高中数学人教B版选修2-1学案：3.1.3两个向量的数量积

例5．已知长方体ABCD－A’B’C’D’， AB=AA’=2，AD=4，E为侧面AB’的中心, F为A’D’的中点，计算下列数量积：
BC ED ' 16
A' c B' E a B A
BF AB ' 0 EF FC ' 2
已知向量 a ， b ， c ，如果这三个已知向量共面，
作 l / / c ，设轴的单位向量为 c0 ，
A a l O B A' b B' c c0
在 l 上取 O 点作 OA a ，作 AB b ，连 OB， 则 OB a b ，过点 A 作 AA’垂直 l 于点 A’，
3.1.3 空间向量的数量积
1．空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量 a, b ，在空间任取一点 O ， OA a, OB b ， AOB 叫做向量 a 作 则 与 b 的夹角，记作 a, b ； 且规定 0 a, b ， 显然有 a, b b , a ；
例4．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A、 B在α内，并且它们在l上的正射影分别为 A’，B’；C，D在β内，并且它们在l上的正 射影分别为C’，D’，求证：
AB CD A ' B ' C ' D '
l

A
B C' D' D
A'
的数量积等于零；
CC ', DD ' 分 别 和 AA ', A ' B ', B ' B 的 数 量

3.1.3 两个向量的数量积1．空间向量的夹角如果〈a ，b 〉＝90°，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b . 思考：等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是多少？ [提示] 120° 2．两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积(或内积)，记作a·b .(2)数量积的运算律3．两个向量的数量积的性质1．下列命题中正确的是()A．(a·b)2＝a2·b2B．|a·b|≤|a||b|C．(a·b)·c＝a·(b·c)D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0B[对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，∴左边≤右边，故A错误．对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误．在D中，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误．对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，∴|a·b|≤|a||b|，故B正确．]2．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于()A．14 B.14C．4D．2B[∵|a－2b＋3c|2＝(a－2b＋3c)·(a－2b＋3c)＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＝14，∴|a－2b＋3c|＝14.]3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.120° [∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝－33×2＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°.]OA ，OC 的中点．求下列向量的数量积：(1)OA →·OB →；(2)EF →·CB →；(3)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)．[思路探究] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．[解] (1)正四面体的棱长为1，则|OA →|＝|OB →|＝1.△OAB 为等边三角形，∠AOB ＝60°，于是：OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos 〈OA →，OB →〉 ＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)由于E ，F 分别是OA ，OC 的中点， 所以EF 綊12AC ，于是EF →·CB →＝|EF →||CB →|cos 〈EF →，CB →〉 ＝12|CA →|·|CB →|cos 〈AC →，CB →〉 ＝12×1×1×cos 〈AC →，CB →〉＝12×1×1×cos 120°＝－14. (3)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA →2＋OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →·OA →＋OB →2－2OB →·OC →＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.(1)要牢记公式a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉.(2)在求两个向量夹角时，要注意向量的方向，如〈EF →，CB →〉＝〈AC →，CB →〉＝120°易错写成60°.为避免出错，应结合图形进行计算.1．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→. [解] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(AA 1→－AB →)＋AD →＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c －a )＋b＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→)＝(AA 1→－AB →＋12AD →)·(AB →＋AA 1→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(AA 1→－AB →)＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c －a )＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.1．空间两个向量夹角定义的要点是什么？[提示] (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉． 2．空间向量数量积的性质有什么作用？[提示] (1)向量模的应用：式子|a |＝a·a 可以解决有关空间长度问题． (2)向量夹角的应用：空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得．(3)数量积的应用：两非零向量a ，b ，若a·b ＝0，则两向量对应的直线相互垂直．【例2】 (1)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．(2)如图所示，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC 1和BD 1的长．[思路探究] (1)先求BA 1→·AC →，再由夹角公式求cos 〈BA 1→，AC →〉，并由此确定BA 1→与AC →所成角的余弦值．(2)用向量AC 1→和BD 1→用已知向量AB →、AD →、AA 1→表示出来，再用数量积的定义运算．[解] (1)∵BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA →＝BB 1→·BC →＝0，∴BA 1→·AC →＝－BA →2＝－1. 又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝ 3.∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA 1→||AC →|＝－16＝－66.∵异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. (2)∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，∴|AC 1→|2＝AC 1→·AC 1→＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →＋AA 1→)＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→)＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.∴|AC 1→|＝6，即对角线AC 1的长为 6.同理，|BD 1→|2＝BD 1→·BD 1→＝(AD →＋AA 1→－AB →)·(AD →＋AA 1→－AB →)＝|AD →|2＋|AA 1→|2＋|AB →|2＋2(AD →·AA 1→－AB →·AA 1→－AD →·AB →)＝1＋1＋1＋2(cos 60°－cos 60°－cos 60°)＝2.∴|BD 1→|＝2，即对角线BD 1的长为 2.1．(改变结论)若把本例(1)中的结论“求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值”改为“求向量BA 1→与AC →夹角的余弦值”结果如何？[解] 由本例(1)解析可知BA 1→与AC →夹角的余弦值是－66.2 .(改变条件、改变结论)本例(2)中，若E 为CC 1的中点，求AE 的长． [解] AE →＝AB →＋AD →＋12AA 1→，∴|AE →|2＝AE →·AE →＝(AB →＋AD →＋12AA 1→)·(AB →＋AD →＋12AA 1→)＝|AB →|2＋|AD →|2＋14|AA 1→|2＋2AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→＝1＋1＋14＋2cos 60°＋cos 60°＋cos 60°＝414， ∴|AE →|＝172.(1)利用数量积求异面直线所成角(或余弦值)的方法：(2)求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离．【例3】 如图，在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .[思路探究] 证明OA →·BC →＝0.[证明] 因为OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ，所以△OAC ≌△OAB ， 所以∠AOC ＝∠AOB . 又OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝0，所以OA →⊥BC →，即OA ⊥BC .(1)证明线线垂直的方法,证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.(2)证明与空间向量a ，b ，c 有关的向量m ，n 垂直的方法先用向量a ，b ，c 表示向量m ，n ，再判断向量m ，n 的数量积是否为0.2．已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . [证明] ∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0. ∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →) ＝AB →·AC →＋BD →·AC →－|AB →|2－AB →·BD → ＝AB →·AC →－|AB →|2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .1．思考辨析(1)对于非零向量a ，b ，〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉相等． ( ) (2)对于任意向量a ，b ，c ，都有(a·b )c ＝a (b·c )． ( ) (3)(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. ( )[提示] (1)× 互补．(2)× (a·b )·c 与c 共线，a (b·c )与a 共线，但c 与a 不一定共线． (3)√2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG →·AC →D ．2EF →·CB →C [2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D 错，2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故C 正确．]3．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ，b 的夹角为π3，则a·b ＝________.1 [a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝1×2×12＝1.]4．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则(1)〈AB →，A 1C 1→〉＝________； (2)〈AB →，C 1A 1→〉＝________； (3)〈AB →，A 1D 1→〉＝________. (1)45° (2)135° (3)90°[(1)因为A 1C 1→＝AC →，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝〈AB →，AC →〉． 又∠CAB ＝45°，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝45°. (2)〈AB →，C 1A 1→〉＝180°－〈AB →，A 1C 1→〉＝135°. (3)〈AB →，A 1D 1→〉＝90°.]。

