高三数学常用曲线的极坐标方程-P

高考数学：极坐标与参数方程知识点总结极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：3．直线的极坐标方程(1)特殊情形如下表：第二讲一曲线的参数方程1．参数方程的概念2．圆的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程一参数方程的基本概念定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由于方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数。

曲线的极坐标方程一、概述极坐标是一种表示平面上的点的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。

在极坐标系中，点的位置由半径和角度来确定，而不是像直角坐标系那样由x和y坐标来确定。

在极坐标系中，我们可以用极坐标方程来描述各种曲线。

二、常见的极坐标方程1. 极坐标方程的一般形式极坐标方程的一般形式为：r=f(θ)其中r表示极径，θ表示极角，f(θ)表示关于θ的函数。

这个方程表示了在极坐标系中点的半径r与角度θ的关系。

2. 圆的极坐标方程圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=a其中a为圆的半径。

这种极坐标方程非常简单，它表示了以原点为中心的半径为a 的圆。

3. 直线的极坐标方程直线在极坐标系中的方程可以表示为：r=psin(θ−α)其中p表示直线到原点的距离，α表示直线与极坐标系正半轴之间的夹角。

这种极坐标方程可以描述直线在极坐标系中的位置。

4. 椭圆的极坐标方程椭圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=p1−ecos(θ−α)其中p表示椭圆的焦点到原点的距离，e表示椭圆的离心率，α表示椭圆与极坐标系正半轴之间的夹角。

这种极坐标方程可以描述椭圆在极坐标系中的形状。

三、极坐标方程的性质1. 对称性极坐标方程具有一定的对称性。

例如，当极坐标方程中的函数f(θ)关于θ对称时，对应的曲线也具有相应的对称性。

另外，极坐标方程中的极角θ满足周期性，即一个周期内的曲线形状是相同的。

2. 极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。

通过一定的公式，我们可以将一个点在直角坐标系中的坐标转换为极坐标系中的坐标，或者将一个点在极坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标。

这种转换可以方便地分析和描述曲线的性质。

四、应用举例1. 螺线螺线是极坐标系中的一种特殊曲线，它的极坐标方程为：r=aθ其中a为常数。

螺线是由于一个点在极坐标系中以匀速绕原点旋转且同时沿极径方向移动而形成的曲线。

螺线是许多自然界中的现象的数学描述，例如螺旋形的贝壳、旋涡等。

曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程是在平面直角坐标系中，通过极径和极角两
个参数来描述曲线的方程。

