高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程作业1 北师大版选修1-1

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金戈铁制卷 2.1.1 椭圆及其标准方程

[基础达标]

1.椭圆2x2＋y2＝8的焦点坐标是( )

A．(±2，0)

B．(0，±2)

C．(±23，0)

D．(0，±23)

解析：选B.椭圆标准方程为x24＋y28＝1，

∴椭圆焦点在y轴上，且c2＝8－4＝4，

∴焦点坐标为(0，±2)．

2.椭圆x225＋y2m＝1的一个焦点坐标为(3，0)，那么m的值为( )

A．－16 B．－4

C．16 D．4

解析：选C.焦点在x轴且c＝3，由25＝m＋9，∴m＝16.

3.已知方程x2k＋1＋y23－k＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是( )

A．k<1或k>3 B．1

C．k>1 D．k<3

解析：选B.由题意知k＋1>3－k>0，∴1

4.过点(－3，2)且与x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )

A.x215＋y210＝1 B.x2225＋y2100＝1

C.x210＋y215＝1 D.x2100＋y2225＝1

解析：选A.c2＝9－4＝5，由题意可设所求椭圆方程为x2b2＋5＋y2b2＝1，代入(－3，2)得9b2＋5＋4b2＝1，∴b2＝10，椭圆方程为x215＋y210＝1.

5.如图，椭圆x225＋y29＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为( )

A．8 B．2

C．4 D.32

解析：选C.由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，又|MF1|＝2，∴|MF2|＝8，由于N为MF1的中点，ON为中位线，∴|ON|＝12|MF2|＝4.

6.已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．

解析：由题意得：|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>|F1F2|＝2， -------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------

金戈铁制卷 ∴动点P是以F1、F2为焦点的椭圆，且a＝2，c＝1，

∴b2＝a2－c2＝3，轨迹方程为x24＋y23＝1.

答案：x24＋y23＝1

7.已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________．

解析：由于|AB|＋|F2A|＋|F2B|＝4a＝20，∴|AB|＝20－(|F2A|＋|F2B|)＝20－12＝8.

答案：8

8.若方程x2k－2＋y25－k＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是________．

解析：由方程x2k－2＋y25－k＝1表示椭圆，

可得k－2>0，5－k>0，k－2≠5－k，

解得2

即当2

方程x2k－2＋y25－k＝1表示椭圆．

答案：(2，72)∪(72，5)

9.设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，(1)PF1⊥PF2，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值．

(2)当∠F1PF2为钝角时，|PF2|的取值范围．

解：(1)∵PF1⊥PF2，∴∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.

∴20＝|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|＋|PF2|＝6，

解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1||PF2|＝2.

(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝6.

∵∠F1PF2为钝角，∴cos∠F1PF2<0.

又∵cos∠F1PF2＝r21＋r22－202r1r2<0，∴r21＋r22<20，∴r1r2>8，∴(6－r2)r2>8，

∴2

即|PF2|的取值范围是(2，4)．

10.(1)等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为42，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，求该椭圆的标准方程．

(2)在△ABC中， ∠A，∠B，∠C所对的三边分别是a，b，c，且|BC|＝2，求满足b，a，c成等差数列且c>a>b的顶点A的轨迹．

解：(1)

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金戈铁制卷 如图，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，有|AM|＋|AC|＝2a，|BM|＋|BC|＝2a，

两式相加，得8＋42＝4a，

∴a＝2＋2，|AM|＝2a－|AC|＝4＋22－4＝22.

在直角三角形AMC中，∵|MC|2＝|AM|2＋|AC|2＝8＋16＝24，

∴c2＝6，b2＝42.

故所求椭圆的标准方程为x26＋42＋y242＝1.

(2)

由已知条件可得b＋c＝2a，则|AC|＋|AB|＝2|BC|＝4>|BC|，结合椭圆的定义知点A在以B，C为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.

