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函数的凹凸性与拐点

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1
第 16 次理论课教学安排
课程名称 高等数学 课程类型 必修课 √ 选修课
授课专业
授课内容 2.4导数的应用（三） 授课学时 2
授课类型 理论课 √ 上机课 □ 讨论 □ 习题课 □ 其它 □

教学目的
与要求

1、理解曲线凹凸性的概念

2、掌握曲线凹凸性的判别方法
3、掌握拐点的求法

教学重点、 难点 重点：曲线的凹凸性与拐点
难点：曲线的凹凸性与拐点

教学方法 以讲授为主，讲练结合

教学过程 一、问题引入 二、讲授新课
三、总结及作业布置

参考资料
（1）《高等数学》 夏国斌主编 省规划教材、安徽大学出版社
（2）《高等数学》 程伟主编、孙祖康主审 中国科技大学出版社
（3）《高等数学》，夏国斌主编，电子科技大学出版社
（4）《高等数学学习指导》，吴方庭主编，电子科技大学出版社
2
图1

2.4导数的应用----曲线的凹凸与拐点
课题： 曲线的凹凸与拐点
目的要求：理解曲线凹凸性的概念、掌握判断函数图形的凹凸性、求函数图形
的拐点等方法。
重、难点：判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点
教学方法：讲练结合
教学时数：1课时
教学进程：
函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定，对于同样的递增函数有

着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们
如何刻画那？

一、曲线的凹凸与拐点

1．曲线的凹凸定义和判定法
从图1可以看出曲线弧ABC在区间ca,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC位
于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE在区间bc,内是向上凸起的，此时曲线
弧CDE位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的
弯曲方向，我们给出下面的定义：
定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点
切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；
如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，
那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．

例如，图1中曲线弧ABC在区间ca,内是凹的，

曲线弧CDE在区间bc,内是凸的．
由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x的增大而增大；对于凸

x
y
o

()yfx

A
B

x
y

o
()yfx
A

B
3

的曲线弧，切线的斜率随x的增大而减小．由于切线的斜率就是函数xfy的导
数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由
此可见，曲线xfy的凹凸性可以用导数xf的单调性来判定．而xf的单
调性又可以用它的导数，即xfy的二阶导数xf的符号来判定，故曲线
xfy的凹凸性与
xf

的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：

定理1 设函数xfy在ba,内具有二阶导数．
（1）如果在ba,内，xf＞0，那么曲线在ba,内是凹的；
（2）如果在ba,内，xf＜0，那么曲线在ba,内是凸的．

例１ 判定曲线3xy的凹凸性．
2．拐点的定义和求法
定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点．
定理2(拐点存在的必要条件) 若函数xf在0x处的二阶导数存在,且点
00,xfx为曲线xfy的拐点,则
.00xf

我们知道由xf的符号可以判定曲线的凹凸．如果xf连续，那么当

xf


的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x使0xf＝0．这样，点

00
,xfx

就是曲线的一个拐点．因此，如果xfy在区间ba,内具有二阶导数，我们就
可以按下面的步骤来判定曲线xfy的拐点:
(1) 确定函数xfy的定义域；
(2) 求xfy；令xf＝0，解出这个方程在区间ba,内的实根；
(3) 对解出的每一个实根0x，考察xf在0x的左右两侧邻近的符号．如果

xf

在0x的左右两侧邻近的符号相反，那么点00,xfx就是一个拐点，如果


xf

在0x的左右两侧邻近的符号相同，那么点00,xfx就不是拐点．

例２ 求曲线233xxy的凹凸区间和拐点．
解 （1）函数的定义域为,；
（2）1666,632xxyxxy；令0y，得1x；
（3）列表考察y的符号（表中“”表示曲线是凹的，“” 表示曲线
是凸的）：

x
1, 1 
,1

y

- 0 +

曲线y
拐点

2,1
4

图2
由上表可知，曲线在1,内是凸的，在,1内是
凹的；曲线的拐点为2,1．

例３ 已知点(1,3)为曲线32yaxbx的拐点，
求,ab的值。
要注意的是，如果xf在点0x处的二阶导数不存在，那么点00,xfx也可
能是曲线的拐点．例如，函数3xy在点0,0处的二阶导数不存在，但是点