极坐标系一般用于描述圆形、环形等
具有旋转对称性的曲线。

下面，我们将详细介绍曲线的极坐标方程。

一、极坐标系的定义
极坐标系是由极轴、极点和极角三部分组成的平面直角坐标系，其中极轴是一条直线，极点是坐标系的原点，极角是从极轴到极
径所形成的角度。

二、极坐标系下的曲线
在极坐标系中，曲线的方程是通过极径和极角两个参数来确定的。

不同的曲线可能有不同的极坐标方程，例如：
1. 圆的极坐标方程是 r = a，其中 r 是极径，a 是常数，表示圆
的半径。

2. 椭圆的极坐标方程是 r = a(1 - ecosθ)，其中 e 是离心率，a 是
长轴的一半。

3. 双曲线的极坐标方程是r = a secθ 或r = a cosecθ。

4. 阿基米德螺线的极坐标方程是r = a + bθ，其中 a 和 b 是常数，表示螺线的参数。

5. 伯努利双点曲线的极坐标方程是r = a /(1 ± εcosθ)，其中 a 是
常数，ε 是参数，表示双点之间的距离。

三、极坐标系的应用
极坐标系在物理学、数学和工程学等领域中有广泛的应用。

例如，在极坐标系下，可以更容易地描述圆形对象的运动和旋转。

此外，极坐标方程还用于工程学中的机器人设计，通过控制极径
和极角来控制机器人的运动轨迹。

总之，曲线的极坐标方程是一种在极坐标系中描述曲线的方法，具有广泛的应用价值。

无论在理论和实践中，它都是一种有效的
方式来描述和解决问题。

1附录1 曲线的极坐标方程一. 极坐标我们知道，单元实函数()y f x =(x ∈()f D )的图形一般是平面上的一条曲线（段）L , 而()y f x =(x ∈()f D )就是L 的方程. 由给定曲线建立其方程是平面解析几何的基本任务之一，也是本课程所必须的. 但是，在直角坐标系中，对于许多曲线来说，要建立其方程是比较困难的，即使是常用曲线（如等速螺线）也是这样. 然而在极坐标系中，有些问题可以迎刃而解.极坐标也是人们确定平面上点的位置的常用方法. 例如，炮兵射击时，以大炮为基点，利用目标的方位角及目标到大炮的距离来确定目标的位置的. 在航海中也经常使用类似的方法.下面给出利用角和距离建立的坐标系——极坐标系.在平面内取定一点O ，称之为极点，引一条射线Ox ，称之为极轴. 再选定单位长度和角的正向（通常取逆时针方向）（见图F-1）.图 F —1对于平面内任意一点M ，用ρ表示M 到O 的距离，即线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度. 其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角，当M 为极点O 时，其极径0ρ=，其极角可取任意值. 于是平面上的任意一点就用一对有序实数表示出来了，有序对实数(, )ρθ称为点M 的极坐标.反过来，给定一对有序实数,ρθ（假定0ρ≥），以极点为顶点、极轴为始边作大小等于θ的角，在其终边上截取长为ρ的线段OM ，则M 是平面上极坐标为(, )ρθ的唯一的点.2极坐标为(, )ρθ的点M 也可表示为(,)M ρθ. 这样建立起来的坐标系称为极坐标系.例1 在极坐标系中画出下列各点：.()()()()()π5π4π5π2π1,,(2,0), 1.5,,3,,2,,3,.46333A B C D E F −解图 F —2注意：()()4π2π3,3,33D F −与是同一点.上例表明，平面上点的极坐标不是唯一的. 事实上，一个点的极坐标有无穷多，因为始边为Ox 、终边为OM 的角有无穷多个. 例如，()()()πππ2,,2,2π,2,2π444+−，以及()π2,2π()4k k +∀∈Z 等，都是同一点A 的极坐标.不仅如此， 在某些情况下，允许ρ取负值，是方便的. 当0ρ<时，点.(, )M ρθ可按下列规则确定：作射线OP ，在OP 的反向延长线上取一点M ，使得OM ρ=，则点M 就是极坐标为(, )ρθ的点（见图F —3 ）.例如，上例中的点()π2,4A 也可以表示为()π2,(21)π()4M k k −++∀∈Z .3图F —3如果限定0, 02πρθ≥≤<（或πθπ−<≤），则除极点外，平面上的点与其极坐标就是一一对应的了.二. 曲线的极坐标方程在极坐标系中，曲线L 可以用含有极坐标ρ和θ这两个变量的方程(,)0F ρθ=来表示. 这种方程叫做曲线L 的极坐标方程. 此时，以这个方程的每一组解为坐标的点都在曲线L 上，然而曲线L 上每个点的极坐标有无穷多个，故可能不全满足这个方程，但其中至少有一个坐标能满足这个方程. 这一点是曲线的极坐标方程与直角坐标方程的不同之处.