以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点O，建立平面直角坐标系，如图所示．

设顶点A所在的椭圆方程为x2m2＋y2n2＝1(m>n>0)，则m＝2，n2＝22－12＝3，从而椭圆方程为x24＋y23＝1.又c>a>b且A是△ABC的顶点，结合图形，易知x>0，y≠0.

故顶点A的轨迹是椭圆x24＋y23＝1的右半部分(x>0，y≠0)．

[能力提升]

1.设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP→＝2PA→，且OQ→·AB→＝1，则P点的轨迹方程是( )

A.32x2＋3y2＝1(x>0，y>0)

B.32x2－3y2＝1(x>0，y>0)

C．3x2－32y2＝1(x>0，y>0)

D．3x2＋32y2＝1(x>0，y>0)

解析：选A.由题意Q坐标为(－x，y)(x>0，y>0)，设A(x0，0)，B(0，y0)，

由BP→＝2PA→得(x，y－y0)＝2(x0－x，－y)，

∴x＝2x0－2xy－y0＝－2y，即y0＝3yx0＝32x.

由OQ→·AB→＝1得(－x，y)·(－x0，y0)＝1，

∴x0x＋y0y＝1，把y0＝3yx0＝32x代入上述得32x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．

2.设α∈(0，π2)，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________． -------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------

金戈铁制卷 解析：方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为x21sin α＋y21cos α＝1.∵椭圆的焦点在y轴上，

∴1cos α>1sin α>0.又∵α∈(0，π2)，∴sin α>cos α>0，

∴π4

答案：(π4，π2)

3.已知F1，F2是椭圆x2100＋y264＝1的两个焦点，P是椭圆上一点．

(1)若∠F1PF2＝π3，求△F1PF2的面积；

(2)求|PF1|·|PF2|的最大值．

解：(1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>0，n>0)．

根据椭圆的定义，得m＋n＝20.

在△F1PF2中，由余弦定理，

得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2，

即m2＋n2－2mn·cos π3＝122，

∴m2＋n2－mn＝144，即(m＋n)2－3mn＝144.

∴202－3mn＝144，即mn＝2563.

又∵S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12mn·sin π3，

∴S△F1PF2＝12×2563×32＝6433.

(2)∵a＝10，∴根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝20.∵|PF1|＋|PF2|≥2|PF1|·|PF2|，

∴|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝2022＝100，

当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立，

∴|PF1|·|PF2|的最大值是100.

4．(2014·玉溪一中高二期末)已知F1，F2为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|＝d.

(1)证明：d，b，a成等比数列；

(2)若M的坐标为()2，1，求椭圆C的方程；

(3)在(2)的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若OA→·OB→＝0，求直线l的方程．

解：(1)证明：由条件知M点的坐标为()c，y0，其中|y0|＝d，

∴c2a2＋d2b2＝1，d＝b·1－c2a2＝b2a，∴db＝ba，即d，b，a成等比数列．

(2)由条件知c＝2，d＝1，∴b2＝a·1a2＝b2＋2，∴a＝2b＝2，

∴椭圆方程为x24＋y22＝1.

(3)设点A(x1，y1)、B(x2，y2)， -------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------

金戈铁制卷 当l⊥x轴时，A(－2，－1)、B(－2，1)，所以OA→·OB→≠0.

设直线l的方程为y＝k(x＋2)，

代入椭圆方程得(1＋2k2)x2＋42k2x＋4k2－4＝0.

所以x1＋x2＝－42k21＋2k2，x1·x2＝4k2－41＋2k2，由OA→·OB→＝0得x1·x2＋y1·y2＝0，

x1·x2＋k2(x1＋2)(x2＋2)＝(1＋k2)x1·x2＋2k2(x1＋x2)＋2k2＝0，

代入得（1＋k2）（4k2－4）1＋2k2－42k2·2k21＋2k2＋2k2＝0，解得k＝±2.

所以直线l的方程为y＝±2(x＋2)．