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2020年高考数学押题试卷（6月份）一、填空题（共14小题）.1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，集合N＝{x|x2+x﹣2＝0}，则集合M∩N＝．2．已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，100）中的频数为24，则n的值为．4．执行如图所示的算法流程图，则输出的b的值为．5．已知A、B、C三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么A排在C后一天值班的概率为．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点（﹣，6），且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则该双曲线标准方程为．8．已知sinα+cosα＝，则sin2α+cos4α的值为．9．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a3﹣a5＝1，S10＝100，则S20的值为．10．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够；每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：，，，按此规律，＝（n＝5，7，9，11，…）．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点P是圆C外的一个动点，直线PA，PB分别切圆C于A，B两点．若直线AB过定点（1，1），则线段PO长的最小值为．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为．13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AD，DC的中点，AF与BE 交于点O．若，则∠DAB的余弦值为．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝1，则的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积S．16．如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2AA1，AC⊥BC，D、E分别为A1C1、AB的中点．求证：（1）AD⊥平面BCD；（2）A1E∥平面BCD．17．如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处，此时PC＝2．求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．A，B是椭圆上两点，且直线OA与OB的斜率之积为．（1）求椭圆C的方程；（2）求直线AB的斜率；（3）设直线AB交圆O：x2+y2＝a2于C，D两点，且，求△COD的面积．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝（a n+λ）（λ为常数）对于任意的n∈N*恒成立．（1）当a1＝1时，求λ的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列；（3）若a2＝2，关于m的不等式|S m﹣2m|＜m+1有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝（a∈R，且a为常数）．（1）若函数y＝f（x）的图象在x＝e处的切线的斜率为（e为自然对数的底数），求a的值；（2）若函数y＝f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；（3）已知x，y∈（1，2），且x+y＝3．求证：+≤0．附加题【选做题】本题包括，B，C三小题，每小题10分.请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]21．曲线x2+y2＝1在矩阵A＝（a＞0，b＞0）对应的变换下得到曲线＝1．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A的特征向量．B.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）＝2，直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的值．C．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数，满足a+b+c＝3，求的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量X表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求X的概率分布和数学期望E （X）．25．已知n≥2，n∈N*，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n}中，且任意两项不相等，又对于任意的整数i，j（1≤i＜j≤n），均有i+a i≤j+a j．记所有满足条件的数列T的个数为b n．例如n＝2时，满足条件的数列T为1，2或2，1，所以b2＝2．（1）求b3；（2）求b n．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，集合N＝{x|x2+x﹣2＝0}，则集合M∩N＝{1}．【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{﹣2，1}，∴M∩N＝{1}．故答案为：{1}．2．已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为1﹣i．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝，∴．