求曲线的极坐标方程的方法与步骤，同直角坐标方程类似，即视曲线为满足某种条件的点的集合（或动点的轨迹），将已知条件用曲线上点的即坐标ρ和θ的关系式表示出来，就得到曲线的极坐标方程.例2 （1）求从极点出发、倾角为π4的射线的极坐标方程；（2）求过极点且倾角为π4解 （1）设(,)M ρθ（图F —4），由条件得π4θ= （0ρ≥）.图F —4这就是所求射线的方程，因为对于任意0ρ≥，坐标为()π,4ρ的点均在此射线上，另一方面，在此射线上的每一点都可用坐标()π,4ρ（0ρ∀≥）来4表示，故其至少有一个坐标满足方程π4θ= （0ρ≥）.（2）易知所求直线的极坐标方程为π4θ= （ρ∀∈R ）（见图F —4 ）.图F —5例 3 求中心在极点、半径为 (0)a a >的圆的极坐标方程.解 设(,)M ρθ为圆上动点，由轨迹条件OM a =，得所求圆的方程为a ρ= （θ∀∈R ）.如果限制02πθ≤<，则此圆上的点的极坐标与方程a ρ=（02πθ≤<）的解是一一对应的.图F —65例4 求圆心在点(,0) (0)a a >其中、半径为a 的圆的极坐标方程. 解 由条件知，圆心在极轴上，且圆经过极点O . 设圆与极轴的另一交点为A （见图F —7），则2OA a =.设(,)M ρθ是圆上任意一点，则OM MA ⊥，于是有 cos OM OA θ=. 所以此圆的极坐标方程为2cos a ρθ= （ππ22θ−≤≤）.图F —6 例5 阿基米德螺线由极坐标方程a ρθ= （0a >为常数）确定的曲线，通常称为阿基米德螺线（或等速螺线）.请画出基米德螺线. 解 在极坐标系中作图的方法和步骤，同直角坐标系中是一样的. 给出θ的一系列允许值，通过()ρρθ=算出ρ的对应值（可列成表格），再根据得到的有序数对在极坐标系中描出相应的点，然后依次将这些点连成平滑的曲线，便得到()ρρθ=的图形.对于a ρθ=（0a >为常数）有：O6图F —7如果允许ρ取负值，则当,ρθ是方程a ρθ=的解时，,ρθ−−也是a ρθ=的解. 因为在极坐标系中，点(,)ρθ−−与点(,)ρθ关于过极点且垂直于极轴的直线对称，故a ρθ=的图形也关于该直线对称. 同济P360(10)图中的实线表示,ρθ取正值时的螺线部分，而虚线表示,ρθ取负值时的螺线部分.阿基米德螺线可以看作按以下条件运动的动点M 的轨迹：以点O 为端点的射线l ，绕点O 作等角速度的转动，而l 上的点M 从O 出发沿l 作等速直线运动. 因此，阿基米德螺线也叫做等速螺线或等进螺线. 在机械传动的凸轮装置中，将绕定轴旋转的凸轮的轮廓设计为阿基米德螺线，以使从动杆作等速直线运动.例6 心脏线用同样的方法，可画出由极坐标方程(1cos )a ρθ=+ （0a >为常数）确定的曲线（见图F —8），称为心脏线 （或心形线），它是外摆线的一种.更多曲线的极坐标方程请见同济附录II7三. 直角坐标与极坐标的转换关系为了研究的方便，有时需将要曲线在一种坐标系下方程转化为另一种坐标系下的方程. 如图F —9所示，把直角坐标系 的原点为极点，Ox 轴的正半轴作为极 轴，并在两种坐标系中取相同的单位 长度.设M 为平面上任意一点，其直角 坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ. 则有“极—直”关系转换式：cos sin (0)x y ρθρθρ⎧≥⎨⎩==. 图F —9 由此也有关系转换式：,tan (0)yx x ρθ⎧=⎪⎨=≠⎪⎩在一般情况下，由tan θ确定θ时，可根据点M 所在的象限取最小正角. 例7 （1） 将点M 的极坐标()π5,6化为直角坐标； （2）将点P 的直角坐标()1−化为极坐标.解 （1）x = π55sin ,62y ==即点M 的直角坐标为)52.（2）2, tan ρθ====因为点P 在第三象限，而20,ρ=> 故最小正角为7π6θ=. 因此，P 的极坐标为()7π2,6.例8 化圆的直角坐标方程2220(0)x y ay a +−=>为极坐标方程.8解 将cos (0)sin x y ρθρρθ=⎧≥⎨=⎩2222cos sin 2sin a ρθρθρθ+−即 2sin a ρθ=（0θπ≤≤）.图F —10*例9 广义极坐标变换co s n s i x a y b ρθρθ=⎧⎨=⎩将椭圆22221y x a b+=变换成极坐标系中的单位圆 1 (02π)ρθ=≤≤.习题F-11． 极坐标方程22cos 2 (0)a a ρθ=>的图形称为双纽线. 请描绘出双纽线.2． 指出下列极坐标方程表示什么曲线，并画图：（1）3ρ=； （2）π ()3θρ=−∞<<+∞；（3）cos 2ρθ=； （4）10sin ρθ=； （5）10(1cos )ρθ=+.。