0,0

是该函数的拐点(图2)．
小结本讲内容：１．函数图形凹凸性的判断、函数图形的拐点求法。

２．描绘简单的常用函数的图形（包括水平渐近线和铅直渐近
线）。
作业： 作业册 第二章 单元练习四

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二次函数的拐点与凹凸性判断

二次函数的拐点与凹凸性判断

二次函数的拐点与凹凸性判断二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般表示形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状，而拐点和凹凸性是抛物线特征之一。

在本文中，将讨论如何判断二次函数的拐点以及凹凸性。

一、拐点的判断拐点也被称为转折点，是指函数曲线由凸向上转为凸向下，或由凸向下转为凸向上的点。

对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其拐点可以通过函数的导数来确定。

首先，我们需要求出二次函数的导数。

二次函数的导数是一次函数，其一般表示形式为y' = 2ax + b。

由于二次函数是曲线而非直线，因此存在拐点的情况。

当导数y' = 0时，表示函数的斜率为零，即函数出现了拐点。

那么我们可以通过求导数y' = 0的解来确定二次函数的拐点。

假设y' = 2ax + b = 0，则有x = -b / (2a)。

这样，我们就获得了二次函数的拐点横坐标x值。

将该x值代入原函数中，即可求得拐点的纵坐标y值。

通过上述步骤，我们可以准确地确定二次函数的拐点坐标。

需要提醒的是，在判断二次函数的拐点时，应先求出导数，再求导数为零时的解，最后代入求得拐点坐标。

二、凹凸性的判断凹凸性是指函数图像曲线的凹凸形状，即函数图像的上凸与下凸。

同样地，二次函数的凹凸性可以通过二次函数的导数来判断。

凹凸性与导数的正负相关。

当导数y' > 0时，函数图像为凸向上的抛物线；当导数y' < 0时，函数图像为凸向下的抛物线。

因此，我们只需求出二次函数的导数，并判断导数的正负性即可确定二次函数的凹凸性。

需要注意的是，二次函数的凹凸性在拐点处发生改变。

在拐点左侧，二次函数的凹凸性与导数的正负性一致；而在拐点右侧，二次函数的凹凸性与导数的正负性相反。

由于凹凸性与导数的正负有关，若要确定二次函数的凹凸性，可按照以下步骤进行：1. 求出二次函数的导数y'。

第三章第三节函数的凹凸性与拐点及函数作图

第三章第三节函数的凹凸性与拐点及函数作图


x
f ( x )
(,0)
0 0


(0,1)
f ( x)
f ( x)

极大值2


0
拐点(1, )
4 3
1
(1,2)
2
(2,)



极小值2 3
0

（4）无渐近线 （5） 与 y 轴交点(0,2) （6） 作图，如右图。
y
2
0
1
2
x
例5 作函数 y e
x2
的图形
(, ) 解 （1）函数定义域：
x
y
y
(,2)

︵
2 0
(2,2) 拐点
(2,ห้องสมุดไป่ตู้)

︶
曲线在区间( ,2) 是凸的，在区间 ( 2,) 内是凹的，拐点 (2,2) ，如下图。
y
0
1 2
x
二、曲线的渐近线
定义3 曲线 y f ( x)上的动点沿曲线无限远离 原点时，如果动点与定直线L的距离趋于零，则称 L为曲线的渐近线。 曲线的渐近线可分为水平、铅直和斜渐近线。 1、水平渐近线
, lim arctan x
x

2
,
及 y

2
y
是曲线的两条水平渐近线。

2
0


2
x
2、铅直渐近线 如果函数 y f ( x) 有 lim f ( x) 或 lim f ( x) , 则称直线 x a是曲线 y f ( x) 的一条铅直渐近线。
1 例3 求曲线 y 的水平和铅直渐近线。 x2
定理 设函数 y f ( x) 在区间[a,b]内具有二阶导 数， （1） 如果在区间[a, b]内 f ( x) 0 ，则曲线在 区间[a, b]内是凹的； （2） 如果在区间[a, b]内 f ( x) 0 ，则曲线在 区间[a, b]内是凸的； 定义2 连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为
高等数学第四节 曲线凹凸性与拐点 函数图形描绘