故答案为：1﹣i．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，100）中的频数为24，则n的值为60．【分析】由频率分布直方图求出[50，100）中的频率，再由在[50，100）中的频数，能求出n．解：由频率分布直方图得：[50，100）中的频率为：（0.004+0.012）×25＝0.4，因为在[50，100）中的频数为24，所以n＝＝60，故答案为：60．4．执行如图所示的算法流程图，则输出的b的值为8．【分析】按照程序框图一步一步代入求值，直到跳出循环，输出结果．解：a＝1，b＝1；b＝2，a＝2；b＝4，a＝3，b＝8，a＝4；跳出循环，输出b＝8，故答案为：8．5．已知A、B、C三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么A排在C后一天值班的概率为．【分析】利用排列组合数公式易求三人值班有A种，A排在C后一天值班的情况有C A 种，相比即可．解：因为A、B、C三人在三天节日中值班有A＝6种，其中A排在C后一天值班的情况有C A＝2种，所以A排在C后一天值班的概率P＝＝，故答案是．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为4+4．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝2，S0＝2，E为BC中点，在Rt△SOE中，OE＝AB＝1，则侧高SE＝＝，故棱锥的表面积S＝2×2+4×（×2×）＝4+4．故答案为：4+4．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点（﹣，6），且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则该双曲线标准方程为﹣x2＝1．【分析】根据题意，设要求双曲线的方程为x2﹣＝t，（t≠0），将点坐标代入计算可得t的值，将t的值代入计算双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案．解：根据题意，要求双曲线的两条渐近线方程是y＝±3x，设其方程为x2﹣＝t，（t ≠0），又由双曲线经过点（﹣，6），则有（﹣）2﹣＝3﹣4＝t＝﹣1，则要求双曲线的方程为﹣x2＝1；故答案为：﹣x2＝1．8．已知sinα+cosα＝，则sin2α+cos4α的值为．【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式可求sin2α的值，进而根据二倍角的余弦函数公式可求cos4α的值，即可得解．解：∵sinα+cosα＝，∴两边平方，可得1+sin2α＝，sin2α＝﹣，∴cos4α＝1﹣2sin22α＝1﹣2×（﹣）2＝，∴sin2α+cos4α＝﹣+＝．故答案为：．9．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a3﹣a5＝1，S10＝100，则S20的值为400．【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列方程组，解得a1＝1，d＝2，由此能求出S20．解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，2a3﹣a5＝1，S10＝100，∴，解得a1＝1，d＝2，∴S20＝20×1+＝400．故答案为：400．10．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够；每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：，，，按此规律，＝+（n＝5，7，9，11，…）．【分析】由已知中＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+，类比可推导出＝+．解：假定有两个面包，要平均分给n（n＝5，7，9，11，…）个人，每人不够，每人分则余，再将这分成n份，每人得，这样每人分得+．故＝+；故答案为：+11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点P是圆C外的一个动点，直线PA，PB分别切圆C于A，B两点．若直线AB过定点（1，1），则线段PO长的最小值为．【分析】设P（x0，y0），求出以AB为直径的圆的方程，与圆C联立，可得AB所在直线方程，代入（1，1），得P点轨迹，再由点到直线的距离公式求得线段PO长的最小值．解：设P（x0，y0），则PC的中点坐标为（），又|PC|＝，∴以PC为直径的圆的方程为，即x2+y2﹣（x0+2）x﹣y0y+2x0＝0，①又圆C：x2+y2﹣4x＝0，②①﹣②得：（x0﹣2）x+y0y﹣2x0＝0．∵直线AB过（1，1），∴x0﹣y0+2＝0．即点P的轨迹为x﹣y+2＝0．∴线段PO长的最小值为O到直线x﹣y+2＝0的距离等于．故答案为：．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为2．【分析】直接利用关系式的变换和不等式的性质的应用求出结果．解：已知正实数x，y满足，整理得：，所以＝，所以（当且仅当y＝2x等号成立）故的最小值为2．故答案为：213．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AD，DC的中点，AF与BE 交于点O．若，则∠DAB的余弦值为．【分析】用表示出，根据条件列方程计算cos∠DAB．解：＝+，设＝λ＝+λ＝+2λ，∵B，O，E三点共线，∴+2λ＝1，即λ＝．∴＝＝+，＝+，∴＝＝﹣，∴5•＝（+）•（4﹣2）＝﹣2+．若，则﹣2＝，又AB＝2AD，＝AB•AD•cos∠DAB，∴6（4AD2﹣AD2）＝51（2AD•AD•cos∠DAB），解得cos∠DAB＝＝．故答案为：．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝1，则的最大值为．