江苏省扬州市2020届高三第二次模拟考试(5月)数学(含答案)
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2020届高三模拟考试试卷 数 学 (满分160分，考试时间120分钟) 2020．5 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝________． 2. 已知(1－i)z＝2＋i，其中i是虚数单位，则复数z的模为________． 3. 已知某校高一、高二、高三年级分别有1 000，800，600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取________名学生． S←0 For I From 1 To 5 S←S＋I End For Print S 4. 如图伪代码的输出结果为________．
5. 若实数x，y满足x≥0，y≥－1，x＋y－1≤0，则2x－y的最小值为________． 6. 已知a∈{－1，1}，b＝{－3，1，2}，则直线ax＋by－1＝0不经过第二象限的概率为________． 7. 已知双曲线x24－y2b2＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为________． 8. 已知α为锐角，且cos(α＋π6)＝13，则cos α＝________． 9. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1a6＝3a3，且a4与a5的等差中项为2，则S5＝________． 10. 在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，O为上底面ABCD的中心．设正四棱柱ABCDA1B1C1D1与正四棱锥OA1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S1S2＝________． 11. 已知曲线C：f(x)＝x3－x，直线l：y＝ax－a，则“a＝－14”是“直线l与曲线C相切”的 ____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”) 12. 已知x＞0，y＞0，则x＋yx＋16xy的最小值为________．
13. 已知点D为圆O：x2＋y2＝4的弦MN的中点，点A的坐标为(1，0)，且AM→·AN→＝1，则OA→·OD→的最小值为________．
14. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，n4∉N*，an，n4∈N*.设{an}的前n项和为Sn，若S4n≤λ·2n－1恒成立，则实数λ的取值范围是________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 在△ABC中，已知2S＝bccos A，其中S为△ABC的面积，a，b，c分别为角A，B，C的对边． (1) 求角A的值； (2) 若tan B＝65，求sin 2C的值．
16.(本小题满分14分) 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝B1C，O为四边形ACC1A1对角线的交点，F为棱BB1的中点，且AF⊥平面BCC1B1.求证： (1) OF∥平面ABC； (2) 四边形ACC1A1为矩形． 17. (本小题满分14分) 某厂根据市场需求开发三角花篮支架(如图)，上面为花篮，支架由三根细钢管组成．考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：① 三根细钢管长均为1米(粗细忽略不计)，且与地面
所成的角均为θ(π6≤θ≤π3)；② 架面与架底平行，且架面三角形ABC与架底三角形A1B1C1均为等边三角形；③ 三根细钢管相交处的节点O分三根细钢管上、下两段之比均为2∶3.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形A1B1C1的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”．
(1) 当θ＝π3时，求“支架高度”； (2) 求“支架需要空间”的最大值．
18. (本小题满分16分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点(1，22)，且椭圆的离心率为22.直线l：y＝x＋t与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆E于C，D两点．
(1) 求椭圆E的标准方程； (2) 求线段CD长的最大值；
(3) 求AC→·AD→的值． 19. (本小题满分16分) 已知函数f(x)＝a(x－1x)(a∈R)，g(x)＝ln x. (1) 当a＝1时，解不等式：f(x)－g(x)≤0； (2) 设u(x)＝xf(x)－g(x)． ①当a＜0时，若存在m，n∈(0，＋∞)(m≠n)，使得u(m)＋u(n)＝0，求证：mn＜1； ②当a＞0时，讨论u(x)的零点个数．
