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函数的单调性与曲线的凹凸性

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3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

从几何上看，曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点，连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续，在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数，那么
> 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的； < 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ，且 x 1 < x 2 ，记 x 0 =
= 0 处，曲线 y = x 3 有水平切线，即 x 轴。
一般地，如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处保持固定 符号时，函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例6 证
证明：当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2
，
Van Der Waerden 构造并证明： f (x )
=
n =0
∑
∞
ϕ 10n x
10n
(
) ，其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时， 2 x > 3 −
1
x
。
1 = 2 x − 3 − ，则 x
f ′ (x ) =
1
x
−
1
x
2
=
1
x2

函数的单调性和曲线的凹凸性

函数的单调性和曲线的凹凸性

故在(0, +)上 f (x)单增.
例4. 证明不等式 ex – (1+x) > 1– cosx, (x > 0)
证明思路: 用两次单调性
证: 设 F(x) = ex – (1+x) – (1– cosx)
= ex –x +cosx –2
则 F(0)=0. 要证F(x) > 0 (x > 0)
故曲线在(0, +)上是凹的.
即有 f (tx +(1– t) y) < t f (x) + (1– t) f (y) 即
定义2. 设f (x)C(U(x0)), 若曲线 y = f (x)在点 (x0, f (x0))的左右两侧凹凸性相反, 则称点(x0, f (x0))为该曲线的拐点.
= t f (x1)+(1– t) f (x2)
= t x1+(1– t) x2 x = x2+(x1– x2)t
弦上对应点的纵坐标B: y2+(y1– y2)t = t y1+(1– t)y2
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
故得如下定义.
定义1. 设 f (x)在[a, b]上有定义,x1, x2[a, b](x1x2) 和t(0, 1), 若有
凹凸性标志着图形弯曲的方向.
如图(a), (b)
y=f (x)
o
y
x
x1
x2
A
B
(x1, y1)
(x2, y2)
x
x
o
y
x1
x2
A
B
y=f (x)
(x2, y2)
(x1, y1)

