人教A版选修2-1《空间向量的数量积运算》导学案

3.1.3 空间向量的数目积【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解观点，达成导学纲要；2．小组合作，着手实践。

【学习目标】1.掌握空间向量夹角和模的观点及表示方法；2.掌握两个向量的数目积的计算方法，并能利用两个向量的数目积解决立体几何中的一些简单问题．3.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；4.掌握空间向量的坐标运算的规律；【要点】利用两个向量的数目积解决立体几何中的问题．【难点】空间向量的坐标运算的规律一、自主学习1 预习教材P90~ P92, 解决以下问题复习 1：什么是平面向量 a 与 b 的数目积？复习 2：在边长为 1 的正三角形⊿ ABC 中，求 AB BC .2.导学纲要1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a, b ，在空间，作OA a, OB b.，则 AOB 叫做向量 a 与b的夹角，记作⑴范围:a,ba, b =0 时 , a 与 b; a,b =π时 , a 与 b⑵a, bb , a 成立吗？⑶a, b，则称 a 与b相互垂直，记作.2) 向量的数目积：已知向量 a, b ，则叫做a, b的数量积，记作 a b ，即a b.⑴ 两个向量的数目积是数目仍是向量？⑵0 a（选0仍是0）⑶你能说出 a b 的几何意义吗？3)空间向量数目积的性质：（ 1）设单位向量 e ，则a e| a | cos a, e．（ 2） a b a b．（ 3）a a＝.（ 4） cos a ,b=____________4)空间向量数目积知足哪些运算律：_____________________________⑴（a b) c a (b c) 吗？举例说明.⑵若 a b a c ，则b c 吗？为何?⑶若 a b0 ，则a0 或b0 吗？为何？5)对空间的随意愿量a，可否用空间的几个向量独一表示？假如能，那需要___个向量？这几个向量有何地点关系？⑴ 空间的随意愿量 a ，均可分解为不共面的三个向量 1 a1、 2 a2、 3 a3 ，使 a 1 a1 2 a2 3 a3. 假如 a1 , a2 , a3两两，这类分解叫空间向量的___________.(2) 空间向量基本定理：假如三个向量a,b, c，对空间任一直量p ，存在有序实数组 { x, y, z} ，使得 p xa yb zc . 把的一个基底 a, b, c 都叫做 __________. 空间随意一个向量的基底有个 .一个基底能够表示_____个空间向量？(3) 假如空间一个基底的三个基向量相互，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，往常用_________表示 .⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz 和向量 a，且设 i、j 、 k 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{ x, y, z} ，使得 a xi y j zk，则称有序实数组{ x, y, z} 为向量a的坐标，记住p.⑸设 A (x1 , y1 , z1 ) ， B ( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ＝.⑹向量的直角坐标运算：设 a＝(a1, a2, a3)， b＝(b1,b2,b3)，则⑴ a＋ b＝_________________；⑵ a－ b＝_________________；⑶ λa＝__________________; (R) ；⑷a· b＝_____________________.6)试用向量方法证明直线与平面垂直的判判定理二、典型例题例 1.1.以下命题中：①若 a b0 ，则 a ， b 中起码一个为 0②若 a 0 且 a b a c ，则 b c③ (a b) c a(b c)④ (3a2b)(3a22 2b) 9 a 4 b正确有个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D.3个2. 已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下边向量中与2e2e1垂直3的是（）A.e1e2B.e1e2C.e1D.e23.若 a,b,c 为空间向量的一组基底，则以下各项中，能组成基底的是（）A. a, a b,a bB.b, a b, a bC.c, a b, a bD.a2b, a b, a b4.设 i、 j、k 为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且 AB i j k ，则点 B 的坐标是5.已知ABC 中，A, B, C 所对的边为 a,b, c ，且 a 3,b 1 , C 30,则 BC CA =6.在三棱锥OABC中， G 是ABC的重心（三条中线的交点），选用OA,OB ,OC 为基底，试用基底表示OG ＝7.已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线，当a b 与 a b 的夹角是锐角时，的取值范围是.8.正方体 ABCD A'B'C'D' 的棱长为2，以 A 为坐标原点，以 AB,AD,AA '为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向成立空间直角坐标系， E 为 BB1中点，则 E 的坐标是.9.已知向量a,b 知足a 4 ， b 2 ， a b3，则 a b____10.已知对于x 的方程 x2t 2 x t 23t50 有两个实根， c a tb ，且 a1,1,3 , b 1,0, 2 ，当 t＝时， c 的模获得最大值 .例 2如图，在空间四边形ABCD 中，AB 2 ，BC3，BD 2 3，CD 3 ，DABD30 ， ABC 60，求 AB 与 CD 的夹角的余弦值A CB变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C1中，若AB = 2 BB 1,则 AB 1与 C1 B 所成的角为（）A.60°B. 90°C. 105°D. 75°例 3 如下图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60°角，求 B、 D 间的距离．→→→例 4 在平行六面体ABCD －A′B′C′D′中，－ *6] ·OC＝a，AD＝b，AA′＝c，P是 CA′的中点， M 是 CD′的中点， N 是 C′D′的中点，点Q 是 CA′上的点，且 CQ∶ QA′＝ 4∶ 1，用基底 { a，b，c} 表示以下向量：（1）AP；→；(2)AM(3) AN；→(4)AQ.三、变式训练：课本第92 页练习1-3，94页练习1-3题四、讲堂小结1．知识：2．数学思想、方法：3．能力：五、课后稳固1.课本第 98 页 A 组 3、4 题2.已知空间四边形ABCD 中，AB CD ，AC BD ，求证：AD BC .DA CB3.已知 a, b, c 是空间的一个正交基底，向量 a b, a b,c 是另一组基底，若 p 在 a,b, c 的坐标是1,2,3 ，求 p 在 a b, a b, c 的坐标 .。

