．26B ．23C ．25D ．2516．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点为A ，B ．P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当ba+ln |m |+ln |n |取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A ．51B ．22C ．54D ．2317．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点为A ，B ．P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当b a（3﹣mn 32）+mn2+3（ln |m |+ln |n |）取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A ．51B ．22C ．54D ．2318．设F 1，F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P （x 0，2a ）为双曲线上的一点，若△PF 1F 2的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为（）A ．26B ．25C ．6D ．519．过双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且→→=FM 3FN ，若OM⊥FN ，则C 的离心率为（）A ．2B ．7C ．3D ．1020．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆上一点，线段AF 1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若→→=B 3F AB 2则椭圆C 的离心率为（）A ．31B ．33C ．32D ．3621．已知O 为坐标原点，A ，B 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点，抛物线E ：y 2＝2px （p＞0）与椭圆C 在第一象限交于点P ，点P 在x 轴上的投影为P ’，且有→→→⋅|OP'|OP'OP ＝c （其中c 2＝a 2﹣b 2），AP 的连线与y 轴交于点M ，BM 与PP '的交点N 恰为PP '的中点，则椭圆C 的离心率为（）A ．23B ．22C ．32D ．3122．已知点P （x 0，y 0）（x 0≠±a ）在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO⊥PM （O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．（0，33）B ．（33，1）C ．（22，1）D ．（0，22）23．已知椭圆与双曲线有公共焦点，F 1，F 2，F 1为左焦点，F 2为右焦点，P 点为它们在第一象限的一个交点，且∠F 1PF 2＝4π，设e 1，e 2分别为椭圆双曲线离心率，则2111e e +的最大值为（）A ．2B ．22C ．32D ．4224．已知F 1，F 2是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若E 上存在不同两点A ，B ，使得→→=BF 3A F 21则该椭圆的离心率的取值范围为（）A ．（3﹣1，1）B ．（0，3﹣1）C ．（2﹣3，1）D ．（0，2﹣3）25．点A 是椭圆1222=+y ax （a ＞1）的上顶点，B 、C 是该椭圆的另外两点，且△ABC 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，若满足条件的△ABC 只有一个，则椭圆的离心率e 的范围是（）A ．33≤e ＜1B ．0＜e ≤33C ．0＜e ≤36D ．36≤e ＜126．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，P 是椭圆C 上一点，若I 是△PF 1F 2的内心，且满足→→→→=++0IP 4IF 3IF 221则C 的离心率e 的值是（）A ．92B ．72C ．21D ．54参考答案1.D2.A3.B4.C5.A6.C7.D8.B9.A10.D11.C12.A13.A 14.C15.C16.D17.A18.A19.B20.B21.D22.C23.B24.C 25.C26.D。

圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一 、求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。

常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。

例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．53C ．52D例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：2221x y 相切，双曲线M 离心率的值为（ ）A BCD ．3例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．21 C ．53D ．73例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．263C ．3D ．2题型二、求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。

圆锥曲线离心率专题训练1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）A．B．C．D．3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）A．B．C．D．7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（，+∞）C．[，+∞）D．（，+∞）11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，）C．（2，]D．（，2]17．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）19．已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．20．双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．21．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．22．在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）A．B．C．D．23．椭圆+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．24．椭圆（a＞b＞0）上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，C．D．25．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．26．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，1+）B．（1，）C．（﹣1，1+）D．（1，2）28．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．29．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．30．已知P为椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P 有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，+∞）参考答案与试题解析1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]解：如图所示，下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．设椭圆上任意一点P（x0，y0），则，可得．∴|OP|2==+=≥b2，当且仅当x0=0时取等号．∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则c≥b，∴c2≥b2=a2﹣c2，化为，解得．又e＜1，∴．故选B．2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）A．B．C．D．解：∵m∈[﹣2，﹣1]，∴该曲线为双曲线，a=2，b2=﹣m，∴c=离心率e==∵m∈[﹣2，﹣1]，∴∈[，]，∴e∈故选C3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，则，解得，∵0＜x＜a，∴，化为c2＞b2=a2﹣c2，∴，又1＞e＞0．解得．∴该椭圆的离心率e的范围是．故选：C．4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）解：∵双曲线的离心率e∈（1，2），∴双曲线标准方程为：﹣=1∴k＜0，∴1＜e2＜4，1＜＜4，﹣12＜k＜0，故答案选C5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）A．B．C．D．解：不防设椭圆方程：（a＞b＞0），再不妨设：B（0，b），三角形重心G（c，0），延长BG至D，使|GD|=，设D（x，y），则，，由，得：，解得：，．而D是椭圆的内接三角形一边AC的中点，所以，D点必在椭圆内部，则．把b2=a2﹣c2代入上式整理得：．即．又因为椭圆离心率e∈（0，1），所以，该椭圆离心率e的取值范围是．故选B．7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．解：椭圆x2+my2=1化为标准方程为①若1＞，即m＞1，，∴，∴，∴②若，即0＜m＜1，，∴，∴，∴∴实数m的取值范围是故选C．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0），|F1F2|=2c，∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF2|=|F1F2|=2c，∴|PF1|=2a﹣2c；①同理，在该双曲线中，|PF1|=2m+2c；②由①②可得a=m+2c．∵e2=∈（1，2），∴＜=＜1，又e1==，∴==+2∈（，3），故选C．9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，由已知得：3b2≤2ab≤4b2，∴3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2，9（a2﹣c2）≤4a2≤16（a2﹣c2），5a2≤9c2且12a2≥16c2，∴≤≤即e∈故选B．10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为（）D．（，+∞）A．[2，+∞）B．（，+∞）C．[，+∞）解：BD==，∴a1=，c1=1，a2=，c2=x，∴e1=，e2=，e1e2=1但e1+e2中不能取“=”，∴e1+e2=+=+，令t=﹣1∈（0，﹣1），则e1+e2=（t+），t∈（0，﹣1），∴e1+e2∈（，+∞）∴e1+e2的取值范围为（，+∞）．故选B．11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：直线l的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d1=，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．d2=，s=d1+d2==．由S，即得•a≥2c2．于是得4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是e∈．故选A．12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2≥60°，可得Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥30°，所以P0O≤OF2，即b c，其中c=∴a2﹣c2≤3c2，可得a2≤4c2，即≥∵椭圆离心率e=，且a＞c＞0∴故选C13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．解：设f（x）=x3+2ax2+3bx+c，由抛物线的离心率为1，可知f（1）=1+2a+3b+c=0，故c=﹣1﹣2a﹣3b，所以f（x）=（x﹣1）[x2+（2a+1）x+（2a+3b+1）]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，故g（x）=x2+（2a+1）x+（2a+3b+1），有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点，故有g（0）＞0，g（1）＜0，即2a+3b+1＞0且4a+3b+3＜0，则a，b满足的可行域如图所示，由于，则P（﹣1，）而表示（a，b）到（0，0）的距离，且（0，0）到P（﹣1，）的距离为d=可确定的取值范围是（，+∞）．故答案为：A．14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，则，化为．∴|PA|2=x2+（y﹣b）2===f（y），∵椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），由二次函数的单调性可知：f（y）在（﹣b，b）单调递减，∴，化为c2≤b2=a2﹣c2，即2c2≤a2，∴．又e＞0．∴离心率的取值范围是．故选：C．15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．解：∵双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=x则tanα=∵，∴1＜tanα＜，即1＜＜∴1＜=＜3求得＜＜2故选B．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，）C．（2，]D．（，2]解：根据内角平分线的性质可得=，再由双曲线的定义可得5PF2﹣PF2=2a，PF2=，由于PF2=≥c﹣a，∴≥c，≤．再由双曲线的离心率大于1可得，1＜e≤，故选A．17．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故选B18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．19．已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：圆x2+y2=4的圆心到直线l：y=kx+2的距离为d=∵直线l：y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L，∴由垂径定理，得2，即，解之得d2≤∴≤，解之得k2∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，∴b=2且c==﹣，即a2=4+因此，椭圆的离心率e满足e2===∵k2，∴0＜≤，可得e2∈（0，]故选：B20．双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：直线l的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离.，．由，得．．于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得≤e2≤5．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是．故选D．21．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e===．故选：C．22．在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）A．B．C．D．解：由椭圆定义可知：|MF1|+|MF2|=2a，所以…①，在△MF1F2中，由余弦定理可知…②又，…③，由①②③可得：4c2=4a2﹣4b2﹣2|MF1|•|MF2|cosθ．所以|MF1|•|MF2|cosθ=0．所以c≥b，即c2≥b2=a2﹣c2，2c2≥a2，，所以e∈．故选B．23．椭圆+y2=1上存在一点P对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．[，1）C．（0，]D．[，1）解：∵椭圆方程为：+y2=0，∴b2=1，可得c2=a2﹣1，c=∴椭圆的离心率为e=又∵椭圆上一点P，使得角∠F1PF2=，∴设点P的坐标为（x0，y0），结合F1（﹣c，0），F2（c，0），可得=（﹣c﹣x0，﹣y0），=（c﹣x0，﹣y0），∴=+=0…①∵P（x0，y0）在椭圆+y2=1上，∴=1﹣，代入①可得+1﹣=0将c2=a2﹣1代入，得﹣a2﹣+2=0，所以=，∵﹣a≤x0≤a∴，即，解之得1＜a2≤2∴椭圆的离心率e==∈[，1）．24．如果椭圆（a＞b＞0）上存在点P，使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．（0，解：设P（x，y），∵P到原点的距离等于该椭圆的焦距，∴x2+y2=4c2①∵P在椭圆上，∴②联立①②得，∵0≤x2≤a2∴∴∴∴e∈故选C25．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，此时a﹣c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）26．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：A1（﹣a，0），A2（a，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（a﹣x，﹣y），∵，∴（a﹣x）（﹣x）+（﹣y）（﹣y）=0，y2=ax﹣x2＞0，∴0＜x＜a．代入=1，整理得（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，∵f（0）=﹣a2b2＜0，f（a）=0，如图：△=（a3）2﹣4×（b2﹣a2）×（﹣a2b2）=a2（a4﹣4a2b2+4b4）=a2（a2﹣2c2）2≥0，∴对称轴满足0＜﹣＜a，即0＜＜a，∴＜1，＞，又0＜＜1，∴＜＜1，故选D．27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，1+）B．（1，）C．（﹣1，1+）D．（1，2）：解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AF1E中，∠AEF＜45°，得|AF1|＜|EF1|∵|AF1|==，|EF1|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选D．28．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，设c为双曲线的半焦距（c=2），依题意，记，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得，．设双曲线的方程为，则离心率，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，①．②由①式得，③将③式代入②式，整理得，故由题设得，，解得，所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．故选A．29．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解：把x=c代入椭圆的方程可得，解得．取A，则B，∵∠OBF=∠AOF﹣∠OFB，，=∴tanα=tan∠OBF=====，∵，∴，∴．解得．故选A．30．已知P为椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P 有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，）B ．（，1）C．（1，）D．（，+∞）解：①当PF1⊥x轴时，由两个点P满足△PF1F2为直角三角形；同理当PF2⊥x轴时，由两个点P满足△PF1F2为直角三角形．∵使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴c＜b，∴c2＜b2=a2﹣c2，∴，又e ＞0，解得．故选A．21。

