江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷含附加题(解析版)2020.3

2020年江苏省南通市高考数学四模试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|-1＜x≤2}，B={x|x＜0}，则A∩B=______．2.已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为______．3.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为______．4.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为______．5.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线的方程为y=±2x，则该双曲线的离心率为______．6.现有3个奇数，2个偶数．若从中随机抽取2个数相加，则和是偶数的概率为______．7.已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．8.给出下列三个函数：①；②y=sin x；③y=e x，则直线（b∈R）不能作为函数的图象的切线______（填写所有符合条件的函数的序号）．9.如图，在平面四边形ABCD中，∠CBA=∠CAD=90°，∠ACD=30°，AB=BC，点E为线段BC的中点．若=（λ，μ∈R），则λμ的值为______．10.已知实数x，y满足（x+y-2）（x-2y+3）≥0，则x2+y2的最小值为______．11.已知f（x）是定义在R上且周期为的周期函数，当x∈（0，]时，f（x）=1-|2x-1|．若函数y=f（x）-log a x（a＞1）在（0，+∞）上恰有4个互不相同的零点，则实数a的值为______．12.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n．若S9=S3+2S6，则取得最小值时，S9的值为______．13.在平面直角坐标系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2）为圆x2+y2=1上两点，且．若C为圆上的任意一点，则的最大值为______．14.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，S为△ABC的面积．若不等式kS≤3b2+3c2-a2恒成立，则实数k的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共146.0分）15.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象关于直线对称，两个相邻的最高点之间的距离为2π．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，若，求sin A的值．16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AC=AA1，D是棱AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：BC1⊥A1C．17.如图，在宽为14m的路边安装路灯，灯柱OA高为8m，灯杆PA是半径为rm的圆C的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10m，到灯柱所在直线的距离为2m．设Q 为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段PQ上．（1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上？（2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段OQ上，求HQ的最大值．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）经过点（0，），点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线l交椭圆于M，N 两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当MF=2FN时，求直线l的方程；（3）若直线l上存在点P满足PM•PN=PF2，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．19.设函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的导函数为f（x）．已知x1，x2是f'（x）的两个不同的零点．（1）证明：a2＞3b；（2）当b=0时，若对任意x＞0，不等式f（x）≥x lnx恒成立，求a的取值范围；（3）求关于x的方程的实根的个数．20.对于数列{a n}，若存在正数k，使得对任意m，n∈N*，m≠n，都满足|a m-a n|≤k|m-n|，则称数列{a n}符合“L（k）条件”．（1）试判断公差为2的等差数列{a n}是否符合“L（2）条件”？（2）若首项为l，公比为q的正项等比数列{a n}符合“L（）条件”．①求q的取值范围；②记数列{a n}的前n项和为S n，证明：存在正数k0，使得数列{S n}符合“L（k0）条件”．21.已知矩阵A=，B=．B的逆矩阵B-1满足AB-1=．（1）求实数x，y的值；（2）求矩阵A的特征值．22.在极坐标系中，圆C的方程为ρ+2cosθ=0，直线l的方程为．（1）若直线l过圆C的圆心，求实数m的值；（2）若m=2，求直线l被圆C所截得的弦长．23.已知实数x，y，z满足4x2+9y2+12z2=12．证明：．24.如图，已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过E（-l，0）的直线l与抛物线分別交于A，B两点（点A，B在x轴的上方）．（1）设直线AF，BF的斜率分別为k1，k2，证明：k1+k2=0；（2）若△ABF的面积为4，求直线l的方程．25.（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简．【案例】考察恒等式（1+x）5=（1+x）2（x+1）3左右两边x2的系数．因为右边，所以，右边x2的系数为，而左边x2的系数为，所以=．（2）求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：{x|-1＜x＜0}解析：解：∵集合A={x|-1＜x≤2}，B={x|x＜0}，∴A∩B={x|-1＜x＜0}．故答案为：{x|-1＜x＜0}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：1-i解析：解：∵=，∴．故答案为：1-i．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：17解析：【分析】本题主要考查了循环结构的程序代码，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，S的值，即可得解输出的S的值．【解答】解：模拟执行程序代码，可得S=3i=2，S=3+2=5i=3，S=5+3=8i=4，S=8+4=12i=5，S=12+5=17此时，退出循环，输出S的值为17．故答案为17．4.答案：30解析：解：由图知，（0.035+a+0.020+0.010+0.005）×10=1，解得a=0.03∴身高在[120，130]内的学生人数为100×0.03×10=30．故答案为：30．由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数．本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力5.答案：解析：解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程是y=±2x，∴=2，∴b=2a，∴c==a，∴e==．故答案为：．由双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程是y=±2x，可得b=2a，从而c==a，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．6.答案：解析：解：现有3个奇数，2个偶数．从中随机抽取2个数相加，基本事件总数n=，和是偶数包含的基本事件的个数m==4，则和是偶数的概率为p=．故答案为：．从中随机抽取2个数相加，基本事件总数n=，和是偶数包含的基本事件的个数m==4，由此能求出和是偶数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7.答案：解析：解：依题意，设圆锥的底面半径为r，已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，所以2r==2，即r=，又因为圆锥的母线长为l=2，所以该圆锥的侧面积为πrl=2π．故填2．设圆锥的底面半径为r，依题意，2r=2，即r=，所以该圆锥的侧面积为πrl=2π．本题考查了圆锥的结构特点，圆锥的侧面积．属于基础题．8.答案：①解析：解：①的导数为y′=-＜0，不满足题意；②y=sin x的导数为y′=cos x，由cos x=有解，可得满足题意；③y=e x的导数为y′=e x，由e x=有解，可得满足题意．则直线（b∈R）不能作为函数的图象为①．故答案为：①．分别求得三个函数的导数，由导数的几何意义，解方程可得不满足题意的函数．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算，以及方程思想、运算能力，属于基础题．9.答案：解析：解：如图建立直角坐标系：设AB=BC=t，则A（-t，0），C（0，t），E（0，），在Rt△CDA中，∵∠ACD=30°，∴∠CAD=60°，∴AD=AC=t，∴D的横坐标为：-（t+AD•cos75°）=-（t+t•）=-t，D的纵坐标为AD•sin75°=t•=t，∴D（-t，t），由=λ+μ得（t，t）=λ（-t+t，t）+μ（t，），∴t=（-t+t）λ+μt，即λ+μ=1，①t=λt+，即λ+μ=1，②联立①②解得λ==，μ==，∴λμ=×==．故答案为：．建立平面直角坐标系后，设AB=BC=t后，用向量的坐标运算可得．本题考查了平面向量的基本运算，属中档题．10.答案：解析：解：实数x，y满足（x+y-2）（x-2y+3）≥0，如图所示可行域，由z=x2+y2．结合图象，z可看作原点到直线x+y-2=0的距离d的平方，根据点到直线的距离可得d==，故z=x2+y2=d2=2．点（0，0）到x-2y+3=0的距离为：，故z=x2+y2=d2=．x2+y2的最小值为：故答案为：．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．本题考查线性规划的简单性质，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．11.答案：解析：解：f（x）是定义在R上且周期为的周期函数，当x∈（0，]时，f（x）=1-|2x-1|．可得函数f（x）的图象如下：根据图象可得x=时，）log a x=1，∴．根据周期画出函数y=f（x），y=log a x（a＞1）在（0，+∞）的图象，根据图象可得答案．本题考查了函数的图象及性质，考查了数形结合思想，属于中档题．12.答案：解析：解：依题意，因为S9=S3+2S6，所以q≠1，所以+2，即（q3-2）（q3-1）（q3+1）=0，因为数列{a n}为正项数列，所以q3=2．当取得最小值时，S6•S3=1，即=1，所以=-，所以S9==-=．故填：．因为S9=S3+2S6，所以q≠1，所以+2，即（q3-2）（q3-1）（q3+1）=0，因为数列{a n}为正项数列，所以q3=2．当取得最小值时，S6•S3=1，即=1，所以=-，即可得到S9．本题考查了等比数列的前n项和，通项公式和前n项和公式的灵活运用，基本不等式等．属于中档题．13.答案：解析：解：C为圆x2+y2=1上一点，设C（sinθ，cosθ），则，，∵A（x1，y1），B（x2，y2）为圆x2+y2=1上两点，∴，又，∴===，其中，∵sin（θ+φ）∈[-1，1]，∴当sin（θ+φ）=1时，的最大值为：．C为圆x2+y2=1上一点，设C（sinθ，cosθ），则利用坐标运算即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，利用坐标运算是解题的关键，属中档题．14.答案：解析：解：不等式kS≤3b2+3c2-a2恒成立，即k≤=恒成立，又由余弦定理，有a2=b2+c2-2bc cos A，∴k≤恒成立，∴只需k≤，∵≥，当且仅当b=c时取等号．令f（x）=，则f'（x）=，令f'（x）=0，则x=，∴当0＜x＜时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，∴当x=时，f（x）min=．故当A=时，，∴k≤，∴k的最大值为：．故答案为：．不等式kS≤3b2+3c2-a2恒成立，即k≤恒成立，则只需k≤，然后利用基本不等式和构造法求出最小值即可．本题考查了不等式恒成立问题，考查了余弦定理和基本不等式，考查了构造法和转化思想，属难题．15.答案：（本题满分为14分）解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象上相邻两个最高点的距离为2π，∴函数的周期T=2π，∴=2π，解得ω=1，…2分∴f（x）=sin（x+φ），又∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴+φ=+kπ，k∈Z，…4分∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．…7分（2）在△ABC中，∵，A∈（0，π），∴sin（A+）=-＜0，∴A+∈（π，），∴cos（A+）=-=-，…10分∴sin A=sin[（A+）-]=sin（A+）cos-cos（A+）sin=（-）×-（-）×=．…14分解析：（1）由题意可求正弦函数的周期，利用周期公式可求ω，由图象关于直线对称，可求+φ=+kπ，结合范围|φ|＜，可求φ，即可求得函数解析式．（2）由已知可求sin（A+）=-＜0，结合范围A+∈（π，），利用同角三角函数基本关系式可求cos（A+），根据两角差的正弦函数公式可求sin A的值．本题主要考查由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．16.答案：证明：（1）连接AC1，设AC1∩A1C=O，连接OD，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：OD∥BC1，又因为：BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：AC=AA1，所以：平行四边形ACC1A1是棱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为：AB⊂平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因为：AB⊥AC，AC∩AA1=A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因为：A1C⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1=A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因为：BC1⊂平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．解析：本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．（1）连接AC1，设AC1∩A1C=O，连接OD，可求O为AC1的中点，D是棱AB的中点，利用中位线的性质可证OD∥BC1，根据线面平行的判断定理即可证明BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可证平行四边形ACC1A1是棱形，由其性质可得AC1⊥A1C，利用线面垂直的性质可证AB⊥AA1，根据AB⊥AC，利用线面垂直的判断定理可证AB⊥平面ACC1A1，利用线面垂直的性质可证AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根据线面垂直的判断定理可证A1C⊥平面ABC1，利用线面垂直的性质即可证明BC1⊥A1C．17.答案：解：（1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0），∴直线PQ的方程为2x+y-14=0．设C（a，b），则，两式相减得：a+b-10=0，又2a+b-14=0，解得a=4，b=6，∴r==2．∴当r=2时，点Q恰好在路面中线上．（2）由（1）知a+b-10=0，当a=2时，灯罩轴线所在直线方程为x=2，此时HQ=0．当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y-10=（x-2），令y=0可得x=12-，即Q（12-，0），∵H在线段OQ上，∴12-≥a，解得2≤a≤10．∴|HQ|=12--a=12-（+a）≤12-2=12-4，当且仅当=a即a=2时取等号．∴|HQ|的最大值为（12-4）m．解析：（1）求出PQ的方程，设C（a，b），根据CA=CP=r列方程组可得出a，b的值，从而求出r的值；（2）用a表示出直线PQ的斜率，得出PQ的方程，求出Q的坐标，从而可得出|HQ|关于a的函数，根据a的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值．本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．18.答案：（1）解：设椭圆的截距为2c，由题意，b=，由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c=，又a2=b2+c2，联立解得a=2，c=1．∴椭圆C的标准方程为；（2）解：当直线l与x轴重合时，M（-2，0），N（2，0），此时MF=3NF，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3m2+4）y2+6my-9=0．△=36m2+36（m2+4）＞0．①，②，由MF=2FN，得y1=-2y2③，联立①③得，，，代入②得，，解得．∴直线方程为；（3）证明：当直线l的斜率为0时，则M（2，0），N（-2，0），设P（x0，y0），则PM•PN=|（x0-2）（x0+2）|，∵点P在椭圆外，∴x0-2，x0+2同号，又，∴，解得．当直线l的斜率不为0时，由（2）知，，，PM=，PN=，PF=．∵点P在椭圆外，∴y1-y0，y2-y0同号，∴PM•PN=（1+m2）（y1-y0）（y2-y0）==，整理得，代入直线方程得．∴点P在定直线x=上．解析：（1）由题意，b=，再由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c=，结合隐含条件解得a=2，c=1，则椭圆方程可求；（2）当直线l与x轴重合时，求得MF=3NF，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系及MF=2FN求得m值，则直线方程可求；（3）当直线l的斜率为0时，设P（x0，y0），由PM•PN=PF2，求得，当直线l的斜率不为0时，由（2）中的根与系数的关系及PM•PN=PF2，求得，代入直线方程得，由此可得点P在定直线x=上．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．19.答案：解：证明（1）：函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的导函数为f′（x）=3x2+2ax+b．已知x1，x2是f'（x）的两个不同的零点，设x1＜x2，所以△=4a2-12b＞0，所以：a2＞3b得证；（2）：当b=0时，对任意x＞0，f（x）≥x lnx恒成立，所以x3+ax2≥x lnx，即x3+ax2-x lnx≥0，x2+ax-ln x≥0对任意x＞0恒成立，所以a≥-x对任意x＞0恒成立，设g（x）=-x，则g′（x）=-1=，令h（x）=1-1nx-x2，则h′（x）=--2x＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，注意到h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，+∞）时，H（x）＜0，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以，当x=1时，g（x）有最大值g（1）=-1，所以a的取值范围为[-1，+∞）；（3）由题意设F（x）=f（x）-f（x1）-f'（）（x-x1），则原问题转化为求函数F（x）的零点的个数，因为导函数为f′（x）=3x2+2ax+b，已知x1，x2是f'（x）的两个不同的零点，所以：=-，f'（）=f'（-）=-+b，所以：F′（x）=f′（x）-f'（）=3x2+2ax+=3（x2+x+）=3（x+）2≥0，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，注意到F（x1）=0，所以F（x）在（0，+∞）上存在唯一零点x1，∴关于x的方程有1个实根.解析：考查函数的极值最值的综合应用，函数的零点判断，构造新函数求最值的特点，属难题．（1）求函数的导数，利用△=4a2-12b＞0，得证；（2）分离参数a，所以a≥-x对任意x＞0恒成立，令新函数设g（x）=-x求最值即可，或采用x3+ax2-x lnx≥0时求左侧最值亦可．（3）转化函数求零点个数可得结论．20.答案：解：（1）因为{a n}是等差数列且公差为2，所以a n=a1+2（n-1），所以对任意m，n∈N*，m≠n，|a m-a n|=|[a1+2（m-1）]-[a1+2（n-1）]|=|2（m-n）|≤2（m-n）恒成立，所以数列{a n}符合“L（2）条件”．（2）①因为a n＞0，所以q＞0．若q=1，则|a m-a n|=0，数列{a n}符合“L（）条件”；若q＞1，因为数列{a n}递增，不妨设m＜n，则，即，（*）设，由（*）式中的m，n任意性可知，数列{b n}不递增，所以=，n∈N*，则当时，，矛盾．若0＜q＜1，则数列{a n}单调递减，不妨设m＜n，则a n-a m，即，（**）设c n=，由（**）式中的m，n任意性可知，数列{a n}不递减，所以=≥0，n∈N*．因为0＜q＜1时，f（n）=单调递增，所以f max（n）=f（1）=（q-1）+≥0，因为0＜q＜1，所以．综上得，公比q的取值范围为[，1]．②由①知，，，当q=1时，s n=n，要存在k0使得|s n-s m|≤k0|n-m|，只要k0≥1即可．当时，要证数列{s n}符合“L（k0）条件”，只要证存在k0＞0，使得||≤k0|n-m|，n∈N*，不妨设m＜n，则只要证q m-q n≤k0（1-q）（n-m），只要证．设g（n）=，由m，n的任意性可知，只要证g（n+1）-g（n）=q n（q-1）+k0（1-q）=，只要证，n∈N*，因为，所以存在k0≥q，上式对n∈N*成立．所以，存在正数k0，使得数列{s n}符合“L（k0）条件”．解析：（1）因为{a n}是等差数列且公差为2，所以a n=a1+2（n-1），带入不等式验证条件即可；（2）①分情况验证符合“L（）条件”时q的取值情况，最后汇总，②由①算出s n，对q分情况验证结论．此题考查了等差数列和等比数列的应用，分类讨论较多，属于开放性试题，难度较大．21.答案：解：（1）因为AB-1=，B=∴A=（AB）-1B==，即=，∴，∴；（2）矩阵A的特征多项式f（λ）==（λ+1）λ-2=（λ+2）（λ-1），令f（λ）=0，则λ=-2或λ=1，∴矩阵A的特征值-2和1．解析：（1）利用A=（AB）-1B求解即可；（2）矩阵A的特征多项式f（λ）=求出行列式，然后令f（λ）=0即可．本题考查了逆变换与逆矩阵以及矩阵特征值的求法，属基础题．22.答案：解：（1）由ρ+2cosθ=0得ρ2+2ρcosθ=0，得x2+y2+2x=0，则圆心为（-1，0），半径r=1．由2ρsin（θ-）+m=0得2ρsinθcos-2ρcosθsin+m=0，得直线l的直角坐标方程为x-+m=0，因为直线l过圆C的圆心，则-1+m=0，所以m=1．（2）若m=2，则圆C心到直线的距离d==，所以直线l被圆C截得的弦长为2=2=．解析：（1）将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程后，利用圆心在直线上列式可得．（2）利用点到直线的距离公式和勾股定理可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：证明：设a=x2+2y2，b=y2+3z2，c=z2，∴4（a-2b+6c）+9（b-3c）+12c=12，即4a+b+9c=12，∴++=++=（++）（4a+b+9c）≥（++）2=3，故原不等式成立．解析：设a=x2+2y2，b=y2+3z2，c=z2，由题意可得4a+b+9c=12，再根据柯西不等式即可证明．本题考查了不等式的证明，柯西不等式的应用，考查了转化与化归思想，推理论证能力，属于中档题．24.答案：解：（1）当直线l的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意．当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my-1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程可得得y2-4my+4=0，可得y1+y2=4m，y1y2=4∴===0．（2）S△ABF=S△EFB-S△EFA=|y1-y2|==4．解得m=（负值舍去）．∴直线l的方程为：x-+1=0．解析：（1）设直线l的方程为x=my-1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程利用韦达定理可得=0．（2）S△ABF=S△EFB-S△EFA=|y1-y2|==4．解得m即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．25.答案：解（1）考查恒等式（1+x）7=（1+x）3（x+1）4左右两边x3的系数，因为右边（1+x）3（x+1）4=（C+C x+C x2+C x3）（C x4+C x3+C x2+C x+C），所以，右边x3的系数为C C+C C+C C+C C=C C+C C+C C+C C，而左边x3的系数为：C，所以=C．（2）∵rC=r=n•=nC，（r+1）2（C）2=（rC）2+2r（C）2+（C）2=n2（C）2+2n C•C+（C）2．考查恒等式（1+x）2n=（1+x）n（x+1）n左右两边x n的系数．因为右边x n的系数为C C+C C+…+C C=（C）2，而左边的x n的系数为C．所以（C）2=C同理可求得（C）2=C考查恒等式（1+x）2n-1=（1+x）n-1（x+1）n左右两边x n-1的系数，因为右边（1+x）n-1（x+1）n=（C+C x+…+C x n-1）（C x n+C x n-1+…+C），所以，右边的x n-1的系数为C C+C C+…+C C=C C，而左边的x n-1的系数为C，所以C C=C，（r+1）2（C）2-n2C=n2C+2nC+C-n2C=2nC+C=n（C+C）+C=n（C+C）+C=nC+C=（n+1）C．解析：（1）考查恒等式（1+x）7=（1+x）3（x+1）4左右两边x3的系数可得；（2）根据rC=r=n•=nC，考查恒等式（1+x）2n=（1+x）n（x+1）n左右两边x n的系数．考查恒等式（1+x）2n-1=（1+x）n-1（x+1）n左右两边x n-1的系数，可得．本题考查了二项式定理，属难题．。

