新教材高中数学第8章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念学案新人教B版第三册

课时作业(十三) 向量的数量积一、选择题1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是()A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b2．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝8，∠C ＝60°，则BC →·CA →＝()A ．20B ．－20C ．20 3D ．－20 33．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则a 与b 的夹角θ为() A.π6 B.2π3C.π3D.5π64．[2019·全国卷Ⅰ]已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6二、填空题5．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝1，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于________．6．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 在e 方向上的投影为－2，则a 与e 的夹角为________．7．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值X 围是________．三、解答题8．已知|a |＝4，|b |＝2.(1)若a 与b 的夹角为120°，求|3a －4b |；(2)若|a ＋b |＝23，求a 与b 的夹角θ.9．已知a ·b ＝20，|a |＝5，求b 在a 方向上的正射影的数量．[尖子生题库]10．若△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O,2OA →＋AB →＋AC →＝0且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB→等于________．课时作业(十三) 向量的数量积1．解析：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，∴a ·b ＝0.即a ⊥b .答案：B2．解析：BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos 120°＝5×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－20. 答案：B3．解析：∵|2a ＋b |2＝4＋9＋4a ·b ＝7，∴a ·b ＝－32，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3. 答案：B4．解析：设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cosα＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.故选B. 答案：B5．解析：∵(3a ＋2b )⊥(λa －b )，∴(λa －b )·(3a ＋2b )＝0，∴3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0.又∵|a |＝2，|b |＝1，a ⊥b ，∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos 90°－2＝0，∴12λ－2＝0，∴λ＝16. 答案：166．解析：因为a 在e 方向上的投影为－2，即|a |cos 〈a ，e 〉＝－2，所以cos 〈a ，e 〉＝－2|a |＝－12， 又〈a ，e 〉∈[0，π]，所以〈a ，e 〉＝120°.答案：120°7．解析：由题意cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |>0， 即1－2λ>0，得λ<12. ∵a ，b 不能共线，即a ≠b ，∴λ≠－2. ∴λ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12. 答案：(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 8．解析：(1)a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4. 又|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a －4b |＝419.(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝42＋2a ·b ＋22＝(23)2，∴a ·b ＝－4，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－44×2＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3. 9．解析：设a ，b 的夹角为θ，则b 在a 方向上的正射影的数量就是|b |cos θ， 因为|a ||b |cos θ＝a ·b ＝20，所以|b |cos θ＝20|a |＝205＝4， 即b 在a 方向上的正射影的数量是4.10．解析：∵2OA →＋AB →＋AC →＝0，∴OA →＋AB →＋OA →＋AC →＝0，∴OB →＋OC →＝0，即OB →＝－OC →.∴O ，B ，C 共线，BC 为圆的直径．∴AB ⊥AC . 又|OA →|＝|AB →|，∴|OA →|＝|AB →|＝1，|BC →|＝2，|AC →|＝3. 故∠ACB ＝π6.则CA →·CB →＝3×2cos π6＝3. 答案：3。

