1. 已知函数
21
1y x =
+的一组数据：
求分段
线性插值函数，并计算
()
1.5f 的近似值.
计算题1.答案
1. 解
[]
0,1x ∈，
()1010.510.50110x x L x x --=
⨯+⨯=---%
[]1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--% 所以分段线性插值函数为
()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨
-∈⎪⎩%
()1.50.80.3 1.50.35
L =-⨯=%
4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1
01
1dx x +⎰.
计算题4.答案
4 解 梯形公式
()()()2b
a
b a
f x dx f a f b -≈
⎡+⎤⎣⎦⎰
应用梯形公式得
1
01111
[]0.75121011dx x ≈+=+++⎰
辛卜生公式为
确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度
()()()()
1010h
h
f x dx A f h A f A f h --=-++⎰
证明题答案
故
(
)()()()40333h
h
h h
f x dx f h f f h -=
-++⎰
具有三次代数精确度。
1．设
3
2
01219
(), , 1, 44f x x x x x ====
（1）试求()f x 在
19,44⎡⎤⎢⎥
⎣⎦上的三次Hermite 插值多项式()x H 使满足''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x ===
()
x H 以升幂形式给出。
（2）写出余项()()()R x f x H x =-的表达式
计算题1.答案
1、（1）
()32142632331
22545045025x x x x H =-
++-
（2）
()522191919()(1)(),()(,)
4!164444R x x x x x ξξξ-=---=∈
3．试确定常数A ，B ，C 和 a ，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？
计算题3.答案
4．推导常微分方程的初值问题00
'(,)
()y f x y y x y =⎧⎨
=⎩的数值解公式：
'''1111(4)
3n n n n n h y y y y y +-+-=+++
（提示：利用Simpson 求积公式。）
计算题4.答案
(1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式2()sin 0.34L x 计算的值。 插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。
计算题1.答案
4).（15分）求系数123,,A A A 和使求积公式
1
1231
11
()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤⎰对于次数的一切多项式都精确成立。
计算题4.答案
三、计算题（70分）
1.
（10分）已知f (0)＝1，f (3)＝2.4，f (4)＝5.2，求过这三点的
二次插值基函数l 1(x )=( )，
]4,3,0[f =( ), 插值多项式
P 2(x )=( ), 用三点式求得
=')4(f ( ).
计算题1.
答案
3. （15分）确定求积公式
)
5.0()()5.0()(11
1
Cf x Bf Af dx x f ++-≈⎰
- 的待
定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.
计算题3.答案
4. （15分）设初值问题 1
01
)0(23<<⎩⎨
⎧=+='x y y
x y .
(1) 写出用Euler 方法、步长h =0.1解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进的Euler 法（梯形法）、步长h =0.2解上述初值问题数
值解的公式，并求解21,y y ，保留两位小数。
计算题4.答案
5. （15分）取节点1,5.0,0210===x x x ，求函数x
e y -=在区间]1,0[上的二次插
值多项式)(2x P ，并估计误差。
计算题5.答案
5．
)5.0
)(
(
1
5.0
1
5.0
1
)0
(
5.0
1
)
(
5.0
5.0
1
5.0
2
-
-
-
-
-
-
-
-
+
-
-
-
+
=
-
-
-
-
x
x
e
e
e
x
e
e
x
p
=1+2()5.0
(
)1
2
(2
)15.0
1
5.0-
+
-
+
--
-
-x
x
e
e
x
e
[]
(
!3
)
(
)
(
,1
max
,
2
1,0
''
3
''-
'''
=
-
=
=
-
=
∈
-x
x
f
x
p
e
y
M
e
y x
x
x
ξ
时
1
0≤
≤
∴x，
)1
)(
5.0
(
!3
1
)
(
2
-
-
≤
-x
x
x
x
p
e x
二、计算题
1、已知函数()
y f x
=的相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式3
()
P x，并计算
1
3()
2
P
=
的近似值。
计算题1.答案
解：差商表
由牛顿插值公式：