2020届江苏省南通市高三下学期第四次调研测试数学试题一、填空题1．已知集合{}3,1,1,3A =--，{}2230B xx x =--=∣，则A B =________．【答案】{1,3}-【解析】解一元二次方程求得集合B ，由此求得A B .【详解】由()()223310x x x x --=-+=解得1x =-或3x =，所以{}1,3B =-，所以A B ={1,3}-故答案为：{1,3}- 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．已知复数z 满足()24z i -=，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 【答案】2【解析】由已知求出24z i =-，即得z 的实部. 【详解】 由题得24424iz i i i-===-， 所以24z i =-， 所以z 的实部为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数实部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[]48,58中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[]50,56的女生数为________．【答案】75【解析】先根据频率分布直方图求出所求区间的频率，然后乘以总人数即为所求. 【详解】由频率分布直方图可知，体重在区间[]50,56的频率为()20.1000.1500.1250.75++=，所以体重在区间[]50,56的女生数为0.7510075.⨯=故答案为：75【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为7-，则输入的x的值为________．【答案】1【解析】模拟程序的运行过程可知该程序的功能是求分段函数的函数值，利用分类讨论即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行过程可知，该程序的功能是求分段函数6,228,23x xyxx-≥⎧⎪=⎨-<⎪-⎩的函数值，当2x ≥时，67x -=-，得1x =-，不符合题意； 当2x <时，2873x-=--，得1x =，符合题意； ∴输入的x 的值为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查程序与算法的应用，属于基础题．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416x y -=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为________． 【答案】17【解析】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||16MF MF -=，令2||1MF =即得解. 【详解】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||2816MF MF -=⨯=,所以11|||1|2816||17MF MF -=⨯=∴=，或15-（舍）. 所以点M 到另一个焦点的距离为17. 故答案为：17. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6．已知区域{(,)|||2A x y x =，||2}y 和{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +，若在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为________． 【答案】18【解析】分别求出集合A ，B 所对应的区域的面积，然后根据几何概型的概率公式即可求解． 【详解】因为{(,)|||2A x y x =，||2}y 表示的区域是以4为边长的正方形，面积为16， 由{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +可知，其区域为如图所示的阴影部分，面积12222S =⨯⨯=，故在区域A内随机取一点，则该点恰好落在区域B内的概率21 168P==.故答案为：18.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析数学问题的能力.7．若实数x，y满足34x y+=，则28x y+的最小值为________．【答案】8【解析】利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】依题意3334282222222228x y x y x y x y++=+≥⋅===，当且仅当322x y=，即32x y==时等号成立.所以28x y+的最小值为8.故答案为：8【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.8．已知数列{}n a满足112n nn na aa a+++=-，且119a=，则6a的值为________．【答案】27【解析】根据已知条件判断出数列{}n a是等比数列，进而求得6a的值.【详解】由于112n nn na aa a+++=-，1122n n n na a a a+++=-，13n na a+=，所以13nnaa+=，所以数列{}na是首项为119a=，公比为3q=的等比数列，所以55361133279a a q =⋅=⨯==. 故答案为：27 【点睛】本小题主要考查根据递推关系求某一项的值，考查等比数列的定义，属于基础题. 9．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值为________． 【答案】13【解析】根据题意可知函数的周期为3，可得()()()(2)1,81-==-f f f f ，然后根据函数的奇偶性可得()1f ，最后利用函数的周期性可得(2020)f 【详解】由题可知：函数()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数 所以()()()()(2)1,811-==-=-f f f f f ， 又(2)2(8)1f f -=+所以(1)2(1)1=-+f f ，则1(1)3f =所以()()1(2020)6733113=⨯+==f f f 故答案为：13【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，关键在于观察，利用函数的周期性，把大数变小数，属基础题.10．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数（V ）、棱数（E ）、面数（F ）之间存在如下关系：2V F E +-=．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为12,S S ，则12S S 的值为________．【答案】32【解析】设棱长为a ，分别求出正六面体和正八面体的外接球半径即可. 【详解】 设棱长为a正六面体即正方体，它的外接球的半径等于体对角线的一半，所以13R a =对于正八面体，易得AC BD EF ==，故其外接球的球心为AC 中点，所以222R a =所以2211222234342424aS R S R a ππ=== 故答案为：32【点睛】本题考查的是几何体外接球，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线2:330x l -+=与圆22:4C x y +=的两个交点，当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为________．【答案】2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】直线l 的方程与圆C 方程联立，求出两交点,A B ，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，可求得圆的标准方程.【详解】由2:330x y l -+=与22:4C x y +=联立得22(323)4y y -+=， 得1y =或2y =，则两交点坐标为(3,1),(0,2)A B -，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，则圆心33(,)22-，半径为12AB =， 圆M 的标准方程为2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了求直线与圆的交点坐标，求以两点的线段为直径的圆的标准方程，属于基础题.12．如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若2,1AB AD ==，则DC AB ⋅的取值范围是________．【答案】(0,3)【解析】连接,,BD BC AC ，则()2DC AB DA AB AB BC AC CB ⋅=⋅++⋅+，再由直径AB 可得1cos 2DAB ∠=，90ACB ∠=︒，从而可求DC AB ⋅的值. 【详解】连接,,BD BC AC因为AB 为直径，故90ADB ∠=︒，而2,1AB AD ==，所以1cos 2DAB ∠=.同理90ACB ∠=︒.()2DC AB DA AB BC AB DA AB AB BC AB ⋅=++⋅=⋅++⋅()2112432BC AC CB CB ⎛⎫=⨯⨯-++⋅+=- ⎪⎝⎭，因为C 在BD 之间（异于,B D 两点），故(BC ∈， 所以()0,3DC AB ⋅∈， 故答案为：(0,3). 【点睛】本题考查向量的数量积，其计算方法有定义法、坐标法、基底法等，解题中注意向已知的向量转化.13．已知函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，则函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为________． 【答案】5【解析】先求得()f x 的零点，然后由(()24)0y f f x x =-+=，求得函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数.【详解】 由于函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，当0x <时，30x <，没有零点.当0x ≥时，220x x -=，解得10x =或22x =.令(()24)0y f f x x =-+=，则()240f x x -+=或()242f x x -+=，即()24f x x =-或()22f x x =-.由3240x x x =-⎧⎨<⎩或22240x x x x ⎧-=-⎨≥⎩或3220x x x =-⎧⎨<⎩或22220x x x x ⎧-=-⎨≥⎩.解得4x =-或2x =，或2x =-，或2x =. 所以函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为5. 故答案为：5 【点睛】本小题主要考查分段函数零点问题，属于中档题. 14．已知点G 是ABC 的重心，且GA GC ⊥，若111tan tan A C+=，则tan B 的值为________． 【答案】12【解析】由GA GC ⊥得到0GA GC ⋅=，结合G 是ABC 的重心，得到2225b a c =+，结合余弦定理和正弦定理，求得tan B 的值. 【详解】依题意GA GC ⊥，所以0GA GC ⋅=，所以()()0BA BG BC BG -⋅-=①， 因为G 是三角形ABC 的中心，所以()13BG BA BC =+②， 把②代入①并化简得5AC AC BC BC AB AB ⋅=⋅+⋅， 即2225b a c =+，由余弦定理得2222cos a c b ac B +=+， 所以242cos b ac B =，由正弦定理得22sin sin sin cos B A C B =③，已知111tan tan A C+=， 所以cos cos sin cos cos sin sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++=()sin sin 1sin sin sin sin A C BA C A C+===， 所以sin sin sin B A C =④，由③④得2sin cos B B =，所以1tan 2B =. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数关系以及三角恒等变换，属于难题.二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,10,6,8ABC AB BC AC PC ====，E ，F 分别是,PA PC 的中点，求证：（1）//AC 平面BEF ； （2）PA ⊥平面BCE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）先证明//EF AC ，//AC 平面BEF 即得证；（2）先证明BC PA ⊥，PA EC ⊥，PA ⊥平面BCE 即得证． 【详解】（1）在PAC 中，E ，F 分别是,PA PC 的中点， 所以//EF AC ．又因为EF ⊂平面BEF ，AC ⊄平面BEF ， 所以//AC 平面BEF ．（2）在ABC 中，10,6,8AB BC AC === ， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥． 因为PC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PC BC ⊥．又因为,,BC PC AC PC C AC ⊥⋂=⊂平面,PAC PC ⊂平面PAC ．所以BC ⊥平面PAC ．因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥ 在PAC 中，因为AC PC =，E 为PA 的中点， 所以PA EC ⊥．又因为,,PA BC CE BC C CE ⊥⋂=⊂平面,BCE BC ⊂平面BCE ． 所以PA ⊥平面BCE ． 【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力. 16．已知函数2()2cos cos 2,46f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求()f x 的最小值；（2）在ABC 中，03A π<<，且1()2f A =-，若2,AC BC ==B 的大小．【答案】（1）1-（2）2B π=.【解析】（1）用降次公式，两角和与差公式，辅助角公式化简()f x ，再求得最小值； （2）由1()2f A =-，求得角A ，再由正弦定理求得角B . 【详解】（1）2()2cos cos 246f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 2cos2cos sin 2sin 266x x x πππ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭11sin 2sin 222x x x =-+-31sin 22x x =+-123x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．因为当()3x k k Z ππ=+∈时，cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为1-，所以()f x 的最小值为1（2）由（1）知，1()13cos 232f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，即3cos 232A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 因为03A π<<，所以233A πππ<+<，所以5236A ππ+=，即4A π=．在ABC 中，因为2AC =，2BC =，由正弦定理sin sin AC BC B A=，得22sin sin 4B π=，所以sin 1B =．因为0B π<<，所以2B π=．【点睛】本题考查了降次公式，两角和与差公式，辅助角公式，已知三角函数值求角，正弦定理，属于中档题.17．如图，在市中心有一矩形空地,100m,75m ABCD AB AD ==．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边,AD AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若假山区域面积为2400m ，求喷泉区域面积的最小值； （2）若100m MN =，求假山区域面积的最大值． 【答案】（1）2200m π；（2）212503m . 【解析】（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，根据假山区域面积为2400m ，找到r 与θ的关系，再表示出喷泉区域面积，求最值，注意验证半圆是否在矩形空地ABCD 内，即验证是否能取到最小值；（2）由（1）根据以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，求得θ的范围，再将假山区域面积用θ表示出来，再求最值. 【详解】解：（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，半圆的圆心为O ． 在直角三角形AMN 中，2MAN π∠=，所以2sin ,2cos AM r AN r θθ==．因为假山区域面积为2400m ， 所以2112sin 2cos sin 240022AM AN r r r θθθ⋅=⨯⨯== 所以2400sin 2r θ=，所以喷泉区域面积22002002sin 2S r πππθ==喷泉， 当且仅当sin 21θ=，即4πθ=时取等号．此时20r =．因为点O 到CD 的距离112d AD AM =-，点O 到BC 的距离212d AB AN =-，所以175sin 7520d r r θ=-=->=，即1d r >，2100cos 10020d r r θ=-=->=，即2d r >．所以以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内． 所以当4πθ=时，S 喷泉取得最小值2200m π．喷泉区域面积的最小值为2200m π．（2）由（1）知，若100m MN =，则2100,100sin ,100cos r AM AN θθ===． 所以点O 到CD 的距离175sin 7550sin d r θθ=-=-， 点O 到BC 的距离210050cos d θ=-， 因为以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，所以12,,d r d r ⎧⎨⎩即7550sin 50,10050cos 50,θθ-⎧⎨-⎩所以1sin 2θ≤．又因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 所以假山区域面积11100sin 100cos 2500sin 222S AM AN θθθ=⋅=⨯⨯=假山，因为0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以20,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以当6πθ=时，假山区域面积的最大值为212503m ．【点睛】本题是三角函数在几何中的应用题，结合考查了直线与圆的位置关系，二倍角公式，还考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于中档题.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y bC b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 的面积为10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．【答案】（1）2213620x y +=；（2）515100x ±-=；（3）证明见解析.【解析】（1）由题得22363b-=b 的值，即得椭圆2C 的标准方程；（2）设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，得到韦达定理，再根据ABOAOFBOFSSS=+11||2OF y =21||2OF y +求出m 的值，即得直线AB 的方程； （3）设()()1122,,,,A x y B x y 先求出,,A B C 的坐标，得到533OA CD k k ==．所以//OA CD ，又5321AD OC k k ==-，所以//OC AD ．即得四边形AOCD 是平行四边形． 