3.1.3 空间向量的数量积运算【学习目标】1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．【学习过程】一、自主学习知识点一 空间向量数量积的概念(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .(2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b ) 交换律a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c①定义：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．②范围：〈a ，b 〉∈[0，π]．特别地：当〈a ，b 〉＝π2时，a ⊥b . 知识点二 空间向量的数量积的性质 两个向量数量积的性质 ①若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0②若a 与b 同向，则a ·b ＝|a |·|b |；若反向，则a ·b ＝－|a |·|b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ③若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |④|a ·b |≤|a |·|b |问题1 如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量OA →与BC →的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．探究点1 空间向量的数量积运算例1 已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED →1；(2)BF →·AB →1；(3)EF →·FC →1.探究点2 利用数量积求夹角例2 BB 1⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，▱ABB 1A 1、▱BB 1C 1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，求异面直线BA 1与AC 所成的角．探究点3 利用数量积求距离例3 如图所示，平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．三、当堂测试1．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且它们互不共线，有下列命题：①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |；③(b·a )·c －(c·a )·b 与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④2.已知正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则〈A ′B →，B ′D →′〉等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°3．已知P A ⊥平面ABC ，垂足为A ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．1444．已知a 、b 是异面直线，且a ⊥b ，e 1、e 2分别为取自直线a 、b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为________．5．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________.四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。