【分析】由已知化切为弦可得3sin C＝sin B（sin A﹣cos A），结合正弦定理可得3c＝b（sin A ﹣cos A），得到，再由辅助角公式化积，利用正弦函数的有界性求得最大值．解：由＝1，得，∴4cos A sin B+3cos B sin A＝sin A sin B，∴3sin（A+B）+cos A sin B＝sin A sin B，即3sin C＝sin B（sin A﹣cos A），结合正弦定理可得3c＝b（sin A﹣cos A），∴．∵0＜A＜π，∴＜＜，则当A﹣时，取得最大值为．即的最大值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积S．【分析】（1）由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0法一：根据正弦定理可得，sin B cos A﹣2sin B cos C+sin A cos B﹣2sin C cos B法二：根据余弦定理可得，b×＝0化简可得，然后根据正弦定理可求（2）由（1）c＝2a可求c，由||可求b，结合余弦定理可求cos A，利用同角平方关系可求sin A，代入三角形的面积公式S＝可求解：（1）法一：由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0根据正弦定理可得，sin B cos A﹣2sin B cos C+sin A cos B﹣2sin C cos B＝0∴（sin B cos A﹣sin A cos B）﹣2（sin B cos C+sin C cos B）＝0∴sin（A+B）﹣2sin（B+C）＝0∵A+B+C＝π∴sin C﹣2sin A＝0∴（法二）：由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0根据余弦定理可得，b×＝0整理可得，c﹣2a＝0∴＝2（2）∵由（1）可知c＝2a＝4∴b＝3∴cos A＝＝，sin A＝＝∴△ABC的面积S＝＝＝16．如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2AA1，AC⊥BC，D、E分别为A1C1、AB的中点．求证：（1）AD⊥平面BCD；（2）A1E∥平面BCD．【分析】（1）只需证明BC⊥AD，DC⊥AD，证明即可AD⊥平面BCD（2）取BC中点O，连结DO、OE可得四边形A1DOE为平行四边形，即A1E∥OD，A1E∥平面BCD．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面AA1C1C，∴BC⊥平面AA1C1C，而AD⊂平面AA1C1C∴BC⊥AD…①又该直三棱柱中AA1⊥A1C1，CC1⊥A1C1，由已知AA1＝AC＝A1D，则∠A1DA＝，同理∠C1DC＝，则∠ADC＝，即CD⊥AD，由①BC⊥AD，BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD；（2）取BC中点O，连结DO、OE，∵AE＝EB，CO＝BO∴OE平行等于AC，而A1D平行等于AC，∴A1D平行等于OE∴四边形A1DOE为平行四边形，∴A1E∥OD，而A1E⊄平面BCD，OD⊂平面BCD，∴A1E∥平面BCD．17．如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处，此时PC＝2．求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【分析】（1）在△PBC中，根据余弦定理计算PB；（2）设行进时间为t，得出两人距离关于t的函数，解不等式得出t的范围即可得出结论．解：（1）AC＝＝5，cos C＝＝，在△PBC中，由余弦定理可得：PB2＝PC2+BC2﹣2PC•BC•cos C＝4+16﹣2•2•4•＝，∴PB＝千米．（2）设两保安出发t小时后，甲保安到达M处，乙保安到达N处（0≤t≤1）．则AM＝5（1﹣t），AN＝3t，又cos A＝，则MN2＝25（1﹣t）2+9t2﹣2•5（1﹣t）•3t•＝52t2﹣68t+25，令MN＞3可得52t2﹣68t+25＞9，即13t2﹣17t+4＞0，又0≤t≤1，解得：0≤t＜．∴两保安有小时不能通话．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．A，B是椭圆上两点，且直线OA与OB的斜率之积为．（1）求椭圆C的方程；（2）求直线AB的斜率；（3）设直线AB交圆O：x2+y2＝a2于C，D两点，且，求△COD的面积．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）当直线AB的斜率不存在时，k OA•k OB＜0，与条件矛盾；可设直线AB的方程为y ＝kx+m，代入椭圆方程x2+2y2＝4，运用韦达定理和直线的斜率公式，计算可得所求值；（3）不妨设直线AB的方程为y＝x+m，运用点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，结合三角形的面积公式，计算可得所求值．解：（1）因为e＝＝，所以a2＝2b2，设椭圆方程为+＝1，将点（1，）代入可得+＝1，解得b＝，则a＝2，则椭圆的方程为+＝1；（2）当直线AB的斜率不存在时，k OA•k OB＜0，与条件矛盾．所以直线AB的斜率存在．可设直线AB的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程x2+2y2＝4，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，于是y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2•+km（﹣）+m2＝，而k OA•k OB＝＝，即x1x2＝2y1y2，则＝2•，解得k2＝，即有k＝±，所以直线AB的斜率为±；（3）不妨设直线AB的方程为y＝x+m，即x﹣y+m＝0，因为原点O到直线AB的距离d＝，所以|CD|＝2＝2，由（2）当k＝时，x1+x2＝﹣m，x1x2＝m2﹣2，所以|AB|＝|x1﹣x2|＝•＝•，于是＝＝，解得m2＝3，因此△COD的面积S△OCD＝CD•d＝•2•＝2．