【详解】（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==，椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23=因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=． （2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线，设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以()1,2220259m y m -±==+， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSSSOF y OF yO y y y F y =+=+=-=-===， 化简得4259m =，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上，所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =，从而得，113,4x y ==即321,,,4488A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭．所以21OC k =-，直线OC的方程为21y x =-， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和面积的计算，考查直线方程的求法和位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 19．已知函数()(1ln )()m R f x x x m =++∈． （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）设()()f x g x x x=+，求函数()y g x =的单调区间； （3）若()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合． 【答案】（1）21y x m =+-；（2）答案见解析；（3）{1,2,3}. 【解析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得()g x 的表达式，利用()'g x ，对m 分成0m ≤，0m >两种情况进行分类讨论，由此求得()g x 的单调区间.（3）由()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，得到(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立，由此构造函数()(1ln )m x x x mx m =+-+，利用来导数研究()m x 的单调区间和最值，由此求得整数m 的取值集合. 【详解】（1）()2ln '=+f x x ，所以(1)2f '=，()11f m =+，所以所求切线方程为()121y m x --=-，即21y x m =+-． （2）由已知，()()1ln f x mg x x x x x x=+=+++， 所以2221()1m x x mg x x x x +-'=-+=．当0m ≤时，()()0,g x g x '>的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，令()0g x '=，得x =或x =（舍去），x ⎛∈ ⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；12x ⎛⎫-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 综上，当0m ≤时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，函数的单调递减区间为10,2⎛-+ ⎝⎭，函数的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭． （3）由已知(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立， 设()(1ln )m x x x mx m =+-+，令()'ln 20m x x m =+-=，得2m x e -=．当()20,m x e -∈时，()'0,()m x m x <单调递减；当()2,m x e-∈+∞时，()'0,()m x m x >单调递增．所以()min 22[()]m m m x m e m e--==-，设2()m h m m e-=-，令2()10m h m e -'=-=，得2m =．当),(2m ∈-∞时，()()0,h m h m '>单调递增； 当(2,)m ∈+∞时，()()0,h m h m '<单调递减． 又(0)0h <，1(1)10h e-=->，0(2)20h e =->，(3)30h e =->，2(4)40h e =-<，所以满足题意的整数m 构成的集合为{1,2,3}． 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数求单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn nS b a =()N n *∈，若{}n b 是公差不为0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2nn n a S c =，若存在1k ，2N k *∈（12k k ≠），使得12k k c c =成立，求实数1a 的取值范围． 【答案】（1）1(1)2n b n =+；（2）证明见解析；（3）(]20,log 3.【解析】（1）根据已知条件求得1b 和数列{}n b 的公差，由此求得数列{}n b 的通项公式. （2）由（1）得到*1(1),2n n S n n N a =+∈，进而得到数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，求得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而证得数列{}n a 是等差数列.（3）先求得n c 的表达式，然后求得1n n c c +-的表达式，对1a 进行分类讨论，结合数列{}n c 的单调性，求得1a 的取值范围.【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-． 由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=， 因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+． （2）由（1）知，*1(1),2n n S n n N a =+∈， 即有2(1)n n S n a =+， ① 所以112(2)n n S n a ++=+， ②②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． 两边除以(1)n n +得，()*101n na a n N n n+-=∈+， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列．所以111n a a a n ==，即1n a na =， 所以11n n a a a +-=， 所以数列{}n a 是等差数列． （3）因为n n n S b a =，所以11(1)22n n n n n S a a ++==， 所以111(1)22n n n na a S n n a c ++==．因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)122222n n na a na na a n n a n n a n n a n c c n ++++++++++⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭，当*n N ∈时，211,1223n n n ⎡⎫=-∈⎪⎢++⎣⎭． 显然10a ≠，①若10a <，则11111,0222a a nn >->+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ②若12log 3a >，则111,02322k ka a n n <-<+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ③若21log 3=a ，则1123k a =，所以当1n =，11022a n n -=+成立， 所以存在12c c =． ④若120log 3a <<，则111132a <<． 当1221a n <-，且*n N ∈时，1n n c c +>，{}n c 单调递增； 当1221a n >-，且*n N ∈时，1n n c c +<，{}n c 单调递减， 不妨取()*0120002log ,2k a k N k k +=∈，则001k k c c +=． 综上，若存在*12,k k N ∈，使得12k k c c =成立，则1a 的取值范围是(]20,log 3.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查由递推关系证明等差数列，考查数列的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.21．已知矩阵 1 1 4a A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2．（1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．【答案】（1）2a =；（2）矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）根据矩阵A 的特征多项式列方程，结合矩阵A 的特征值求得a 的值. （2）由（1）求得另一个特征值，根据特征向量的求法，求得对应的特征向量. 【详解】（1）由已知，矩阵A 的特征多项式为1()(1)(4)14af a λλλλλ--==--+-，令()0f λ=得，2540a λλ-++=．因为矩阵A 的一个特征值为2，所以上述方程有一个实数解2λ=， 所以2a =．（2）由（1）得，2560λλ-+=，解得122,3λλ==， 所以另一个特征值为3λ=． 设其对应的一个特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则12314x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，取1x =，则1y =． 所以矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本小题主要考查根据特征值求参数，考查特征值和特征向量的求法，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．若直线l 被椭圆C，求实数m 的值． 【答案】2m =±．【解析】将椭圆C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的参数方程代入椭圆方程，结合直线的参数方程中参数的几何意义与韦达定理即可求出答案．【详解】解：将椭圆C 的参数方程2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程得2214xy +=，将直线l的参数方程代入椭圆方程得2244022m ⎛⎫⎛⎫++⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即225402t m ++-=， 由()22524402m m ∆=-⋅->得，m <<， 设12,t t 为两交点对应的参数，∴()2121224,55m t t t t -+=-=，∴()()()()222221212128482048425525m mm t t t t t t ---=+-=-=，∵直线l截椭圆所得弦长为5， ∴()28204322525m -=，2m =±，符合>0∆， ∴2m =±． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题． 23．若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++≥． 【答案】证明见解析.【解析】利用柯西不等式证得不等式成立. 【详解】因为()22222221111149232323a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以2222()4911149a b c a b c++++++． 又7a b c ++=，所以2224936a b c ++ 【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.24．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等，且60BAD ∠=︒，M 是侧棱1DD 的中点，N 是棱11C D 上的点．（1）求异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M AC N --的大小为4π，试确定点N 的位置． 【答案】（110（2）点N 与点1C 重合. 【解析】连结BD ，取AB 的中点E ，连接DE ，可以证明DE DC ⊥，11,D D DC D D DE ⊥⊥，从而建立如图所示的空间直角坐标系.（1）算出1,BD AM 的坐标后可求1,BD AM 的余弦值，从而得到异面直线所成角的余弦值.（2）算出平面AMC 的法向量和平面ACN 的法向量后再计算它们夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值. 【详解】连结BD ，取AB 的中点E ，连接DE ， 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等， 所以底面ABCD 是菱形．又60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形， 所以DE AB ⊥，因为//AB DC ，所以DE DC ⊥． 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，DC ，DE ⊂平面ABCD ，所以11,D D DC D D DE ⊥⊥．分别以直线1,,DE DC DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．（1）设直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，则1(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)D A B C D M -．所以1(3,1,2),(3,1,1)BD AM =--=-， 设异面直线1BD 与AM 所成角的大小为θ，则11131210cos |cos ,|5||||225BD AM BD AM BD AM θ⋅-+=〈〉===⋅⨯，所以异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为105． （2）由（1）知，(3,3,0),(3,1,1)AC AM =-=-． 设平面AMC 的法向量为()1111,,n x y z =，则11n AC n AM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11n ACn AM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，所以11111330,30.x y x y z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩取13x =，则111,2y z ==，即平面AMC 的一个法向量为1(3,1,2)n =． 设(0,,2),02N λλ，则(0,2,2)CN λ=-．设平面ACN 的法向量为()2222,,n x y z =，则22n AC n CN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2200n AC n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以2222330,(2)20.x y y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取2x =，则2221,2y z λ-==， 即平面ACN 的一个法向量为223,1,2n λ-⎛⎫= ⎪⎭．则121212coscos 422n n n n n n π⋅=<⋅>===⋅， 解得2λ=．所以当二面角M AC N --的大小为4π，点N 与点1C 重合． 【点睛】本题考查空间角的计算，此类问题我们可以借助于空间中直线的方向向量和平面的法向量来帮助计算，比如异面直线所成角的的余弦值就是它们所在直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值，二面角的平面角的余弦值就是两个平面的法向量的夹角的余弦值或其相反数（结合二面角的大小来考虑）. 25．设230123(12)kk k x a a x a x a x a x +=+++++ （2k ≥，k *∈N ）．（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k 的值；（2）设222n n k +-=（n *∈N ），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把这1k +个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i ，n *∈N ．记123nt t t t >>>>的概率为n P ．求证：12(1)!n P n >-．【答案】（1）9k =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用题目所给展开式中第5项与第7项的系数之比列方程，解方程求得k 的值.（2）利用相互独立事件概率乘法公式，求得n P 的表达式，构造数列()*(1)22,2n n n n a n n N +=-∈，判断出数列{}n a 的单调性，由此证得不等式成立 【详解】（1）因为在展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，即44662328k k C C ⋅=⋅，所以4632k k C C =，即303(4)(5)2k k =--，所以292020k k -+=， 解得0k =或9k =．因为*2,k k N ≥∈，所以9k =．（2）由题意，最小数在第n 列的概率为2212n n n n =++，去掉第n 列已经排好的n 个数，则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最小值在第1n -列的概率为12(1)2n n n n -=-， ………… 以此类推，余下的数中最小数在第2列的概率为23， 所以12222213(1)3(1)!n nn P n nn n n -=⨯⨯⨯==++⨯⨯⨯+． 由于2222n n k +-=，所以2n ≥．设()*(1)22,2nn n n a n n N +=-∈， 所以()*1212,nn n a a n n n N +-=--∈．记()*212,nn b n n n N=--∈，所以1210n n n bb +-=->，所以{}n b 是递增数列，所以210n b b =>；{}n a 是递增数列，所以21n a a =，所以(1)22nn n +>，所以2(1)1(1)!2(1)!2(1)!n n n n n n +>=++-，即12(1)!n P n >-．【点睛】本小题主要考查二项式展开式的系数，考查相互独立事件概率计算，考查数列的单调性，属于难题.。

2020届江苏省南通市高考数学四模试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x>a}，且A∩B≠⌀，则a的取值范围是______ ．2.已知i是虚数单位，复数z=1+2i的虚部是．1+i3.程序框图(算法流程图)如图所示，其输出结果．4.某学院为了调查学生2018年9月“健康使用手机”(健康使用手机指每天使用手机不超过3小时)的天数情况，随机抽取了80名学生作为样本，统计他们在30天内“健康使用手机”的天数，将所得数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，……，(25,30]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示，根据频率分布直方图，可计算出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为______．5. 已知曲线C ：mx 2+4y 2−4m =0(x ≤0)，点A(−2,0)，若实数m 与曲线C 同时满足条件曲线C 上存在B 、C ，使△ABC 为正三角形，则实数m 的取值范围是______．6. 甲乙丙丁4人入住宾馆中的4个房间，其中的房号101与102对门，103与104对门，若每人随机地拿了这4个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为______．7. 轴截面为等边三角形的圆锥叫作等边圆锥，底面半径为2的等边圆锥的体积为______ ．8. 已知函数f(x)=lnx −x 2，则f(x)在x =1处的切线方程为______．9. 在△ABC 中，点O 满足BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，过O 点的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则mn 的最大值是______ ． 10. 设z =2x +5y ，其中实数x ，y 满足6≤x +y ≤8且−2≤x −y ≤0，则z 的取值范围是______ ．11. 在平面直角坐标系中，当P(x,y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为P′(y x 2+y 2,−xx 2+y 2)；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A ；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y 轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是______(写出所有真命题的序列)．12. 已知等比数列{a n }的各项为正数，前n 项和为S n ，若S 3=65，a 3=45，则a 1=______．13. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(6,x)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x 的值为______ ．14. 方程|x −1|+|x −3|=2的解集为______．二、解答题（本大题共11小题，共146.0分）15.将函数y=Asin(x+φ)图象的横坐标缩短为原来的1ω，得到函数y= f(x)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象，且y=f(x)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设θ∈(0,π2)，且f(θ)=−3√35，求cos(2θ+7π12)的值．16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F分别为AA1，AC，A1C1的中点，AB=BC=√5，AC=AA1=2．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BEF；(Ⅱ)求三棱锥C1−BCD的体积．17.某服装制造商现有10m2的棉布料，10m2的羊毛料，和6m2的丝调料，做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料，1m2的丝绸料．一条裙子雷要1m2的棉布料，1m2的羊毛料，1m2的丝绸料．一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，需要安排生产这两种服装的计划，请你列出生产这两种服装件数所要满足的数学关系式，并画出图形，18.如图所示，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，D(√2,−√22)为椭圆上一点，且e=√32．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为线段OD延长线上一点，直线PA交椭圆于另外一点E，直线PB交椭圆于另外一点F．①求直线PA与PB的斜率之积；②试判断△PEF和△PAB的面积之比是否为PF2PB2？说明理由．19.已知f(x)=lnx，g(x)=12ax2+bx(a≠0)，ℎ(x)=f(x)−g(x)(Ⅰ)当a=4，b=2时，求ℎ(x)的极大值点；(Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于P、Q两点，过线段PQ的中点做x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．20.在等比数列{a n}中，a2+a5=18，a3⋅a4=32，且a n+1<a n(n∈N∗)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若T n=lga1+lga2+⋯+lga n，求T n的最大值及此时n的值．21.设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．求逆矩阵M−1以及椭圆x24+y29=1在M−1的作用下的新曲线的方程．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−√32t y =1+12t，(t 为参数)以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2√3sinθ，(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．23. 已知函数f(x)=e x −ax −1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．(1)当a >0时，求f(x)的极值；(2)若存在实数x 1，x 2∈[0,2]，得f(x 1)=f(x 2)，且|x 1−x 2|≥1，求证e −1<a <e 2−e ．24. 如图，抛物线C 的方程为y 2=4x ，已知点M(−1,0)，N(1,0)，直线l的方程为y =k(x −1)(k >0)，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)若S △AMNS △BMN =3时，求直线l 的方程；(2)若tan∠AMN =√32时，求△AMB 的外接圆半径．25.已知的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求展开式中的常数项。

