人教版A版(教案2)2.3幂函数

第一课时：幂函数一、课前准备 1．课时目标（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 21的图象. （2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质. （3）重点：常见幂函数的概念、图象和性质 2．基础预探 （1）、所有幂函数在 都有定义，并且图象都过点 .（2）、①如果0α>，则幂函数的图象过 ，且在区间[)0,+∞上为 . ②0α<，则幂函数图象在区间()0,+∞上是 ，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近 ，当x 趋向于+∞时，图象在x 轴上无限地逼近 . （3）、当α为奇数时，幂函数为 ；当α为偶数时，幂函数为 .（4）、下列形式的函数为幂函数的是：①(2)y x α=；②2y x α=；③22y x =+；④xy a =；⑤2y x =，则 . (5)、若函数22mm y x ++=在第一象限，其值随x 的增大而减小，则m 的取值范围是 .(6)、幂函数的性质：y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=定义域 值域 奇偶性单调性在 上单调递增. 在 上单调递减； 在 上单调递增.在 上单调递增. 在上单调递增.在 和上单调递增.定点二、基本知识习题化1. 若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.A ．α>0B ．α<0C ．α=0D ．不能确定2. 函数43y x =的图象是（ ）.A. B. C. D.3. 若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是（ ）.A ．a <l<bB ．1<a <bC ．b <l<aD ．1<b <a 4. 比大小：（1）11221.3_____1.5； （2）225.1______5.09--.5. 已知幂函数()y f x =的图象过点(2,2)，则它的解析式为 . 三、学习引领 1．幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

其次，在实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作中表现出了很高的积极性。他们能够将所学的幂函数知识应用到实际问题中，这让我感到很欣慰。但同时我也注意到，有些学生在讨论过程中过于依赖公式，缺乏对问题的深入思考。针对这一问题，我计划在今后的教学中，多引导学生从不同角度分析问题，培养他们的创新意识和解决问题的能力。
-强调幂函数的单调性、奇偶性、过定点等性质。
-结合具体幂函数，如f(x) = x^2、f(x) = x^3等，讲解其性质并举例说明。
-核心内容三：常见幂函数的图像与性质
-详细分析正比例函数、反比例函数、二次函数、三次函数的图像及其性质。
-引导学生观察图像，总结性质，并能运用性质解决相关问题。
2.教学难点
4.数学抽象：帮助学生从具体实例中抽象出幂函数的一般规律，培养学生的数学抽象思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容一：幂函数的定义及其一般形式
-重点讲解幂函数的一般形式f(x) = x^a，强调a为常数的特点。
-通过实例展示，让学生理解不同a值对应的幂函数图形差异。
-核心内容二：幂函数的性质
-难点三：幂函数在实际问题中的应用
-学生可能不知道如何将幂函数应用于实际问题，如计算面积、体积等。
-教师应设计相关实际问题，引导学生运用幂函数知识解决问题，提高应用能力。
-难点四：幂函数性质的应用与拓展
-学生可能难以将幂函数性质应用于更广泛的数学问题。
-教师可通过举例，如数学竞赛题等，展示幂函数性质在更复杂问题中的应用，拓展学生思维。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解幂函数的基本概念。幂函数是形如f(x) = x^a的函数，其中a为常数。幂函数在数学中具有重要地位，广泛应用于实际问题中。