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法定理1 设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导．（1）如果在(),a b 内()0f x '≥，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 上单调增加；（2）如果在(),a b 内()0f x '≤，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 单调减少．例1 判定函数sin y x x =-在[],ππ-上的单调性． 解 因为函数sin y x x =-在[],ππ-上连续，当x ∈(),ππ-时， 1cos 0y x '=-≥，且等号仅在0x =处成立，所以函数sin y x x =-在[],ππ-上单调增加． 例2 讨论函数1x y e x =--的单调性．解 函数1x y e x =--的定义域为(),-∞+∞， 1.x y e '=- 因为在(),0-∞内0y '<，在()0,+∞内0y '>，所以1x y e x =--在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．例3 讨论函数y解 的定义域为(),-∞+∞．当0x ≠时，y '=而函数在0x =处不可导．在(),0-∞内，0y '<，在()0,+∞内0y '>，因此函数y =在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．该函数的图象如下图所示．例4 确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间．解 该函数的定义域为(),-∞+∞．()()()261812611.f x x x x x '=-+=--方程()0f x '=的全部根为121, 2.x x ==这两个根把区间(),-∞+∞分为三个部分区间：(][][),1,1,2,2,.-∞+∞在区间(),1-∞内()0f x '>，函数()f x 在(],1-∞单调增加．在区间()1,2内，()0f x '<，函数()f x 在区间[]1,2单调减少．在区间()2,+∞内()0f x '>，函数()f x 在区间[)2,+∞单调增加．例5 证明：当1x >时，13.x-证 令()13f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()22111.f x x x '== ()f x 在[)1,+∞上连续，在()1,+∞内()0f x '>，因此在[)1,+∞上函数()f x 单调增加，于是当1x >时，()()10f x f >=，即130,x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 13.x- 二、曲线的凹凸性与拐点定义 设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x ，恒有()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭那么称()f x 在I 上的图形是凹的；如果恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 那么称()f x 在I 上是凸的．定理2 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(),a b 内()0f x ''>，则()f x 在[],a b 上的图形是凹的；（2）若在(),a b 内()0f x ''<，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的． 例6 判定曲线ln y x =的凹凸性．解 因为211,y y x x'''==-，所以函数ln y x =在定义域()0,+∞内，0y ''<，故曲线ln y x =是凸的．例7 判定曲线3y x =的凹凸性．解 因为23,6.y x y x '''==当0x <时，0y ''<，所以曲线在(],0-∞是凸的；当0x >时，0y ''>，曲线在[)0,+∞是凹的．例8 求曲线32231214y x x x =+-+的拐点．解 216612,126122y x x y x x ⎛⎫'''=+-=+=+ ⎪⎝⎭． 解方程0y ''=，得1.2x =-当12x <-时，0y ''<；当12x >-时，0y ''>．因此点11,2022⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线的拐点．例9 求曲线43341y x x =-+的拐点及凸凹区间． 解 函数43341y x x =-+的定义域为(),-∞+∞．321212,y x x '=-22362436.3y x x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭ 解方程0y ''=，得1220,.3x x == 在(),0-∞内，0y ''>，曲线在区间(),0-∞凹的．在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0y ''<，曲线在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦是凸的．在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，0y ''>，曲线在区间2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是凹的． 当0x =时，1y =．当23x =时，11.27y = 点()0,1和211,327⎛⎫ ⎪⎝⎭是这曲线的两个拐点． 习题3-41.判定函数()arctan f x x x =-的单调性．解 ()22211011x f x x x '=-=-≤++且仅在0x =时成立．因此函数()arctan f x x x =-在(),-∞+∞内单调减少．2.判定函数()cos f x x x =+的单调性．解 ()1sin 0f x x '=-≥，且当()20,1,2,2x n n ππ=+=±± 时，()0f x '=．因此函数()cos f x x x =+在(),-∞+∞内单调增加．3.确定下列函数的单调区间：（1）3226187y x x x =---；解 函数的定义域为(),-∞+∞，在(),-∞+∞内可导，且 ()()261218631.y x x x x '=--=-+令0y '=，得驻点121, 3.x x =-=当时1x <- 时，0y '>，函数在(],1-∞-单调增加； 当13x -<<时，0y '<，函数在[]1,3-单调减少； 当3x >时，0y '>，函数在()3,+∞单调增加．（2）()820y x x x=+>；解 函数的定义域为()0,+∞，在()0,+∞内可导，且()()22222228282.x x x y x x x -+-'=-== 令0y '=，得驻点12x =-（舍去），22x = 当02x <<时，0y '<，函数在(]0,2单调减少；当2x >时，0y '>，函数在[)2,+∞单调增加．。

6.4知识资料函数的单调性与曲线的凹凸性

6.4知识资料函数的单调性与曲线的凹凸性
所以 函数在(,0]单调减少; 在(0, )内, y 0,
所以 函数在[0, )单调增加.
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、函数单调区间的求法
问题 如上例, 函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调.
若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点, 可能是单调区间 的分界点．
证 设f ( x) 1 x2 ex sin x 且f (0) 0 2 定不出符号
f ( x) x ex cos x 且f (0) 0
f ( x) 1 ex sin x 0
0 x 1, f ( x) 0, f ( x) C[0,1].
所以f ( x)在[0,1]上单调增加.
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ( x) 1 x2 ex sin x 2
f ( x) x ex cos x
f ( x)在[0,1]上单调增加
当0 x 1时,有f ( x) f (0) 0. 0 x 1, f ( x) 0, f ( x)C[0,1].
所以f ( x)在[0,1]上单调增加.
(上)方, 称为凹(凸) 弧.
从几何直观上, 随着x的增大, 凹弧的曲线段
f (x)的切线斜率是单增的, 即f ( x)是单增的, 而凸 弧的切线斜率是单减的, 即f ( x) 是单减的.
利用二阶导数判断曲线的凹凸性
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
2. 凹凸性的判别法
y
B y f (x)
A
y
B y f (x)
证 任取x0 (a, b), 泰勒公式
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )

函数的单调性与曲线的凹凸性

函数的单调性与曲线的凹凸性

x
1 ( , ) 5

1 5
(
1 ,0 ) 5
0 不存在 非拐点
(0,)
y(x)
y
－ 凸
拐点
0
1 6 1 ( , 3 ) 5 5 25
＋ 凹
＋ 凹
注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。
曲线的凹凸性反映的是不等式关系：
(1) 若曲线的图形是凹的（即 f ( x ) 0），则有
0 x 2k , ( k 0 , 1, 2 ,) f ( x ) 1 cos x 0 x 2k
f ( x ) 0 的点都是孤立点 , 所以 f ( x) 在 ( , )严格 单调增加.
( x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 解: f
例2 讨论 y ( x 1)3 x 2 的凹凸性及拐点. y 解： y 5 x 2 x ,
3 3
1 4 10 3 2 3 2( 5 x 1) , y x x 4 9 9 9x 3
2 3
1 3
1 5
o
·
2 5
1 x
1 令y 0解得 x ; 当x 0时, y不存在. 现列表如下： 5
解.
D ( , ) . f ( x ) 32 , ( x 0) 3 x
当 x 0 时 , 导数不存在 .
y 3 x2
在 ( , 0) 内， ( x ) 0 , f ( x ) 在 ( , 0 ] 上单调减少 ； f 在 ( 0 , ) 内， ( x ) 0 , f ( x ) 在 [ 0 , ) 上单调增加 . f 单调区间为: ( , 0 ] , [ 0 , ) .

函数的单调性及曲线的凹凸性

函数的单调性及曲线的凹凸性

定义. 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界 点称为该曲线的拐点 由定义知: 如果在x0左右两侧f (x)异 号, 则(x0, f (x0))是拐点. 因此只有f (x0)=0 或不存在时, (x0 , f (x0))才可能是拐点.
求连续曲线弧拐点的步骤 (1) 在f(x)所定义的区间内, 求出二阶导数 f ( x)等于零的点. (2) 求出二阶导数 f ( x) 不存在的点.
即F ( x) F (1) 0. x 当x 1时，F ( x) e e 0, 可知F ( x)
为[1,)上的严格单调增加函数, 即F ( x) F (1) 0. x 故对任意x 1，都有F ( x) 0， 即 e ex.
二、曲线的凹凸性与拐点
函数曲线除了有升有降之外, 还有不 同的弯曲方向, 如何根据函数本身判断函 数曲线的弯曲方向呢？
3 2 2. 例 3 讨论函数 y x 的单调性 解: 函数的定义域为( ) 2 y 3 (x0) 函数在 x0 处不可导 3 x 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单减 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 ) 上单增
1 3. 例 6 证明 当 x1 时 2 x 3 x 1 证明 证明 : 令 f (x) 2 x (3 ) 则 x 1 1 1 f (x) 2 2 (x x 1) x x x 因为当x>1时, f (x)>0 所以f(x)在[1 )上 f(x)单增 因此 当x>1时, f(x)>f(1)=0 即 2 x (3 1 ) 0 x 1 也就是 2 x 3 (x1) x
研究函数的单调性, 我们只关心 y在 子区间内的符号.
y
5 x3

函数的单调性与曲线的凹凸性

函数的单调性与曲线的凹凸性
例如,
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
例2. 证明 证: 令
时, 成立不等式
且
证
从而
因此
证明
二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有
图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .
则称
则称
的凹凸区间及拐点.
2) 求拐点可疑点坐标
令
得
3) 列表判别
对应
凹
故该曲线在
及
向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及
凸
凹
上向上凹, 均为拐点.
内容小结
1. 可导函数单调性判别
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
+
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
思考与练习
1. 设在 或
拐点
定理2.(凹凸判定法)设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
两式相加
说明 (1) 成立; (2) 证毕
例3. 判断曲线 解:
的凹凸性.
故曲线
在
上是向上凹的.
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但
在 两侧异号, 则点
是曲线
的一个拐点.