江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{﹣3，﹣1，1，3}，B ＝{}2230x x x −−=，则AB ＝ ．2．已知复数z 满足(z ﹣2)i ＝4，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[48，58]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[50，56]的女生数为 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为﹣7，则输入的x 的值为 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416x y −=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为 ．6．已知区域A ＝{}()2, 2x y x y ≤≤，和B ＝{}()0, 0, 2x y x y x y >>+≤，．若在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为 ． 7．若实数x ，y 满足x ＋3y ＝4，则28xy+的最小值为 ． 8．已知数列{}n a 满足112n n n n a a a a +++=−，且119a =，则6a 的值为 ．9．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数， 且(2)2(8)1f f −=+，则(2020)f的值为 ．10．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数(V)、棱数(E)、面数(F)之间存在如下关系：V ＋F ﹣E ＝2．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为S 1，S 2，则12S S 的值为 ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l：0x +=与圆C ：224x y += 的两个交点，当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ．12．如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若AB ＝2，AD ＝1，则DC ⋅ AB 的取值范围 是 ．13．已知函数230()20x x f x x x x <⎧=⎨−≥⎩，，，则函数(()24)y f f x x =−+的不同零点的个数为．14．已知点G 是△ABC 的重心，且GA ⊥GC ，若111tan A tan C+=，则tanB 的值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P—ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝10，BC ＝6，AC ＝PC ＝8，E ，F 分别是PA ，PC 的中点，求证：（1）AC ∥平面BEF ； （2）PA ⊥平面BCE ．已知函数2()2cos ()cos(2)46f x x x ππ=+++，x ∈R ．（1）求()f x 的最小值；（2）在△ABC 中，0＜A ＜3π，且1(A)2f =−，若AC ＝2，BC B 的大小．17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB ＝100m ，AD ＝75m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若假山区域面积为400m 2，求喷泉区域面积的最小值； （2）若MN ＝100m ，求假山区域面积的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22195x y +=与C 2：222136x y b +=(0＜b ＜6)的离心率相等．椭圆C 1的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 1交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆C 2交于点C ，椭圆C 2的右顶点为D ．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）若△ABO AB 的方程； （3）若AF ＝2BF ，求证：四边形AOCD 是平行四边形．已知函数()(1ln )f x x x m =++(m ∈R)． （1）求曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）设()()f x g x x x=+，求函数()y g x =的单调区间； （3）若()f x mx ≥对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n n nS b a =(n N *∈)，若{}n b 是公差不为0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2nn n a S c =，若存在1k ，2N k *∈（12k k ≠），使得12k k c c =成立，求实数1a 的取值范围．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 4a ⎡⎤⎢⎥−⎣⎦的一个特征值为2． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．若直线l 被椭圆C所截得的弦长为5，求实数m的值．C ．选修4—5：不等式选讲若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝7，求证：2224936a b c ++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知直四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD ＝60︒，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．（1）求异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M—AC—N 的大小为4π，试确定点N 的位置．23．（本小题满分10分）设230123(12)kk k x a a x a x a x a x +=+++++（2k ≥，N k *∈）． （1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3：8，求k 的值；（2）设222n n k +−=（N n *∈），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把这k ＋1个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i ，n N *∈．记123n t t t t >>>>的概率为n P ．求证：12(1)n P n >−！．江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题参考答案1．{﹣1，3} 2．2 3．75 4．1 5．17 6．187．8 8．279．13 10．32 11．223(()122x y ++−= 12．(0，3) 13．5 14．1215．16．17．解：18．19．20．21．ABC22．23．。

开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ， 则=-1393a a ▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。

江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷一、填空题1.已知集合{}A 31x x =-≤，{}2B 540x x x =-+≥，则A B ⋂=____ 【答案】{}4 【解析】 【分析】根据题意，解|3|1x -„可得24x 剟，即可得集合A ，解2540x x -+…可得集合B ，由交集的定义，即可得答案．【详解】解：根据题意，对于集合A ，|3|1x -„，24x ∴剟，则{|24}A x x =剟， 对于集合B ，由25401x x x -+⇔厔或4x …，则{|1B x x =„或4}x …， 则{}4A B ⋂=， 故答案为：{}4．【点睛】本题考查集合交集的计算，关键是正确解出不等式，得到集合A 、B ，属于基础题． 2.复数21z i=-（i 为虚数单位）的共轭复数是________． 【答案】1i - 【解析】 复数21z i =-()()()21111i i i i +==+-+,其共轭复数为1z i =-,故填1i -. 3.设向量()1,a k =v，()2,3b k =--v ，若//a b v v ，则实数k 的值为_______.【答案】1 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示得出关于实数k 的方程，解出即可.【详解】Q 向量()1,a k =r ，()2,3b k =--r ，且//a b r r ，则32k k -=-，解得1k =.因此，实数k 的值为1. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用向量共线求参数的值，解题的关键就是利用共线向量的坐标表示列出方程求解，考查计算能力，属于基础题.4.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5.函数12()log (43)f x x =-的定义域为_____________________【答案】3(,1]4【解析】试题分析：根据题意，由于函数12()log (43)f x x =-，则使得原式有意义的x 的取值范围满足4x-3>1,4x-31≤,故可知所求的定义域为3(,1]4．考点：函数的定义域点评：主要是考查了对数的定义域的运用，以及函数的定义域的求解，属于基础题．6.已知命题:11p x a -<-<，命题:(4)(8)0q x x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是____ 【答案】[]5,7 【解析】 【分析】首先求出命题p ，q ，再根据p 是q 的充分不必要条件，得到()1,1a a -+()4,8，从而得到不等式组，解得即可；【详解】解：命题:11p x a -<-<，解得11a x a -<<+命题:(4)(8)0q x x -->，解得48x << 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以()1,1a a -+()4,8所以1814a a +≤⎧⎨-≤⎩，解得57a ≤≤，即[]5,7a ∈故答案为：[]5,7【点睛】本题考查根据充分条件必要条件求参数的取值范围，属于中档题.7.在正四棱锥S ABCD -中，点O 是底面中心，2SO =，侧棱23SA =，则该棱锥的体积为________. 【答案】323【解析】 【分析】根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积．【详解】∵在正四棱锥S ﹣ABCD 中，侧棱3SO=2， ∴底面中心到顶点的距离22SA SO -2因此，底面正方形的边长2AO=4，底面积S=AB 2=16该棱锥的体积为V=13S ABCD •SO=13×16×2=323． 故答案为323． 【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积．着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题． 8.若函数()cos(2)f x x θ=+（0θπ<<）的图象关于直线12x π=对称，则θ＝____【答案】56π 【解析】 【分析】由题意利用余弦函数的图象的对称性，求得θ的值．【详解】解：Q 函数()cos(2)(0)f x x θθπ=+<<的图象关于直线12x π=对称，212k πθπ∴+=g ，k Z ∈，6k πθπ∴=-，k Z ∈，0θπ<<Q56πθ\=，函数5()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故答案为：56π． 【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．9.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率，A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B 的一点，直线PA,PB 倾斜角分别为,αβ，则cos()=cos +αβαβ-（）.【答案】17【解析】试题分析：由题意，(,0)A a -，(,0)B a ，设(,)P x y ，则tan y x a α=+，tan y x aβ=-， ∴222tan tan y y y x a x a x a αβ=⋅=+--，∵椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率，∴22214a b a -=，∴2243a b =，∴2222143x y b b +=，∴22234x y b =-，22234y x a =--， 3tan tan 4αβ=-，31cos()cos cos sin sin 1tan tan 14=3cos+cos cos sin sin 1tan tan 714αβαβαβαβαβαβαβαβ--++===--+（） 考点：（1）椭圆的简单性质；（2）两角和与差的余弦函数.10.在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PA PBPB PC⋅⋅uu u r uu u ruu u r uuu r =____ 【答案】12- 【解析】【分析】AB PB PA =-u u u r u u u r u u u r，代入PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r 即可得到2PC PA =-u u u r u u u r ，所以三点P ，A ，C 共线，所以可画出图形，根据向量的数量积的定义式并结合图形即可求得PA PB PB PC ⋅⋅uu u r uu u r uu u r uuu r ． 【详解】解：PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r； ∴PA PB PC PB PA ++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；∴2PC PA =-u u u r u u u r ；P ∴，A ，C 三点共线，如图所示：∴||2||PC PA =u u u r u u u r ； ()cos cos cos 12cos cos cos PA PB APB PA APB PA APB PA PB PB PC PB PC CPB PC APB PC APBπ⋅∠∠∠⋅∴====-⋅⋅∠-∠-∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故答案为：12-．【点睛】考查向量的减法运算，共线向量基本定理，向量的数量积，属于中档题． 11.已知()0,3x ∈，则28132x y x x-=+-的最小值________. 【答案】72【解析】 【分析】将函数解析式变形为21232y x x =++-，然后在代数式2132x x +-上乘以3133x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求出该函数的最小值.【详解】03x <<Q ，033x ∴<-<，()2322811212323232x x y x x x x x x---=+=+=++---Q，由基本不等式得()2132317232333366x x x x y x x x x --⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭17762≥=. 当且仅当()23336x xx x-=-时，即当1x =时，等号成立，因此，函数28132x y x x -=+-的最小值为72. 故答案为：72. 【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最小值，解题的关键在于将函数解析式配凑，考查计算能力，属于中等题.12.若函数3()|2|f x x ax x =-+-，0x >存在零点，则实数a 的取值范围为____ 【答案】[)2,+∞ 【解析】 【分析】函数3()|2|f x x ax x =-+-，0x >存在零点，等价于3|2|0x ax x -+-=，在()0,x ∈+∞上有解，即函数y a =与3|2|x x y x +-=在()0,x ∈+∞上有交点，令()3|2|x x g x x+-=求出函数在()0,∞+上的值域，即可得到参数a 的取值范围.【详解】解：因为函数3()|2|f x x ax x =-+-，0x >存在零点， 等价于3|2|0x ax x -+-=，在()0,x ∈+∞上有解，即3|2|x x a x+-=在()0,x ∈+∞上有解，即函数y a =与3|2|x x y x+-=在()0,x ∈+∞上有交点，令()3332,222,02x x x x x xg x x x x x x ⎧+-≥⎪+-⎪==⎨-+⎪<<⎪⎩当2x ≥时，()32x x g x x+-=，()2220g x x x '=+>，即()g x 在[)2,+∞上单调递增，所以()()23g x g ≥=；当02x <<时，()32x x g x x -+=，()()()22221122x x x g x x x x-++'=-=， 令()0g x '>，解得12x <<，即()g x 在()1,2上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()()12g x g ≥=； 故()g x 在()0,∞+上的值域为[)2,+∞， 所以[)2,a ∈+∞ 故答案为：[)2,+∞【点睛】本题考查函数的零点，利用导数研究函数的最值，属于中档题.13.已知()(2)(3),()22xf x m x m x mg x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________.【答案】()4,2m ∈-- 【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．二、解答题（共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14.如图，在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱C 1C 的中点．（1）求证：AC 1∥平面PBD ； （2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，证出AC 1∥OP ，再由线面平行的判定定理即可证出. （2）首先由线面垂直的判定定理证出BD ⊥面AC 1，再由线面垂直的定义即可证出. 【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ． 又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1， 在△ACC 1中，11C PAO OC PC==，所以AC 1∥OP ， 又因OP ⊂面PBD ，AC 1⊄面PBD ，所以AC 1∥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱， 所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊂面AC 1，CC 1⊂面AC 1，所以BD ⊥面AC 1， 又因为P ∈CC 1，CC 1⊂面ACC 1A 1，所以P ∈面ACC 1A 1， 因为A 1∈面ACC 1A 1，所以A 1P ⊂面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，需熟记定理的内容，证明线面平行，先证“线线平行”，证明异面直线垂直，先证“线面垂直”,属于基础题. 15.在△ABC 中，内角A ；B ；C 所对的边分别为a ；b ；c ；cos B ；45； （Ⅰ）若c ；2a ，求sin sin BC的值； （Ⅱ）若C ；B ；4π，求sin A 的值． 【答案】（1（2）50【解析】试题分析：（1）由余弦定理cos 45B =及2c a =得出b,c 关系，再利用正弦定理即可求出；（2）根据正余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，即可解出.试题解析：（1）解法1：在ABC ∆中，因为cos 45B =，所以222425a cb ac +-=.因为2c a =，所以222()42522cc b c c +-=⨯，即22920b c =，所以b c =.又由正弦定理得sin sin B b C c =，所以sin sin 10B C =. 解法2：因为4cos ,(0,)5B B π=∈，所以3sin 5B ==. 