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第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性㈠本课的基本要求掌握用导数判断函数的单调性的方法，会用导数判断函数图形的凹凸性以及拐点，会单调性和凹凸性的一些简单运用㈡本课的重点、难点单调性的判断是本课的重点、凹凸性的判定为本课的难点㈢教学内容单调性是函数的重要性态之一，它既是决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节以微分中值定理为工具，给出函数单调性及极值的判别法。
一．函数单调性的充分条件单调性的定义。
再假设函数在某个区间内可导且具有单调性，如单调递增，由单调递增这一整体性质不难看到：无论0>∆x 还是0<∆x ，差商0)()(≥∆-∆+=∆∆xx f x x f x y ，这样可得0)(≥'x f 。
（注意，即使严格递增，一般也得不到0)(>'x f 。
），反过来，也希望利用导数的符号判断函数在某个区间上的单调性。
定理1 设函数内可导上连续，在在),(],[)(b a b a x f ⑴如果在内单调增加在，则内],[)(0)(),(b a x f x f b a >'；⑵如果在内单调在，则内],[)(0)(),(b a x f x f b a <'减少。
证略。
（课堂上介绍）几何意义：如曲线)(x f y =在某区间内的切线与x 轴正向的夹角α是锐角（tan α>0），则该曲线在该区间内上升，若这个夹角是钝角（tan α<0），则该曲线在该区间内下降。
(在黑板上画图)由定理知，可导函数的单调性可根据其导数的正负情况予以确定。
如函数的导数仅在个别点处为0，而在其余的点处均满足定理的条件，那么定理1的结论仍然成立，例如3x y =在x=0处的导数为0，但在),(+∞-∞内的其它点处的导数均大于0，因此它在区间),(+∞-∞内是增加的。
有时，函数在其定义域上并不具有单调性，但在各个部分区间上却具有单调性。
函数的凹凸性与极值点函数的凹凸性和极值点是微积分中重要的概念。
通过研究函数的凹凸性和极值点，我们可以更加深入地理解函数的性质，进而应用于许多实际问题的求解中。
本文将详细介绍函数的凹凸性和极值点。
一、凹凸性的定义首先我们来定义函数的凹凸性。
假设函数f(x)在区间I上可导，若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＜f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凹函数；若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＞f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凸函数。
凹凸函数很类似于水果篮中的凹凸形状，凹函数可以想象成篮子底部向上凹陷，而凸函数则相反，底部向下凸起。
函数凹凸性的变化有助于我们分析函数的增减性、拐点等特性。
二、凹凸性与导数的关系函数的凹凸性与函数的导数密切相关。
如果函数f(x)在区间I上连续，那么f'(x)的正负性与函数的凹凸性有以下关系：1. 如果f'(x)在区间I上单调递增，那么f(x)在区间I上是凹函数；2. 如果f'(x)在区间I上单调递减，那么f(x)在区间I上是凸函数；3. 若f''(x)存在且在区间I上恒大于零，那么f(x)在区间I上是凸函数；4. 若f''(x)存在且在区间I上恒小于零，那么f(x)在区间I上是凹函数。
通过对函数的导数进行研究，我们可以得到函数的凹凸性质。
这为我们进一步分析函数的特点提供了重要的线索。
三、极值点的定义与判定接着我们来回顾一下极值点的定义。
对于函数f(x)，如果存在某一点x0，使得在x0的某个邻域内，f(x0)是函数的最大值或最小值，则称x0是函数f(x)的极值点。
对于可导的函数f(x)，我们可以通过导数来判断函数的极值点：1. 若f'(x0) = 0，且f''(x0)存在，则x0是函数f(x)的驻点。
2. 若f'(x0) = 0，且f''(x0) > 0，则x0是函数f(x)的极小值点。
第四节 函数单调性、凹凸性与极值我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法.分布图示★ 单调性的判别法 ★ 例1 ★ 单调区间的求法 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 曲线凹凸的概念 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 曲线的拐点及其求法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 函数极值的定义 ★函数极值的求法★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★第二充分条件下 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-4 ★ 返回内容要点一、函数的单调性：设函数)(x f y =在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导.(1) 若在(a , b )内0)(>'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调增加; (2) 若在(a , b )内0)(<'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调减少.