解题宝典圆锥曲线的离心率主要是指椭圆和双曲线的离心率，其中椭圆的离心率0<e <1，双曲线的离心率e >1(抛物线的离心率e =1).圆锥曲线的离心率问题的难度一般不大，常以选择题、填空题的形式出现.熟练掌握一些求解离心率问题常用的思路，有助于提升解题的效率.本文结合例题，主要谈一谈解答圆锥曲线离心率问题的两种措施.一、运用公式法圆锥曲线的离心率公式为e =ca ，求解圆锥曲线的离心率问题，通常要用到公式e =ca.而求a 、c 及其关系式，往往要根据圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 之间关系来进行转化.在椭圆中，a 2=b 2+c 2；在双曲线中，a 2=c 2-b 2.例1.已知椭圆C 1:x 2m +2-y 2n=1和双曲线C 2:x 2m +y2n=1有相同的焦点，则椭圆C 1离心率e 的取值范围是______.解：∵椭圆C 1:x 2m +2-y 2n =1，∴a 12=m +2，b 12=-n ，c 12=m +2+n ，即e 12=c 12a 12=1+n m +2，∵双曲线C 2:x 2m +y 2n =1，∴a 22=m ，b 22=-n ，c 22=m -n ，由题意可得m +2+n =m -n ，∴n =-1，∴e 12=c 12a 12=1-1m +2，∵m >0，m +2>2，∴1m +2<12，-1m +2>-12，∴e 12=1-1m +2>12，解得e 1∵0<e 1<1，e 1<1.要求椭圆C 1离心率e 的取值范围，需根据椭圆离心率公式求得a 、c 及其关系式.于是先根据椭圆与双曲线的方程明确a 2、b 2、c 2的表达式；然后根据圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 之间的关系和离心率公式，求得e 1、e 2的表达式，通过确定m 、n 的取值范围，求得离心率的取值范围.例2.设F 1、F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左右焦点，且||F 1F 2=2c ，若椭圆上存在一点P ，使||PF 1⋅||PF 2=2c 2，则椭圆离心率的最小值为_____.解：由题意知F 1()-a,0、F 2()a,0，设P ()x 0,y 0，得||PF 1⋅||PF 2=()a +ex 0()a -ex 0=a 2-e 2x 02=2c 2，∴x 2=a 2-2c 2e 2≤a 2，即a 2-2c 2a 2=1-2e 2≤e 2，解得e 2≥13，即e∵0<e <1，e <1，∴我们首先设出P 点的坐标，根据椭圆的焦半径公式将已知条件||PF 1⋅||PF 2=2c 2转化为与a 、c 有关的等式；再根据椭圆上点的范围，建立关于a 、c 、e 的不等关系式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的不等式，通过解不等式，求得离心率的最小值.二、利用几何图形的性质我们知道圆锥曲线的离心率e =ca，其中a 为椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长，c 为椭圆和双曲线的半焦距.在解答圆锥曲线的离心率问题时，可根据椭圆和双曲线的定义、几何性质求得2a 、2c 的值，也可将椭圆的长半轴、双曲线的实半轴看作三角形、梯形的一条边，利用三角形、梯形的性质来求线段的长.例3.已知两定点A ()-1,0和B ()1,0，动点P ()x ,y 在直线l :y =x +3上移动，椭圆C 以A 、B 为焦点，且经过点42解题宝典P，则椭圆C离心率的最大值为().解：由题意可得，椭圆的半焦距为1，由椭圆的定义可知||PA+||PB=2a.而点A()-1,0关于直线l:y=x+3的对称点A'()-3,2，连接A'B，交直线l于点P，如图1所示.图1由图1可知||PA+||PB=||PA'+||PB=||A'B，而||A'B=25，则椭圆C的长半轴长的最小值为25，所以椭圆C离心率的最大值为e=ca=15故正确的答案为A.由于c=1，所以要求e=ca的最大值，需确定a的最小值.根据椭圆的定义可知||PA+||PB=2a，于是画出图形，作A关于直线l的对称点A'，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，即||PA'+||PB>||A'B，即可确定||PA+||PB取最小值的情形：A'、B、P三点共线，从而根据两点间的距离公式求得离心率的最大值.例4.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1()a>b>0与圆C2:x2+y2=b2，若椭圆上存在一点P，使由点P作圆C2的两条切线互相垂直，求椭圆C1离心率的取值范围.解：如图2，由椭圆长轴的端点作圆C2的两条切线PA、PB，设过P作圆的切线，切点为A、B，连接OA、OB、OP，图2由于PA⊥PB，所以根据圆的对称性可知∠APO=∠BPO=45°.在RtΔAPO中，PO=2PA≤a,即2b≤a，所以2b2≤a2，则2b2≤a2，由a2=b2+c2，可得a2c2，即e2≥12，解得e因为0<e<1，e<1，则椭圆C1离心率的取值范围为ëöø÷.解答本题需灵活运用圆的两个性质：圆的切线与过切点的半径成90°；对称性，以及全等三角形的性质.据此建立RtΔAPB的两条边PO、PA之间的关系，从而判断出椭圆的长半轴与焦半径之间的关系，求得椭圆离心率的取值范围.例5.已知双曲线x2a2-y2b2=1()a>0,b>0的左右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线的左支上，且||MF2=7||MF1，则此双曲线离心率的最大值为().A.43B.53C.2D.73解：由双曲线的定义可得，||MF2-||MF1=6||MF1=2a，因为点M在双曲线的左支上，所以||MF1=a3≥c-a，则e=ca≤43，故双曲线离心率的最大值为43，则正确答案为A.求双曲线离心率的最大值，需求ca的最大值.于是首先根据双曲线的定义建立焦半径与虚半轴长之间的关系；然后根据双曲线的性质：双曲线的左（右）支上点到右（左）焦点的距离大于c-a，建立关于a、c的关系式，进而求得双曲线离心率的最大值.总之，求解圆锥曲线的离心率问题，可从离心率公式和图形的几何性质入手，来寻找解题的思路.这就要求同学们熟练掌握圆锥曲线的定义、公式、几何性质，以灵活运用这些知识来解题.（作者单位：江苏省南通市如皋市搬经中学）43。