因为2c a =，由正弦定理得sin 2sinC A =， 所以68sin 2sin()cos sin 55C B C C C =+=+，即sin 2cos C C -=. 又因为22sin cos 1,sin 0C C C +=>，解得sin C =sin sin B C =.（2）因为cos 45B =，所以27cos 22cos 125B B =-=.又0B π<<，所以3sin 5B ==，所以3424sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=.因为4C B π-=，即4C B π=+，所以3()24A B C B ππ=-+=-，所以333724sin sin(2)sin cos 2cos sin 2(4442525A B B B πππ=-=-=-⨯=试题点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系与两角和的正弦公式，以及三角形中角之间的关系．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，且过点(1，32)，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，且满足(0)OA OB tOP t +=u u u v u u u v u u u v＞.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若2t =，求直线AB 的方程.【答案】(1) 22143x y +=；(2) 1)2y x =±-.【解析】 【分析】（1）3(1,)2代入椭圆方程，结合,,a b c 关系，即可求出椭圆标准方程；（2）设直线l 方程，与椭圆联立，利用韦达定理，得出,A B 两点的坐标关系，进而求出P 点坐标，代入椭圆方程，即可求出直线l 方程. 【详解】(1)由题意可知，c =1，且221914a b += 又因为222a b c =+，解得2a =，b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(2)若直线AB 的斜率不存在，则易得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴()2,02OA OB OP +==u u u r u u u ru u ur ，得P(0)， 显然点P 不在椭圆上，舍去；因此设直线l 的方程为(1)y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴2122834k x x k +=+， 则由()1212,(2)2OA OB x x k x x +=++-=u u u r u u u ru u ur得()12122)P x x x x ++- 將P 点坐示代入椭圆C 的方程，得22212123()4(2)6x x k x x +++-=(*)；将2122834k x x k +=+代入等式(*)得234k =∴2k =±因此所求直线AB的方程为1)2y x =±-. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆与直线的位置关系，,用设而不求的方法解决有关相交弦的问题，属于中档题.17.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，CD ，CE 为路灯灯杆，CD ⊥AB ，∠DCE =23π，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN =3π.已知CD =4m ，CE =2m .(1)当M ，D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ； (2)求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值.【答案】(1) 2m ；(2) . 【解析】 【分析】（1）用余弦定理求出,DE CDE Ð，进而求出EMN ∠，结合已知条件，求出sin ENM Ð，用正弦定理求出MN ；（2）由面积公式，余弦定理结合基本不等式，即可求出结果. 【详解】(1)当M ，D 重合时， 由余弦定理知，ME DE ==∴222cos 214CD DE CE CDE CD DE +-∠==⋅ ∵2CDE EMN π∠+∠=∴sin cos 14EMN CDE ∠=∠=， ∵0EMN ∠＞∴cos 14EMN ∠== ∵3MEN π∠=2sin sin 322sincos cos sin 337ENM EMN EMN EMN πππ⎛⎫∴∠=-∠ ⎪⎝⎭=∠-∠=∴在ΔEMN 中，由正弦定理可知，sin sin MN EMMEN ENM=∠∠解得MN =； (2)易知E 到地面的距离242sin 32h ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=5m 由三角形面积公式可知，115sin 223EMN S MN EM EN π∆=⋅⋅=⋅⋅EM EN =⋅，又由余弦定理可知，2222cos 3MN EM EN EM EN EM EN π=+-⋅≥⋅， 当且仅当EM =EN 时，等号成立，∴2MN MN ≥，解得MN ≥答:(1)m ； (2)照明宽度MV. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，涉及到正弦定理，余弦定理，面积公式，基本不等式，是一道综合题. 18.已知函数（）的图象为曲线．（Ⅰ）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（Ⅱ）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；（Ⅲ）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件所有直线方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)(3) 不存在一条直线与曲线C 同时切于两点【解析】【详解】试题分析：解：（Ⅰ），则，即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；（Ⅱ）由（1）可知，解得或，由或得：；（Ⅲ）设存在过点A的切线曲线C 同时切于两点，另一切点为B ，，则切线方程是：，化简得：，而过B的切线方程是，由于两切线是同一直线， 则有：，得，又由，即，即即， 得，但当时，由得，这与矛盾．所以不存在一条直线与曲线C 同时切于两点. 考点：本试题考查了导数几何意义的运用．点评：对于切线方程的求解主要抓住两点：第一是切点，第二就是切点出的切线的斜率．然后结合点斜式方程来得到．以及利用函数的思想求解斜率的范围，或者确定方程的解即为切线的条数问题．19.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-对一切*N n ∈都成立. (1)当1λ=时.①求数列{}n a 的通项公式；②若()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项的和n T ；(2)是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列.如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)①12n n a -=；②2nn T n =⋅；(2)存在，0.【解析】 【分析】(1) ①1λ=时，可得到()()11111n n n n S a S a ++++=+，即1111n n n nS a S a +++=+，然后用累乘法可得1112n n S a +++=，进而可得出数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -=，②用错位相减法算出即可(2)先由2132a a a =+算出0λ=，然后再证明即可 【详解】(1)①若1λ=，因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=- 则()()1111n n n n S a S a +++=+，111a S ==. 又∵0n a >，0n S >，∴1111n n n nS a S a +++=+，∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得1112n n S a +++=. ①∴当2n ≥时，12n n S a += ②②－①，得12n n a a +=，∴()122n na n a +=≥. ∵当1n =时，22a =，∴1n =时上式也成立，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -=.②因为()1n n b n a =+，∴()112n n b n -=+⋅所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L 所以123122232422(1)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L将两式相减得：.1212222(1)2n n n T n --=++++-+⨯L12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-所以2nn T n =⋅(2)令1n =，得21a λ=+.令2n =，得()231a λ=+. 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=. 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==. 当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=. 综上所述，()*1Nn a n =∈，所以0λ=时，数列{}n a 是等差数列.【点睛】1.常见数列求和方法：公式法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法 2.数列当中的一些推断求值问题，可先由特殊的算出来，然后再证明. 20.已知矩阵11a A b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a 、b R ∈，点()2,2P 在矩阵变换下得到的点()2,4Q . （1）求实数a 、b 的值； （2）求矩阵A 的逆矩阵．【答案】（1）21a b =⎧⎨=⎩；（2）111331233A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出122124a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出即可； （2）计算出矩阵A 的行列式的值，然后利用求二阶逆矩阵的方法可求出1A -.【详解】（1）因为122124a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以222224a b -=⎧⎨+=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩；（2）()21det 311A -==，11111333312123333A --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 【点睛】本题考查利用矩阵变换求参数，同时也考查了二阶逆矩阵的计算，考查计算能力，属于基础题.21.在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,ABC ∆的面积. 【解析】 【分析】 将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积.【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭坐标为19((22A B 线段AB的中点为5(2A，AB k =故线段AB中垂线的斜率为13AB k k -==，所以AB的中垂线方程为：5()232y x -=-化简得：100x +-=，所以极坐标方程为cos sin 100ρθθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB：y =的距离为d ==线段8AB =， 故ABC ∆的面积为182S =⨯=【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.22.已知函数()12,012,0m x x x f x x n x x ⎧⎛⎫+-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++< ⎪⎪⎝⎭⎩是奇函数. （1）求实数m ，n 的值； （2）若对任意实数x ，都有()()20xxf ef e λ+≥成立.求实数λ的取值范围.【答案】（1）22m n =⎧⎨=⎩，（2）1λ≥-.【解析】 【分析】（1）根据()f x 为奇函数，()()f x f x -=-，即可求解实数,m n 的值.（2）利用换元法，转化为二次函数的问题讨论最值恒成立即可求解实数λ的取值范围.【详解】（1）当0x >时，()()()12f x x n x ⎡⎤-=-++⎢⎥-⎣⎦，因为()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()()1122x f n m x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-++=-+-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣-⎦，即()()1220m x n x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭总成立. ∴2020m n -=⎧⎨-=⎩，∴22m n =⎧⎨=⎩，又当0x <时，同理可得22m n =⎧⎨=⎩，综上22m n =⎧⎨=⎩. （2）∵20x e >，0x e >，原不等式化为221122220xx xxe e e e λλ⎛⎫⎛⎫+-++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1xx t e e=+，则2t ≥，原不等式进一步化为230t t λλ+--≥在2t ≥上恒成立. 记()23g t t t λλ=+--，[)2,t ∈+∞. ①当22λ-≤时，即4λ≥-时，()()min 210g t g λ==+≥，∴1λ≥-合理； ②当22λ->时，即4<-λ时，()n2mi 3024g t g λλλ⎛⎫-=---≥ ⎪⎝⎭=，显然矛盾.综上实数λ的取值范围为：1λ≥-.【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性求参数值，一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题. 23.已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++， *n N ∈．记()021nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈， n T 都能被42n +整除． 【答案】(1)30；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由二项式定理，得21C ii n a +=，221035T a a a =++；（2）()()()()12221212121C C 21C C 221C n n n n nn n n n n n T n n n ----=+=++=+，进而可得到结论.解析：由二项式定理，得21C ii n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；（2）∵()()()()()()()()()()121221!212!1C 121C 1!!!!n kn kn n n n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-∴()()()12121002121C21C nnnn k n kn n kn n k k k T k ak k -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn kn kn kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()()122122122011221C21C 2212C 21221C 22nnn kn k n nn n nn n n k k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑．∴()()()()1221212121C 21C C 221C nn nnn n n n n T n n n ----=+=++=+．∵*21C n n N -∈∴n T 能被42n +整除．。

江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷一、填空题（共14题,每题5分,计70分.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上） 1．已知集合{}A |3|1x x =-≤，{}2B 540x x x =-+≥，则A B =I ▲ ．{}42.复数21z i =-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 ▲ ．1i - 3．设向量a r ＝(l ，k )，b r ＝(﹣2，k ﹣3)，若a r ∥b r，则实数k 的值为 ▲ ．14．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．10115．函数f(x) =)34log 21-x （的定义域为 ▲.(-3/4,1]6．已知命题p ：－1<x －a <1，命题q ：(x －4)(8－x )>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．[5，7]7．在正四棱锥S ﹣ABCD 中，点O 是底面中心，SO ＝2，侧棱SA ＝2，则该棱锥的体积为 ▲ ．32/38．若函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，则θ＝▲ ．56π 9．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为▲ ．1710．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PA PBPB PC⋅⋅uu u r uu u ruu u r uuu r = ▲ ． 12- 11.如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列125,,,a a a L 构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若3865,524==a a ，则d = ▲ ． 312．己知x ∈(0，3)，则28132x y x x-=+-的最小值为 ▲ ．7213.若函数f (x) = x 3-ax 2-+x , x >0存在零点，则实数a 的取值范围为▲.[2,+∞) 14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．(4,2)--二、解答题（共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱C 1C 的中点．（1）求证：AC 1∥平面PBD ； （2）求证：BD ⊥A 1P ．（1）证明：连结AC 交BD 于O 点，连结OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO OC =．又因为点P 是侧棱1C C 的中点，所以1CP PC =．在1ACC ∆中，11C PAO OC PC==, 所以1//AC OP ．………………4分又因为OP PBD ⊂面，1AC PBD ⊄面， 所以1//AC 平面PBD ．………………7分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，PD 1C 1B 1A 1D C BAOPD 1C 1B 1A 1D CBA又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又1AC CC C =I ，111,AC AC CC AC ⊂⊂面面,所以1BD AC ⊥面．………………10分 又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，因为111A ACC A ∈面， 所以11A P AC ⊂面，所以1BD A P ⊥．………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C 的值；（2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分解法2：因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin(3π4－2B )＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分 17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=＞＞的右焦点为()1,0F ，且过点3(1,)2．过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 在椭圆上，且满足()0OA OB tOP t +=u u u r u u u r u u u r＞．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若t =AB 的方程． .解：（1）由题意可知，1c =，且221914a b+=，又因为222a b c =+，解得2,a b ==，………2分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=………4分； （2）若直线AB 的斜率不存在，则易得33(1,),(1,)22A B -，(2,0)2OA OB OP ∴+==u u u r u u ur ，得P ，显然点P 不在椭圆上，舍去………5分； 因此设直线l 的方程为()1y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=………7分，因为21,22434k x k ±=+，所以2122834k x x k +=+………8分，则由()()1212,k 2OA OB x x x x +=++-=u u u r u u u r u ur ，得1212(2))P x x x x ++-………10分将P 点坐标代入椭圆C 的方程，得22212123()4(2)6x x k x x +++-=()*………11分（第17题）;将2122834k x x k +=+带入等式()*得234k =，2k ∴=±………12分， 因此所求直线AB的方程为)12y x =±-………14分 设直线l 的方程为1x my =+求解亦可18．（16分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，,CD CE 为路灯灯杆，CD AB ⊥，2π3DCE ∠=，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角π3MEN ∠=．已知4m,2m CD CE ==． （1）当,M D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ； （2）求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值． 