1 3.2.3 直线的一般式方程
（一）导入新课
思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.
思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.
(1)斜率是1，经过点A（1，8）；(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P1（－1，6）、P2（2，9）；(4)y轴上的截距是7，倾斜角是45°.
由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77yx=1、121696xy、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y的二元一次方程?
②关于x,y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为零）是否都表示一条直线?
③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?
④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?
⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A、B、C有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?
讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.
1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.
2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x、y的二元一次方程，其中y的系数是零.
结论1°：直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程.
②分析：a当B≠0时，方程可化为y=-BAx-BC，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA，在y轴上的截距为-BC的直线.b当B=0时，由于A、B不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y轴平行或重合的直线.
2.2.3直线的一般式方程
教学设计
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第二节《直线的方程》。以下是本单元的课时安排：
第二章 直线和圆的方程
课时内容 2.1直线的倾斜角与斜率 2.2直线的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式
所在位置 教材第51页 教材第59页 教材第70页
新教材
内容
分析 直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。
在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础. 围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点.“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．
核心素养培养 通过直线的倾斜角和斜率的求解，以及在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 通过直线方程的求法，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
通过直线交点的求法，距离公式的应用，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
教学主线 直线的方程的应用
在学生亲身体验直线的一般式直线方程的求法，通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。
1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系，培养数学抽象的核心素养．
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化，提升数学运算的核心素养.
3.2.3 直线的一般式方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．过点(－3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为( )
A．4x＋3y＋12＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y＋12＝0 D．4x－3y－12＝0
解析：由已知得方程为x－3＋y4＝1，
即4x－3y＋12＝0.
答案：C
2．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有( )
A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5
C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5
解析：直线5x－2y－10＝0可以化为截距式方程x2＋y－5＝1，所以a＝2，b＝－5.
答案：B
3．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
解析： y＝－abx＋cb，∵k＝－ab>0，cb<0，∴该直线过第一、三、四象限．
答案：C
4．过点M(2,1)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点．若M为线段PQ的中点，则这条直线方程为( )
A．2x－y－3＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＋3＝0
解析：设y－1＝k(x－2)，令x＝0得y＝1－2k，
则0＋－2＝1，解得k＝－12，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
答案：C
5．一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0上后反射，则反射光线所在的直线方程为( )
A．2x＋y－6＝0 B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0 D．x＋2y－9＝0 解析：取直线2x－y＋2＝0上一点A(0,2)，设点A(0,2)关于直线x＋y－5＝0对称的点B(a，b)，
则有 a2＋b＋22－5＝0，b－2a＝1，解得 a＝3，b＝5，所以B(3,5)．
联立方程，得 2x－y＋2＝0，x＋y－5＝0，解得 x＝1，y＝4，
直线的方程
学习目标：
1.明确直线方程一般式的形式特征.
2.会根据直线方程的一般式求斜率和截距.
3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.
一、复习巩固：
名称 已知条件 直线方程 使用范围
点斜式 kyxP),,(111
斜截式 bk，
两点式 ),(11yx),(22yx
截距式 ba,
2、已知直线:0laxbyc 且0,0abbc，则l不通过的象限是第__ _象限
3、求过点（4，-3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程。
二、自学,记下重点，并提出问题。
三、提问与答疑
四、课堂练习： P46练习1、2、3
补充例题：1、求过点（2，-1），倾斜角是直线4340xy倾斜角的一半的直线方程。
2、直线Ax＋By＋C＝0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件( )
A.A、B、C同号 B.AC＜0，BC＜0
C.C＝0，AB＜0 D.A＝0，BC＜0
五、作业布置：
★1、求过点P（0，1）且和点A（3，3）B（5，-1）距离相等的直线方程。
3、直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A、B、C满足什么关系时，这条直线有以下性质？
（1）与两条坐标轴都相交； （2）只与x轴相交；
（3）只与y轴相交； （4）是x轴所在的直线；
（5）是y轴所在的直线。
4、证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上．
5、设点P(x0，y0)在直线A+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0．
★ ★
6、直线l的方程为14)()32(22mymmxmm
①当m=________时，直线l的倾斜角为045；
②当m=________时，直线l在x轴的截距为1；
③当m=________时，直线l在y轴的截距为23 ；
④当m=________时，直线l与x轴平行；