二、曲线的凹凸性：设)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 则(1) 若在(a , b )内，,0)(>''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凹的; (2) 若在(a , b )内，,0)(<''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凸的. 三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数)(x f ''；(2) 令0)(=''x f ，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；(3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧)(x f ''的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.四、函数的极值 极值的概念； 极值的必要条件；第一充分条件与第二充分条件； 求函数的极值点和极值的步骤：（1） 确定函数)(x f 的定义域，并求其导数)(x f ';（2） 解方程0)(='x f 求出)(x f 的全部驻点与不可导点;（3）讨论)(x f '在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;（4） 求出各极值点的函数值，就得到函数)(x f 的全部极值.例题选讲函数单调性的判断例1 (E01) 讨论函数1--=x e y x 的单调性.解 .1-='x e y 又).,(:+∞-∞D 在)0,(-∞内，,0<'y ∴函数单调减少； 在),0(+∞内，,0>'y ∴函数单调增加.注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.例2 (E02) 讨论函数32x y =的单调区间.解 ).,(:+∞-∞D 332xy ='),0(≠x 当0=x 时，导数不存在.当0<<-∞x 时，,0<'y ∴在]0,(-∞上单调减少； 当+∞<<x 0时，,0>'y ∴在[)+∞,0上单调增加； 单调区间为]0,(-∞，),0[+∞.注意: 区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，,3x y =,00='=x y 但是),(+∞-∞上单调增加.注：从上述两例可见，对函数)(x f y =单调性的讨论，应先求出使导数等于零的点或使导数不存在的点，并用这些点将函数的定义域划分为若干个子区间，然后逐个判断函数的导数)(x f '在各子区间的符号，从而确定出函数)(x f y =在各子区间上的单调性，每个使得)(x f '的符号保持不变的子区间都是函数)(x f y =的单调区间.求单调区间例3 (E03) 确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间.解 ).,(:+∞-∞Dx x x x f 12186)(2+-='),2)(1(6--=x x解方程0)(='x f 得.2,121==x x当1<<-∞x 时，,0)(>'x f ∴)(x f 在(]1,∞-上单调增加； 当21<<x 时，,0)(<'x f ∴)(x f []2,1上单调减少； 当+∞<<x 2时，,0)(>'x f ∴)(x f 在),2[+∞上单调增加； 单调区间为],1,(-∞],2,1[).,2[+∞例4求函数32))(2(x a a x y --=')0(>a 的单调区间. 解 y ',)()2(323232x a a x x a ---⋅=令 ,0='y 解得,321a x =在 ,22ax =a x =3处y '不存在. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-2,a 内，,0>'y 函数单调增加. 在⎪⎭⎫⎝⎛a a 32,2内，,0>'y 函数单调增加.在⎪⎭⎫⎝⎛a a ,32内，,0<'y 函数单调减少. 在()+∞,a 内，,0>'y 函数单调增加.例5 当0>x 时， 试证)1ln(x x +>成立.证 设),1ln()(x x x f +-=则.1)(xx x f +=' )(x f 在],0[+∞上连续，且在),0(+∞内可导，,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加， ,0)0(=f ∴当0>x 时，,0)1ln(>+-x x 即).1ln(x x +>证毕.应用单调性证明例6 (E04) 试证明：当0>x 时, 221)1ln(x x x ->+.证 作辅助函数 ,21)1ln()(2x x x x f +-+=因为)(x f 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且x xx f +-+='111)(,12x x +=当0>x 时，,0)(>'x f 又.0)0(=f 故当0>x 时，,0)0()(=>f x f所以.21)1ln(2x x x ->+例7 (E05) 证明方程015=++x x 在区间)0,1(-内有且只有一个实根.证 令,1)(5++=x x x f 因)(x f 在闭区间]0,1[-延续，且)1(-f 1-=,0<)0(f 1=.0> 根据零点定理)(x f 在)0,1(-内有一个零点.另一方面，对于任意实数,x 有)(x f '154+=x ,0> 所以)(x f 在),(+∞-∞内单调增加，因此曲线)(x f y =与x 轴至多只有一个交点.综上所述可知，方程015=++x x 在区间)0,1(-内有且只有一个实根.例 8 证明方程1ln -=exx 在区间),0(+∞内有两个实根. 证 令,1ln )(+-=exx x f 欲证题设结论等价于证)(x f 在),0(+∞内有两个零点. 