新教材人教B版2019版数学必修第三册第八章知识点清单目录第八章向量的数量积与三角恒等变换8. 1 向量的数量积8. 1. 1 向量数量积的概念8. 1. 2 向量数量积的运算律8. 1. 3 向量数量积的坐标运算8. 2 三角恒等变换8. 2. 1 两角和与差的余弦8. 2. 2 两角和与差的正弦、正切8. 2. 3 倍角公式8. 2. 4 三角恒等变换的应用第八章 向量的数量积与三角恒等变换8. 1 向量的数量积 8. 1. 1 向量数量积的概念 8. 1. 2 向量数量积的运算律一、两个向量的夹角1. 给定两个非零向量a ，b ，在平面内任选一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则称 [0，π] 内的∠AOB 为向量a 与向量b 的夹角，记作<a ，b >. 当<a ，b >=π2时，称向量a 与向量b 垂直，记作a ⊥b .2. 规定：零向量与任意向量垂直.3. 两向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹角. 二、两个向量的数量积（内积） 1. 定义一般地，当a 与b 都是非零向量时，称|a ||b |cos<a ，b >为向量a 与b 的数量积(也称为内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |·cos<a ，b >.2. 性质：设a ，b 是非零向量，θ是它们的夹角，则 (1) a ⊥b ⇔a ·b =0. (2)| a ·b |≤|a ||b |.(3) a ·a =|a |2，即|a |=√a ⋅a . (4)cos<a ，b >=a⋅b|a||b|.3. 两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0， 0°≤θ<90°时)，可以为负(当a ≠0，b ≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a =0或b =0或θ=90°时)，其中θ为a 与b 的夹角.4. a ·b 中的符号“·”既不能省略，也不能用“×”代替.三、向量的投影1. 向量的投影⃗⃗⃗⃗⃗ =a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A'，如图1所示，设非零向量AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为向量a在直线l上的投影向量或投影.B'，则称向量A′B′类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .投影称为a在向量b上的投影. 如图2中，向量a在向量b上的投影为A′B′可以看到，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反.2. 投影的数量一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos<a，b>为向量a在向量b上的投影的.数量，也可以写成a⋅b|b|3. 投影的数量可正、可负，也可为0.四、向量数量积的运算律1. 交换律：a·b=b·a.2. (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b).3. 分配律：(a+b)·c=a·c+b·c.【注意】向量数量积的运算不满足消去律(a·b=a·c不能推出b=c)和乘法的结合律((a·b)·c≠a·(b·c)).五、向量数量积的应用 1. 利用向量的数量积求模a·a=a 2=|a|2或|a|=√a ⋅a 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据，即求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积(一定非负)，再求它的算术平方根，即为该向量的模.2. 利用向量的数量积求夹角求两个非零向量a ，b 的夹角θ或其余弦值一般利用夹角公式cos θ=a⋅b |a||b|，根据题中条件分别确定|a|，|b|和a·b 后代入即可. 确定θ时要注意θ∈[0，π]，当cos θ>0时，θ∈[0，π2)；当cos θ<0 时，θ∈(π2，π]；当cos θ=0时，θ=π2.3. 已知两个向量垂直时，可求相关参数的值. 具体方法是利用向量的数量积为0列出方程(组)，通过解方程(组)求出其中参数的值.8. 1. 3 向量数量积的坐标运算一、向量数量积的坐标运算1. 已知非零向量a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则 (1)a·b =x 1x 2+y 1y2.(2)|a |=√x 12+y 12.(3)cos<a ，b >=a⋅b|a||b|=1212√x 12+y 12⋅√x 22+y 22.(4)a⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.2. 设非零向量a =(x ，y)，则与a 共线的单位向量的坐标是±(√x 2+y2√x 2+y 2) ，其中正、负号分别表示与a 同向和反向.3. 设非零向量a=(x ，y)，则与a 垂直的单位向量的坐标是±(√x 2+y2√x 2+y 2).二、平面向量数量积的坐标运算及其应用1. 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质. 解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，再进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.2. 与向量有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决，特别是二次函数与三角函数，借助向量数量积的坐标运算构造函数，再利用函数的性质求出最值.3. 对于以平面图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系并写出相应点的坐标即可求解.8. 2 三角恒等变换8. 2. 1 两角和与差的余弦 8. 2. 2 两角和与差的正弦、正切一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C α+β，C α-β：同名相乘，符号相反. S α+β，S α-β：异名相乘，符号相同. 二、辅助角公式1. asin x+bcos x=√a 2+b 2sin(x+θ) (a，b 不同时为零)，其中cos θ=√a 2+b 2，sin θ=√a 2+b 2三、两角和与差的正弦、余弦公式的应用 1. 