圆锥曲线中的离心率问题（答案）圆锥曲线中的离心率问题（答案）一、直接求出a 、c ，求解e 已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解。

来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（的离心率是（ ）A. 10B. 5C. 310D. 25 分析：这里的1b ，c 1a 2+==，故关键是求出2b ，即可利用定义求解。

，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ac e ==，从而选A 。

二、变用公式，整体求出e 例2. 已知双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的一条渐近线方程为x 34y =，则双曲线的离心率为（心率为（ ）A. 35B. 34C. 45D. 23 分析：本题已知=a b 34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

，可用整体代入套用公式。

解：由22222222k 1a b 1a b a ab a ace +=+=+=+==（其中k 为渐近线的斜率）。

这里34a b =，则35)34(1a c e 2=+==，从而选A 。

三、第二定义法三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（则该椭圆的离心率为（ ）A. 2B. 22C. 21D. 42解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F ，则x F M ^轴，知|MF|是通径的一半，则有22|MF |=。

微专题 圆锥曲线的离心率问题及答案微专题201．答案：52. 解析：两条渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ，所以b a ＝12，得出离心率为52.2．答案：2.解析：不妨设一条渐近线方程为bx －ay ＝0，所以|bc |b 2＋a2＝32c ，b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，所以离心率为2.3．答案：3－1；2.解析：假设渐近线与椭圆在第一象限内交点为P ，左、右焦点为F 1，F 2，由正六边形性质知，Rt △PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，PF 2＝c ，PF 1＝3c ，由椭圆定义知c ＋3c ＝2a ，所以椭圆M 的离心率为3－1，渐近线y ＝n m x 与x 轴夹角为60°，所以nm ＝3，双曲线N 的离心率为2.4．答案：53. 解析：设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，OQ ，因为OQ 为△F 1PF 的中位线，所以PF 1＝b ，PF ＝2a －b ，又因为OQ ⊥PF ，所以PF 1⊥PF ，△F 1PF 中勾股定理得，PF 12＋PF 2＝F 1F 2，b 2＋(2a －b )2＝(2c )2，b 2＋(2a －b )2＝4a 2－4b 2，b a ＝23，所以e ＝c a ＝53.5．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，6－22. 解析：因为圆M 与x 轴相切于焦点F ，所以M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，过M 作y 轴的垂线，垂足为N ，△PQM 是钝角三角形，则∠PMQ ＞90°，∠PMN ＞45°，cos ∠PMN ＜22，acb 2＜22，e 2＋2e －1＜0，又0＜e ＜1，所以椭圆E 离心率的取值范围是0＜e ＜6－22. 6．答案：(2－1，1)．解析：△PF 1F 2中，正弦定理sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝c a ＝PF 1PF 2，因为PF 2＝2a －PF 1，PF 1＝2ae1＋e ，a－c ＜PF 1＝2ae1＋e＜a ＋c ，又0＜e ＜1，所以椭圆E 离心率的取值范围是(2－1，1)．7．答案：5－12.解析：假设右焦点为F 2，连接F 2Q ，PQ →＝F 1F 2→，所以平行四边形F 1F 2QP ，F 1Q →＝λ(F 1P →|F 1P →|＋F 1O →|F 1O →|)(λ>0)，所以F 1Q 为∠PF 1F 2的平分线，得菱形F 1F 2QP ，PF 1＝PQ ＝F 1F 2＝2c ，由圆锥曲线统一定义得PF 2＝e ·PQ ＝2c ·e ，由第一定义得PF 1＋PF 2＝2a ，2c ＋2c ·e ＝2a ，e 2＋e －1＝0，所以e ＝5－12. 8．答案：[7，10]．解析：以AB 中点O 为坐标原点，AB 为x 轴建系，设AB ＝2c ，则C ⎝⎛⎭⎫c 2，y 0满足e 24－y 02b 2＝1，又AE →＝λEC →，坐标化得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c （λ－2）2（1＋λ），λy 01＋λ，代入椭圆方程x 2a 2－y 2b 2＝1，e 24⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－21＋λ2－⎝⎛⎭⎫λ1＋λ2·y 02b 2＝1，消去y 02b 2，得e 2＝1＋2λ1－λ＝－2＋31－λ，在⎣⎡⎦⎤23，34上为增函数，7≤e 2≤10，所以双曲线的离心率范围为[7，10]．1.(2018·苏北四市零模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________．2．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________．3．(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．4．点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫b 22相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 中点，则椭圆C 的离心率为________．5．点M 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM 是钝角三角形，则椭圆E离心率的取值范围是________．6．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P，使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，该椭圆的离心率取值范围是________．7.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点F 1，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，若PQ →＝2F 1O →，F 1Q →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫F 1P →|F 1P →|＋F 1O →|F 1O →|(λ>0)，求椭圆的离心率．8．已知梯形ABCD 中，AB ＝2CD ，又AE →＝λEC →，双曲线过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，当23≤λ≤34时，求双曲线的离心率范围．。