高等数学第四节 曲线凹凸性与拐点 函数图形描绘

求其一、二阶导数，得
y 2xex2和y2ex2(2x21)，
令 y = 0. 得驻点 x = 0，
令 y = 0， 得 x 2 .
2
当 x 时 y 0， 所以 y = 0 为该函数图形 的水平渐近线.
讨论 y， y 的正负情况，确定函数 y e x2 的增减区间和极值，凹凸区间和拐点， 将上述结 果归结下表：
.
令 y = 0 得 x = -1， x = 1.
当 x (, -1) 时， y < 0，此区间是凸区间； 当 x (1, 1) 时， y > 0，此区间是凹区间； 当 x (1, + ) 时， y < 0，此区间是凸区间. 因为 f (-1) = f (1) = 0， f (x) 在点 x = - 1. x = 1 的两侧变号，且 f ( -1 ) = f ( 1 ) = ln2，所以点 (- 1, ln2) 和 (1, ln2)为拐点.
所以x直 1为 线曲 y线 1 的垂直.渐近 x1
y
y 1 x 1
O
1
x
(2) 水平渐近线 若limf(x)b, 或limf(x)b,
x
x
则称直线 y = b 为曲线 y = f (x) 的水平渐近线 .
例如，对于曲线 y 1 来说，
x 1
lim 1 0,
y
x x1
y

2x 和 x2 1
2(x2 1) y (x2 1)2 .
不难发现，该函数在定义域内无驻点，也
没有极值点.
通 过y对 和y正 负 情 况 的 讨函 论数 ， 确 的增、减区间凹 和凸 极区 值间 ，和 . 拐点
将上述结果归结下表：
二次函数的拐点与凹凸性

二次函数的拐点与凹凸性

二次函数的拐点与凹凸性二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在这篇文章中，我们将讨论二次函数的拐点与凹凸性。

首先，我们来讨论二次函数的拐点。

拐点是指函数图像由凹转凸或由凸转凹的点。

要确定二次函数的拐点，我们需要计算二次函数的二阶导数。

对于二次函数y = ax^2 + bx + c，它的导数为y' = 2ax + b，二阶导数为y'' = 2a。

当二次函数的二阶导数y'' = 2a ≠ 0时，二次函数存在拐点。

如果a > 0，那么拐点是函数图像由凹转凸的点；如果a < 0，那么拐点是函数图像由凸转凹的点。

此外，拐点的横坐标可以通过解方程y' = 0得到。

即当2ax + b = 0时，x = -b / (2a)。

将x的值带入二次函数的表达式中，得到拐点的纵坐标。

接下来，我们来讨论二次函数的凹凸性。

凹凸性是指函数图像在拐点处的弯曲方向。

如果二次函数的第二个系数a > 0，那么函数图像在拐点的两侧都是向上凹的，也就是说图像在拐点处由凹转凸；如果a < 0，那么函数图像在拐点的两侧都是向下凸的，也就是说图像在拐点处由凸转凹。

通过确定二次函数的拐点和凹凸性，我们可以更好地理解二次函数的性质和特点。

例如，当二次函数的a > 0时，它的图像在拐点处的曲率呈现向上的形状，这意味着函数在拐点的左侧是递增的，在拐点的右侧是递减的。

而当a < 0时，函数图像在拐点处的曲率呈现向下的形状，这意味着函数在拐点的左侧是递减的，在拐点的右侧是递增的。

二次函数的拐点和凹凸性在很多实际问题中都有重要应用。

例如，在物理学中，二次函数可以用来描述抛物线的轨迹；在经济学中，二次函数可以用来分析成本、收益、需求等曲线的特点。

掌握了二次函数的拐点和凹凸性的概念，我们可以更好地理解和解决这些问题。