给角求值给角求值题目涉及两角和与差公式的正用和逆用，公式的逆用是三角函数式变形的重要手段，有时还需把三角函数式中的系数0， 12，√22，√32等视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用. 例如： 12cos α-√32sin α=sin π6cos α-cos π6sin α=sin (π6−α).2. 给值求值解决给值求值问题时，应先分析已知角与所求角间的关系，再考虑三角函数名称的联系，最后选择合适的公式求值.分析已知角与所求角之间的关系时，需要恰当地运用拆角、拼角技巧，具体做法如下：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角” 有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.常见的角的代换的形式：α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，α=12[(α+β)+(α-β)]=12[(α+β)-(β-α)]，α+β2=(α−β2)-(α2−β)，α+β=(2α+β)-α，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等.3. 给值求角解决给值求角问题的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内. 当所求角的范围是(0，π)或(π，2π)时,一般求余弦值；当所求角的范围是(−π2，π2)或(π2，3π2)时，一般求正弦值.四、两角和与差的正切公式和的应用1. “1”的代换在Tα±β中，若分子中出现“1”，则常利用1=tanπ4来代换，以达到化简求值的目的.2. 整体意识若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑Tα±β的变形公式：①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)，②1∓tan αtan β=tan α±tanβtan(α±β). 五、辅助角公式的应用1. 辅助角公式对三角函数式的化简具有重大意义，基本形式为y=asin x+bcos x= √a2+b2sin(x+φ)，其中tan φ=ba. 运用辅助角公式的前提条件有三个：①同角(均为x)，②齐一次(均为一次的)，③正余全(一个是sin x，一个是cos x).8. 2. 3 倍角公式一、二倍角公式S2α：sin 2α=2sin αcos α.C2α：cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.T2α：tan 2α=2tan α1−tan2α.知识拓展倍角公式的变形：①1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.②1+cos 2α=2cos2α，cos2α=1+cos2α2，sin2α=1−cos2α2.③sin 2α=2tan α1+tan2α，cos 2α=1−tan2α1+tan2α.二、利用二倍角公式化简、求值 1. 利用二倍角公式化简、求值的策略2. 利用二倍角公式化简、求值时应分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，充分利用所学的三角函数的和、差、倍角等公式，首先从角入手，分析待化简(求值)的式子中角的特点，然后选择适当公式化未知为已知或化异为同，实现三角函数式的化简、求值.8. 2. 4 三角恒等变换的应用一、三角变换公式名称内容半角公式sinα2=±√1−cosα2；cosα2=±√1+cosα2；tanα2=积化和差公式(1)sin αcos β=12[sin(α+β)+sin(α-β)]；(2)cos αsin β=12[sin(α+β)-sin(α-β)]；(3)cos αcos β=12[cos(α+β)+cos(α-β)]；(4)sin αsin β=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式(1)sin θ+sin φ=2sinθ+φ2cosθ−φ2；(2)sin θ-sin φ=2cosθ+φ2sinθ−φ2；(3)cos θ+cos φ=2cosθ+φ2cosθ−φ2；(4)cos θ-cos φ=-2sinθ+φ2sinθ−φ2二、半角公式的运用1. 利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系.(2)明范围：求出相应半角的范围，为定符号做准备.(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常利用tanα2=sin α1+cosα=1−cos αsinα计算；涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2α2=1−cos α2，cos2α2=1+cos α2计算.(4)下结论：结合(2)求值.三、三角函数式的化简与三角恒等式的证明1. 化简三角函数式的思路三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面，其基本方法是统一角，统一三角函数的名称. 常用方法：异名函数化为同名函数，异角化为同角，异次化为同次，弦切互化，特殊角的三角函数与特殊值互化等.化简的结果应满足以下几点：①能求值的尽量求值；②函数名称尽量少；③项数尽量少；④次数尽量低；⑤分母、根号下尽量不含三角函数.2. 证明三角恒等式的思路观察、分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一或消除等式两端的差异，达到证明的目的.。

