8.1常数项级数的概念和性质

级数收敛 lim un 0.
证明
s un
n 1
n
则 un sn sn1 ,
lim un lim sn lim sn1 s s 0. n n n
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
1 2 3 n n1 例如 ( 1) 发散 2 3 4 n1
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
二、级数的概念
1. 级数的定义: 给定一个数列u1 , u2 , u3 , , un ,
un u1 u2 u3 un n1
1 1 1 1 ( ), 解 un ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
n 1
数列 sn 有极限 s , 即 lim sn s 则称无穷级数
n
un 收敛 , 这时极限 s 叫做级数 un 的和 . 并 n 1 n 1
写成 s u1 u2 u3
如果sn 没有极限,则称无穷级数


u
n 1

n 发散.
即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
故 从而
e n! nn
n
1 (n 1, 2 , )
这说明级数(1) 发散.

1 4 p

1 4p

1 4p

1 4p


1 4 p1

1 2 2 p1
1 8 p
1
9p


1 15 p



1 8p
1 8p


1 8p


1 8 p1

1 2 p1
3
……………………………………
x2 2n 2

x2 ，
n
1
n 1
2
n2
n2
即 x2 0 (x 0)
2
而
1
n1 n 2
是n=2的P一级数，它是收敛的，故原级数
( 1 cos x )收敛.
n1
n
5. 达朗贝尔比值判别法

设 un
n 1
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后， 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对 收敛级数来说，它的和将改变.)

证 设级数 un 的部分和为Sn,去掉级数的前 n 1

面m项后得到的级数uk 的部分和为S 'k: k m1
S
' k
um1 um2

umk
u
，
k
n 1
k 1

cun 的部分和为
n1
Sn
n
cuk
n
c
uk
cSn ,
k 1
k 1
故
lim
n
S
n

lim
n
cS

v u u ， ， m n 1 n m 1 m

S 和 u v 级 数 和 的 部 分 和 分 别 为 ， n n n m
n 1m 1
S S S 则 ， ， ， ， ， 1 n n k n 12 2 k
{ } 是 { S } 故 的 子 列 ， n n
性质 4 （级数收敛的必要条件）
若 un收 敛, 则 l i m un 0.
n1 n


u S S u S 证 明 ： 设 ， n n n 1 n
n n 1 lim u lim ( S S ) S S 0 ∴ 。 n n n 1 n n 若 lim u 0 u 发 散 即 ， n n n n 1
aq 综 上 可 知 ， 。 1 q n 1 无和 ,q 1 , 发散
a , q 1 , 收敛 n 1
2 3 ln 2 ln 2 ln 2 例 3 ． 判 别 级 数 的 敛 散 性 ， 2 3 2 2 2 若 收 敛 ， 求 其 和 。
则称级数收敛若级数收敛若级数收敛级数收敛准则知再由cauchy收敛收敛例如sincossincos发散收敛级数发散lim不一定收敛判定其敛散性利用级数的基本性质判定其敛散性定义利用级数收敛和发散的等比级数发散收敛级数发散lim不一定收敛判定其敛散性利用级数的基本性质判定其敛散性定义利用级数收敛和发散的等比级数发散收敛级数发散lim不一定收敛判定其敛散性利用级数的基本性质判定其敛散性定义利用级数收敛和发散的等比级数发散收敛级数发散lim不一定收敛判定其敛散性利用级数的基本性质判定其敛散性定义利用级数收敛和发散的等比级数发散收敛级数发散lim不一定收敛判定其敛散性利用级数的基本性质判定其敛散性定义利用级数收敛和发散的等比级数发散收敛级数发散lim不一定收敛判定其敛散性利用级数的基本性质判定其敛散性定义利用级数收敛和发散的

的说法．从数学的角度上看，这就是
111 248
1 2n
1．
1.1 常数项级数的概念
再如，计算半径为 R 的圆面积 A，具体做法如下：如图所示，作圆的内接正六 边形，算出这六边形的面积 a1 ，它是圆面积 A 的一个粗糙的近似值．为了比较准确 地计算出 A 的值，我们以这个六边形的每一边为底分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形，算出这六个等腰三角形的面积之和为 a2 ，那么 a1 a2 （即内接正十二边形 的面积）就是 A 的一个较好的近似值．同样地，再在正十二边形的每一边上分别作 一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二个等腰三角形的面积之和为 a3 ，那么 a1 a2 a3 （即内接正二十四边形的面积）是 A 的一个更好的近似值．如此继续下 去，内接正 n 边形的面积就逐步逼近圆的面积，即
高等数学
常数项级数的概念和性质
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是表示函数、研究函数性质以 及用简单函数逼近复杂函数进行数值计算的有力工具．无穷级数在自然科学、 工程技术和数学的许多分支中都有着广泛的应用．像其他数学理论一样，无穷 级数理论也是在科学技术的发展和推动下，逐渐形成和完善起来的．早在魏晋 时代，我国数学家刘徽就已经用无穷级数的思想来计算圆的面积了．直到19世 纪，极限理论的建立，才给无穷级数奠定了理论基础．
a
；如果| q |
1，则级数 aqn
n0
1 q
n0
发散．
1.1 常数项级数的概念
例 2 证明级数
1 2 3 n 是发散的．
证明 此级数的部分和为
Sn 1 2 3
n n(n 1) ． 2
显然，
lim
n
Sn
，因此所给级数是发散的．