3.1.3 空间向量的数量积运算[目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[重点] 空间向量的数量积运算．[难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题．知识点一 空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：a ，b 是空间的两个非零向量．(2)作法：在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b . (3)结论：∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ，b ．2．范围：a ，b∈[0，π]，其中，(1)当a ，b ＝0时，a 与b 的方向相同． (2)当a ，b ＝π时，a 与b 的方向相反． (3)当a ，b＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . [答一答]1．若a ，b 是空间的两个非零向量，则－a ，b ＝a ，－b ＝a ，b ，对吗？提示：不对．∵－a 与a ，－b 与b 分别是互为相反向量，∴－a ，b＝a ，－b ＝π－a ，b ．知识点二 空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos a ，b 叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b＝|a ||b |cosa ，b ．(2)运算律：①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 2．空间向量数量积的性质[答一答]2．类比平面向量，你能说出a ·b 的几何意义吗？提示：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积． 3．对于向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？提示：不能，若a ，b ，c 是非零向量，则a ·b ＝a ·c 得到a ·(b －c )＝0，即可能有a ⊥(b －c )成立．4．对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，能不能写成a ＝k b？ 提示：不能，向量没有除法，k b无意义． 5．为什么(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立？ 提示：由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cosa ，b )c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝a (|b ||c |cos b ，c )，即a (b ·c )＝λ2a ，因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．类型一 空间向量的数量积运算【例1】 如下图所示，已知正三棱锥A ­BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积．(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.【解】 (1)由题知|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°， ∴AB →·AC →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，且〈AD →，BD →〉＝60°. ∴AD →·BD →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，∴〈GF →，AC →〉＝180°.∴GF →·AC →＝12a ·a ·cos180°＝－12a 2.(4)|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，又EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°. ∴EF →·BC →＝12a ·a ·cos60°＝14a 2.在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)． 解：如图所示，(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.类型二 利用数量积求夹角【例2】 如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．【分析】 求异面直线BA 1与AC 所成的角，可转化为求向量BA 1→与AC →所成的角，因此可先求BA 1→·AC →，再求|BA 1→|，|AC →|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别．【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA →＝BB 1→·BC →＝0， 所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →)＝BA →·BC →－BA→2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA →＝－1. 又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝ 3.所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC→|BA 1→||AC →|＝－16＝－66.则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．解：不妨设正方体的棱长为1， 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1.而|A 1B →|＝|AC →|＝2，∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝12×2＝12，∴〈A 1B →，AC →〉＝60°.∴异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 类型三 利用数量积求距离【例3】 在正四面体ABCD 中，棱长为a .M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.【分析】 转化为求向量MN →的模，然后将向量MN →分解，再根据数量积运算性质进行求解． 【解】 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 所以|MN |＝53a .求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离.如下图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使直线AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°， ∴AC →·CD →＝0，同理BA →·AC →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°. ∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →， ∴BD →2＝BA →2＋AC →2＋CD→2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝BA→2＋AC→2＋CD→2＋2BA →·CD →＝3＋2·1·1·cos〈BA →，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4 〈BA →，CD →〉＝60°， 2〈BA →，CD →〉＝120°.∴|BD →|＝2或2，即B ，D 间的距离为2或 2. 类型四 利用数量积证明垂直问题【例4】 如下图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC .【分析】 本题考查利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0求证线面垂直，关键是在平面PAC 中找出两相交向量与向量B 1O →垂直．【证明】 不妨设正方体的棱长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b＝b ·c ＝a ·c ＝0.由题图得：PA →＝PD →＋DA →＝－12AA 1→－AD →＝－b －12c ，PC →＝PD →＋DC →＝－12AA 1→＋AB →＝a －12c ，B 1O →＝B 1B →＋BO →＝－c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b －c .∵PA →·B 1O →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝12a ·b －12b 2＋b ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2， PC →·B 1O →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝－12a 2＋12a ·b －a ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2，又∵|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0，∴PA →·B 1O →＝0，PC →·B 1O →＝0.∴PA →⊥B 1O →，PC →⊥B 1O →. ∴PA ⊥B 1O ，PC ⊥B 1O .又∵PA ∩PC ＝P ，∴B 1O ⊥平面PAC .用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 证明：如图．方法一：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0.AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .方法二：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， ∵AB ⊥CD ，∴AB →·CD →＝0，即AB →·(AD →－AC →)＝0，a ·(c －b )＝0，即a ·c ＝b ·a . ∵AC ⊥BD ，∴AC →·BD →＝0，即AC →·(AD →－AB →)＝0，b ·(c －a )＝0， 即b ·c ＝b ·a .∴a ·c ＝b ·c ，c ·(b －a )＝0， 即AD →·(AC →－AB →)＝0，AD →·BC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC.1．如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线AC 1和BD 1相交于点O ，则有( C)A.AB →·A 1C 1→＝2a 2B.AB →·AC 1→＝2a 2C.AB →·AO →＝12a 2D.BC →·DA 1→＝a 2解析：∵AB →·AO →＝AB →·12AC 1→＝12AB →·(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(AB →2＋AB →·AD →＋AB →·AA 1→)＝12AB →2＝12|AB →|2＝12a 2. 2．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( B ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2解析：|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴|a －2b ＋3c |＝14.3．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于－2.解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 4．已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则 |a －b ＋2c |等于 5.解析：(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a·b ＋4a·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos60°＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5.5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2. BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC →，由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝2×2×12＝1.∴BD →·AC →＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ， ∴BD ⊥平面ADC .。