解：（1）当,M D 重合时， 由余弦定理知，ME DE ==，所以222cos 2CD DE CE CDE CD DE +-∠==⋅……2分，因为π2CDE EMN ∠+∠=，所以sin cos EMN CDE ∠=∠=，因为cos 0EMN ∠＞，所以cos 14EMN ∠==，……4分 因为π3MEN ∠=，所以2πsin sin 3ENM EMN ⎛⎫∠=-∠⎪⎝⎭2π2πsincos cos sin 33EMN EMN =∠-∠=……6分 ∴在EMN ∆中，由正弦定理可知，sin sin MN EMMEN ENM=∠∠，解得MN =……8分； （2）易知E 到地面的距离2ππ42sin 5m 32h ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，……10分 由三角形面积公式可知，11π5sin 223EMN S MN EM EN =⋅⋅=⋅⋅△，MN EM EN =⋅,……12分（第18题）又由余弦定理可知，222π2cos 3MN EM EN EM EN EM EN =+-⋅⋅⋅≥，……13分当且仅当EM EN =时，等号成立，所以2MN MN，解得3MN ≥……14分； 答：（1）路灯在路面的照明宽度为m 2； （2）照明宽度MN的最小值为m 3.……16分 19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 3231)(23+-=（R x ∈）的图象为曲线C ． （1）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．【解】（1）34)(2+-='x x x f ，则2()(2)11k f x x '==--≥-， ----------4分（2）由（1）可知，⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥111kk ---------------------------------------------------------6分得：(][)+∞+-∞-∈,22)3,1(22,Y Y x ；-------------------------------9分（3）设存在过点A ),(11y x 的切线曲线C 同时切于两点，另一切点为B ),(22y x ，21x x ≠，过A ),(11y x 的切线方程是： )232()34(2131121x x x x x y +-++-=，-----------------11分同理：过B ),(22y x 的切线方程是)232()34(2232222x x x x x y +-++-=， 则有：3434222121+-=+-x x x x ，得421=+x x ，----------------------13分 又由22322131232232x x x x +-=+-， 即0))((2))((32212122212121=+-+++--x x x x x x x x x x 04)(31222121=+++-x x x x ，即012)(22211=-++x x x x 即0124)4(222=-+⨯-x x ，044222=+-x x得22=x ，由421=+x x 得21=x ，这与21x x ≠矛盾，所以不存在----------16分 20．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111λ+++-=-n n n n n n a S a S a a 对一切*n ∈N 都成立． （1）时；当1=λ，①求数列{}n a 的通项公式；②若,)1(n n a n b +=求数列{}n b 的前n 项的和;n T（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列.如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【详解】(1)①若1λ=，因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=- 则()()1111n n n n S a S a +++=+，111a S ==. 又∵0n a >，0n S >，∴1111n n n nS a S a +++=+，∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得1112n n S a +++=. ① ∴当2n ≥时，12n n S a +=. ② ②－①，得12n n a a +=，∴()122n na n a +=≥. ∵当1n =时，22a =，∴1n =时上式也成立，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -=.………………4分②因为()1n n b n a =+，∴()112n n b n -=+⋅所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L 所以123122232422(1)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L将两式相减得：1212222(1)2n n n T n --=++++-+⨯L12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-所以2nn T n =⋅………………8分(2)令1n =，得21a λ=+.令2n =，得()231a λ=+. 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=. 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==.………………10分 当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=. 综上所述，()*1Nn a n =∈，所以0λ=时，数列{}n a 是等差数列. ………………16分数学附加试卷（满分40分，考试时间30分钟） 21A ．（本小题满分10分） 己知矩阵，其中，点P(2，2)在矩阵的变换下得到的点Q(2，4)·（1)求实数a ，b 的值： （2）求矩阵A 的逆矩阵．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-422211b a ，所以⎩⎨⎧=+=-422222b a 所以⎩⎨⎧==12b a ．………………5分（2）31112)det(=-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-32313131323131311A ．………………10分 21B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π)，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积． 解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，………………5分令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 20323π⨯-⨯⨯=．………………10分22.(本小题満分10分)1()2,0,()12(),0m x x xf x x n x x ⎧+->⎪=⎨⎪++<⎩已知函数是奇函数.（1）求实数m ，n 的值：（2）若对任意实数x ，都有0)()(2≥+xxe f e f λ成立.求实数的取值范围.23．（本小题满分10分）已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n N ∈．记()021nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈，n T 都能被42n +整除．解：（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=．………………3分（2） ∵()()()()()()()()()()121221!212!1C121C 1!!!!n kn kn n n n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-∴()()()12121002121C21C nnnn k n kn n kn n k k k T k ak k -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn k n kn kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑(()11)()()()()()1221221220221C21C 2212C 21221C 22nnn kn k n nn n nn n nk k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑………………7分∴()()()()1221212121C 21C C 221C nn n n n n n n n T n n n ----=+=++=+． ∵*21C n n N -∈，∴n T 能被42n +整除．………………10分。

江苏省南通市2020届四校联盟高三数学文模拟测试卷一、填空题（共14题,每题5分,计70分.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上） 1．已知集合{}A |3|1x x =-≤，{}2B 540x x x =-+≥，则A B = ▲ ．{}42.复数21z i=-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 ▲ ．1i - 3．设向量a ＝(l ，k )，b ＝(﹣2，k ﹣3)，若a ∥b ，则实数k 的值为 ▲ ．1 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．10115．函数f(x) =)34log 21-x （的定义域为 ▲.(-3/4,1]6．已知命题p ：－1<x －a <1，命题q ：(x －4)(8－x )>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．[5，7]7．在正四棱锥S ﹣ABCD 中，点O 是底面中心，SO ＝2，侧棱SA ＝2，则该棱锥的体积为 ▲ ．32/3 8．若函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，则θ＝ ▲ ．56π9．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为▲ ．1710．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PA PBPB PC⋅⋅= ▲ ．12- 规则排成数表.11.如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的已知表中的第一列125,,,a a a 构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若3865,524==a a ，则d = ▲ ． 3 12．己知x ∈(0，3)，则28132x y x x-=+-的最小值为 ▲ ．7213.若函数f (x) = x 3-ax 2-+x , x >0存在零点，则实数a 的取值范围为▲.[2,+∞) 14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．(4,2)--二、解答题（共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱C 1C 的中点．（1）求证：AC 1∥平面PBD ； （2）求证：BD ⊥A 1P ．（1）证明：连结AC 交BD 于O 点，连结OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO OC =．又因为点P 是侧棱1C C 的中点，所以1CP PC =．在1ACC ∆中，11C PAO OC PC==, 所以1//AC OP ．………………4分又因为OP PBD ⊂面，1AC PBD ⊄面， 所以1//AC 平面PBD ．………………7分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又1AC CC C =，111,AC AC CC AC ⊂⊂面面,所以1BD AC ⊥面．………………10分 又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，因为111A ACC A ∈面， 所以11A P AC ⊂面，所以1BD A P ⊥．………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值；PD 1C 1B 1A 1D C BAOPD 1C 1B 1A 1D CBA（2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分 解法2：因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin(3π4－2B )＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分 17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=＞＞的右焦点为()1,0F ，且过点3(1,)2．过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 在椭圆上，且满足()0OA OB tOP t +=＞．（第17题）（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若t =AB 的方程． .解：（1）由题意可知，1c =，且221914a b+=，又因为222a b c =+，解得2,a b ==，………2分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=………4分； （2）若直线AB 的斜率不存在，则易得33(1,),(1,)22A B -，2(2,0)2OA OB OP∴+==，得P ，显然点P 不在椭圆上，舍去………5分；因此设直线l 的方程为()1y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=………7分，因为21,22434k x k ±=+，所以2122834k x x k +=+………8分，则由()()12122,k 22OA OB x xx x OP +=++-=， 得1212(2))P x x x x ++-………10分将P 点坐标代入椭圆C 的方程，得22212123()4(2)6x x k x x +++-=()*………11分;将2122834k x x k+=+带入等式()*得234k =，2k ∴=±………12分， 因此所求直线AB 的方程为)12y x =±-………14分 设直线l 的方程为1x my =+求解亦可18．（16分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，,CD CE 为路灯灯杆，CD AB ⊥，2π3DCE ∠=，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角π3MEN ∠=．已知4m,2m CD CE ==．（1）当,M D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ； （2）求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值． 解：（1）当,M D 重合时，由余弦定理知，ME DE ===，所以222cos 2CD DE CE CDE CD DE +-∠==⋅……2分，因为π2CDE EMN ∠+∠=，所以sin cos 14EMN CDE ∠=∠=，因为cos 0EMN ∠＞，所以cos 14EMN ∠==，……4分 因为π3MEN ∠=，所以2πsin sin 3ENM EMN ⎛⎫∠=-∠⎪⎝⎭2π2πsincos cos sin 337EMN EMN =∠-∠=……6分∴在EMN ∆中，由正弦定理可知，sin sin MN EMMEN ENM =∠∠，解得MN =……8分； （2）易知E 到地面的距离2ππ42sin 5m 32h ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，……10分 由三角形面积公式可知，11π5sin 223EMN S MN EM EN =⋅⋅=⋅⋅△，MN EM EN =⋅,……12分 又由余弦定理可知，222π2cos 3MN EM EN EM EN EM EN =+-⋅⋅⋅≥，……13分当且仅当EM EN =时，等号成立，所以2MN MN ，解得MN ……14分；答：（1；（2）照明宽度MN .……16分 19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 3231)(23+-=（R x ∈）的图象为曲线C ． （1）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围； （3）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．【解】（1）34)(2+-='x x x f ，则2()(2)11k f x x '==--≥-， ----------4分（2）由（1）可知，⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥111kk ---------------------------------------------------------6分得：(][)+∞+-∞-∈,22)3,1(22, x ；-------------------------------9分（3）设存在过点A ),(11y x 的切线曲线C 同时切于两点，另一切点为B ),(22y x ，21x x ≠，过A ),(11y x 的切线方程是： )232()34(2131121x x x x x y +-++-=，-----------------11分 同理：过B ),(22y x 的切线方程是)232()34(2232222x x x x x y +-++-=，则有：3434222121+-=+-x x x x ，得421=+x x ，----------------------13分 又由22322131232232x x x x +-=+-， 即0))((2))((32212122212121=+-+++--x x x x x x x x x x 04)(31222121=+++-x x x x ，即012)(22211=-++x x x x 即0124)4(222=-+⨯-x x ，044222=+-x x得22=x ，由421=+x x 得21=x ，这与21x x ≠矛盾，所以不存在----------16分 20．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111λ+++-=-n n n n n n a S a S a a 对一切*n ∈N 都成立．（1）时；当1=λ，①求数列{}n a 的通项公式；②若,)1(n n a n b +=求数列{}n b 的前n 项的和;n T（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列.如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【详解】(1)①若1λ=，因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=- 则()()1111n n n n S a S a +++=+，111a S ==. 又∵0n a >，0n S >，∴1111n n n nS a S a +++=+，∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，化简，得1112n n S a +++=. ① ∴当2n ≥时，12n n S a +=. ② ②－①，得12n n a a +=，∴()122n na n a +=≥. ∵当1n =时，22a =，∴1n =时上式也成立， ∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a .………………4分②因为()1n n b n a =+，∴()112n n b n -=+⋅所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ 所以123122232422(1)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯将两式相减得：1212222(1)2n n n T n --=++++-+⨯12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-所以2nn T n =⋅………………8分(2)令1n =，得21a λ=+.令2n =，得()231a λ=+. 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=. 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==.………………10分 当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=. 综上所述，()*1Nn a n =∈，所以0λ=时，数列{}n a 是等差数列. ………………16分。

2020年江苏省南通市高考数学四模试卷一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.己知集合封｛0』，2),B=(x|-l<x<l),则AC\B=・2.复数z=m的共轴复数是______.3.根据如图所示的伪代码，当输入〃的值为3时，最后输出的S的值为Road aI3^-0i iWhile M:—»S^S^a IIF:End While:PrtniS4.从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重(单.位：如)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从各组内的男生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从［60,70］这一组中抽取的人数为・5.设双曲线§_§=10：>0,方>0)的离心率是3,则其渐近线的方程为.6.现有某类病毒记作X m Y n,其中正整数〃】，n(m<7,n<9)可以任意选取，则〃7,〃都取到奇数的概率为.7.若圆锥底面半径为1，高为2,则圆锥的侧而积为.8.(1)曲线y=-5e x+3在点(0,-2)处的切线方程为(2)己知函数=若直线<过点(0,—1)，并且与曲线y=/(x)相切，则直线i的方程为9.如图，在△ABC中，AB=2,BC=3,Z.ABC=60°,AH1BC于点H,4若而=X扁+“无，则人+“=/(x+y-1>010.若实数x,)，满足约束条件|x-3y+3>0,WJz=2x-y的最大值为.11.己知函数/Xx)满足f(l+x)=/(-I+x),fi/(l-x)=f(l+g E R),当x6[0,1]H-f./(x)=2X-1.若曲线y=/'(幻与直线y=k(x-1)有五个交点，则实数k的取值范困是_______.12.等比数列｛%｝中，。

2=9,a s=243.则｛%｝的前4项和为.13.在平面直角坐标系xOy中，点为(4,0),点B(0,2),平面内点P满足R4-PB=1S,则PO的最大值是______.14.己知AylBC的角A.B.C对边分别为a,b,c,若a2=b z+c2-bc.且乙屉。