函数的单调性与曲线的凹凸性

函数的单调性与曲线的凹凸性
f [ x1 (1 )) x2 ] f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ),
则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的， 下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
x2
的凹凸性．
（详细解答过程可参见课本 P108）
例 3.4.8 判别曲线 y x3 的凹凸性． （详细解答过程可参见课本 P109）
3、拐点的定义
在例 3.4.8 中，点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点， 称为曲线的拐点．
一般地，连续曲线 y f ( x) 上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点．
x2 2
,
令 y 0 得拐点可疑点 : x 1 , x 1 (横坐标 )
x
( , 1)
1
0
(1, 1)
1
(1, )
y
y


0
凸的


凹的
拐点

拐点
凹的
曲线 y e

x2 2
: 在 ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的 ,
在 (1, 1)内为凸的 .
当 x 0 时， f ( x) 0 ， (,0] 上单调减少；
当 0 x 时， f ( x) 0 ， [0, ] 上单调增加；
[0, ). 单调区间为( ,0]，
注意：学习课本例 3 与例 4 之间的一段话
例 3.4.4 确定函数 f ( x) (2x 5) x
2、曲线凹凸性的判定
定理 3.4.3 设 f ( x) 在区间 I 上具有二阶导数 . （1）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凹的； （2）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凸的．

函数的单调性与曲线凹凸性

函数的单调性与曲线凹凸性
凹凸性
一次函数图像是一条直线，没有凹凸性。
二次函数的单调性与凹凸性
二次函数
单调性
凹凸性
$y = ax^2 + bx + c$
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a})$上单调递 减，在区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上单调递增；当$a < 0$时，函数在区间$(-infty, frac{b}{2a})$上单调递增，在 区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上 单调递减。
凹凸性
正弦函数图像是下凹的。
余弦函数
$y = cos x$
单调性
在每个周期内，函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$上单调递增。
凹凸性
余弦函数图像是上凸的。
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产量之间的关系。
在物理学中，单调性与凹凸 性可用于描述物体的运动轨 迹、速度与加速度之间的关
系等。
在工程领域，单调性与凹凸性 可用于优化设计，例如在桥梁、 建筑和机械设计中考虑结构的
稳定性与安全性。
04 实例分析
一次函数的单调性与凹凸性
一次函数
$y = ax + b$
单调性
当$a > 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递增； 当$a < 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递减。
通过求函数的导数，分析导数的符号变化，判断函数的单 调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0， 函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同点上的函数值来判断函数的单调性。 如果对于任意两点，函数值满足递增或递减关系，则函数 在该区间内单调。

函数的单调性与凸凹性

函数的单调性与凸凹性

函数的单调性与凸凹性函数在数学中扮演着重要的角色，而其中的单调性与凸凹性则是研究函数性质的重要方面。

本文将为你详细介绍函数的单调性与凸凹性，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。

一、函数的单调性在数学中，函数的单调性指的是函数随着自变量的增大或减小而产生的变化趋势。

具体而言，单调性可以分为“单调递增”和“单调递减”两种情况。

1. 单调递增当函数的自变量增大时，函数的取值也相应增大，这种情况下函数被称为单调递增函数。

在数学语言中，假设有函数f(x)，当对于任意的x1和x2 (x1 < x2)，都有f(x1) ≤ f(x2)，则函数f(x)是单调递增函数。

例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以看到当x1 < x2时，f(x1) =x1^2 < x2^2 = f(x2)，所以f(x) = x^2是一个单调递增函数。

2. 单调递减与单调递增相反，单调递减函数在自变量增大时，函数的取值反而减小。

同样地，对于任意的x1和x2 (x1 < x2)，函数f(x)是单调递减函数，当且仅当f(x1) ≥ f(x2)。

例如，考虑函数f(x) = 2/x，当x1 < x2时，f(x1) = 2/x1 > 2/x2 =f(x2)，因此f(x) = 2/x是一个单调递减函数。

函数的单调性在数学和实际问题中都有重要的应用。

它们可以帮助我们研究函数的性质，求解方程、优化问题等。

二、函数的凸凹性函数的凸凹性也是函数性质的重要方面，它揭示了函数曲线的弯曲程度。

具体而言，凸函数与凹函数是最常见的两种情况。

1. 凸函数在数学中，如果对于函数f(x)上的任意两个点(x1, f(x1))和(x2, f(x2))，连接这两点的线段在曲线上方，那么函数f(x)被称为凸函数。

以函数f(x) = x^2为例，对于任意的x1和x2，当x1 ≠ x2时，(x1,f(x1))和(x2, f(x2))之间的线段都在曲线y = x^2的上方，因此f(x) = x^2是一个凸函数。