《空间向量的数量积运算》导学案制作人王维审核高二数学组2016-02-29【学习目标】1、理解空间向量夹角的概念及表示方法；2、理解空间向量数量积的概念、运算性质及运算律；3、通过探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题与解决问题的能力.【学习重点】空间向量数量积的概念、运算性质及运算律【学习难点】空间向量数量积的概念、运算性质及运算律的运用【问题探究】探究活动一：两空间向量的夹角探究活动二：空间向量的数量积探究活动三：空间两个向量的数量积的性质探究活动四：空间向量的数量积满足的运算律【预习导航】1、复习回顾：平面向量的数量积运算2、如何进行空间向量的数量积运算？【思考】如何运用空间向量的数量积运算处理有关问题？1•【应用训练】【练习题】1、在平面内的一条直线 ,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 ,那1、向量a 、b 之间的夹角为30 0，且a = 3 ，b = 4 ，则么它也和这条斜线垂直.a •b = __________， a 2 = __________， b 2= __________，（a + 2b ） (a - b ) = __________.2、已知 a = 2 2夹角.， b =22 ，a • b = 2 ，试求向量 a 与 b的【总结概括】2 、已知l ⊥ n ，m ， n 是平面α求证：l ⊥α.内的两条相交直线，若l ⊥ m ，本节课的收获：【分层作业】 必做题：教材第 98 页习题 第 3,4 题选做题：同步练习册课后作业提升习题2。

向量的数量积（2）一、教学过程：考点一：向量的数量积运算（一）、知识要点：1）定义：① 设<,a b r r >=θ,则a b =r r g （θ的范围为 ）②设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r 则a b =r r g 。

注：①a b r r g 不能写成ab r r ，或a b ⨯r r ②a b r r g 的结果为一个数值。

2）投影：b r 在a r 方向上的投影为 。

3）向量数量积运算律：①a b b a =r r r r gg ②()()()a b a b a b λλλ==r r r r r r g g g ③()a b c a c b c +=+r r r r r r r g g g 注：①没有结合律()()a b c a b c =r r r r r r g g g g二）例题讲练1、下列命题：①若0a b =r r g ，则a r ，b r 中至少一个为0r ②若a r 0≠r 且a b a c =r r r r g g ，则b c =r r③()()a b c a b c =r r r r r r g g g g ④22(32)(32)94a b a b a b +-=-r r r r r r g中正确有个数为 （ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2、已知ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，且a=3,b=1,C=30°,则BC CA u u u r u u u r g = 。

3、若a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，且3,1,4a b c ===r r r ，则a b b c a c ++r r r r r r g g g = 。

4、已知2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +r r 在a r 上的投影为 。

考点二：向量数量积性质应用一）、知识要点：①0a b a b ⊥⇔=r r r r g （用于判定垂直问题）②a =r （用于求模运算问题） ③cos a b a bθ=r r g r r （用于求角运算问题） 二）例题讲练1、已知2a =r ，3b =r ，且a r 与b r 的夹角为2π，32c a b =+r r r ，d ma b =-u r r r ，求当m 为何值时c d ⊥r u r2、已知1a =r ，1b =r ，323a b -=r r ，则3a b +=r r 。

3. 1.3．空间向量的数量积教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论； （二）新课讲解：1．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：；2．向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；3．向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即．已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度．4．空间向量数量积的性质：（1）．（2）．（3）．5．空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）．（3）（分配律）．（三）例题分析： 例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且求证：．证明：在内作不与重合的任一直线，在上取非零向量，∵相交，∴向量不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对，使， ∴，又∵，,a b r r O ,OA a OB b ==u u u r u u u r r r AOB ∠arb r ,a b <>r r 0,a b π≤<>≤r r ,,a b b a <>=<>rr r r ,2a b π<>=r r a r b r a b ⊥rr OA a =u u u r r OA u u u r a r ||a r ,a b r r ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r r r r ,a b rr a b ⋅r r a b ⋅=r r ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r rr r AB a =u u u r r l e rl l A l A 'B l B 'A B ''u u u u rAB u u u r l e rA B ''u u u u r ||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅u u u u r u u u r r r r r ||cos ,a e a a e ⋅=<>r r r r r0a b a b ⊥⇔⋅=r rr r 2||a a a =⋅r r r ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r ra b b a ⋅=⋅r r r r()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r,m n αl αB ,l m l n ⊥⊥l α⊥α,m n g ,,,l m n g ,,,l m n g r r r r,m n ,m n r r(,)x y g xm yn =+r r rl g xl m yl n ⋅=⋅+⋅r r r r r r 0,0l m l n ⋅=⋅=r r r rl m n m ng g l∴，∴，∴，所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得．例2．已知空间四边形中，，，求证：．证明：（法一）．（法二）选取一组基底，设，∵，∴，即，同理：，， ∴， ∴，∴，即．说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