极点极线定义已知圆锥曲线С: Ax +By +Cx+Dy+E=0与一点P(x0,y 0) [ 其中 A +B x0+x≠0,点．P．不．在．曲．线．中．心．和．渐．近．线．上．]. 则称点P 和直线L:A?x0x+B?y0y+C? 2 +D?y2+y+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线x0+x y0+y 即在圆锥曲线方程中, 以x0x 替换x ，以2替换x，以y0y 替换y , 以2替换y 则可得到极点P(x0,y 0) 的极线方程L.特别地：(1) 对于圆(x-a) +(y-b) =r , 与点P(x 0 ,y 0) 对应的极线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；x y x0x y0y(2) 对于椭圆+ =1，与点P(x0,y 0)对应的极线方程为0 + 0 =1 ；a b a bx y x 0x y 0y(3) 对于双曲线 a -b =1，与点 P(x 0,y 0)对应的极线方程为 a 0 -b 0 =1 ；(4) 对于抛物线 y =2px ，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 y 0y=p(x 0+x) ； 性质 一般地,有如下性质 [焦．点．所．在．区．域．为．曲．线．内．部． ]: ① 若极点 P 在曲线С上,则极线 L 是曲线С在P 点的切线；② 若极点 P 在曲线С外,则极线 L 是过极点 P 作曲线С的两条切线的切点连线；③ 若极点 P 在曲线С内,则极线 L 在曲线С外且与以极点 P 为中点的弦平行 [仅是 斜率相 等 ]( 若是 圆 , 则此时中 点 弦的 方程 为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=x 0x y 0y x 0 y 0；若是椭圆,则此时中点弦的方程为 a x x +b y y =x a +y bx 0x y 0y x 0 y 0双曲线,则此时中点弦的方程为 a x0x -b y0y =x a 0 -y b 0 ；若是抛物线 ,则此时中点弦的 方程为 y 0y-p(x 0+x)=y 0 -2px 0) ；(x 0-a) +(y 0-b) 若是④当P(x0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0) 时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；⑤极点极线的对偶性:Ⅰ.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图．Ⅱ.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P 关于曲线C的极线L 上[ 图．中．点．P．与．直．线．S．．T是．一．对．极．点．极．线．；．点．T．与．直．线．S．．P是．一．对．极．点．极．线．] ；即OP = OR OROQⅢ. 点 P 是曲线 C 的极点，它对应的极线为 L ，则有 :1）若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线 OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP?OQ=OR如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见” .由④可知椭圆x a +y b =1的焦点的极a线方程为: x= . 焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容, 它揭示了圆锥曲线c的统一定义, 更是高考的必考知识点. 正是因为它太常见了, 反而往往使我们“视”而不“见” .圆锥曲线基础必备1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴=2“，短轴= 2b,焦距= 2c.则：a2 =b2 -^c2 1、准线方程准焦距.〃方、"方涂以r..& 0・ 刁2sm —cos — sm 0_ 2 2 1 +cos0 2 cos 2—2 & 所以：椭圆的焦点三角形的面积为S 胚恶=b tail-.4.焦三角形计面积"半角正切進乘焦三角形：以椭圆的两个焦点巧・耳为顶点，另一个顶点」 在椭圆上的三角形称为焦三角形•半角是指—Z 与P 巧的一半. 则焦三角形的面积为： 证明：设阿| =小|昭| = S 由余弦定理:m 2 +n 2 - 2mn cos^= 4c 2=4a即：-2mn - = 2mn - 4b 2,故: Sgf =-m n sin0 =-』+ cos& l + cos0又:0 =tan —三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角, 切点连线求方程, 弦与中线斜率积, 细看中点弦方程,称为弦切角定理① 极线屯理须牢记② 准线去除准焦距③ 恰似弦中点轨迹④艮卩：2D = (1+ cos0)mn .1、 切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双 曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它 们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切 线是两个焦点弦的角平 分线.第6页2. 切点连线求方程，圾线定理须牢记若旳（X05）在椭圆卡+$ = 1外，则过昨作椭圆的两 条切线，切点、为P 』,巧，则点耳和切点弦马•勺分别称 为椭圆的极点和极线.切点弦耳乃的直线方程即极线方程是笫？页3、弦与中线斜■率积.准线去涂准焦距|弦指椭圆内的一弦•中线指弦AB 的中点M 与 原点O 的连线，即2AB 得中线•这两条直线的斜率的VY - Q 2於乘积，等于准线距离去除准焦^p= — .其k k_ p 结杲是：0M = T =~V第8页（称为极线定理）4、细看中点弦方程，恰似弦中点、轨迹|中点、弦AB 的方程:在椭圆中，若弦的中点、为弦仙称为中点弦，则中点弦的方程就是弦中点M 的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点 p 皿、m 的弦AB , 其中点、M 的方程就是 S . y o y … /( y 2. 一7*+矿二正+歹，仍为椭圆.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞 混了.第9页是直线方程.圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-双曲线一、双曲线定义双曲线有四定义.差比交线反比何1、定义1:（差）平面内，到两个定点唇码的距离之差的绝对值为定值2“（小于这两个定点间的距离冈砂）的点的轨迹称为双曲线。