令011)(=-='ex x f ⇒.e x = 因,1)(=e f ,)(lim 0-∞=+→x f x 故)(x f 在),0(e 内有一零点.又因在),0(e 内,0)(>'x f 故)(x f 在),0(e 内单调增加，这零点唯一.因此, )(x f 在),0(+∞内有且仅有两个零点, 证毕.例9 (E06) 判定 )1ln(x x y +-=的凹凸性. 解 因为,111x y +-=' 2)1(1x y +='' 所以，题设函数在其定义域),1(+∞-内是凹的.例10 (E07) 判断曲线3x y =的凹凸性.解 ,32x y =',6x y =''当0<x 时，,0<''y ∴曲线在]0,(-∞为凸的；当0>x 时，,0>''y ∴曲线在),0[+∞为凹的；注意到点)0,0(是曲线由凸变凹的分界点.例11 (E08) 求曲线14334+-=x x y 的拐点及凹、凸区间. 解 易见函数的定义域为),,(+∞-∞,121223x x y -='.3236⎪⎭⎫ ⎝⎛-=''x x y令,0=''y 得,01=x .22=x所以，曲线的凹区间为]0,(-∞,),32[+∞凸区间为]2,0[拐点为)1,0(和)27/11,3/2(.例12 求曲线 ))2,0((cos sin π∈+=x x x y 的拐点.解 y ',sin cos x x -=y '',cos sin x x --=y '''.sin cos x x +-= 令,0=''y 得 ,431π=x .472π=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛'''43πf 2=,0≠⎪⎭⎫ ⎝⎛'''47πf 2-=,0≠ ∴在]2,0[π内曲线有拐点为,0,43⎪⎭⎫ ⎝⎛π.0,47⎪⎭⎫⎝⎛π注：若)(0x f ''不存在，点))(,(00x f x 也可能是连续曲线)(x f y =的拐点.曲线凹凸性判断例13 (E09) 求函数32b x a y --=的凹凸区间及拐点. 解 y ',)(13132b x -⋅-= y '',)(9235b x -= 函数y 在b x =处不可导，但b x <时，,0<''y 曲线是凸的，b x >时，,0>''y 曲线是凹的. 故点),(2a b 为曲线32b x a y --=的拐点例14(E10) 求出函数593)(23+--=x x x x f 的极值.解 )3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,令,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x 列表讨论如下：所以, 极大值,10)1(=-f 极小值.22)3(-=f例15 (E11) 求函数32)1()4()(+-=x x x f 的极值.解 )1( 函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，除1-=x 外处处可导，且;13)1(5)(3+-='x x x f)2( 令,0)(='x f 得驻点;1=x 1-=x 为)(x f 的不可导点; )3( 列表讨论如下:)4( 极大值为,0)1(=-f 极小值为.43)1(3-=f例16 求函数 ()3/223x x x f -=的单调增减区间和极值. 解 求导数,1)(3/1--='x x f 当1=x 时,0)0(='f 而 0=x 时)(x f '不存在 , 因此，函数只可能在这两点取得极值. 列表如下:由上表可见：函数)(x f 在区间),1(),0,(+∞-∞单调增加, 在区间)1,0(单调减少. 在点0=x 处有极大值, 在点1=x 处有极小值,21)1(-=f 如图.例17 (E12) 求出函数20243)(23--+=x x x x f 的极值.解 ),2)(4(32463)(2-+=-+='x x x x x f 令,0)(='x f 得驻点.2,421=-=x x 又,66)(+=''x x f ,018)4(<-=-''f 故极大值,60)4(=-f ,018)2(>=''f 故极小值.48)2(-=f注意：0)(.10=''x f 时, )(x f 在点 0x 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断..2函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例18 (E13) 求函数1)1()(32+-=x x f 的极值.解 由,0)1(6)(22=-='x x x f 得驻点,11-=x .1,032==x x ).15)(1(6)(22--=''x x x f 因,06)(>=''/x f 故)(x f 在0=x 处取得极小值，极小值为.0)0(=f 因,0)1()1(=''=-''f f 故用定理3无法判别.考察一阶导数)(x f '在驻点11-=x 及13=x 左右邻近的符号: 当x 取1- 左侧邻近的值时, ;0)(<'x f 当x 取1-右侧邻近的值时, ;0)(<'x f因)(x f '的符号没有改变，故)(x f 在1-=x 处没有极值. 同理，)(x f 在1=x 处也没有极值. 如图所示.例19 求出函数 3/2)2(1)(--=x x f 的极值.解 ).2()2(32)(31≠--='-x x x f 2=x 是函数的不可导点.当2<x 时, ;0)(>'x f 当2>x 时, .0)(<'x f 1)2(=∴f 为)(x f 的极大值.课堂练习1. 若,0)0(>'f 是否能判定)(x f 在原点的充分小的领域内单调递增?2.设函数)(x f 在),(b a 内二阶可导, 且,0)(0=''x f 其中),(0b a x ∈, 则))(,(00x f x 是否一定为曲线)(x f 的拐点?举例说明.。
