1．写出下列级数的一般项： ⑴
1357
2468
++++ ； 【解】分析级数各项的表达规律：
分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为21
2n n u n
-=
，1,2,3,....n =。 ⑵
1111112349827
++++++ ； 【解法一】分析级数各项的表达规律：
分子不变恒为1，
分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即12
2
n +，偶数项为3
的乘幂，幂指数为项数的一半，即2
3n ，
于是有12
22, 21
3, 2n n n n k u n k +⎧=-⎪=⎨⎪=⎩
，k J ∈，1,2,3,....n =。
也可为1
221(1)1(1)2322
n n
n n n u +--+-=⋅+⋅，1,2,3,....n =。
【解法二】分析级数各项的表达规律：
分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个
级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成，
若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有
111
23
u =
+， 21149u =+221123=+，
311827u =+
3311
23
=+， ......
于是得11
23
n n
n u =
+，1,2,3,....n =。 ⑶3456
22345
-+-+- 。
【解】分析数列各项的表达规律：
各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1
(1)n +-，
从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n
于是得1
1
(1)
n n n u n
++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21
u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律，
从而得 11(1)n n n u n
++=-，1,2,3,....n =。
2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴
1
1
(21)(21)n n n ∞
=-+∑； 【解】级数前n 项和为
11(21)(21)n
n i S i i ==-+∑1111()221
21n n i i ==--+∑1111
()22121n n i i ==--+∑
11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+ 11
(1)221
n =-+， 由于lim n n S →∞11lim (1)221n n →∞=-+12
=，知级数收敛，收敛于1
2。
⑵
1
1
1n n n
∞
=++∑
；
【解】级数前n 项和为
1
1
1n
n i S i i ==++∑
2211(1)()n i i i i i =+-=+-∑1
(1)n
i i i ==+-∑
(1)()(123)2n n =-+-+++- 11n =+-，
由于lim n n S →∞
lim(11)n n →∞
=+-=∞，知级数发散。
⑶
1
1
ln
n n n
∞
=+∑； 【解】级数前n 项和为
11ln n
n i i S i =+=∑1
[ln(1)ln ]n
i i i ==+-∑
ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+++- ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+，
由于lim n n S →∞
lim ln(1)n n →∞
=+=∞，知级数发散。
⑷
1
(
221)n n n n ∞
=+-++∑。
【解】级数前n 项和为
1
(221)n
n i S i i i ==+-++∑
323(221)(2)()24543=-+++-++-+…………
2()(1)(2121221)n n n n n n n n n +-+++-+++--++--
各项抵销的规律为：第一括号中的首项与第二括号中的中项及第三括号中的末项相
互抵销为0，按此规律，第一括号中余下221-+，第二括号中余下2，而第三括号与后面括号抵销完，...，
同理，倒数第三个括号与前面括号抵销完，倒数第二个括号中余下1n +，倒数
第一个括号中余下221n n +-+，
于是，n S 22121221n n n =-++++++-+
2121n n =-+++-+1
2121
n n =-++
+++，
由于lim n n S →∞
1
21lim
21
n n n →∞
=-+++++21=-+，
知级数收敛，收敛于12-。
3．判断下列级数的敛散性，若级数收敛，求其和：
⑴1
11(1)2
n n n -∞
-=-∑； 【解】这是等比级数，首项为00
(1)12a -==，公比为12q =-，可见1
12
q =<，知级数收敛，其和为
1a
q -111()2
=
--23
=。