第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

y
拐点的判别法:
( x0 , f ( x0 ))
o
x
若 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
求凹凸区间及拐点的方法:
(1) 求函数 f (x) 的定义域 D; (2) 求 f ( x); (3) 求 方 程 f ( x) 0 的 实 根,
证: x1, x2 [a, b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ) ( ( x1, x2 ))
(1) 若 在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 又 x2 x1 0,
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x)单调增加 , 及
且点( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.
例14. 已知(2,4)是曲线y x3 ax2 bx c 的拐点,
且曲线在点x 3 处有极值,求常数a, b, c.
解:
(2,4) 是拐点

4
8 4a 2b c
(1)
y 12 2a 0 (2)
( x 0)
x (, 0) 0 (0 , )
f ( x) 不存在
f (x)
该函数在(,0]上单调减少; 在[0,) 上单调增加.
说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两 个具有单调性的区间.

高中数学知识点总结导数的应用之函数的单调性与曲线的凹凸性之函数的凹凸区间

高中数学知识点总结导数的应用之函数的单调性与曲线的凹凸性之函数的凹凸区间

高中数学知识点总结导数的应用之函数的单调性与曲线的凹凸性之函数的凹凸区间函数的单调性与曲线的凹凸性是高中数学中导数应用的重要内容之一。

通过研究函数的单调性和凹凸性，可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像的形态。

本文将从函数的凹凸定义及性质出发，介绍函数的凹凸区间的求解方法，并结合实例进行分析。

一、函数的凹凸定义及性质函数的凹凸性是指函数图像在一段区间上的形态特征，可以帮助我们判断函数的增减趋势和曲线的弯曲情况。

1. 凹函数与凸函数的定义：设函数f(x)在区间I上可导，若对于任意x1、x2∈I，且x1<x2，在I上有：f(x2)-f(x1)≥f'(x)(x2-x1)，则称函数f(x)在I上为凹函数；若对于任意x1、x2∈I，且x1<x2，在I上有：f(x2)-f(x1)≤f'(x)(x2-x1)，则称函数f(x)在I上为凸函数。

2. 凹函数与凸函数的性质：（1）若函数f(x)在区间I上连续，则凹函数在I上内任意两点之间的所有点都在对应的切线下方，凸函数在I上内任意两点之间的所有点都在对应的切线上方。

（2）若函数f(x)在区间I上有二阶导数，且f''(x)>0，则f(x)在I上为凹函数；若f''(x)<0，则f(x)在I上为凸函数。

（3）若函数f(x)在区间I上为凹函数，则f'(x)在I上单调递增；若函数f(x)在区间I上为凸函数，则f'(x)在I上单调递减。

二、函数的凹凸区间求解方法对于给定的函数f(x)，我们可以通过以下步骤求解其凹凸区间：步骤一：求函数f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)；步骤二：求解f''(x)=0的解，得到临界点；步骤三：将临界点和定义域的端点带入二阶导数f''(x)的值，确定函数f(x)的凹凸性；步骤四：根据凹凸性的变化，确定函数f(x)的凹凸区间。