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝（a n+λ）（λ为常数）对于任意的n∈N*恒成立．（1）当a1＝1时，求λ的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列；（3）若a2＝2，关于m的不等式|S m﹣2m|＜m+1有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．【分析】（1）令n＝1，结合S1＝a1及题设条件可得2a1＝a1+λ，进而得解；（2）利用S n+1﹣S n＝a n及题设条件可得2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+λ，进而得到2a n+1﹣2a n＝（n+1）a n+1﹣2na n+（n﹣1）a n﹣1，化简整理即可得证；（3）由（2）问题等价于，令，题目条件进一步转化为满足不等式t|m（m﹣3）|＜m+1的整数解只有两个，然后再分类讨论得出结论．解：（1）当n＝1时，，∴2a1＝a1+λ，解得λ＝a1＝1；（2）证明：由题意知，，∴2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+λ，∴，∴2a n+1﹣2a n＝（n+1）a n+1﹣2na n+（n﹣1）a n﹣1，∴（n﹣1）a n+1+（n﹣1）a n﹣1＝2（n﹣1）a n，又n≥2，n∈N•，∴n﹣1＞0，∴a n+1+a n﹣1＝2a n对任意n≥2，n∈N•都成立，∴数列{a n}是等差数列；（3）由（2）可知，|S m﹣2m|＜m+1，即，即，∴，令，题目条件转化为满足不等式t|m（m﹣3）|＜m+1的整数解只有两个，若m＝1符合，则2t＜2，即t＜1；若m＝2符合，则2t＜3，即；若m＝3符合，则t为任意实数，即m＝3以外只能有1个m符合要求；当m≥4，m∈N•时，tm（m﹣3）＜m+1，解得，令x＝m+1≥5，则，令，则，当x≥5时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[5，+∞）上单调递增，∴，∴，∴当时，至少存在m＝2，3，4满足不等式，不符合要求；当时，对于任意m≥4，m∈N•都不满足不等式，m＝1也不满足，此时只有m＝2，3满足；当时，只有m＝3符合；故，即，解得或，∴λ的取值范围为．20．（16分）已知函数f（x）＝（a∈R，且a为常数）．（1）若函数y＝f（x）的图象在x＝e处的切线的斜率为（e为自然对数的底数），求a的值；（2）若函数y＝f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；（3）已知x，y∈（1，2），且x+y＝3．求证：+≤0．【分析】（1）根据导数的几何意义知f′（e）＝，由此构造方程求得结果．（2）将问题转化为ax+1﹣axlnx≥0且ax+1≠0，恒成立的问题，令φ（x）＝ax+1﹣axlnx，分别在a＝0，a＞0和﹣≤a＜0，或a≤﹣1时，结合函数单调性确定最小值，令φ（x）min≥0，从而求得a的取值范围．（3）根据（2）的结论可知f（x）在（1，2）上单调递增，分类讨论可确定≤2ln（2x﹣3），将不等关系代入所求不等式左侧，结合对数运算可整理得到结果．解：（1）由题意得：f′（x）＝＝，因为y＝f（x）的函数图象在x＝e处的切线的斜率为，所以f′（e）＝，所以，解得（ae+1）2＝（1﹣e）2，所以ae+1＝±（1﹣e），所以a＝﹣1或．（2）因为函数f（x）在（1，2）上单调递增，所以对于任意的x∈（1，2），都有f′（x）≥0恒成立，即ax+1﹣axlnx≥0且ax+1≠0，当a＝0，1≥0恒成立，满足题意，当a≠0时，由x≠﹣得：﹣，即a＞0，或﹣或a≤﹣1，令φ（x）＝ax+1﹣axlnx，则φ′（x）＝﹣alnx，①当a＞0且x∈（1，2）时，φ′（x）＜0，所以φ（x）在（1，2）上单调递减，要使得ax+1﹣axlnx≥0，即要求φ（2）≥0，即2a+1﹣2aln2≥0，解得a≥，所以a＞0满足题意，②当﹣≤a＜0或a≤﹣1，且x∈（1，2）时，φ′（x）＞0，所以φ（x）在（1，2）上单调递增，要使得ax+1﹣axlnx≥0，即要求φ（1）≥0，即a+1﹣aln1≥0，解得a≥﹣1，所以﹣≤a＜0或a＝﹣1，综上所述：a的取值范围是{﹣1}∪[﹣，+∞）．（3）证明：由（2）知：当a＝﹣1时，函数f（x）在（1，2）上单调递增，此时f（x）＝＝，当1＜x≤时，f（x）≤f（）＝﹣2ln，而2x﹣3≤0，所以（2x﹣3）f（x）≥﹣2ln（2x﹣3），即（2x﹣3）≥﹣2ln（2x﹣3），所以，当≤x＜2时，f（x）≥f（）＝﹣2ln，而2x﹣3≥0，所以（2x﹣3）f（x）≥﹣2ln（2x﹣3），即（2x﹣3）≥﹣2ln（2x﹣3），所以，综上，对于任意x∈（1，2），都有，所以≤2ln（2x﹣3）+2ln（2y﹣3）＝2ln（2x+2y﹣6）＝0，结论得证．附加题【选做题】本题包括，B，C三小题，每小题10分.请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]21．曲线x2+y2＝1在矩阵A＝（a＞0，b＞0）对应的变换下得到曲线＝1．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A的特征向量．【分析】（1）推导出＝，从而，由点P'（x'，y'）在曲线＝1，得＝1．再由x2+y2＝1，能求出矩阵A．（2）由|λI﹣A|＝＝0，求出λ1＝3，λ2＝1，由此能求出矩阵A的特征向量．解：（1）P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），则＝，即，又∵点P'（x'，y'）在曲线＝1，∴＝1．由已知条件可知，x2+y2＝1，∴a2＝9，b2＝1．∵a＞0，b＞0，∴a＝3，b＝1．∴A＝．（2）∵A＝．∴|λI﹣A|＝＝0，解得λ1＝3，λ2＝1，把λ1＝3代入|λI﹣A|x＝0，得＝，∴x2＝0，∴λ1＝3的特征向量为，把λ1＝1代入|λI﹣A|x＝0，得＝，∴x1＝0，∴λ2＝1的特征向量为．