第三章第3课时 空间向量的数量积运算学习目标：1、 掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2、 掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及简单应用。

3、体会空间问题平面化的数学思想。

预习案一、 教材助读，知识归纳：1、两个向量的夹角：平面向量的夹角定义：b a 两个非零向量，，O 在平面任取一点，OA=OB=b a 作，，b AOB a Ð则叫作，的夹角.取值范围：空间向量的夹角定义：取值范围：<a ®,b ®>=0时，a ®与b ®的方向 ；<a ®,b ®>= 时，a ®与b ®的方向 。

特别地：如果<a ®,b ®>= 则称a ®与b ®互相垂直，并记作 。

思考：对于空间任意两个非零向量a 、b，如何求出其夹角？2.两个向量的数量积平面向量的数量积b b cos b b a a a a 已知两个非零向量，，则，叫做，的数量积.空间向量的数量积变形式：cos<a ®,b ®>= 。

特别地：①零向量与任何向量的数量积为0，即0a ×=0 ②a a × =cos ,a a a a 狁= |a ®|2③0a b a b ^圩=3、空间向量数量积的运算律：①()a b l ×= （数乘的结合律） ②a b ?（交换律)③()a b c ?=（分配律）反馈练练习：1. 已知|a |=22，22b = ，a b × =-2，则a ，b 所夹的角为 。

2.判断正误1）0,=0=0.a b a b ?若则， （ ） 2）()()a b c a b c 鬃=鬃（ ） 3）()222p qp q ? （ ） 课堂探究案二、例题讲解，合作探究： 探究1.问题解决夹角问题例1.如图，在空间四边形ABCD 中，AC=3，AD=23，AB=2，CD=3，BAD=30AC=60B 邪邪，，（1）AD DC AC用、表示。