离心率求解常见题型基本概念类型椭圆双曲线图像θcxb y aF 1F 2sin e θ=1sin e θ=1cos e θ=,,a b c关系 222a b c =+222c a b =+计算方法2222222111c b e b a ac ==-=- 2222222111c b e b a ac==+=- 一、 ,,a b c 的基本计算1. 一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．2. 在平面直角坐标系xOy 中，直线02=+y x 为双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ．二、 与,,a b c 几何意义有关的问题1. 直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为 ．2. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率是332=e ，则该双曲线两渐近线夹角是 ．3. 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的焦点()0,22F 作渐近线垂线，垂足为A 若OAF ∆的面积为2（O 为坐标原点），则双曲线离心率为 ． 4. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且x BF ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若PB AP 2=，则椭圆的离心率（ ）A ．23 B ．22 C ．31 D ．21三、 与椭圆双曲线定义有关的（1） 直接应用定义1. 圆锥曲线C 的两个焦点分别为21,F F ，若曲线C 上存在点P 满足2:3:4::2211=PF F F PF ，则曲线C 的离心率等于（ ） A ．32或23 B ．32或2 C ．21或2 D ．21或232. 设1F ，2F 分别是双曲)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左，右焦点，双曲线上存在一点P 使得ab PF PF b PF PF 43,2121=⋅=+，则双曲线C 的离心率等于（ ） A ．2B ．15C ．4D ．17（2） 与三角形有关的3. 已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点，若2ABF ∆是正三角形，则这个椭圆的离心率是 ．4. （2018广一模文）在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．13B 3C ．33D ．23+5. 点P 是双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆22222:C x y a b +=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其12,F F 分别为双曲线1C 的两个焦点，由双曲线1C 的离心率为（ ）A ．13B ．132+ C ．152+ D 51 6. 设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ．7. 如图，21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点B A ,．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为 ．8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右端点分别为B A ,两点，点()b C 2,0，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ．9. 椭圆与双曲线有公共焦点1F 、2F ，它们在第一象限的交点为A ，且21AF AF ⊥，02130=∠F AF ，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ．10. 设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） A ．33B ．36 C ．13D ．1611. 设1F ，2F 分别是双曲)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的左，右焦点，点62,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在此双曲线上，且12PF PF ⊥，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．22． B ．2 C ． 3 D ．2612. 设1F ，2F 是椭圆E ：2222x y a b +=1()0>>b a 的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，△21F PF 是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．4513. 已知F 是双曲线2221x a b2y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ ） A ． ()1,+∞ B ． ()1,2 C ． ()1,12+D ． ()2,12+14. ★已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，若椭圆上存在点P 使1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. ()21- B. 22⎛⎫⎪⎪⎝⎭ C. 22⎛ ⎝⎭D. )21,115. 已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. 5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 50,5⎛⎤⎥ ⎝⎦ D. 20,2⎛⎤⎥ ⎝⎦16. ★设点12,A A 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，若在椭圆上存在异于点12,A A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D. 2,12⎛⎫ ⎪⎝⎭17. ★如图，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]6,12[ππα∈，则该双曲线 离心率e 的取值范围为（ ） A ．]32,3[+ B ．]13,2[+ C ．]32,2[+ D ．]13,3[+四、 与通径、焦半径有关的曲线类型椭圆双曲线 抛物线图像xyABF 1F 2O长度1. 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于B A ,两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ．2. 双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 与抛物线)0(22>=p px y 相交于B A ,两点，公共弦AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率等于 ．3. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的左支上，且217MF MF =，则此双曲线离心率的最大值为（ ）A ．43 B ．53 C ． 2 D ．734. 已知12,F F 分别是双曲线()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)1,+∞ B ．)1,++∞ C ．(1,1+ D ．)1,+∞五、 综合问题1. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，焦距为8，左顶点为A ，在y 轴上有一点()b B ,0，满足a BF BA 2=⋅，则该双曲线的离心率的值为 ．2. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为（ ）A ．35 B ．37 C ．310 D ．3153. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于N M ,两点．若60=∠MAN ，则C 的离心率为 ．4. 若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞5. 已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．解析几何——离心率专题（解析版）一、 基本概念类型椭圆双曲线图像θcxb y aF 1F 2sin e θ=1sin e θ=1cos e θ=,,a b c关系 222a b c =+222c a b =+计算方法2222222111c b e b a ac ==-=- 2222222111c b e b a ac==+=- 二、 ,,a b c 的基本计算1. 一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．【答案】352. 在平面直角坐标系xOy 中，直线02=+y x 为双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ．5三、 与,,a b c 几何意义有关的问题1. 直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为 ．252. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率是332=e ，则该双曲线两渐近线夹角是 ．【答案】0603. 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的焦点()0,22F 作渐近线垂线，垂足为A 若OAF ∆的面积为2（O 为坐标原点），则双曲线离心率为 ．【答案】2e =4. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且x BF ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若PB AP 2=，则椭圆的离心率（ D ）A ．23 B ．22 C ．31 D ．21四、 与椭圆双曲线定义有关的（1） 直接应用定义1. 圆锥曲线C 的两个焦点分别为21,F F ，若曲线C 上存在点P 满足2:3:4::2211=PF F F PF ，则曲线C 的离心率等于（ D ） A ．32或23 B ．32或2 C ．21或2 D ．21或23 2. 设1F ，2F 分别是双曲)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左，右焦点，双曲线上存在一点P 使得ab PF PF b PF PF 43,2121=⋅=+，则双曲线C 的离心率等于（ D ） A ．2B ．15C ．4D ．17（2） 与三角形有关的3. 已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点，若2ABF ∆是正三角形，则这个椭圆的离心率是 ．【答案】334. （2018广一模文）在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ A ）A ．13+B ．3C ．233D ．23+5. 点P 是双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆22222:C x y a b +=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其12,F F 分别为双曲线1C 的两个焦点，由双曲线1C 的离心率为（ A ）A ．13+B ．132+ C ．152+ D ．51- 6. 设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ．【答案】21-7. 如图，21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点B A ,．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为 ． 【解析】设22AF AB BF k ===，则由双曲线定义可知：122AF AF a -=，可得12AF a k =+； 212BF BF a -=，可得12BF k a =-，又11AF BF k -=，所以4k a =，故有12126,4,2AF a AF a F F c ===在12AF F ∆中，由余弦定理可得：222(4)(6)(2)cos 60246a a c a a+-=⨯⨯，可得7e =8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右端点分别为B A ,两点，点()b C 2,0，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ．【解析】由图可知，,AB BC AC BC ==，所以ABC ∆是正三角形．02tan 603b a ==，易得102e = 9. 设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ A ） A ．33B ．36 C ．13D ．16【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴， 从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2:1:3PF PF F F =， 且122a PF PF =+，122c F F =，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ． 