B.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）＝2，直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的值．【分析】化曲线的参数方程为普通方程，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，进一步化为参数方程的标准形式，代入曲线的普通方程，得到关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及弦长公式求解．解：由（α为参数），消去参数α，得；由ρ（sinθ+cosθ）＝2，得ρsinθ+ρcosθ﹣2＝0，即x+y﹣2＝0．设直线l的参数方程为，代入，得．∴，．∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝．C．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数，满足a+b+c＝3，求的最小值．【分析】根据条件，可得＝，然后利用柯西不等式求出其最小值即可．解：∵a，b，c为正实数且满足a+b+c＝3，∴，即，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为12．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量X表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求X的概率分布和数学期望E （X）．【分析】（1）记“2和4不相邻”为事件A，则P（A）＝；（2）X的所有可能取值为0，1，2，结合排列组合的思想逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）记“2和4不相邻”为事件A，则P（A）＝，所以2和4不相邻的概率为．（2）X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝2）＝，P（X＝1）＝，P（X＝0）＝（先确定3的位置）或（P（X＝0）＝1﹣P （X＝1）﹣P（X＝2）＝）．所以X的分布列为X012P数学期望E（X）＝．25．已知n≥2，n∈N*，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n}中，且任意两项不相等，又对于任意的整数i，j（1≤i＜j≤n），均有i+a i≤j+a j．记所有满足条件的数列T的个数为b n．例如n＝2时，满足条件的数列T为1，2或2，1，所以b2＝2．（1）求b3；（2）求b n．【分析】（1）直接利用关系式的应用求出结果．（2）直接利用数列的通项公式的应用和递推关系式的应用求出结果．解：（1）若a1＝3，则1+3≤2+a2，故a2＝2，则a3＝1．若a2＝3，则2+a2≤3+a3，则a3≥2．故a2＝2，则a1＝1．若a3＝3，则a1＝1，a2＝2，或a1＝2，a2＝3．所以当n＝3时，满足条件的数列T为3，2，1；1，3，2；1，2，3；2，1，3．故满足条件的T为4．（2）设满足条件的数列T的个数为b n，显然b1＝1，b2＝2，b3＝3．不等式i+a i≤j+a j中取j＝i+1，则有i+a i≤i+1+a i+1，即a i≤1+a i+1．①当a1＝n，则a2＝n﹣1，同理a3＝n﹣2，…，a n＝1．②当a i＝n，（2≤i≤n），则a i+1＝n﹣1，同理a i+2＝n﹣2，…，a n＝i．即a i＝n以后的各项是唯一确定的．a i＝n之前的满足条件的数列的个数为b i﹣1．所以：当n≥2时，b n＝b n﹣1+b n﹣2+…+b1+1．（*）．当n≥3时，b n﹣1＝b n﹣2+b n﹣3+…+b1+1．代入（*）式得到b n＝b n﹣1+b n﹣1＝2b n﹣1，且满足b2＝2b1．所以对任意n≥2的，都有b n＝2b n﹣1，又b1＝1，所以．综上所述，满足条件的数列T的个数为2n﹣1．。
吴江区2020年高考数学模拟试卷考试时间120分钟 总分160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{|12}P x x =-<<，{|03}Q x x =<<，那么P Q =________． 2．复数21ii+ (i 为虚数单位)的模是________． 3．已知一组数据1，a ，3，52a -的平均数为2，则它们的方差为________．4．甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________．5．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为________．6．已知双曲线C ：22221x y a b-=2，则双曲线C 的渐近线方程为________．7．已知奇函数()y f x =的周期为4，当(02]x ∈，时，22()log ()f x a x =-，则(3)f -=________．8．已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan 2θ=________． 9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺， 高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内 墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）， 米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的 体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为 1.6立方尺，则堆放的米有________斛. 10．将函数sin(2)y x θ=+的图象向右平移6π个单位长度，所得图象关于原点对称，则θ的最小正值为________．