（第5题） 江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数 学 试 题2020.03(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则A B =U ▲ ．2．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．右图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ． 6．各棱长都为2的正四棱锥的体积为 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数.当0x ≥时，23()1x f x x -=+，则不等式(ln )f x <1的解集为 ▲ ．9．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，若137,,a a a 成等比数列，则8S = ▲ ．10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ ▲_ __.11．已知函数x m x f ln )(= 图像与函数x x g 2)(=图像在交点处切线方程相同，则m 的值为_________12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线l 2：2y kx =+上存在P 满足PA PC 1+=u u ur u u u r ，则实数k 的取值范围是 ．13．在平面直角在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221O x y +=：，圆22(4)4C x y -+=：，动点P在直线20x -=上的两点E F ，之间，过点P 分别作圆O C ，的切线，切点为A B ，，若满足2PB PA ≥，则线段EF 的长度为 ▲ ．14．若△ABC 中，AB，BC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．CADB（第15题）ABCB 1C 1A 1MN （第16题）16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1A C 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MA MC =．求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ； （2）//MN 平面ABC ．17．(本小题满分14分)已知点O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率，点I ，J 分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，IOJ △的边IJ ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点()2,0H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程．18．(本小题满分16分)某校有一块圆心O, 为半径为200 米, 圆心角为32π的扇形绿地OPQ , 半径OP ,OQ 的中点分别为N M ,,A 为弧PQ 上的一点, 设α=∠AOQ , 如图所示,拟准备两套方案对该绿地再利用..(1) 方案一：将四边形绿地OMAN 建成观赏鱼池, 其面积记为1S , 试将1S 表示为关于α 的函数关系式; 并求α 为何值时, 1S 取得最大？(2) 方案二：将弧AQ 和线段NQ AN ,围成区域建成活动场地, 其面积记为2S , 试将2S 表示为关于α 的函数关系式; 并求α 为何值时,2S 取得最大？19．(本小题满分16分)已知正项数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足22n nn S a a =+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）如果对任意正整数n ，不等式22n n n a a a ++->都成立，求证：实数c 的最大值为1．20．(本小题满分16分)已知函数()xax bf x e -=（其中,a b R ∈）． （1）当1a =时，若函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，求b 的取值范围；（2）当1b =，0a ≠时，①求函数()y f x =的极值；②设函数()y f x 图象上任意一点处的切线为l ，求l 在x 轴上的截距的取值范围．江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试附加题2020.03(总分160分，考试时间120分钟)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵111 3341 33-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ．求矩阵A 的特征值和相应的特征向量．B ．[选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心极坐标为(2,)4π，且圆C 经过极点，求圆C 的极坐标方程．C ．[选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，33311127abc a b c+++的最小值为m ．22．把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球．(1)求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；(2)设小球的编号与盒子编号相同的情况有X 种，求随机变量X 的分布列与期望．23．设0()(1)nk knk m P n m C m k==-+∑，，()n n m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，，的值；（2）对*m ∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1. {}|0x x > 2． 13+i 55 3. 512 4. 150 5.7 6. 37. 12 8. 441(,)e e9. 88 10．x 25＋y 24＝111. e12. k k ≤≥14.AB CB 1C 1A 1 MN二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分 所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ，因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C ． 又111AA AC A =I ，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故MN ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ． （2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1．在三棱柱111ABC A BC -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1． 又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12=AA 1．所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17. （1）由题意得IOJ △，所以IJ 设椭圆C 的半焦距为c，则2222c aa b c ===⎧⎪+⎪⎪⎩1a b ⎧==⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由题知，点1F 的坐标为()1,0-，显然直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为()()20y k x k =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ． 联立()22122x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y ，得()2222128820k x k x k ++-+=，所以()()()()222228412828120Δk k k k =+=-->-，所以2102k <<．()* 且2122812k x x k +=-+，21228212k x x k-=+． 因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=u u u u r u u u r，则()()1122110x y x y ---⋅---=,,，12121210x x x x y y ++++=，()()1212121220x x x x k x k x ⋅++++++=， 整理得()()()2221212121140k x x k x xk +++++=+．即()()()22222221828121401212k k k kk k k +-⎛⎫+⋅-+++= ⎪++⎝⎭． 化简得2410k -=，解得12k =±．因为12k =±都满足()*式，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+．即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=． 18. （1）由已知，AOQ α∠=,]3π2,0(∈α，1ONA OMA S S S =+△△； 故1112100200sin 100200sin()223S π=⨯⨯⨯α+⨯⨯⨯-α， ……3分整理得1)6S π=+α（平方米）， ……5分∴当3π=α时，1max ()S =（平方米）. ……7分 （2）由已知，2ONA AOQ S S S ∆=-扇形，∴211200200100200sin 22S =⨯⨯⨯α-⨯⨯⨯α，即2100002sin S =α-α（）； (10)分∴2()100002cos S 'α=-α（），故2()0S 'α>； ……11分∴2()S α在2π(0]3,上为增函数， ……12分∴当32π=α时，2max 4()100003S π=-（（平方米）. ……14分答：（1）当3π=α时，1max ()S =（平方米）； （2）2S 关于α的函数表达式2100002sin S =α-α（），2π(0]3,α∈当32π=α时，2max 4()100003S π=（（平方米）. ……16分19．解：⑴当1n =时，21112S a a =+，解得11a =，或10a =（舍）. ………………2分 由22n n n S a a =+得，21112n n n S a a +++=+，2211122()()n n n n n n S S a a a a +++-=+-+， 即221112()()n n n n n a a a a a +++=-+-，也就是2211()()0n n n n a a a a ++--+=，11()(1)0n n n n a a a a +++--=， ……………4分 由于数列{}n a 各项均为正数，所以110n n a a +--=，即11n n a a +-=.所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以数列{}n a 的通项公式为n a n =. ……………………………………6分 ⑵对任意正整数n ，1==>=，所以c 的最大值为max 1c ≥. …………………10分另一方面，任取实数1a >时.==-==. ……………………12分 ①当2a ≥时，对任意的正整数n< ……………14分②当12a <<时，只要(20a -<，即22(2)(2)a n a n -+<，也就是2(2)2(1)a n a ->-所以满足条件的1c ≤，从而max 1c ≤. 因此c 的最大值为 1. ………………16分20．（1）1a =时， ()x x b f x e -=的导函数1'()xx bf x e -++=，∴由题意知对任意()0,x ∈+∞有1'()0xx bf x e -++=≤，即10x b -++≤ ∴()min 1b x ≤-，即1b ≤-.（2）1b =时， 1()x ax f x e -=的导函数1'()xax af x e -++=，①(i)当0a >时，有'1(,),()0a x f x a +∈-∞>；'1(,),()0a x f x a +∈+∞<， ∴函数()y f x =在1(,)a x a +∈-∞单调递增，1(,)a x a+∈+∞单调递减， ∴函数()y f x =在1a x a+=取得极大值1a a a e +-⋅，没有极小值．(ii)当0a <时，有'1(,),()0a x f x a +∈-∞<；'1(,),()0a x f x a+∈+∞>，∴函数()y f x =在1(,)a x a +∈-∞单调递减，1(,)a x a+∈+∞单调递增， ∴函数()y f x =在1a x a+=取得极小值1a a a e +-⋅，没有极大值．综上可知: 当0a >时，函数()y f x =在1a x a +=取得极大值1a a a e +-⋅，没有极小值；当0a <时，函数()y f x =在1a x a+=取得极小值1a a a e +-⋅，没有极大值．②设切点为1(,)t at T t e -，则曲线在点T 处的切线l 方程为11()t tat at ay x t e e --++-=-， 当1a t a+=时，切线l 的方程为11a a t at y a e e +--==⋅，其在x 轴上的截距不存在． 当1a t a+≠时， ∴令0y =，得切线l 在x 轴上的截距为1(1)111111111111211at at a a a x t t t t at a at a at a t a t a a t a---+=+=+=++=++--------=--+++--∴当110t a -->时，11111122411x t a a a a t a =--+++≥+=+--，当110t a --<时，1111112211x t a a a a t a =--+++≤-+=--，∴当切线l 在x 轴上的截距范围是11,4,a a⎛⎤⎡⎫-∞++∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学附加题参考答案与评分标准21A 解：由111334133-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，得1141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， …………………………5分由特征多项式1141λλ----＝2(1)40λ--=，得1231 λλ==-，， 所以特征值13λ=对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α1，特征值21λ=-对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α2． ………………………10分21B ．解：方法一设圆C 上任意一点的极坐标(,)P ρθ，过OC 的直径的另一端点为B ，连接,PO PB ． 则在直角三角形OPB 中，,24OPB POB ππθ∠=∠=-．所以4cos()4πρθ=-，即为圆C 的极坐标方程．……………………………………10分方法二(2,)4C π的直角坐标为)，半径2r =，所以圆C的直角坐标方程为22((4x y +=，…………………………5分即220x y +--=，故圆C 的极坐标方程为24cos()04πρρθ--=，即4cos()4πρθ=-． ……………………………………………………………10分21C 解关于x 的不等式12x x m +-<．因为a ，b ，0c >， 所以3331112727abc abc a b c +++≥327abc abc=+18=≥，当且仅当a b c ====”，所以18m =．…………………………………………………………………………6分 所以不等式12x x m +-<即1218x x +<+，所以2181218x x x --<+<+，解得193x >-， 所以原不等式的解集为19(,)3-+∞．………………………………………………10分 22．（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件A ，将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有55A 即120种不同的放法，事件A 共有24220C ⨯=种放法，201()1206P A ∴== 答：恰有2个盒子与小球编号相同的概率为16…………………… 4分 （2）随机变量X 的可能值为0,1,2,3,515(2333)4411(0)12012030C P X+++====15(333)453(1)1201208C P X++====252201(2)1201206C P X⨯====35101(3)12012012C P X====1(5)P X==()012351308612120E x ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …………………… 10分 23．（1）当1m =时，1100111(1)(1)(1)111nn kkk k nn k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑，，………………………………2分又11(1)1n Q n C n +==+，，显然(1)(1)1P n Q n ⋅=，，. ………………………………………………4分（2）0()(1)n k k n k m P n m C m k ==-+∑，111111(1)()(1)n k k k nn n k m m C C m k m k ----==+-++-++∑ 1111111(1)(1)n nkk k k n n k k m m CC m k m k----===+-+-++∑∑ 111(1,)(1)nk k n k mP n m C m k--==-+-+∑0(1,)(1)n k knk m m P n m C n m k==-+-+∑(1,)(,)mP n m P n m n=-+即()(1)nP n m P n m m n=-+，，，………………………………………………………8分由累乘，易求得!!1()(0)()!n n mn m P n m P m n m C +==+，，，又()nn m Q n m C +=，，所以()()1P nm Q n m ⋅=，，．…………………………………10分。

2020年江苏省南通市四校联盟高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题（共14题，每题5分，计70分.不写解答过程，把答案写在答题纸指定位置上） 1．（5分）已知集合{||3|1}A x x =-„，2{|540}B x x x =-+…，则A B =I ． 2．（5分）复数21z i=-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 ． 3．（5分）设向量(1,)a k =r，(2,3)b k =--r ，若//a b r r ，则实数k 的值为 ．4．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．5．（5分）函数12()(43)f x log x =-的定义域为 ．6．（5分）已知命题:11p x a -<-<，命题:(4)(8)0q x x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．7．（5分）在正四棱锥S ABCD -中，点O 是底面中心，2SO =，侧棱23SA =，则该棱锥的体积为 ．8．（5分）若函数()cos(2)(0)f x x θθπ=+<<的图象关于直线12x π=对称，则θ= ．9．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 倾斜角分别为α，β，则cos()cos()αβαβ-=+ ． 10．（5分）在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PA PBPB PC =u u u r u u u rg u u u r u u u r g ． 11．（5分）如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列1a ，2a ，5a ，⋯构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若35a =，86524a =，则d = ．12．（5分）已知(0,3)x ∈，则28132x y x x-=+-的最小值为 13．（5分）若函数3()|2|f x x ax x =-+-，0x >存在零点，则实数a 的取值范围为 ． 14．（5分）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．二、解答题（共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（14分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱1C C 的中点．（1）求证：1//AC 平面PBD ； （2）求证：1BD A P ⊥．16．（14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4cos 5B =． （1）若2c a =，求sin sin BC的值； （2）若4C B π-=，求sin A 的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且过点3(1,)2．过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，且满足(0)OA OB tOP t +=>u u u r u u u r u u u r． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若2t =AB 的方程．18．（16分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，CD ，CE 为路灯灯杆，CD AB ⊥，23DCE π∠=，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角3MEN π∠=．已知4CD m =，2CE m =．（1）当M ，D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ； （2）求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值．19．（16分）已知函数321()23()3f x x x x x R =-+∈的图象为曲线C ．（1）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．20．（16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-，对一切*n N ∈都成立．（1）当1λ=时；①求数列{}n a 的通项公式；②若(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项的和n T ；（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．21．（10分）已知矩阵11a A b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a ，b R ∈，点(2,2)P 在矩阵A 的变换下得到的点(2,4)Q ．（1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵A 的逆矩阵．22．（10分）在极坐标系中，已知(1,)3A π，(9,)3B π，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．23．（10分）已知函数1()2,0()12(),0m x x xf x x n x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩是奇函数．（1）求实数m ，n 的值；（2）若对任意实数x ，都有2()()0x x f e f e λ+…成立．求实数λ的取值范围． 24．（10分）已知2122101221(1)n n n x a a x a x a x++++=+++⋯+，*n N ∈．记0(21)nn n k i T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈，n T 都能被42n +整除．2020年江苏省南通市四校联盟高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，每题5分，计70分.不写解答过程，把答案写在答题纸指定位置上） 1．