§2.3 幂函数一、教学目标设计：1．教学目的（1）理解幂函数的概念；（2）通过五个具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2．教学过程首先提出幂函数的概念，然后类比研究一般函数的过程与方法来研究幂函数的图象和性质，最后应用这些知识解题.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二、教学重点与难点设计：重点：从五个具体的幂函数中认识一般幂函数的概念和性质难点：从具体幂函数的图象中概括其性质三、教学特点设计：以问题为载体；以学生为主体；以多媒体为辅助手段；以能力提高为主要目标.重视情感的体验过程；概念的提取过程；知识的形成过程；解题的探索过程.四、教学过程设计：教学过程是课堂的主体，我们应该对每堂课都做好充分的准备.我为这堂课设计了如下的六个教学环节：1.创设情境，提出问题：在这堂课，提出如下5个问题：(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=_____元，这里__是__的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=______，这里__是__的函数；(3) 如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V=______，这里__是__的函数；(4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a=______，这里__是__的函数；(5) 如果某人t秒内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=_______km/s，这里__是__的函数.设计意图：从身边发现数学问题，通过学生对现实生活中问题的关注，提高学生提出问题的能力，激发学生的学习兴趣，引发学生对实际问题的思考. 2.分析问题，形成概念我先请同学回答上述问题，再给出下列问题. 1o 它们的对应法则分别是什么？ 2o 以上问题中的函数有什么共同特征？然后让学生先自主探究，再分组讨论交流，抽取一组代表发言，引导学生概括出结论. 【答案】1o 乘以1 ；求平方；求立方 ；求算术平方根；求－1次方.2o 上述的问题涉及到的函数，都是形如：y x α=，其中x 是自变量，α是常数.设计意图：首先考察学生分析问题、解决问题的能力.再让学生自主探究，通过恰当的引导，从而使学生能更好地形成数学概念（由对实际问题的解决自然地过渡到对新概念的形成，使得知识的衔接较为顺畅，概念的形成水到渠成）. 3.提炼概念，探究新知有了前面的探索，我可以提炼幂函数的定义.一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.在通过例子，巩固幂函数的概念. 例1. 判断下列函数是否为幂函数： （1）y =3x ； (2) y = x π； (3) y =21x； (4) y =2x -； (5) y =x 3+1 【答案】(2) (3)设计意图：培养学生对概念的把握，通过例题熟悉概念，从而可以做到举一反三，避免题海战术，避免解题的盲目性. 4.结合图像，深入探究学习函数一般先研究函数的图象，再通过图像研究图象的性质，然后能应用性质.学习幂函数也一样，先研究幂函数的图象. 提问：如何画出以下五个函数图象？（1）y x = ； （2）12y x = ； （3）2y x = ；（4）1y x-=；（5）3y x=.引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图象，最后，画出以上五个数数的图象.让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.通过观察图象，填探究中的表格y x=2y x=3y x=12y x=1y x-=图象定义域R R R {}|0x x≥{}|0x x≠值域R [)+∞,0R [)+∞,0{y|y≠0} 奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限单调性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）再通过例子熟悉这种方法.例2.画出y=x32的图象，并指出它的定义域，值域，奇偶性，单调性.【解析】用描点法画出函数的图象，然后由图象说性质.解：定义域为R ，值域为[)+∞,0，偶函数，在(]0,∞-单调递减，在[)+∞,0单调递增. 再让学生分组讨论：幂函数具有哪些性质？ 糅合学生的问题，总结出幂函数的几个基本性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）； （2）a >0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当a ＞1时，图象形状向下凹；当0∠α＜1时，图象形状向上凸，. （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.(4) 当a 为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数．设计意图：这是这节课的重点与难点.首先通过五个基本幂函数的图像，得出它们的性质，再在此基础上总结出幂函数的几个基本性质.培养学生的类比能力、探索能力、思维能力、归纳总结能力. 5.运用新知，解决问题例3.幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在第一象限的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．a >b >c >dB ．d >b >c >aC ．d >c >b >aD ．b >c >d >a 【解析】方法一：类比方法二：取x =2来解 【答案】D.例4.证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数【解析】回顾函数单调性的证明的一般步骤，并注意出现根式相减的一般处理方法. 证明：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜0所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.例5.判断下列两个值的大小（1） 325- 和3.125- ； （2）887- 和（91）87； （3）34.1和3.15.1.【解析】比较幂的大小，一般有几类：（1）底同指数不同；（2）指数相同底不同；（3）指数与底都不同，这是要找中介量. 【答案】(1) > ； (2) > ； (3) <.设计意图：及时检验学生掌握所学新知识的情况，发现学生在解题过程中是否存在问题. 争取做到及时发现，及时纠正. 6.归纳总结，巩固提高为了能使学生对这堂课所学的知识有一个清晰而完整的印象，我准备从以下两方面做个小结. （1）掌握幂函数的定义；（2）熟练掌握五种幂函数y x =、2y x =、3y x =、12y x =、1y x -=的图象与性质；（3）学会从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性多方面了解密函数的特征，并能进行简单的应用. 然后布置作业：课后作业：习题2.3第1.2题.设计意图：通过对所学知识进行归纳总结，可以使学生能从总体上把握这堂课的内容，并将所学知识纳入已有的认知结构.通过布置作业，可以使学生巩固课堂内容，并为下一课教学埋下伏笔.五、教学反思设计（1）与学生交流，反思自己的讲解有没有从根本上解决学生存在的问题，有没有提高学生的思维能力，教学是否达到了预期目标；（2）与同事交流，反思设计的依据、出发点，反思教学重心、基本教学过程，反思富有创意的素材或问题等.（3）通过批改作业，反思知识的渗透是否到位，学生是否理解了问题的本质性的东西等. （4）从参考资料、教学信息等方面反思.学习相关的数学教育理论，参考多方面的教学信息，可以丰富我的知识水平，开阔我的教学思路，使我理智的看待自己教学活动中“熟悉的”、“习惯性”的行为，能使我更大限度的做出有效的教学决策.。

2.3 │ 当堂自测
当堂自测
1．在函数 y＝x15，y＝2x3，y＝1x－1，y＝x0 中，幂函数的个
数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] C
[解析] y＝x15和 y＝x0 是幂函数，故选 C.
2.3 │ 当堂自测
2．下列函数中，定义域为 R 的函数是( )
A．y＝x34
B．y＝x－13
2.3 │ 三维目标
3．情感、态度与价值观 通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实 际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；利用计算机了解幂函 数图像的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中 的作用，从而激发学生的学习欲望．
2.3 │重点难点
重点难点
[重点] 常见幂函数的概念、图像和性质．． [难点] 幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．
2.3 限内根据指数 α 的不同有以下三种 变化趋势：
当 0<α<1 时，幂函数图像上凸(如 (1))，为增函数； 当 α>1 时，幂函数图像下凸(如图 (1))，为减函数； 当 α<0 时，幂函数图像与坐标轴没有公共点(如图 (2))，为减 函数．
2.3 │ 考点类析
∞)上是_____减__函__数___，图像不通过原点，且在第一象限内，
当 x 从右边趋向于原点时，图像无限接近于______轴，当 x
趋向于正无穷时，图像无限接近于_x_____轴．
2.3 │ 预习探究
[探究] 幂函数的图像能经过第四象限吗？为什么？
解：幂函数的图像不能经过第四象限，因为当 x>0 时， xα >0(其中 α∈R)．
2.3 │新课导入
新课导入