11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若24S ，4S ，32S -成等差数列，且232a a +=，则5S的值为________．开始1k k ←+3k ≥s输出结束1,1k s ←←是否1(1)s s k k ←++BC12．在ABC ∆中，2AB =,3AC =,A ∠的平分线与边BC 的交点为D ，点E 为边AC 的中点，若185AB AD ⋅=，则BE BC ⋅的值是________13．已知0a >，0b >，且14a b -=，则14a b +的最小值是________14．已知，如图，P ，Q 是圆O ：122=+y x 上的动点，23POQ π∠=点(1,1)A ．则222AQ AP -的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定．．．．．区域内．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD AC⊥，sin =3BAC ∠，sin =3B ，3AD =， （1）求BD 的长； （2）求CA CB ⋅的值.16.(本小题满分14分)如图，三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面PBC ，PA BC ⊥，D ，E 是BC 和AB 的中点. （1）求证：AC //平面PDE ；（2）求证：PA ⊥平面PBC .A某度假村拟在一个半径为40米的半圆形场地上建设一个温泉洗浴中心，如图，O 为圆心，AD 为直径，BC //AD ,以A 为圆心AB 为半径的圆与AC ，AD 分别交于点F ,E ，其中以A 为圆心10米为半径的扇形MAN 为接待大厅，I 、II 区域分别为男、女更衣区，III 、IV 区域分别为男、 女淋浴区，V 为公共温泉区。
2020年江苏省南京外国语学校、金陵中学、海安高中高考数学四模试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设全集U={x|x＜5，x∈N*}，集合A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=______．2.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在第象限______．3.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于10的概率是______．4.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30）内为一等品，在区间[20，25）和[30，35）内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为______．5.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px的焦点恰好是双曲线的右焦点，则该抛物线的准线方程为______．6.如图是一个算法流程图，则输出的b的值为______．7.已知α∈（0，π），，则=______．8.函数的定义域为______．9.设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a7=60，a2+a5+a8=51，若对任意n∈N*，都有S n≤S k成立，则正整数k的值为______．10.如图，该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等．若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为______．11.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过M（1，3），N（4，2），P（1，-7）三点，且直线l：x+ay-1=0（a∈R）是圆C的一条对称轴，过点A（-6，a）作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长度为______．12.已知实数a，b∈（0，2），且满足，则a+b的值为______．13.已知菱形ABCD中，对角线AC=，BD=1，P是AD边上的动点（包括端点），则的取值范围为______．14.在△ABC中，若cos2A+cos2B+cos2C＜1，sin B=，则（tan2A-2）•sin2C的最小值为______．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15.已知函数f（x）=2sin（x+）•cos x．（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．16.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB=BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点．（1）求证：FG∥平面EBO；（2）求证：PA⊥BE．17.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P为椭圆上顶点，点A是椭圆C上异于顶点的任意一点，直线PA交x轴于点M．点B 与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：在y轴的正半轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18.如图，已知某市穿城公路MON自西向东到达市中心O后转向东北方向，∠MON=，现准备修建一条直线型高架公路L，在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B，且要求市中心O到AB所在的直线距离为10km．（1）求A，B两出入口间距离的最小值；（2）在公路MO段上距离市中心O点30km处有一古建筑C（视为一点），现设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区，问如何在古建筑C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？