（5分）已知集合{||3|1}A x x =-„，2{|540}B x x x =-+…，则A B =I {4} ． 【解答】解：根据题意，对于集合A ，|3|124x x -⇔剟?，则{|24}A x x =剟， 对于集合B ，由25401x x x -+⇔厔或4x …，则{|1B x x =„或4}x …， 则{4}A B =I ， 故答案为{4}．2．（5分）复数21z i =-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 1i - ． 【解答】解：22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，则复数z 的共轭复数为：1i -． 故答案为：1i -．3．（5分）设向量(1,)a k =r ，(2,3)b k =--r ，若//a b r r ，则实数k 的值为 1 ． 【解答】解：Q 向量(1,)a k =r，(2,3)b k =--r ，//a b r r ，23k k ∴-=-，解得1k =，∴实数k 的值为1．故答案为：1．4．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为1011．【解答】解：模拟执行伪代码，可得：111111111100(1)()()11223101122310111111S =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯．故答案为：1011． 5．（5分）函数()f x =的定义域为 3(4，1] ．【解答】解：要使函数有意义，则需12430(43)0x log x ->⎧⎪⎨-⎪⎩…即34431x x ⎧>⎪⎨⎪-⎩„， 即有341x x ⎧>⎪⎨⎪⎩„，解得，314x <„．则定义域为3(4，1]．故答案为：3(4，1]．6．（5分）已知命题:11p x a -<-<，命题:(4)(8)0q x x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 [5，7] ．【解答】解：命题:11p x a -<-<，则11a x a -<<+， 命题:(4)(8)0q x x -->，解得48x <<，若p 是q 的充分不必要条件，则有1418a a -⎧⎨+⎩…„，解得57a 剟，故答案为：[5，7]．7．（5分）在正四棱锥S ABCD -中，点O 是底面中心，2SO =，侧棱SA =的体积为323． 【解答】解：Q 在正四棱锥S ABCD -中，侧棱SA =2SO =，∴底面中心到顶点的距离AO =因此，底面正方形的边长4AB ==，底面积216S AB == 该棱锥的体积为1132162333ABCD V S SO ==⨯⨯=g ．故答案为：323． 8．（5分）若函数()cos(2)(0)f x x θθπ=+<<的图象关于直线12x π=对称，则θ=56π．【解答】解：Q 函数()cos(2)(0)f x x θθπ=+<<的图象关于直线12x π=对称，212k πϕπ∴+=g ，k Z ∈，56πϕ∴=，函数5()cos(2)6f x x π=+， 故答案为：56π． 9．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 倾斜角分别为α，β，则cos()cos()αβαβ-=+ 17 ． 【解答】解：由题意，(,0)A a -，(,0)B a ，设(,)P x y ，则tan y x a α=+，tan y x aβ=-， 222tan tan y y y x a x a x a αβ∴==+--g Q 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，∴22214a b a -= 2243a b ∴=，∴2222143x y b b +=， ∴22234x y b =-，22234y x a =--， 3tan tan 4αβ=-，∴31cos cos sin 1tan tan 143cos cos sin sin 1tan tan 714din αβαβαβαβαβαβ-++===--+． 故答案为：1710．（5分）在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PA PB PB PC=u u u r u u u rg u u u r u u u r g 12- ．【解答】解：由PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r 可得PA PB PC PB PA ++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 则2CP PA =u u u r u u u r ．||||cos PA PB PA PB APB =∠u u u r u u u r u u u r u u u r g ，||||cos()2||||cos PB PC PC PB APB PA PB APB π=-∠=-∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg则12PA PB PB PC=-u u u r u u u r g u u ur u u u r g ．故答案为：12-．11．（5分）如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列1a ，2a ，5a ，⋯构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若35a =，86524a =，则d = 3 ．【解答】解：根据题意，第一行有1项，从第二行开始每一行比上一行多两项， 则第n 行有21n -项，则前9行有135791113151781++++++++=个数，故第10行第一个数为82a ， 又由35a =，86524a =，则25a d =-，825244a d =-， 则有8(5)2(5244)d d -⨯=-， 解可得：3d =； 故答案为：312．（5分）已知(0,3)x ∈，则28132x y x x -=+-的最小值为 72【解答】解：已知(0,3)x ∈， 2281411411722()(622)2(21)32622662262x y x x x x x x x x -=+=++=++-+++=---…，当且仅当1x =时，取等号， 故最小值为：72， 故答案为：7213．（5分）若函数3()|2|f x x ax x =-+-，0x >存在零点，则实数a 的取值范围为 [2，)+∞ ． 【解答】解：Q 函数3()|2|f x x ax x =-+-，0x >存在零点，∴当02x <<时，3()2f x x ax x =--+，令()0f x =，则221a x x=+-， 再令22()1g x x x=+-， 3222222(1)2(1)(1)()2x x x x g x x x x x --++'=-==Q ， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，∴当1x =时，22()1g x x x=+-取到极小值g （1）2=（也是最小值）， 2a ∴…；①∴当2x …时，3()2f x x ax x =-+-，令()0f x =，则221a x x=-+， 221y x x=-+在区间[2，)+∞上单调递增， 4min y ∴=，4a ∴…；②综合①②知，2a …； 故答案为：[2，)+∞．14．（5分）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 (4,2)-- ．【解答】解：对于①()22x g x =-Q ，当1x <时，()0g x <， 又Q ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x …时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m ∴-<<即①成立的范围为40m -<<又Q ②(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x <∴此时()220x g x =-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x ，2x 中的较小的根大即可，()i 当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， ()ii 当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，()iii 当41m -<<-时，较小的根为2m ，24m <-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-． 故答案为：(4,2)--．二、解答题（共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（14分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱1C C 的中点．（1）求证：1//AC 平面PBD ； （2）求证：1BD A P ⊥．【解答】证明：（1）连结AC 交BD 于O 点，连结OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以O 点是AC 的中点，所以AO OC =． 又因为点P 是侧棱1C C 的中点，所以1CP PC =， 在1ACC ∆中，11C PAO OC PC==， 所以1//AC OP ，又因为OP ⊂面PBD ，1AC ⊂/面PBD ， 所以1//AC 平面PBD ． （2）连结11A C ．因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ， 所以1CC BD ⊥， 因为底面ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥，又1AC CC C =I ，AC ⊂面1AC ，1CC ⊂面1AC ， 所以BD ⊥面1AC ，又因为1P CC ∈，1CC ⊂面11ACC A ， 所以P ∈面11ACC A ， 因为1A ∈面11ACC A ， 所以1A P ⊂面1AC ， 所以1BD A P ⊥．16．（14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4cos 5B =． （1）若2c a =，求sin sin BC的值； （2）若4C B π-=，求sin A 的值．【解答】（本小题满分14分） 解：（1）在ABC ∆中，因为4cos 5B =， 所以222425a c b ac +-=．因为2c a =，所以222()42522cc b c c +-=⨯，即22920b c =， 所以35b c =， 由正弦定理得sin sin B bC c=，所以：sin 35sin B C =（2）因为4cos 5B =，所以27cos22cos 125B B =-=．又0B π<<，所以23sin 15B cos B -，所以3424sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=．因为4C B π-=，即4C B π=+，所以3()24A B C B ππ=-+=-， 所以33327224312sin sin(2)sin cos2cos sin 2()4442525A B B B πππ=-=-=-⨯ 17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且过点3(1,)2．过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，且满足(0)OA OB tOP t +=>u u u r u u u r u u u r ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若2t =，求直线AB 的方程．【解答】解：（1）由题意可知，1c =，且221914a b+=，又因为222a b c =+， 解得2,3a b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）若直线AB 的斜率不存在，则易得33(1,),(1,)22A B -，∴2(2,0)OA OB +==u u u r u u r ，得(22,0)P ，显然点P 不在椭圆上，舍去；因此设直线l 的方程为(1)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，因为221,2461k k x ±+=2122834k x x k +=+，则由12122(,(2))2OA OB x x k x x +=++-=u u u r u u u r u u ur ，得1212(2(2(2))P x x k x x ++-将P 点坐标代入椭圆C 的方程，得22212123()4(2)6(*)x x k x x +++-=；将2122834k x x k+=+代入等式(*)得422222264834(2)6(34)34k k k k k ⨯+⨯-=++； 化简得：4169k =，即：234k =， ∴3k =±， 故所求直线AB 的方程为3(1)y x =±- 18．（16分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，CD ，CE 为路灯灯杆，CD AB ⊥，23DCE π∠=，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角3MEN π∠=．已知4CD m =，2CE m =．（1）当M ，D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ； （2）求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值．【解答】解：（1）当M ，D 重合时，由余弦定理知，222cos 27ME DE CD CE CD CE DCE ==+-∠=gg ， 所以22257cos 2CD DE CE CDE CD DE +-∠==g 因为2CDE EMN π∠+∠=，所以57sin cos EMN CDE ∠=∠= 因为cos 0EMN ∠>，所以221cos 1sin EMN EMN ∠=-∠=， 因为3MEN π∠=，所以22227sin sin()sin cos cos sin 333ENM EMN EMN EMN πππ∠=-∠=∠-∠=． ∴在EMN ∆中，由正弦定理可知，sin sin MN EMMEN ENM=∠∠，解得73MN =；（2）易知E到地面的距离242sin()532h mππ=+-=，由三角形面积公式可知，115sin223 EMNS MN EM ENπ∆==g g g g，EM EN=g，又由余弦定理可知，2222cos3MN EM EN EM EN EM ENπ=+-g g g…，当且仅当EM EN=时，等号成立，所以2MN，解得MN；答：（1；（2）照明宽度MN．19．（16分）已知函数321()23()3f x x x x x R=-+∈的图象为曲线C．（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）2()43f x x x'=-+，则2()(2)11f x x'=---…，即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[1-，)+∞；------------（4分）（2）由（1）可知，111kk-⎧⎪---------------------------------------------------------⎨--⎪⎩……（6分）解得10k-<„或1k…，由21430x x--+<„或2431x x-+…得：(x∈-∞，2(1,3)[2U U，)+∞；-------------------------------（9分）（3）设存在过点1(A x，1)y的切线曲线C同时切于两点，另一切点为2(B x，2)y，12x x≠，则切线方程是：3221111111(23)(43)()3y x x x x x x x--+=-+-，化简得：23211112(43)(2)3y x x x x x =-++-+，--------------------------（11分） 而过2(B x ，2)y 的切线方程是23221222(43)(2)3y x x x x x =-++-+，(--------------------------，由于两切线是同一直线，则有：2211214343x x x x -+=-+，得124x x +=，----------------------（13分）又由32321122222233x x x x -+=-+， 即2212112212122()()2()()03x x x x x x x x x x --+++-+=2211221()403x x x x -+++=，即21122()120x x x x ++-= 即222(4)4120x x -⨯+-=，222440x x -+= 得22x =，但当22x =时，由124x x +=得12x =，这与12x x ≠矛盾． 所以不存在一条直线与曲线C 同时切于两点．----------------------------------（16分）20．（16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-，对一切*n N ∈都成立．（1）当1λ=时；①求数列{}n a 的通项公式；②若(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项的和n T ；（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）①当1λ=时，111n n n n n n a S a S a a +++-=-， 则111n n n n n n a S a a S a ++++=+， 即11(1)(1)n n n n S a S a +++=+．Q 数列{}n a 的各项均为正数，∴1111n n n n a S a S +++=+． ∴3131221212111111n n n n a a S S a S a a a S S S +++++⋯=⋯+++g g ， 化简，得1112n n S a +++=，①∴当2n …时，12n n S a +=，②②-①，得12n n a a +=，Q 当1n =时，22a =，1n ∴=时上式也成立，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即12n n a -=．②由①知，1(1)(1)2n n n b n a n -=+=+g ．11122132(1)2n n n T b b b n -=++⋯+=++⋯++g g g ， 21222322(1)2n n n T n n -=++⋯+++g g g g ，两式相减，可得212222(1)2n n n T n --=+++⋯+-+g222(1)212n n n -=+-+-g2n n =-g ．2n n T n ∴=g ．（2）由题意，令1n =，得21a λ=+；令2n =，得23(1)a λ=+． 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=． 当0λ=时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．当2n …时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-， 整理，得2111nn n n n S S S S S +-++=+，即1111n n n nS S S S +-+=+， 从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋯=⋯+++g g ， 化简，得11n n S S ++=，即11n a +=．综上所述，可得1n a =，*n N ∈．0λ∴=时，数列{}n a 是等差数列．21．（10分）已知矩阵11a A b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a ，b R ∈，点(2,2)P 在矩阵A 的变换下得到的点(2,4)Q ．（1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵A 的逆矩阵．【解答】解：（1）因为122[][][]124a b -=，所以222224a b -=⎧⎨+=⎩所以21a b =⎧⎨=⎩；（2）21()||3011det A -==≠， 所以111113333[][]12123333A ---==--． 22．（10分）在极坐标系中，已知(1,)3A π，(9,)3B π，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【解答】解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，（6分）令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 23π⨯-⨯⨯=．（10分）23．（10分）已知函数1()2,0()12(),0m x x xf x x n x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩是奇函数．（1）求实数m ，n 的值；（2）若对任意实数x ，都有2()()0x x f e f e λ+…成立．求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）函数1()2,0()12(),0m x x xf x x n x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩是奇函数．当0x >时，那么0x -<，则1()2()f x x n x-=--+，()f x 是奇函数，()()f x f x -=-，112()()2x n m x x x ∴--+=+-恒等，即1(2)()(2)0m x n x-++-=，∴2020m n -=⎧⎨-=⎩可得2m n ==；（2）由20x e >，0x e >，2()()0x x f e f e λ∴+…成立转化为22112()2()20x xx xe e e e λλ+-+-… 令1x xt e e =+，则2t …， 230t t λλ∴+--…在2t …上恒成立，记2()3g t t t λλ=+--在2t …上恒成立，当22λ-„时，即4λ-…时，()min g t g =（2）10λ=+…，解得1λ-…， 可得1λ-…． 当22λ-<时，即4λ<-时，2()()3024min g t g λλλ=-=---…， 显然与4λ<-矛盾综上，可得实数λ的取值范围[1-，)+∞． 24．（10分）已知2122101221(1)n n n x a a x a x a x++++=+++⋯+，*n N ∈．记0(21)nn n k i T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈，n T 都能被42n +整除．【解答】解：由二项式定理，得21(0ii n a C i +==，1，2，⋯，21)n +；（1）2102210555353530T a a a C C C =++=++=；⋯⋯（2分）（2）因为121(21)!(1)(1)(1)!()!n kn n n k C n k n k n k ++++++=++++-g(21)(2)!()!()!n n n k n k +=+-g g2(21)n k n n C +=+，⋯⋯（4分） 所以0(21)nn n k k T k a -==+∑210(21)nn k n k k C -+==+∑ 1210(21)nn k n k k C +++==+∑ (Tex translation failed)112121002(1)(21)nnn kn kn n k k n k Cn C ++++++===++-+∑∑122102(21)(21)nnn kn knn k k n Cn C ++++===+-+∑∑2212112(21)(2)(21)222n nn nn C n +=++-+g g g g 2(21)nn n C =+；⋯⋯（8分） 12212121(21)(21)()2(21)n n n n n n n n n T n C n C C n C ----=+=++=+；因为*21n n C N -∈，所以n T 能被42n +整除；⋯⋯（10分） 注意：只要得出2(21)n n n T n C =+，就给（8分），不必要看过程．。