数值计算方法期末试题及答案

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-- 一、选择题(每小题4分,共20分)

1. 误差根据来源可以分为四类,分别是( Ａ )

A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差;

B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差;

C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；

D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。

２. 若132)(356xxxxf，则其六阶差商]3,,3,3,3[6210f( C )

A. 0; B． 1; Ｃ. ２; D. 3 。

3. 数值求积公式中的Ｓiｍpson公式的代数精度为 （ D )

A． 0； B． 1； C． ２； D． ３ 。

４． 若线性方程组Aｘ = b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则解方程组的Ｊａcobi迭代法和Gaｕsｓ-Ｓｅiｄel迭代法 ( Ｂ )

A. 都发散；

B. 都收敛

Ｃ． Jacobi迭代法收敛,Gauss-Seｉdｅl迭代法发散;

D． Jacoｂi迭代法发散，Gａuｓs-Ｓｅidel迭代法收敛。

５． 对于试验方程yy，Euler方法的绝对稳定区间为（ C ）

Ａ. 02h； B. 0785.2h ；

C． 02h； Ｄ． 0785.2h ；

二、填空题（每空3分,共18分）

１. 已知4321,)2,1(Ax,则 2x5，1Ax 16 ，2A 22115

2. 已知3)9(,2)4(ff，则 ｆ (ｘ)的线性插值多项式为)6(2.0)(1xxL,且用线性插值可得ｆ (7)=

2．6 。

3. 要使20的近似值的相对误差界小于0.1％,应至少取 ４ 位有效数字。

三、利用下面数据表,

1. 用复化梯形公式计算积分dxxfI )(6.28.1的近似值;

解:1.用复化梯形公式计算 取2.048.16.2,4hn 1分 10.46675 8.03014 6.04241 4.42569 3.12014 f (x) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x --

-- 分分分7058337.55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04))()(2)((231114fkffbfxfafhTknkk

２. 用复化Ｓimｐson公式计算积分dxxfI )(6.28.1的近似值。

(要求计算结果保留到小数点后六位)． (14分)

解：用复化辛甫生公式计算 取4.028.16.2,2hn ８分

分分分14033002.512)}6.2()2.2(2)]4.2()0.2([4)8.1({64.011))()(2)(4)((61110221fffffbfxfxfafhSnkknkk

四、已知矩阵1256144412A,求矩阵A的Ｄoｏlittlｅ分解。 (１0分）

解：用紧凑格式法

分分分14033002.512)}6.2()2.2(2)]4.2()0.2([4)8.1({64.011))()(2)(4)((61110221fffffbfxfxfafhSnkknkk

412131312121111auauau 2分

7221321232312212222112121ulauulauaal 5分

7132332133133332212313232113121ululauuulalaal 8分

772412113121 LUA 1０分

五、用Newｔoｎ迭代法求解方程0133xx在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。

(12分) --

-- 解： 013)(3xxxf, 0.20x

33123313)()(23231kkkkkkkkkkxxxxxxxfxfxx ６分

8889.191732312233122320301xxx ８分

8794.1331221312xxx,8794.1331222323xxx １1分

故,方程的近似根为1.８97４ １２分

六、对下面线性方程组 （1２分）

38.04.028.04.014.04.0321321321xxxxxxxxx

1.判别用雅可比迭代法是否收敛,若收敛则写出其迭代格式；

２.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；

解 1. 雅可比法：

A是对角元素为正的实对称阵,下面判别ADA2 和是否同时正定:

0296.018.04.08.014.04.04.01 , 016.0114.04.01 , 01 

A 正定 5分

18.04.08.014.04.04.012AD

0216.018.04.08.014.04.04.01 , 016.0114.04.01 , 01 

AD2 不正定．即ADA2 和不同时正定 8分

故,Ｊacｏbｉ法发散． 9分

2. 高斯－塞德尔法:由1知, A是实对称正定矩阵,所以Ｇauss-Sｅideｌ法收敛. １０分 --

-- 其迭代格式为 )1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(18.04.0380 4.02 4.04.01

kkkkkkkkkxxxx.xxxxx １２分

七、已知初值问题: 1)0(4.00,'yxyxy，取步长h ＝0．1,

１. 用(显式的）Eｕｌer方法求解上述初值问题的数值解；

2. 用改进的Ｅuｌer方法求上述初值问题的数值解。 （14分）

解：1 ．建立具体的Eｕｌer公式：

nnnnnnnnnyxyxyyxhfyy9.01.0)(1.0),(1 3分

已知4,3,2,1,0 , 1.0 , 10nnxyn，则有:

9.09.01.0001yxy

82.09.09.01.01.09.01.0112yxy 5分

758.082.09.02.01.09.01.0223yxy

7122.0758.09.03.01.09.01.0334yxy 7分

解：２.建立具体的改进的Euｌer公式:

 005.0905.0095.0)(01.091.009.0),( 9.01.0),(2111nncpnnnpnncnnnnnpyxyyyyxyxhfyyyxyxhfyy 10分

已知4,3,2,1,0 , 1.0 , 10nnxyn则有:

91.0005.0905.0095.0001yxy

83805.0005.091.0905.01.0095.0 005.0905.0095.0112yxy 12分

78243525.0005.083805.0905.02.0095.0 005.0905.0095.0223yxy

7416039.0 005.078243525.0905.03.0095.0 005.0905.0095.0334yxy 14分