3.1.3 空间向量的数量积运算一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值．（二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律．2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题．（三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律．2．空间向量的模长公式和夹角公式．3．空间向量数量积在立体几何中的应用．（四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空： 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，的夹角，记作><,． 如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥． 已知两个非零向量，，则><b a b a ,cos ||||叫做，的的数量积，记作⋅． 零向量与任何向量数量积为0． 特别地，⋅=><,cos ||||2||=．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？ ①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？ ①若为单位向量，则⋅=><,cos ||； ②若，⊥⇔⋅0=； ③==a ||；④若，为非零向量，则>=<,cos ||||a ba b ⋅； ⑤||||||≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）． 2．预习自测（1）已知向量，满足：3||=，2||=，⋅6-=，则>=<,（ ）A ．0B ．3πC ．2πD ．π 【知识点】空间向量的夹角公式．【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯rr r r r r ，∴>=<b a ,π．【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式．【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（）A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴C AB 11⋅)()(11C BB +⋅+=C BB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ，故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0．【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】=21||AC 2121)(AA AC ++=112122222AA AA AA ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为 ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】222)(||++==⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】222c b a ++．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律；（2）共线向量定理的两种表达形式；（3）共面向量定理的两种表达形式．2．问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的数量积运算★●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a r ，b r 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答） 已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备．●活动② 巩固理解，深入探究同样的，那数量积的定义呢？（抢答） 已知两个非零向量a ，b ，则><,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner product ），记作a b ⋅r r ．零向量与任何向量数量积为0．特别地，2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=r r r r r r r ．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义．●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答） ①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入．探究二 探究空间向量数量积的性质★▲●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答） ①若为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>r r r r r ；（解释：1||=，转化为投影） ②若，为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；（解释：,cos 022a b ππ<>==r r ，）③||==；（解释：,0cos 01a b <>==r r ，） ④若，为非零向量，则||||,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式） ⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-r r r r ，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ，可用于证明空间向量垂直；第③条，||=，是空间向量的模长公式；第④条，||||,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础．探究三 探究空间向量数量积的具体应用★▲●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ；②=||22a b b a =r r r r ； ④22||4||9)23()23(-=-⋅+．正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；，不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．【答案】D ．同类训练 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（ ）A ．⋅2B ．⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】由已知可得3,π>=<， 所以><=⋅,cos ||||22223cos 2a a ==π． 【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算．【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（ ）A ．0B ．21C ．22D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<，且||||=． 所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅uu r uu u r r r r r r r r 3cos ||||3cos ||||ππ-=0|)||(|||21=-=， 所以0||||,cos =>=<BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．【答案】A ．同类训练 已知空间向量，，两两夹角为 60，其模都为1，则|2|+-等于（ ）A ．5B ．5C ．6D ．6【知识点】空间向量的模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅， ∴2|2|+-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|+-5=． 【思路点拨】先计算⋅，⋅，⋅，再利用模长公式展开计算．【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线l 的方向向量，同时取向量PA ，，∵OA l ⊥，∴0=⋅．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅． 又∵=⋅)(+⋅0=⋅+⋅=，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量用，来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥．【答案】见解题过程．同类训练 已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ．【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，，． ∵m 与n 相交，∴向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对),(y x ，使y x +=． ∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴y x ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥．∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量表示为，的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度．3. 课堂总结知识梳理（1）已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作=，=，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<b a ，那么向量，互相垂直，记作⊥． （2）已知两个非零向量，，则><,cos ||||叫做，的的数量积（inner product ），记作⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，⋅=><,cos ||||2||=．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ，②交换律：⋅=⋅，③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||==a ，b 为非零向量，则||||,cos b a >=<；⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列命题中正确的是（ ）A ．222)(⋅=⋅ B ．||||||≤⋅C ．)()(⋅⋅=⋅⋅D ．若)(-⊥，则0=⋅=⋅【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】对于A 项，><=⋅,cos )(222222≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅，所以⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】B ． 2．已知，为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-)2(（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||==，>=<, 60， ∴=⋅-)2(22-⋅0||60cos ||||22=-= ．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则．【答案】B ． 3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅（ ）A ．2-B ．2C ．32-D ．32 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】=⋅)(-⋅⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=．【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算.【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵)()2(-⋅-+)()(-⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形．【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若+=与的夹角 为 ．【知识点】空间向量的夹角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵+=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,> 90=．【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角．【答案】 90． 6．已知，，中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||++的值．【知识点】向量模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵2||++⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||++10=． 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型 师生共研7．已知23|=a ，4|=b ，+=，λ+=，43,π>=<，若⊥， 则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵⊥，∴0=⋅，即⋅+)(0)(=+λ，则0)1(22=⋅+++λλ，即043cos 234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ． 【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=．=，CC =1，1||||||===，∴0=⋅=⋅=⋅，∵BM +=，+=，∴BM ⋅432=+=，又∵26||=BM ，25||=AN ，∴<cos ⋅>||||AN BM =1030252643=⨯=． 【思路点拨】将与用．，表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型 多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=，=，BB =1，m ==||||，n =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=+-=，=1BC +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)()(+2+⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴A AB 11⋅⋅+-=)()(1BC AB A A ++⋅+-=)()(+--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥． 【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用，，表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化． 【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设n BB m +=1，则)(n m -+=m n n ++-=，而+=m n n ++-=)1(，∴11AA A -=m n n )1()1(-++-=， 要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅A ，0)(1=-⋅A ， ∴])1()1[(m n n -++-0=⋅c ，])1()1[(m n n -++-0)(=-⋅，解得43=m ，21=n ，+=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将表示为n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||m m ⋅=⋅)()(λλ；③⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为与的方向不一定相同，故不一定相等． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】C ．2．已知向量，满足2||=，2||=，且与-2互相垂直，则>=<, ．【知识点】向量数量积的运算，夹角公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵与a b -2互相垂直，∴0)2(=-⋅，即022=-⋅，∴2=⋅b a ，∴22||||,cos =>=<b a ，故 45,>=<b a ． 【思路点拨】先求出b a ⋅，再利用向量夹角公式．【答案】 45．3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则BCD ∆（ ）A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．无形状不确定【知识点】数量积定义的应用．【数学思想】转化思想【解题过程】∵⋅)()(-⋅-=2+⋅-⋅-⋅=02>=，∴0||||,cos >>=<BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角． 【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定． 【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵++=，∴⋅++=⋅)(12==，故21||||,cos =>=<CD AB ，即 60,>=<CD AB ． 【思路点拨】先求出⋅，再利用向量夹角公式． 【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为 ． 【知识点】向量模长的计算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵++=，∴22)(++=⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式． 【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与A 1所成角的大小为 ．【知识点】向量夹角公式的运用． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵A B 11⋅()(1AA ⋅+-=2=1=，由题意得211==C B PA ，则21||||,cos 1111=>=<P A C B A B ，故 60,11>=<P A C B ． 【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出A B 11⋅．【答案】 60．。