10. 椭圆与双曲线有公共焦点1F 、2F ，它们在第一象限的交点为A ，且21AF AF ⊥，02130=∠F AF ，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( B ) A ．23 B ．3 C ．2 D ．111. 设1F ，2F 分别是双曲)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的左，右焦点，点62,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在此双曲线上，且12PF PF ⊥，则双曲线C 的离心率等于（ B ）A ．22． B ．2 C ． 3 D ．26【解析】连接OP ，则2OP c ==，故有12(2,0),(2,0)F F -，则有1231,31PF PF =+=-，所以1a =，故2e =12. 设1F ，2F 是椭圆E ：2222x y a b +=1()0>>b a 的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△21F PF 是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为( C )A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【解析】在2RT PF Q ∆中，022312cos 6022a cF Q PF c -===，得34e = 13. 已知F 是双曲线2221x a b2y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ B ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+D ． ()2,12+【解析】从图中可观察到若ABE 为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需0,4AEF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且,AF FE 均可用,,a b c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a=，FE a c =+，所以()2tan 1AFb AEF FE a ac ==<+()22112c a c ae a a c a--⇒<⇒<⇒<+，即()1,2e ∈14. ★已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，若椭圆上存在点P 使1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ D ）xyQ F 1F 2OAPA. ()1-B. 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.2⎛ ⎝⎭D. )1,1【解析】1221,PF F PF F ∠∠为焦点三角形12PF F 的内角，且对边为焦半径21,PF PF ，所以利用正弦定理对等式变形：1221sin sin a c PF F PF F =⇒∠∠121122sin sin PF PF F cc PF F a PF a∠=⇒=∠，再由212PF PF a +=解得：222a PF a c=+，再利用焦半径的范围为(),a c a c -+可得（由于依题意，P 非左右顶点，所以焦半径取不到边界值,a c a c -+）：22222222222222210a c a a c a a c a c a c a a ac c e e ⎧⎧-<>-⎪⎪-<<+⇒⇒⎨⎨+<+++->⎪⎪⎩⎩，解得)1,1e ∈-15. 已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（ B ） A.5⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B.2⎫⎪⎪⎣⎭ C.0,5⎛ ⎝⎦ D.2⎛ ⎝⎦【解析1】考虑在椭圆上的点P 与焦点连线所成的角中，当P 位于椭圆短轴顶点位置时，12F PF ∠达到最大值．所以若椭圆上存在12PF PF ⊥的点P ，则短轴顶点与焦点连线所成的角90θ≥，考虑该角与,,a b c 的关系，由椭圆对称性可知，2452OPF θ∠=≥，所以22tan 1OF cOPF OPb∠==≥，即22222c b c b c a c ≥⇒≥⇒≥-，进而2212c a ≥即212e ≥，解得e ≥，再由()0,1e ∈可得2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭【解析2】由12PF PF ⊥可得1290F PF ∠=，进而想到焦点三角形12F PF 的面积：122212tan2F PF F PF Sb b ∠==，另一方面：121212F PF P P S F F y c y =⋅⋅=⋅，从而22P P b c y b y c ⋅=⇒=，因为P 在椭圆上，所以[],P y b b ∈-，即2P b y b b c c=≤⇒≤，再同思路一可解得：2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭【解析3】12PF PF ⊥可想到120PF PF ⋅=，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程．设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -，则有()()12,,,PF c x y PF c x y =---=--，则222120PF PF x y c ⋅=+-=，即P 点一定在以O 为圆心，c 为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径r b ≥时才可有交点，所以c b ≥，同思路一可解得2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭【解析4】开始同思路三一样，得到P 所在圆方程为222x y c +=，因为P 在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程：222222222b x a y a b x y c ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩代入消去x 可得：()2222222b c y a y a b -+=，整理后可得：422422b c y b y c =⇒=，由[],y b b ∈-可得：4222b y b c b c =≤⇒≥，同思路一即可解得：2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭16. ★设点12,A A 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，若在椭圆上存在异于点12,A A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ D ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 2⎛ ⎝⎭C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. 2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点P ”，则P 的横纵坐标分别位于()(),,,a a b b --中，所以致力于计算P 的坐标，设()00,P x y ，题目中()2,0A a ，由2PO PA ⊥可得P 也在以2OA 为直径的圆上．即22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以联立方程：2222222222224101a a x y b x ax b a xy a b ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎛⎫⎪⎝⎭⇒--+=⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩，即22220c x ax b a -+=，由已知可得()2,0A a 也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得：2220022a b ab ax x c c=⇒=，再根据0x 的范围可得：2222222212ab a a b c a c c e c -<<⇒<⇒-<⇒>，解得2e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭17. ★如图，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]6,12[ππα∈，则该双曲线 离心率e 的取值范围为（ B ）A ．]32,3[+B ．]13,2[+C ．]32,2[+D ．]13,3[+ 【解析】本题与焦半径相关，所以考虑,a c 的几何含义，BF AF ⊥可得ABF 为直角三角形，且22AB OF c ==，结合α=∠ABF 可得2sin ,2cos AF c BF c αα==，因为,A B 关于原点对称，所以AF 即为B 的左焦半径．所以有()22cos sin a BF AF c αα=-=-，则2112cos sin 2cos 4c e a πααα===-⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，即关于α的函数，5621,cos ,4312442ππππαα⎡⎤-⎡⎤⎛⎫+∈⇒+∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦3122cos ,422πα⎡⎤-⎛⎫⇒+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以2,31e ⎡⎤∈+⎣⎦五、 与焦半径、通径有关的曲线类型椭圆双曲线 抛物线图像xyABF 1F 2O长度22||b AB a=||2AB p =5. 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于B A ,两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ．【答案】36. 双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 与抛物线)0(22>=p px y 相交于B A ,两点，公共弦AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率等于（ B ） A ．2 B ．21+ C ．22 D ．22+【解析】由题意可知，在抛物线中AF p =，'FF p =；在双曲线中2b AF a=，'2FF c =，所以有22b p a p c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得2210e e --=，选B7. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的左支上，且217MF MF =，则此双曲线离心率的最大值为（ A ）A ．43 B ．53 C ． 2 D ．73【解析】由双曲线可知21162MF MF MF a -==，所以13aMF =，因为点1MF c a ≥-，即3a c a ≥-，所以43c a ≤，即最大值为438. 已知12,F F 分别是双曲线()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ B ） A．)1,+∞ B．)1,++∞ C．(1,1+ D．)1,+∞【解析】2ABF 为钝角三角形，且2221,45AF BF AF F =∠>即112AF F F >，222220b c c a ac a∴>⇒-->，即22101e e e -->⇒>+ 六、 综合问题1. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，焦距为8，左顶点为A ，在y 轴上有一点()b B ,0，满足a BF BA 2=⋅，则该双曲线的离心率的值为 ．【答案】22. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为( C )A ．35 B ．37 C ．310 D ．3153. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于N M ,两点．若60=∠MAN ，则C 的离心率为 ．【答案】2334. 若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ D ）A ．()1,5B ．(1,5⎤⎦C ．)5,⎡+∞⎣D ．()5,+∞【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有21+145c b e a a ⎛⎫==>+= ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率的取值范围为()5,+∞，故选D ．5. 已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF 的斜率为3，则双曲线的离心率为______．【答案】723+ 【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 的斜率为3，所以60BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形，所以130F BF ∠=︒，所以123BF c =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以127AF c =，由双曲线的定义可知2274a c c =-，所以双曲线的离心率为723+．。

圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线，是指在圆锥平面中，通过一个固定点和一个固定直线的点集，主要包含了椭圆、双曲线和抛物线三种常见形态。

而关于圆锥曲线的离心率问题一直是考试中常出的内容，掌握好这方面的知识点和解题技巧，对于我们来说至关重要。

一、椭圆离心率题型及解题技巧：椭圆是圆锥曲线的一种，它的离心率为介于0和1之间的有理数，如0.1、0.3等。

我们在应对椭圆离心率题型时，可以有如下的解题技巧：1、当椭圆的长轴和短轴长度已知时：已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，求椭圆离心率。

解法：利用椭圆离心率的定义式，将长轴和短轴代入，去消掉e。

得e^2 = 1 - (b/a)^2e = √(1 - (b/a)^2)2、当已知椭圆的焦点和顶点时：已知椭圆的一焦点为F1，另一焦点为F2，顶点为P，求椭圆离心率。

解法：通过焦点和顶点P，可得到椭圆的长轴的长度2a，因为F1、F2与P在同一直线上，故PF2 = PF1 + 2a。

/e= F1P/F2P = PF2 - PF1 / PF2 + PF1=2a/2PF1，可求得e的值。

二、双曲线离心率题型及解题技巧：双曲线离心率大于1，如2、3等，我们在应对双曲线离心率题型时，可以有如下的解题技巧：1、已知双曲线的焦点和距离，求双曲线离心率。

已知双曲线的两焦点为F1,F2，且F1F2距离为d，求双曲线的离心率。

解法：当双曲线焦点间距为2c时，可以列出双曲线离心率e的计算公式：e=c/a，其中a为距离焦点最近的水平轴的长度，c为两焦点间的距离。

而d=2a*e，所以：e=d/(2a)。

2、已知双曲线与其对称轴，求双曲线离心率。

已知双曲线的对称轴为y=k，有关于x轴的对称，且两条渐近线的交点的坐标为(x0,0)。

解法：可以通过已知条件列出双曲线的标准方程：(x-x0)²/b² - y²/a² =1，其中a为双曲线与纵轴的交点的距离，b为双曲线的半焦距。

高考圆锥曲线离心率问题的基本解析肖琳婧(云南师范大学数学学院㊀６５００００)摘㊀要:离心率是圆锥曲线的重要几何性质ꎬ也是高考常考的知识点.这类问题一般有两类:一类是求圆锥曲线离心率的值ꎻ另一类是求圆锥曲线离心率的取值范围.无论是哪类问题ꎬ其关键点都是通过几何或者代数的方法ꎬ找到关于ａꎬｂꎬｃ的关系式(等式或不等式)ꎬ将其中的ｂ用ａꎬｃ来表示ꎬ转化为关于离心率ｅ的关系式ꎬ从而得到离心率.这是求解有关离心率问题的基本方法.关键词:圆锥曲线ꎻ离心率ꎻ高考中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)１０－００４０－０２收稿日期:２０２１－０１－０５作者简介:肖琳婧(１９９４.１０－)ꎬ女ꎬ陕西省渭南人ꎬ硕士ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀一㊁考题分析离心率是圆锥曲线的一个重要基本量ꎬ求圆锥曲线离心率的值或范围的问题也是圆锥曲线中的重点ꎬ由于这类问题综合性比较强ꎬ能够更好地体现学生的思维能力以及直观想象㊁逻辑推理㊁数学运算㊁数学抽象等核心素养ꎬ因此备受高考命题者的关注.分析２０１９年高考试题对圆锥曲线知识点考查的情况ꎬ全国卷很明显加强了对圆锥曲线的考查力度ꎬ试题的题序都在后移ꎬ如选择题或填空题文科Ⅰ㊁Ⅱ卷在第１２题ꎬ理科Ⅰ卷在第１６题.命题者将圆锥曲线和直线结合在一起ꎬ普遍把解析几何作为压轴题来考查ꎬ改变了传统以函数与导数为压轴题的做法.无论是全国统一命题还是省自主命题ꎬ选择题或填空题主要考查圆锥曲线的定义(第一定义㊁第二定义)㊁标准方程和简单的几何性质ꎬ而解答题的综合性比较强ꎬ切入容易深入难.根据对２０１９年考题的侧重分析ꎬ结合新课程的教学理念ꎬ预测２０２０年高考命题者还是会将圆锥曲线的考题放在压轴位置.㊀㊀二㊁例题解析例１㊀(２０１４江西卷)设椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左右焦点为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ过Ｆ２作ｘ轴的垂线与Ｃ相交于ＡꎬＢ两点ꎬＦ１Ｂ与ｙ轴相交于点Ｄꎬ若ＡＤʅＦ１Ｂꎬ则椭圆Ｃ的离心率等于.图１解㊀连接ＡＦ１ꎬ因为ＯＤ//ＡＢꎬＯ为Ｆ１Ｆ２的中点ꎬ所以Ｄ为ＢＦ１的中点.又ＡＤʅＦ１Ｂꎬ所以｜ＡＦ１｜＝｜ＡＢ｜ꎬ即｜ＡＦ１｜＝２｜ＡＦ２｜.设｜ＡＦ２｜＝ｎꎬ则｜ＡＦ１｜＝２ｎꎬ｜Ｆ１Ｆ２｜＝３ｎ.所以ｅ＝ｃａ＝｜Ｆ１Ｆ２｜｜ＡＦ１｜＋｜ＡＦ２｜＝３ｎ３ｎ＝３３.注:用几何关系和椭圆的定义得到ａꎬｃ的关系ꎬ进而得到离心率.例２㊀(２０１６江苏卷)如图２ꎬ在平面直角坐标系ｘＯｙ图２中ꎬＦ是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的右焦点ꎬ直线ｙ＝ｂ２与椭圆交于ＢꎬＣ两点ꎬ且øＢＦＣ＝９０ʎꎬ则该椭圆的离心率是.解㊀联立方程组ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ｙ＝ｂ２ìîíïïïïꎬ得ＢꎬＣ两点的坐标分别为Ｂ(－３２ａꎬｂ２)ꎬＣ(３２ａꎬｂ２)ꎬ又Ｆ(ｃꎬ０)ꎬ则ＦＢң＝(－３２ａ－ｃꎬｂ２)ꎬＦＣң＝(３２ａ－ｃꎬｂ２)ꎬ又由øＢＦＣ＝９０ʎꎬ可得０４ＦＢң ＦＣң＝０ꎬ将两向量坐标代入可得ｃ２－３４ａ２＋ｂ２４＝０①.又ｂ２＝ａ２－ｃ２ꎬ代入①式可化简为ｃ２ａ２＝２３ꎬ则椭圆的离心率ｅ＝ｃａ＝２３＝６３.注:用代数关系(向量的坐标表示)找到ａꎬｃ的关系ꎬ进而得到离心率.例３㊀(２０１５福建卷)已知椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的右焦点为Ｆꎬ短轴的一个端点为Ｍꎬ直线ｌ:３ｘ－４ｙ＝０交椭圆Ｅ于ＡꎬＢ两点.若｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝４ꎬ点Ｍ到直图３线ｌ的距离不小于４５ꎬ则椭圆Ｅ的离心率的取值范围是.解㊀取左焦点Ｆ０ꎬ连接Ｆ０ＡꎬＦ０Ｂꎬ则四边形ＡＦＢＦ０是平行四边形.因为｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝４ꎬ所以｜ＡＦ｜＋｜ＡＦ０｜＝２ａ＝４ꎬ即ａ＝２.设Ｍ(０ꎬｂ)ꎬ则４ｂ５ȡ４５ꎬ所以１ɤｂ<２.则离心率ｅ＝ｃａ＝ｃ２ａ２＝ａ２－ｂ２ａ２ꎬ４－ｂ２４ɪ(０ꎬ３２].注:先求得ａꎬ再利用点到直线的距离公式得到ｂ的取值范围ꎬ进而得到离心率的取值范围.㊀㊀三㊁基本策略１.求椭圆离心率或取值范围的方法若给定椭圆的方程ꎬ则根据椭圆方程确定ａ２ꎬｂ２ꎬ进而求出ａꎬｃ的值ꎬ从而利用公式ｅ＝ｃａ直接求解.若椭圆的方程未给出ꎬ则根据已知条件及几何图形建立关于ａꎬｂꎬｃ的齐次等式(或不等式)ꎬ化为关于ａꎬｃ的齐次方程(或不等式)ꎬ进而化为关于ｅ的方程(或不等式)进行求解.２.求离心率值的常用方法(１)由ａ㊁ｂ或ａ㊁ｃ的值ꎬ得ｅ＝ｃ２ａ２＝ａ２＋ｂ２ａ２＝１＋ｂ２ａ２.(２)列出含有ａꎬｂꎬｃ的齐次方程(或不等式)ꎬ借助于ｂ２＝ｃ２－ａ２消去ｂꎬ然后转化成关于ｅ的方程(或不等式)求解.(３)构造焦点三角形(Ｆ１ꎬＦ２为双曲线两焦点ꎬＭ为曲线上任意一点)ꎬ利用定义转化为焦点三角形三边的关系ꎬ则ｅ＝ｃａ＝２ｃ２ａ＝｜Ｆ１Ｆ２｜｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜.㊀㊀四㊁解题启示纵观解析几何试题ꎬ题目中一般未给出图形ꎬ解题要求解题者正确画出图形ꎬ从图形中推理出几何或者代数关系ꎬ利用几何直观助力问题思考ꎬ不断提高解题者逻辑推理和直观想象的能力.圆锥曲线的定义是圆锥曲线的根源ꎬ某些问题的突破口就是回归定义ꎬ如例１㊁例３运用了椭圆的定义.解析几何研究的是几何问题ꎬ研究过程中总离不开图形ꎬ同时在解决问题时要注意是否能够灵活运用向量㊁平面几何㊁三角函数等知识简化几何关系和代数运算ꎬ综合考虑问题ꎬ养成良好的思维习惯.如何在解题过程中落实学生的核心素养ꎬ这给一线教师的教学也提出了较高的要求.学生在学习圆锥曲线离心率的过程中一是要具备定义意识ꎬ定义是对数学问题解决的原动力ꎬ所以圆锥曲线的定义ꎬ也是对圆锥曲线本质属性的真实反馈ꎬ是圆锥曲线的灵魂所在ꎬ在解决问题过程中ꎬ可以对其定义进行灵活运用.二是方程意识ꎬ方程思想在解决数学问题时ꎬ寻找已知与未知之间的等量关系ꎬ构造方程或方程组ꎬ通过求解方程完成未知向已知的转化ꎬ其在圆锥曲线离心率问题研究的过程中也发挥了重要的作用.因为有些几何问题表面上看起来与代数问题无关ꎬ但是要利用代数方法 列方程来解决ꎬ学生在求解过程中要善于挖掘隐含条件ꎬ具备方程的思想意识.三是平面几何意识ꎬ在对几何问题进行解析的过程中ꎬ需要将数量关系作为研究基础ꎬ这种方式不仅可以为学生进行思维的简化ꎬ同时还可以对解题过程进行优化.培养学生的数学意识ꎬ有助于对学生数学抽象㊁逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等核心素养的落实.㊀㊀参考文献:[１]黄如炎.２０１９年高考解析几何试题分析与教学启示[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０１９(１２):８－１３.[２]刘兰华.剖析圆锥曲线离心率的求法[Ｊ].中学数学ꎬ２０１４(０５):８１－８３.[３]白庆全.高中圆锥曲线离心率教学中培养学生数学意识的策略探讨[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(２３):３８＋４０.㊀[责任编辑:李㊀璟]１４。