1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。

1、极坐标方程为ρ=cos θ和ρ=sin θ的两圆的圆心距为 ( ) A.2 B.2 C.1 D.222、已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且与极轴垂直的直线的方程为 ( )A.ρ=1B.ρ=cos θC.θ-=ρcos 1 D. θ=ρcos 13、方程)4cos(θ-π=ρ所表示的曲线为( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆4、直线θ=α与ρcos(θ－α)=α(α≠0)的位置关系是 ( )A.平行B.斜交C.垂直D.不确定5、曲线ρ=sin θ和2sin θ=1的交点个数是 。

6、已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则极点到该直线的距离是 。

7、求证如图，经过点A(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程是ρsin(θ－α)=ρ1sin(θ1－α)。

8、已知圆的方程为ρ=θcos 35－5sin θ，求它的半径和圆心坐标。

9、求曲线ρcos θ+1=0关于直线4π=θ对称的曲线方程。

10、从极点O 引定圆ρ=2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q ，使32=PQ OP，求点Q 的轨迹方程。

11、在极坐标系中，曲线)3sin(4π-θ=ρ关于( ) A.直线3π=θ轴对称 B.直线π=θ65轴对称C.点)3,2(π中心对称 D.极点中心对称12、在极坐标系中，与圆ρ=4sin θ相切的一条直线方程为 ( )A.ρsin θ=2B.ρcos θ=2C.ρcos θ=4D.ρcos θ=－413、直线ρsin(θ+α)=a 和α-π=θ2的位置关系是( )A.平行B.重合C.垂直D.斜交14、曲线ρsin θ=2和ρ=4sin θ(ρ>0，0≤θ<2π)的交点坐标是 。

15、曲线π=θ32，ρ=6sin θ的两个交点间的距离为 。

16、从极点O 引一条直线和圆ρ2－2a ρcos θ+a 2－r 2=0相交于一点Q ，点P 分线段OQ 成比m ∶n ，求点Q 在圆上移动时，点P 的轨迹方程。

高等数学18种曲线以下是高等数学中18种曲线的详细介绍：1.星形线：星形线是一种特殊的曲线，其极坐标方程为ρ=sinθ，直角坐标方程为x2+y2−x=0。

星形线是围绕原点对称的，并且在直角坐标系中呈现出类似于星形的形状。

2.心形线：心形线也是一种特殊的曲线，其极坐标方程为ρ=1+cosθ，直角坐标方程为x2+y2−2x=0。

心形线也是围绕原点对称的，并且在直角坐标系中呈现出类似于心形的形状。

3.摆线：摆线是一种在圆上运动的质点在直线上的轨迹曲线。

其极坐标方程为ρ=a+bθ，直角坐标方程为x=a(1−cos t)和y=b(1+sin t)。

摆线有许多有趣的性质，例如它的长度和圆的半径相等。

4.对数螺线：对数螺线是一种以原点为中心，向四周无限延伸的曲线。

其极坐标方程为ρ=eθ，直角坐标方程为x=et cos t和y=et sin t。

对数螺线的形状类似于螺壳，并且它的曲率随着半径的增长而逐渐减小。

5.双曲螺线：双曲螺线是一种在双曲线上运动的点在直线上的轨迹曲线。

其极坐标方程为ρ=a2−b2sinθ，直角坐标方程为x=a cosh t cosθ和y=b sinh t sinθ。

双曲螺线的形状类似于螺线，但是它的曲率是负的。

6.阿基米德螺线：阿基米德螺线是一种在平面内无限延伸的曲线，其极坐标方程为ρ=aθ，直角坐标方程为x=a(1−os t)和y=a(1+sin t)。

阿基米德螺线的形状类似于螺线，并且它的曲率随着半径的增长而逐渐减小。

7.伯努利双纽线：伯努利双纽线是一种特殊的曲线，其极坐标方程为ρ=±2a sin2θ，直角坐标方程为(x2+y2)2=4a2y2。

伯努利双纽线的形状类似于两个交叉的圆环，并且在不同的参数条件下表现出不同的性质。

8.三叶玫瑰线：三叶玫瑰线是一种具有三个叶子的特殊曲线，其极坐标方程为ρ=3a cosθ，直角坐标方程为x=3a cos3t和y=3a sin3t。

三叶玫瑰线的形状类似于三片叶子连接在一起，并且它的曲率随着半径的变化而变化。