3.1.3空间向量的数量积(一）【学习目标】1.掌握空间向量夹角概念；2.掌握空间向量的数量积运算及其运算律；3.利用空间向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

【自主学习】1.空间向量的夹角及其表示：2.两个向量垂直：3.向量的数量积：补充定义:零向量与任何向量的数量积为______________.4.空间向量数量积的运算律：①___________________②__________________③___________________【自主检测】思考：1. 对于三个均不为零的数,,,c b a 若ac ab =，则.c b =对于向量,,,a b c a b a c b c ∙=∙=由，能得到吗？如果不能，请举出反例.2.对于三个均不为零的数,,,c b a 若c ab =，则b c a =（或ac b =）.对于向量,,,k k a b c a b k a b b a∙===由，能不能写成(或)?也就是说，向量有除法吗？3 .对于三个均不为零的数,,,c b a 有).()(bc a c ab =对于向量,,,a b c a b c a b c∙=∙（）（）成立吗？ 向量的数量积满足结合律么？【典型例题】 例1在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直.请你画出图形，写出已知和求证，然后根据分析给出证明.分析：只需证明平面内的直线l 的方向向量a 与PA 的数量积为0.完成此题后，请你比较传统证法与向量证法的优劣，进而自己证明此定理的逆定理即三垂线定理的逆定理.例2已知:,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥.求证：l α⊥．分析：要证明l α⊥，就是要证明直线和平面内的任意一条直线g 都垂直（直线和平面 垂直的定义），因此要寻找直线g 与,m n 的关系.证明：【总结提升】用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算得解.l m n m n g g l。

课题：空间向量及坐标运算班级 使用人姓名 编号 44 主编教师：杨留杰 课型：新授课 审核人签名： 【自研课导学】预习课（晚自习40分钟）自读自研选修2-1课本第90到96页的所有内容，并在 20分钟内完成自研环节任务： 达成目标1.会用坐标表示空间向量2. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算；3. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.【展示课导学】自研自探环节合作探究 展示提升环节，质疑提升环节 自学指导内容，学法，时间互动策略内容展示方案内容，方式，时间回归教材，夯实基础问题一：试着回顾空间向量的概念、运算规律及公式：模、夹角、零向量、单位向量、相同向量、相反向量、共线向量、共面向量；运算法则、夹角公式、距离公式、中点坐标公式等（1）|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与a. ；当λ＜0时，λa 与a. ； 当λ＝0时，λa ＝ .（3）. 向量加法和数乘向量运算律：交换律：a ＋b ＝ 结合律：(a ＋b )＋c ＝ 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ 向量的数量积：a b ⋅= .问题二 ：你和你的搭档能否合作探讨一下共线向量定理及推论和共面向量定理及推论，并比较记忆。

1.共线定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ使得 ；推论： l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是 .2.共面定理：对空间两个不共线向量,a b ，向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在 ， 使得 .推论：空间一点P 与不在同一直线上的三点A ,B ,C 共面的充要条件是： ⑴ 存在 ，使 ⑵ 对空间任意一点O ，有 问题三：试着根据物理学中力的合成与分解，想想空间向量是否也可以？若可以体会正交分解和单位正交分解的区别？问题四：你可否在方案四的基础上对空间向量进行坐标表示并进行坐标运算;它和平面向量的坐标运算有区别吗？问题1、4自己解决。