8.1.1 向量数量积的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义． 教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.【知识导学】知识点一 两个向量的夹角(1)定义：给定两个□01非零向量a ，b (如图所示)，在平面内任选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则称□02[0，π]内的∠AOB 为向量a 与向量b 的夹角，记作□03〈a ，b 〉．(2)规定□040≤〈a ，b 〉≤π.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a ，b 〉＝□05〈b ，a 〉．(3)垂直：当〈a ，b 〉＝□06π2时，称向量a 和向量b 互相垂直，记作□07a ⊥b .在讨论垂直问题时，规定□08零向量与任意向量垂直． (4)①当〈a ，b 〉＝□090时，a 与b 同向； ②当〈a ，b 〉＝□10π时，a 与b 反向； ③当〈a ，b 〉＝□11π2或a 与b 中至少有一个为零向量时，a ⊥b . 知识点二 向量数量积(内积)的定义一般地，当a 与b 都是非零向量时，称□01|a ||b |cos 〈a ，b 〉为向量a 和b 的数量积(也称为内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝□02|a ||b |cos 〈a ，b 〉．由定义可知，两个非零向量a 与b 的数量积是一个实数． 知识点三 平面向量的数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a ＝□01|a |cos 〈a ，e 〉． (2)a ⊥b ⇒□02a ·b ＝0，且□03a ·b ＝0⇒a ⊥b . (3)a ·a ＝□04|a |2，即□05|a |＝a ·a .(4)cos 〈a ，b 〉＝□06a ·b|a ||b |(|a ||b |≠0)． (5)|a ·b |□07≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立． 知识点四 向量的投影如图1，设非零向量AB →＝a ，过A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则称向量A ′B ′→为向量a 在直线l 上的□01投影向量或投影．类似地，给定平面上的一个非零向量b ，设b 所在的直线为l ，则a 在直线l 上的投影称为a 在向量b 上的□02投影．如图2中，向量a 在向量b 上的投影为□03A ′B ′→.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量□04共线，但它们的方向既有可能□05相同，也有可能□06相反． 知识点五 向量数量积的几何意义 如图(1)(2)(3)所示．当〈a ，b 〉<π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向□01相同，而且|A ′B ′→|＝□02|a |cos 〈a ，b 〉；当〈a ，b 〉＝π2时，A ′B ′→为零向量，即|A ′B ′→|＝□030； 当〈a ，b 〉>π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向□04相反，而且|A ′B ′→|＝□05－|a |cos 〈a ，b 〉．一般地，如果a ，b 都是非零向量，则称□06|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是□07非负数，也可能是□08负数．两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．【新知拓展】1．a 在b 方向上的投影的数量也可以写成a ·b|b |，它的符号取决于角θ的余弦值． 2．在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°. 3．a ·b 的符号与a 与b 的夹角θ的关系设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 (1)若a ·b >0⇔θ为锐角或零角． 当θ＝0°时，a 与b 共线同向，a ·b >0. (2)a ·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 中至少有一个为0.(3)a ·b <0⇔θ为钝角或平角，当θ＝180°时，a 与b 共线反向，a ·b <0.特别注意a ，b 共线同向与共线反向的特殊情况，即a ·b >0(<0)，向量夹角不一定为锐角(钝角)．4．向量的数量积a ·b ＝|a ||b |cos θ的主要应用(1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向量的夹角由向量的方向确定)．(2)利用公式变式cos θ＝a ·b|a ||b |求夹角，应正确求出两个整体：数量积a ·b 与模积|a ||b |，同时注意θ∈[0，π]．(3)利用a ·b ＝0证明垂直问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ·b ＝0，则a ⊥b .( )(2)两个向量的数量积是一个向量．( ) (3)当a ∥b 时，|a ·b |＝|a |·|b |.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知向量a 与轴l 的夹角为30°且|a |＝3，则a 在轴l 上的投影的数量为________． (2)已知|a |＝4，|b |＝22，且a 与b 的夹角为135°，则a·b ＝________.(3)在直角坐标系xOy 内，已知向量AB →与x 轴和y 轴正向的夹角分别为120°和30°，则BA →在x 轴、y 轴上的投影的数量分别为________和________．答案 (1)32 (2)－8 (3)12|AB →| －32|AB →|题型一 两个向量的夹角例1 已知向量a ，b 的夹角为60°，试求下列向量的夹角： (1)－a ，b ；(2)2a ，23b .[解] 如图，由向量夹角的定义可知： (1)向量－a ，b 的夹角为120°. (2)向量2a ，23b 的夹角为60°.金版点睛(1)向量的夹角是针对非零向量定义的．(2)注意区别向量的夹角和直线的夹角，两者的范围不同，前者是[0°，180°]，后者是[0°，90°]．(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与AB →的夹角，作AD →＝CA →，则∠BAD 才是向量CA →与AB →的夹角．[跟踪训练1] 已知向量a 与b 的夹角为60°且|b |＝12|a |，求a －b 与a 的夹角．解 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠BOA ＝60°，连接BA ，则BA →＝a －b .取OA 的中点D ，连接BD ， ∵|b |＝12|a |，∴OD ＝OB ＝BD ＝DA ，∴∠BDO ＝60°＝2∠BAO ， ∴∠BAO ＝30°.