圆锥曲线离心率问题归纳通关一、椭圆离心率求值1．设1F 、2F 是椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若113AF F B =，且2AF x ⊥轴，则椭圆的离心率等于A ．13 B ． 12C ． 22D ． 332．已知抛物线214y x =的焦点F 是椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B.31- C ． 33 D ．21-3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，焦距为2c ，若直线()3y x c =+与椭圆交于点，且满足12212MF F MF F ∠=∠ ，则椭圆的离心率是（ ）A ．2B ． 31C ．31- D ． 34．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点为F ，存在直线y t =与椭圆C 交于,A B 两点，使得ABF ∆为等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率e = （ ） A ．2B ． 21C ． 51D ．125．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点，过原点的直线l 交E 于,A B 两点，220AF BF ⋅=，且2234||AF BF =，则E 的离心率为（ ） A ．12 B ． 34 C ． 27 D ． 576．椭圆22221x y a b+= (0)a b >>与函数y x =P ，若函数y x =P 处的切线过椭圆的左焦点()1,0F -，则椭圆的离心率是（ ）A ．312- B ． 512- C ． 322- D ． 522- 7．已知抛物线214y x =的焦点F 是椭22221y x a b +=（0a b >>）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．31- B ． 21- C ．33 D ． 228．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，抛物线24y x =的准线过椭圆C 的焦点，交椭圆C 于,A B 两点， 2145AF F ∠=，则椭圆C 的离心率等于（ ） A ．12B ． 21-C ． 21+D ． 29．已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P ， Q 两点，若2PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．13 B ． 12C ． 3D ． 210．已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则椭圆22221x y m n+=的离心率为（ ）A ．223 B ． 779 C ． 223或779 D ． 2911．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若1AF ，12F F ， 1F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A ．5 B ． 2 C ． 3 D ． 312．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2D ．3 13．如图，设椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．12 B ． 23 C ． 13 D ． 1414．已知O 为坐标原点，平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，点E ， F 分别为AB ，AD 的中点，且OE ， OF 的斜率之积为34-，则椭圆Ω的离心率为（ ）A ．12 B ．2 C ． 34 D ． 45二、椭圆离心率取值范围1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆C 上，点I 在12MF F ∆的内部，且满足121121112120MF MF F M F F IM IF F M MF MF F F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，及121212IMF IMF IF F S S S ∆∆∆-=，若恒有122MF MF >成立，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ． 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 2,13⎛⎫⎪⎝⎭ C ． 40,9⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 4,19⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知两定点()2,0A -和()2,0B ，动点(),P xy 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ． 3．设椭圆2222:1x y E a b+= (0a b >>)的一个焦点()2,0F 点()2,1A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得8PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ． 44,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 4497⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ． 22,97⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ． 22,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知F 1，F 2分别是椭圆C ： 22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ． 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 10,3⎛⎤⎥⎝⎦5．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，且AB ，AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ） A ． 13,23⎛⎫⎪⎪⎝⎭ B ． 32,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ． 13,43⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ． 11,43⎛⎫⎪⎝⎭ 【总结】利用椭圆定与性质求椭圆的离心率，属于难题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围．本题是利用椭圆的定义以及三角形两边与第三边的关系构造出关于e 的不等式，最后解出e 的范围．三、双曲线离心率求值1．已知双曲线22x a－22y b ＝1 (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF 与FB 反向，则该双曲线的离心率为( )A ．52B ． 3C ． 5D ．522．以双曲线C ： 22x a－22y b ＝1 (a ＞0，b ＞0)上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点，与y 轴交于P ，Q 两点．若△MPQ 为正三角形，则该双曲线的离心率等于( ) A ．2 B ．3 C ． 2 D ． 53．已知椭圆C ： 22x a＋22y b ＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx－ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A ．63 B ． 33 C ． 23 D ． 134．已知22221x y a bΓ-=： （0,0a b >>1）的左、右焦点分别为1F ， 2F ，点P 是双曲线Γ右支上一点，且212PF F F ⊥，过点P 作1F P 的垂线交x 轴于点A ，且22PM MF =，若PA 的中点E 在1F M 的延长线上，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ． 3+2B ． 2+2C ． 1+2D ． 4+25．设双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -， ()2,0F c ，直线l ：()ay x c b=-与双曲线C 在第一、三象限的渐近线的交点为P ，若12PF PF ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ． 2 C ．3 D ．26．已知点12F F 、分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右两个焦点，点P 是双曲线右支上一点，若P 点的横坐标043x a =时，有12F P F P ⊥，则该双曲线的离心率e 为( ) A ． 322 B ． 32 C ． 2 D ． 927．如图所示，椭圆22221x y a b+=中心在坐标原点， F 为左焦点，当0FB AB ⋅=，其离心率为512-，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比黄金椭圆，可推算出黄金双曲线的离心率等于（ ）A ．512- B ． 512+ C ． 51- D ． 51+8．已知双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左右焦点分别为1F ， 2F ，点P 在双曲线的左支上， 2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PF Q ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率是（ ） A ．2 B ． 2 C ． 5 D ． 79．已知1F ， 2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，若直线y x =与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形12PF QF 为矩形，则双曲线的离心率为A ． 2+B ．C ． 2D ． 10．12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，过1F 且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于,A B 两点，若12AB BF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 11．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，若122PF PF a -=，2PM MF =，且2OMF ∆为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ． 1C ．D ．12．设A ， B 为双曲线()22220x y a bλλ-=≠同一条渐近线上的两个不同的点，若向量()0,2n =，3AB =且1AB nn⋅=-，则双曲线的离心率为（ ）A ． 2或4 B ． 3或4 C ． 3D ． 3 13．设双曲线Ω： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，Ω上存在关于y 轴对称的两点P ，Q （P 在Ω的右支上），使得2122PQ PF PF +=，O 为坐标原点，且POQ ∆为正三角形，则Ω的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 14．已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过12,F F 分别作垂直于x 轴的直线交双曲线于,,,A B C D 四点，顺次连接这四个点正好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ）A ．52 B ． 512+ C ． 32 D ．312+ 四、双曲线离心率取值范围1．已知S 为双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）上的任意一点，过S 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于点M ， N ，交y 轴于点P ，Q ，若()114OP OQ OM ON ⎛⎫+⋅+≥ ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）A ． (]1,2B ． [)2,+∞ C ． (1,2⎤⎦ D ． )2,⎡+∞⎣2．已知双曲线2222-1x y a b = (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上的任意一点，若212||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ． (1，＋∞) B ． (1，2] C ． (1，3] D ． (1，3]3．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为e ，其中一条渐近线的倾斜角θ的取值范围是,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其斜率为k ，则2e k 的取值范围是（ ） A ． (1,3⎤⎦ B ． 431,3⎛⎤⎥ ⎝⎦C ． 2,23⎡⎤⎣⎦D ． 432,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．双曲线22x a－22y b ＝1 (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( ) A ． 512⎛⎫⎪⎪⎝⎭， B ． 52⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭， C ． 514⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ． 54⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 5．已知双曲线C ： 22x a－22y b ＝1 (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A ． (1，3] B ． [3，＋∞) C ． (0，3) D ． (0，3]6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右支上的点到直线1b y x a =+的距离恒大于12，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）A ． (]1,2B ． ()1,2C ． ()2,+∞D ． [)2,+∞7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过点2F 且与该双曲线的右支交于,A B 两点，若1ABF ∆的周长为7a ，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ． 71,2⎛⎤⎥ ⎝⎦ B ． 11,72⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ． 7,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 711,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ 8．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，右焦点为()F ,0c ，弦PQ 的过F 且垂直于x 轴，过点P Q ，分别作直线,AP AQ 的垂线，两垂线交于点B ，若B 到直线PQ 的距离小于()2a c +，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ． ()1,5B ． ()1,3C ．()3,2 D ．()5,+∞9．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ． ()2,+∞B ．)3,2 C ．2,3 D ． (210．设双曲线Ω： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与右焦点分别为A ， F ，以线段AF 为底边作一个等腰AFB ∆，且AF 边上的高h AF =．若AFB ∆的垂心恰好在Ω的一条渐近线上，且Ω的离心率为e ，则下列判断正确的是（ ） A ． 存在唯一的e ，且3,22e ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ． 存在两个不同的e ，且一个在区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个在区间3,22⎛⎫⎪⎝⎭内C．存在唯一的e，且31,2 e⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D．存在两个不同的e，且一个在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭内，另一个在区间52,2⎛⎫⎪⎝⎭内【总结】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea =；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．。

