第2章2.3.3知能优化训练
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1．已知a＝(2，－1)，b＝(－1,1)，则a·b＋b2等于( )
A．3 B．5
C．1 D．－1
解析：选D.a·b＋b2＝2×(－1)＋(－1)×1＋(－1)2＋12＝－2－1＋1＋1＝－1.
2．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选C.a⊥b⇔a·b＝0⇔3x＋1×(－3)＝0，
∴x＝1，故选C.
3．已和A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
解析：选B.由AB→＝(1,1)，BC→＝(－4,2)，AC→＝(－3,3)，
得AB→2＝2，BC→2＝20，CA→2＝18.
∴AB→2＋CA→2＝BC→2，
即AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC为直角三角形．
4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)．若c＝2a＋b，则|c|＝________.
解析：c＝2a＋b＝(4－1,8＋2)＝(3,10)，
∴|c|＝109.
答案：109
一、选择题
1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|＝( )
A．1 B.2
C．2 D．4
解析：选C.∵(2a－b)⊥b，
∴(3，n)·(－1，n)＝0，
∴n2＝3.
∴|a|＝12＋n2＝2.
2．(2010年高考广东卷)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，
则x＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选C.∵(8a－b)·c＝30，
∴8a·c－b·c＝30，
∴8(1×3＋x)－(2×3＋5x)＝30，
解得x＝4.
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A．(79，73) B．(－73，－79)
C．(73，79) D．(－79，－73)
解析：选D.不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，
则有－3(1＋m)＝2(2＋n)；又c⊥(a＋b)，根据数量积为零，则有3m－n＝0，解得m＝－79，
n＝－73.
4．在△ABC中，∠C＝90°，AB→＝(k,1)，AC→＝(2,3)，则k的值是( )
A．5 B．－5
C.32 D．－32
解析：选A.因为AB→＝(k,1)，AC→＝(2,3)，
所以BC→＝AC→－AB→＝(2－k,2)．
又在△ABC中，∠C＝90°，即AC→⊥BC→，
所以AC→·BC→＝0，
则(2,3)·(2－k,2)＝0
所以2(2－k)＋3×2＝0，
解得k＝5.
5．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A．－17 B.17
C．－16 D.16
解析：选A.向量λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b ＝(－1,2)，
因为两个向量垂直，故有(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.
6．已知点O为原点，点A、B的坐标分别为(a,0)和(0，a)，其中a∈(0，＋∞)，点P
在AB上且AP→＝tAB→(0≤t≤1)，则OA→·OP→的最大值为( )
A．a B．2a
C．3a D．a2
解析：选D.根据向量的运算求出向量OP→和OA→的坐标，再根据向量数量积的公式，列出
关于t的函数．
∵A(a,0)，B(0，a)，∴OA→＝(a,0)，AB→＝(－a，a)．
又∵AP→＝tAB→，∴OP→＝OA→＋AP→＝(a,0)＋t(－a，a)
＝(a－ta，ta)，∴OP→·OA→＝a(a－ta)＝a2(1－t)．
∵0≤t≤1，∴0≤1－t≤1，即OA→·OP→的最大值为a2.
二、填空题
7．若两个平面向量a＝(1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b的坐标形式是________．
解析：∵b与a的夹角为180°，a＝(1,2)，
∴b＝λa＝(λ，2λ)(λ＜0)，
∴|b|＝λ2＋2λ2＝5|λ|＝－5λ＝35，∴λ＝－3，
∴b＝(－3，－6)．
答案：(－3，－6)
8．(2010年高考陕西卷)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，
则m＝________.
解析：∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．
∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.
∴m＝－1.
答案：－1
9．(2011年济宁高一检测)若M(2,0)，N(0,2)，且点P满足MP→＝12MN→，O为坐标原点，
则OM→·OP→＝________.
解析：MP→＝12MN→＝12(－2,2)＝(－1,1)，∴P(1,1)，
∴OP→＝(1,1)，∴OM→·OP→＝(2,0)·(1,1)＝2.
答案：2
三、解答题
10．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
(1)求a－2b的坐标表示和模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.
解：(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
|a－2b|＝ 72＋32＝58.
(2)a·b＝x1x2＋y1y2＝－6＋5＝－1，
所以c＝a＋b＝(1,6)，
∴|c|＝12＋62＝37.
11．已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD→|
与点D的坐标．
解：设D点坐标为(x，y)，
则AD→＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)，
BD→＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即BD→与BC→共线，
∴存在实数λ(λ>0)，使BD→＝λBC→，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴ x－3＝－6λy－2＝－3λ，
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0. ①
又∵AD⊥BC，∴AD→·BC→＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即2x＋y－3＝0. ②
由①②可得 x＝1y＝1，
∴|AD→|＝－12＋22＝5，
即|AD→|＝5，D(1,1)．
12．以原点O和点A(5,2)为顶点做等腰直角三角形OAB，试求点B和AB→的坐标．
解：设B点坐标为(x，y)，
则有OB→＝(x，y)，AB→＝(x－5，y－2)．
当点B为等腰直角三角形OAB的直角顶点时，
①则有OB→⊥AB→⇔OB→·AB→＝0且|OB→|＝|AB→|.
∴ xx－5＋yy－2＝0x2＋y2＝x－52＋y－22
⇒ x2＋y2－5x－2y＝010x＋4y＝29，
解得 x1＝72y1＝－32或 x2＝32y2＝72.
∴B点坐标为(72，－32)或(32，72)；
AB→＝(－32，－72)或AB→＝(－72，32)．
②当点O为等腰直角三角形OAB的直角顶点时，
则有OB→⊥OA→⇔OB→·OA→＝0且|OB→|＝|OA→|，
∴ 5x＋2y＝0x2＋y2＝52＋22＝29，解得： x1＝－2y1＝5或 x2＝2y2＝－5.
∴B点坐标为(－2,5)或(2，－5)；
AB→＝(－7,3)或AB→＝(－3，－7)．
③当点A为等腰直角三角形OAB的直角顶点时，同理可以计算(过程略)．
得到：点B坐标为(3,7)或(7，－3)；
AB→＝(－2,5)或AB→＝(2，－5)．