20. (本小题满分16分) 对数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an(n∈N*)．规定{Δ2an}为{an}的二阶差分数列，其中Δ2an＝Δan＋1－Δan(n∈N*)． (1) 已知数列{an}的通项公式an＝n2(n∈N*)，试判断{Δan}，{Δ2an}是否为等差数列，请说明理由； (2) 若数列{bn}是公比为q的正项等比数列，且q≥2，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得Δ2bn＝bm，求q所有可能的取值构成的集合； (3) 设各项均为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且Δ2cn＝0.对满足m＋n＝2k，m≠n的任意正整数m，n，k，都有cm≠cn，且不等式Sm＋Sn＞tSk恒成立，求实数t的最大值. 2020届高三模拟考试试卷(十五) 数学附加题 (满分40分，考试时间30分钟) 21. (本小题满分10分)
已知矩阵M＝a22b，M＝1223，且MN＝1001. (1) 求矩阵M； (2) 若直线l在矩阵M对应的变换作用下变为直线x＋3y＝0，求直线l的方程．
22.(本小题满分10分) 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为x＝3t，y＝1－3t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C：ρ＝22sin(θ－π4)，求直线l被曲线C截得的弦长．
23. (本小题满分10分) 某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1 000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次(每次摸出的小球均不放回口袋)，编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m元(m为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励100×2＝200元)． (1) 求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率； (2) 求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X的概率分布与数学期望E(X)． 24.(本小题满分10分) (1) 求证：1k＋1Ckn＝1n＋1Ck＋1n＋1(n∈N*，k∈N)； (2) 计算：(－1)0C02 020＋(－1)112C12 020＋(－1)213C22 020＋…＋(－1)2 02012 021C2 0202 020； (3) 计算：∑2 020k＝0(－1)kCk2 0202k＋2. 2020届高三模拟考试试卷(扬州) 数学参考答案及评分标准
1. {x|0＜x＜2} 2. 102 3. 30 4. 15 5. －1 6. 16 7. 25 8. 3＋226 9. 121 10. 3105 11. 充分不必要 12. 42 13. －1 14. λ≥332 15. 解：(1) 因为2S＝bccos A，所以2×12bcsin A＝bccos A，则sin A＝cos A．(3分) 在△ABC中，因为A∈(0，π)，所以sin A＝cos A＞0， 所以tan A＝1，(5分)
所以A＝π4.(7分) (2) 由(1)知A＝π4，又tan B＝65，
所以tan(A＋B)＝tan(π4＋B)＝1＋tan B1－tan B＝1＋651－65＝－11.(9分) 在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，所以tan C＝－tan(A＋B)＝11， 所以sin 2C＝2sin Ccos C＝2sin Ccos Csin2C＋cos2C＝2tan C1＋tan2C＝2×111＋112＝22122＝1161.(14分) 16. 证明：(1) 取AC中点D，连结OD. 在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，BB1∥CC1∥AA1，且BB1＝AA1. 因为O为平行四边形ACC1A1对角线的交点，所以O为A1C的中点． 又D为AC的中点，所以OD∥AA1，且OD＝12AA1.(2分) 又BB1∥AA1，BB1＝AA1，所以OD∥BB1，且OD＝12BB1. 又F为BB1的中点，所以OD∥BF，且OD＝BF，所以四边形ODBF为平行四边形，所以OF∥BD.(5分) 因为BD⊂平面ABC，OF⊄平面ABC， 所以OF∥平面ABC.(7分) (2) 因为BC＝B1C，F为BB1的中点，所以CF⊥BB1. 因为AF⊥平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AF⊥BB1.(9分) 因为CF⊥BB1，AF⊥BB1，CF⊂平面AFC，AF⊂平面AFC，CF∩AF＝F， 所以BB1⊥平面AFC.(11分) 又AC⊂平面AFC，所以BB1⊥AC. 又由(1)知BB1∥CC1，所以AC⊥CC1. 在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形， 所以四边形ACC1A1为矩形．(14分)
17. 解：(1) 因为架面与架底平行，且AA1与地面所成的角为π3，AA1＝1米， 所以“支架高度” h＝1×sinπ3＝32(米)．(4分) (2) 过O作OO1⊥平面A1B1C1，垂足为O1. 又O1A1⊂平面A1B1C1，所以OO1⊥O1A1.
又AA1与地面所成的角为θ，所以O1A1＝35cos θ. 同理O1C1＝O1B1＝35cos θ， 所以O1为等边三角形A1B1C1的外心，也为其重心， 所以B1C1＝A1O1·32×23＝35cos θ·3＝335cos θ， S△A1B1C1＝34×(335cos θ)2＝273100cos2θ.