圆锥曲线离心率一、已知圆锥曲线方程直接求离心率例1：椭圆2212516x y +=的离心率为（ ）A ．35B ．45C ．43D ．34二、根据圆锥曲线的几何性质求离心率的值或取值范围例2：（多选题）已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2y x =±，则双曲线E 的离心率为（ ）A B C D 三、根据圆锥曲线的离心率求参数的值或取值范围例3：已知焦点在x 轴上的椭圆2214x y m +=的离心率为2，则实数m 等于（ ）A ．2B ．8C ．4+D ．4-四、圆锥曲线的离心率的综合运用例4：已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x ⊥轴，且1PF 与圆2224c x y +=相切，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12C D 增分训练一、选择题1．已知双曲线22:145x y C -=，则C 的离心率为（ ）A ．54B ．32C ．5D ．32．椭圆C 的长轴长是短轴长的3倍，则C 的离心率为（ ） A ．6 B ．2 C ．3 D ．223．已知双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则双曲线的离心率是（）A 5B 3C 3D 54．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>5P 到两焦点距离之和为12，则b =（ ）A ．8B ．6C ．5D ．45．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，其一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．52B 3C ．2D 56．若双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的渐近线和圆22430x y x +-+=相切，则该双曲线的离心率为（ ） A 23B ．43C 2D ．27．在直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，位于第一象限上的点00(,)P x y 是双曲线C 上的一点，满足120PF PF ⋅=，若点P 的纵坐标的取值范围是024(,)35y c c ∈，则该双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．2,2)B ．(2,4)C ．(3,5)D ．(3,5)8．（多选题）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在点P ，使得123PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）A ．14B ．12C．6D ．349．（多选题）曲线22143x y +=与2213y x -=的离心率分别为1e ，2e ，下列结论正确的是（ ） A ．1112eee e > B ．12ln ln e e < C ．121e e ⋅=D ．123e e e >二、填空题10．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 ．11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2AP PB =，则椭圆的离心率是 ．12．双曲线22916144x y -=-的离心率等于 ，其渐近线与圆2220x y x m +-+=相切，则m = ．13．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为 ．14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]126α∈，求该椭圆的离心率e 的取值范围 ．圆锥曲线离心率一、已知圆锥曲线方程直接求离心率例1：椭圆2212516x y +=的离心率为（ ）A ．35B ．45C ．43D ．34【答案】A【解析】在椭圆2212516x y +=中，5a =，4b =，3c ==，因此，该椭圆的离心率为35c e a ==，故选A ． 二、根据圆锥曲线的几何性质求离心率的值或取值范围例2：（多选题）已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2y x =±，则双曲线E 的离心率为（ ）A B C D 【答案】AB【解析】若双曲线焦点在x 轴上，因为渐近线方程为2y x =±，故2ba =，∴c e a === 若双曲线焦点在y 轴上，由渐近线方程为2y x =±，得2ab=，∴2c e a ===， 故选AB ．三、根据圆锥曲线的离心率求参数的值或取值范围例3：已知焦点在x 轴上的椭圆2214x y m +=的离心率为2，则实数m 等于（ ）A ．2B ．8C ．4+D ．4-【答案】B【解析】由题意，得a =2b =，则c =，所以椭圆的离心率42c m e a m-===，解得8m =，故选B ． 四、圆锥曲线的离心率的综合运用例4：已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x ⊥轴，且1PF 与圆2224c x y +=相切，则该椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．12C ．22D ．63【答案】A【解析】如图，设直线1PF 与圆2224c x y +=相切于点M ，连接OM ，则2c OM =，椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，∵2PF x ⊥轴，∴22P b PF y a ==，∴21222b PF a PF a a=-=-，∵1OM PF ⊥，∴2PF x ⊥轴，∴112OMF PF F △△∽， ∴121OM OF PF PF =，即2222acc b b a a=-，解得33c e a ==，故选A ． 增分训练一、选择题1．已知双曲线22:145x y C -=，则C 的离心率为（ ）A ．54B ．32C 35D 25【答案】B【解析】依题意2a =，b =3c ==，所以32c e a ==，故选B ． 2．椭圆C 的长轴长是短轴长的3倍，则C 的离心率为（ ） ABCD【答案】D【解析】由题意可得3a b =，又222a b c =+，可得2229a a c =+，整理可得2289c a =，所以3c e a ==，故选D ．3．已知双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则双曲线的离心率是（ ） A．2B．2CD【答案】A【解析】由题意可知，双曲线方程为2211x y k-=，0k >，所以该双曲线的渐近线方程为y =． 又其中一条渐近线与直线210x y ++=垂直，即y =与直线210x y ++=垂直，所以21-=-，即14k =，所以双曲线标准方程为2214x y -=，所以双曲线的离心率为22=，故选A ． 4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，则b =（ ）A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】D【解析】由椭圆的定义，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，即212a =，6a =， 又椭圆离心率5c e a ==，所以25c =， 由222c a b =-，解得4b =，故选D ．5．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，其一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．3C ．2D ．5【答案】A【解析】双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），其一条渐近线方程为20x y -=，∴12b a =，离心率251()c b e a a ==+=， 故选A ．6．若双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的渐近线和圆22430x y x +-+=相切，则该双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．43C ．2D ．2【答案】D【解析】易知双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线为0ax by +=，圆22430x y x +-+=的圆心为(2,0)，半径1r =， 由题意得：圆心到渐近线的距离2221a d r a b===+，又因为222c a b =+，代入可得21a c =，所以2ce a==，故选D ．7．在直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，位于第一象限上的点00(,)P x y 是双曲线C 上的一点，满足120PF PF ⋅=，若点P 的纵坐标的取值范围是024(,)35y c c ∈，则该双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A．2) B ．(2,4)C ．(3,5)D．【答案】D【解析】1(,0)F c -，2(,0)F c ，00(,)P x y ，由120PF PF ⋅=，可得222000x c y -+=， 又2200221x y a b -=，解得4202b y c=， 由于024(,)35y c c ∈，所以222435b c <<，2222435c a c -<<， 2214135e <-<，211153e <<e <<D ． 8．（多选题）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在点P ，使得123PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）A ．14B ．12C．6D ．34【答案】BD【解析】设椭圆的焦距为2(0)c c >，由椭圆的定义可得121232PF PF PF PF a =⎧⎨+=⎩，解得132a PF =22aPF =， 由题意可得232aa c a a c⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得12c a ≥，又01c a <<，所以，112ca≤<，所以，该椭圆离心率的取值范围是1[,1)2，故符合条件的选项为BD ，故选BD ．9．（多选题）曲线22143x y +=与2213y x -=的离心率分别为1e ，2e ，下列结论正确的是（ ） A ．1112eee e > B ．12ln ln e e < C ．121e e ⋅=D ．123e e e >【答案】BC【解析】由曲线22143x y +=，可得2a =，b =则1c ==，可得离心率112e =；由曲线2213y x -=，可得11a =，1b =，则12c ==，可得离心率22e =，因为1221()22<，故A 错误；因为1ln ln 22<，故B 正确； 因为1212⨯=，故C 正确； 因为12233<，故D 错误， 故选BC ．二、填空题10．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】y =【解析】因为双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，所以2e ===，所以223b a =，所以该双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故答案为y =．11．已知椭圆22221(0) xya ba b+=>>的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF x⊥轴，直线AB交y轴于点P，若2AP PB=，则椭圆的离心率是．【答案】12【解析】如图，由于BF x⊥轴，故Bx c=-，2Bbya=，设点(0,)P t，因为2AP PB=，所以2(,)2(,)ba t c ta-=--，得2a c=，所以12cea==．12．双曲线22916144x y-=-的离心率等于，其渐近线与圆2220x y x m+-+=相切，则m=．【答案】53，1625【解析】化双曲线的方程为标准方程，得221916y x-=，所以3a=，4b=，所以251()3c bea a==+=，渐近线的方程为34ay x xb=±=±．化圆的方程为22(1)1x y m-+=-，则由2234110mm⎪+=-⎨⎪->⎩，解得1625m=，故答案为53，1625．13．已知1F，2F是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且12PF PF>，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为 ． 【答案】6【解析】设椭圆对应的参数为1a ，1b ，c ，双曲线对应的参数为2a ，2b ，c ， 由于线段1PF 的垂直平分线过2F ，所以有1222F F PF c ==．根据双曲线和椭圆的定义有11122222PF c a PF c a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，两式相减得到1242()c a a =-， 即122a a c -=，所以21221222222244262222e a a a c c c e c a c a c a +=+=++≥+⋅=，即最小值为6． 14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]126α∈，求该椭圆的离心率e 的取值范围 ．【答案】6[31,]e ∈-． 【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，则四边形1AFBF 为矩形，∴12AB FF c ==，2AF BF a +=．∵2sin AF c α=，2cos BF c α=，∴2sin 2cos 2c c a αα+=，∴11πsin cos 2)4e ααα==++．∵ππ[,]126α∈，∴ππ5π[,]4312α+∈，∴πsin()4α+∈，π1),422α++∈，∴椭圆的离心率1,3e ∈．。