∴a －b 与a 的夹角为30°. 题型二 向量的数量积定义 例2 已知|a |＝5，|b |＝2，若： (1)a ∥b ； (2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°. 分别求a ·b .[解] (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向， 则它们的夹角为0°，∴a ·b ＝|a ||b |cos0°＝5×2×1＝10； 若a 与b 反向，则它们的夹角为180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos180°＝5×2×(－1)＝－10. (2)当a ⊥b 时，则它们的夹角为90°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos90°＝5×2×0＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos30°＝5×2×32＝5 3. 金版点睛求平面向量的数量积的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积． (2)a 与b 垂直当且仅当a ·b ＝0.(3)非零向量a 与b 共线当且仅当a ·b ＝±|a ||b |.[跟踪训练2] 已知|a |＝4，|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ＝π3，求a ·b .解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×5×12＝10.题型三 向量在直线上的投影例3 已知直线l ，(1)向量|OA →|＝4，〈OA →，l 〉＝60°，求OA →在l 上的投影的数量OA 1； (2)向量|OB →|＝4，〈OB →，l 〉＝90°，求OB →在l 上的投影的数量OB 1； (3)向量|OC →|＝4，〈OC →，l 〉＝120°，求OC →在l 上的投影的数量OC 1. [解] (1)OA 1＝4cos60°＝4×12＝2；(2)OB 1＝4cos90°＝4×0＝0；(3)OC 1＝4cos120°＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 金版点睛对向量在直线上的投影的理解从定义上看，向量b 在直线上的投影是一个向量，其在直线上的投影的数量可正、可负、可为零．(1)当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，该数量为正实数．(2)当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，该数量为负实数． (3)当θ＝0时，该数量为|b |. (4)当θ＝π时，该数量为－|b |. 注意：此处b 为非零向量． (5)当θ＝π2时，该数量为0.[跟踪训练3] 已知|a |＝8，e 为单位向量，当它们的夹角为π3时，a 在e 方向上的投影的数量为( )A ．4 3B ．4C ．4 2D ．8＋32答案 B解析 因为a 在e 方向上的投影的数量为|a |cos π3＝4，故选B.题型四 向量数量积的几何意义例4 已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影的数量是32，则a ·b 为( )A ．3 B.92 C ．2D.12 [解析] a ·b ＝|a ||b |cos θ＝|b ||a |cos θ＝3×32＝92.[答案] B 金版点睛利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量．代入向量数量积的公式即可．[跟踪训练4] 已知a ·b ＝16，若a 在b 方向上的投影的数量为4，则|b |＝________. 答案 4解析 设a 与b 的夹角为θ，∵a·b ＝16，∴|a ||b |cos θ＝16.又∵a 在b 方向上的投影的数量为4， ∴|a |cos θ＝4，∴|b |＝4.1．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影的数量为( ) A.125B ．3C ．4D ．5答案 A解析 设a 与b 的夹角为θ，则向量a 在b 上的投影的数量为|a |cos θ＝a ·b |b |＝125. 2．已知|a |＝4，|b |＝2，当它们之间的夹角为π3时，a ·b ＝( )A ．4 3B ．4C ．8 3D ．8答案 B解析 根据向量数量积的定义得a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×2×cos π3＝4.3．设e 1，e 2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是( ) A ．e 1·e 2＝1 B ．e 1·e 2＝－1 C ．|e 1·e 2|＝1 D ．|e 1·e 2|<1答案 C解析 当e 1，e 2同向时，e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝1×1×cos0°＝1，当e 1，e 2反向时，e 1·e 2＝|e 1||e 2|·cos〈e 1，e 2〉＝1×1×cos180°＝－1.4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π答案 B解析 由题意可得，Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∵|a |＝2|b |，∴cos θ≤12，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B.5．在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝6，且AB →·AC →＝18，则△ABC 的形状是________． 答案 等边三角形解析 ∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ， ∴cos ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝60°.又∵|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形．。