例4．已知长方体ABCD－A’B’C’D’， AB=AA’=2，AD=4，E为侧面AB’的中 心, F为A’D’的中点，计算下列数量积：
BC ED ' 16
A'
c B' E a
BF AB ' 0 EF FC ' 2
F D'
A
C' b D
B
•
C
练习题 1、 下列命题： ① 若 a b 0 ，则 a ， b 中至少一个为 0 ； ② 若 a 0 且 a b a c ，则 b c ③ (a b) c a (b c) ；
' '
如何求AE与CF的数量积？
D'
F
C'
B' E
A'
D A B
C
•
3．向量的数量积：
已知向量 a, b ，则 | a | | b | cos a, b 叫做 a, b 的 数量积，记作 a b ， 即 a b | a | | b | cos a, b ．
AB ( AC AB BD) AB DC 0 ．
•
证二：选取一组基底，设 AB a, AC b, AD c ， ∵ AB CD ，∴ a (c b) 0 ，即 a c b a ， 同理： a b b c ，， ∴ ac bc ， ∴ c (b a) 0 ，
30°
7、已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线， 求使 a b 与 a b 的夹角是锐角时 的 取值范围。
(－2，2)
•
小结
知识上：空间向量夹角和数量积的概念； 利用空间向量性质、运算率计算和证明几 何问题的方法与步骤 方法上：数形结合，等价转化，类比等， 注意“向量法”解决立体几何问题的优势

【训练2】 如图所示，正四面体
ABCD的每条棱长都等于a，点M，
N 分 别 是 AB ， CD 的 中 点 ， 求 证 ：
MN⊥AB，MN⊥CD. 证明 M→N·A→B＝M→B＋B→C＋C→N·A→B ＝M→B＋B→C＋12C→D·A→B ＝M→B＋B→C＋12A→D－12A→C·A→B ＝12a2＋a2cos 120°＋12a2cos 60°－12a2cos 60°＝0， 所以M→N⊥A→B，即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.
a，b 的夹角
记法
_〈_π_]__.当〈a，b〉＝π2时，a__⊥__b
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，向量A→B与B→C的夹角为∠B.( ) (2)当非零向量 a 与 b 共线时，〈a，b〉＝0.( ) (3)向量A→B与A→C的夹角和向量B→A与C→A的夹角相同.( ) 提示 (1)向量A→B与B→C的夹角是 π－B. (2)当非零向量 a 与 b 共线时，其方向相同或相反，故 〈a，b〉＝0 或 π. (3) 向 量 A→B 与 A→C 的 夹 角 和 向 量 B→A 与 C→A 的 夹 角 互 为 对 顶 角，故相等. 答案 (1)× (2)× (3)√
(3)E→F·D→C＝12B→D·D→C＝12|B→D|·|D→C|·cos〈B→D，D→C〉 ＝12×1×1×cos 120°＝－14， 所以E→F·D→C＝－14； (4)B→F·C→E＝12(B→D＋B→A)·12(C→B＋C→A) ＝14[B→D·(－B→C)＋B→A·(－B→C)＋B→D·C→A＋B→A·C→A] ＝14[－B→D·B→C－B→A·B→C＋(C→D－C→B)·C→A＋A→B·A→C] ＝14－12－12＋12－12＋12＝－18.