3.3函数的单调性与曲线的凹凸性

3.3函数的单调性与曲线的凹凸性

第三节 函数的单调性与曲线的凹凸性一 函数的单调性二 曲线的凹凸性x y o )(x f y =xy o )(x f y =a b AB 0)(≥'x f a b B A 0)(≤'x f 函数的单调性0≥')x (f 0≤')x (f ()(,)y f x a b =若在区间上单调增加()(,)y f x a b =若在区间上单调减少单调性的判定法定理11020()[,](,)()(,)()()[,]()(,)()()[,].y f x a b a b a b f x y f x a b a b f x y f x a b ='>='<=设函数在上连续，在内可导如果在内，那么函数在上单调增加；如果在内，那么函数在上单调减少定理1~1020()[,](,)()(,)()()[,]()(,)()()[,].y f x a b a b a b f x y f x a b a b f x y f x a b ='≥='≤=设函数在上连续，在内可导如果在内，且等号只在有限个点成立，那么函数在上单调增加；如果在内，且等号只在有限个点成立，那么函数在上单调减少()()()[,],,a b c d +∞-∞注：定理中的区间换为其他任意区间如、等也是成立的函数在 内单调增加. ()+∞,0∴解函数的定义域为 .()+∞,0，01>='xy 例1判断函数 的单调性.xln y =x y ln =y x o 11、单调区间定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.2、单调区间的求法：函数单调区间的求法0()()f x f x ''=第二步：求方程的点及不存在的点0()(),f x f x ''=第三步：以方程的根及不存在的点将函数的定义域划分为若干个部分区间 然后在每个区间上确定导数的符号，以此确定函数在该区间上的单调性， 最后写出单调区间()f x 第一步：求函数的定义域例2解(,)-∞+∞函数定义域为1x y e '=- 1=0x y e '=-0x =解得 000(,)(,][,)x ∴=-∞+∞-∞+∞将区间分为两个部分和 x y e x =-判断函数 的单调区间00(,]y '-∞<∴在区间上，，函数单调减少；00[,)y '+∞>∴在区间上，，函数单调增加；00[,)(,]∴+∞-∞函数单调增加区间为，单调减少区间为。

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§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法 定理1 设)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增（减）的充要条件是)()('00≤≥x f .证 若f为增函数，则对每一I x ∈0，当0x x ≠时，有()()000≥--x x x f x f 。

令0x x →，即得00≥)('x f 。

反之，若)(x f 在区间I 上恒有0≥)('x f ，则对任意I x x ∈21,（设21x x <），应用拉格朗日定理，存在，使得()()()01212≥-=-x x f x f x f ξ')(。

由此证得f 在I 上为增函数。

定理2 若函数f 在),(b a 内可导,则f 在),(b a 内严格递增(递减)的充要条件是:(1)),(b a x ∈∀有)()('00≤≥x f ;(2) 在),(b a 内的任何子区间上0≠)('x f .推论 设函数在区间I 上可微,若))('()('00<>x f x f , 则f 在I 上(严格)递增(递减).注1 若函数f 在),(b a 内(严格)递增(递减),且在点a 右连续,则f在),[b a 上亦为(严格)递增(递减), 对右端点b 可类似讨论.注2 如果函数)(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续，那么只要用方程0=)('x f 的根及)('x f 不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间就能保证)('x f 在各个部分区间保持固定符号，因而函数)(x f 在每个部分区间上单调。

注意：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内除个别点处一阶导数为零或不存在外，在其余点上都有0>)('x f （或0<)('x f ），那么由于连续性，)(x f 在区间],[b a 上仍然是单调增加（或单调减少）的。

例如，3x y=的一阶导数23x y ='，除在0=x 点等于零外，在其余的点都大于零，函数在整个区间()+∞∞-,内单调增加。

又例如，31x y =，它的一阶导数3231x除在0=x 点不存在外，在其余的点都大于零，从而函数在整个区间()+∞∞-,内单调增加。

例1 设x x x f -=3)(。

试讨论函数f 的单调区间。

解 由于 ()()1313132-+=-=x x x x f )('因此当⎥⎦⎤⎝⎛-∞-∈31,x 时，0≥)('x f ，f 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3131,x 时，0≤)('x f ，f 当⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,31x 时，0≥)('x f ，f 递增。

利用函数的单调性，可以证明一些不等式。

例1 证明不等式 01≠+>x x e x ,证 设x e x f x --=1)(，则1-=x e x f )('。

故当0>x 时，0>)('x f ，f 严格递增；当0<x 时，0<)('x f ，f 严格递减。

又由于f 在0=x 处连续，则当0≠x 时()00=>f x f )(，从而证得01≠+>x x e x ,。

二、曲线的凹凸性与拐点函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或下降。

但是，曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题。

曲线的弯曲方向我们用曲线的凹凸性来表述。

下面我们就来研究曲线的凹凸性及其判定法。

在有的曲线弧上, 如果任取两点, 则联结这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上, 而有的曲线弧, 则正好相反. .曲线的这种性质就是曲线的凹凸性. 因此曲线的凹凸性可以用联结曲线上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点(即具有相同横坐标的点)的位置关系来描述,下面给出曲线凹凸性的定义.定义1 设)(x f 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点21,x x 恒有222121)()()(x f x f x x f +<+, 那么称)(x f 在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 相应的函数称为凹函数: 如果恒有222121)()()(x f x f x x f +>+, 那么称)(x f 在I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧),相应的函数称为凸函数.如果函数f 在I 内具有二阶导数, 那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性.定理3(曲线凹凸性的判定定理) 设f 为区间I 上的二阶可导函数, 则在I 上f为凹(凸)函数的充要条件是I x x f x f ∈),)("()("00><几何解释：()()x f y x f =⇒>0"是凹弧；即 ()()()x f x f '''⇒>0单调增加。

()()x f y x f =⇒<0"是凹弧；即 ()()()x f x f '''⇒<0单调减少。

221 21)(a⎫⎛+21x x 221 21)(b图3-4-2图3-4-3)(b即 曲线弧()x f y =是凹（凸）弧的充要条件是：切线与x 轴正向夹角随x 增大而增大（减小）。

设()x f "连续，若()x f "经过点0x 变号，则()x f "=0。

例1 讨论函数x x f arctan )(=的凹凸性区间解 由于()2212)("x xx f +-=，因而当0≤x 时()0≥x f "；当0≥x 时()0≤x f "。

从而在(]0,∞-上)(x f 为凹函数，在[)+∞,0上)(x f 为凸函数。

定义 2 设曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处有穿过曲线的切线. 且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是凸的和凹的,这时称点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点.由定义可见, 拐点正是凸和凹曲线的分界点。

拐点亦称扭转点。

有关拐点的定理 定理4 若f在0x 二阶可导, 则))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点的必要条件是00=)("x f .定理5 设f在0x 可导, 在某邻域)(0x U内二阶可导, 若在)(0x U +和)(-0x U上)("x f 的符号相反,则))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点.必须指出:若))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点, )(x f y =在0x 的导数不一定存在,请考察函数3x y=在0=x 的情况.判定区间I 上的连续曲线)(x f y =的拐点的步骤: (1) 求)("x f ;(2) 令)("x f =0,解出这方程在区间I 内的实根,并求出在区间I 内)("x f 不存在的点; ⑵ 解)("x f =0,得 ,,,210x x x ，并求出I 内)("x f 不存在的点： ,,,210ξξξ；(3) 对(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x , 检查)("x f 在0x 左、右两侧邻近的符号, 那么当两侧的符号相反时,点))(,(00x f x 是拐点,当两侧的符号相同时,点图3-4-4))(,(00x f x 不是拐点.⑶ 考察)("x f 经过 ,,,210x x x ， ,,,210ξξξ时是否变号。

例2 求曲线14334+-=x x y 的拐点及凹凸的区间。

解 函数14334+-=x x y 的定义域为()+∞∞-,，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+-=3236243611212223x x x x y x x y ",'解方程0="y ，得32021==x x ,。

把函数的定义域()+∞∞-,分成三个部分区间(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-,,,,,323200。

在(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,,320及上,0≥"y ,因此在在(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,,320及上,这曲线是凹的。

在⎥⎦⎤⎢⎣⎡320,上,0≤"y ,因此在在⎥⎦⎤⎢⎣⎡320,上,这曲线是凸的。

()⎪⎭⎫⎝⎛27113210,,,是这曲线的两个拐点。

例3 问曲线4x y =是否有拐点？解23124x y x y ==','。

显然，只有0=x 是方程0="y 的根，但当0≠x 时，无论0<x 或0>x 都有0>"y ，因此点()00,不是这曲线的拐点。

曲线4x y =没有拐点，它在()+∞∞-,内是凹的。

例4 求曲线3x y =的拐点。

解这函数在()+∞∞-,内连续，当0≠x 时，32329231xx y xy -==",'，当0=x 时，",'y y 都不存在。

故二阶导数在()+∞∞-,内不连续且不具有零点。

但0=x 是"y 不存在的点，它把()+∞∞-,分成两个部分区间(]0,∞-、[)∞+.0。

在(]0,∞-上，0≥"y ，曲线是凹的，在[)∞+.0，0≤"y ，这曲线是凸的。

0=x 时，0=y ，点()00,是这曲线的一个拐点。