19.已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且2S n+1-3S n=2a1，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）若a1与a t（t为常数，t≥3，t∈N*）均为正整数，且存在正整数q，使得，，求a1的值．20.已知函数f（x）=ax-ln x-a，a∈R．（1）若a=1，求方程f（x）=0的根；（2）已知函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a在区间（1，+∞）上存在唯一的零点，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，是否存在实数m，使不等式在（1，+∞）上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．21.已知直线l：x+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l'：x-y=1，求矩阵A．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（-2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．23.设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，求证：x+y+z=．24.一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．（1）求甲三次都取得白球的概率；（2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望．25.设n∈N*．（1）若，求S2019的值；（2）若，求T2019的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：{3}解析：解：U={x|x＜5，x∈N*}={1，2，3，4}，因为A={1，2}，B={2，4}，所以A∪B={1，2，4}，所以∁U（A∪B）={3}，故答案为：{3}．U={x|x＜5，x∈N*}={1，2，3，4}，求出A∪B，然后求出其补集即可．本题考查了集合的并集和补集的混合运算，属基础题．2.答案：三解析：解：∵=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，-），在第三象限．故答案为：三．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：解析：解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和大于10包含的基本事件有：（5，6），（6，5），（6，6），共有m=3个，∴出现向上的点数之和大于10的概率p==．故答案为：．先求出基本事件总数，再利用列举法求出出现向上的点数之和大于10包含的基本事件的个数，由此能求出出现向上的点数之和大于10的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．4.答案：200解析：解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30）内为一等品，在区间[20，25）和[30，35）内为二等品，其余为次品．其件数为：800×（0.0125+0.0250+0.0125）×5=200故答案为：200结合频数分布直方图确定落在[10，15，）、[15，20）、[35，40]的人数由容量××组距求出．本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．5.答案：x=-2解析：解：双曲线的右焦点是（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点为（2，0），∴=2，∴p=4∴抛物线的准线方程为：x=-=-2．故答案为：x=-2．根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p和准线方程．本题考查了抛物线的性质，属中档题．6.答案：8解析：解：a=1，b=1，a＞10否，a=2，b=1，a＞10否，a=1+2=3，b=2-1=1，a＞10否，a=3+1=4，b=3-1=2，a＞10否，a=4+2=6，b=4-2=2，a＞10否，a=6+2=8，b=6-2=4，a＞10否，a=8+4=12，b=12-4=8，a＞10是，输出b=8，故答案为：8根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．7.答案：-2解析：解：α∈（0，π），，故：，则：=-．故答案为：-2直接利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.答案：{x|-1＜x≤2}解析：解：要使函数有意义，则≥0，得≤0，得-1＜x≤2，即函数的定义域为{x|-1＜x≤2}，故答案为：{x|-1＜x≤2}根据函数成立的条件，建立不等式进行求解即可．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．9.答案：10解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a4+a7=60，a2+a5+a8=51，∴3a1+9d=60，3a1+12d=51，联立解得：a1=29，d=-3，∴a n=29-3（n-1）=32-3n．令a n32-3n≥0，解得n≤=10+．由对任意n∈N*，都有S n≤S k成立，则正整数k的值=10．故答案为：10．设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a4+a7=60，a2+a5+a8=51，可得3a1+9d=60，3a1+12d=51，联立解得：a1，d，利用a n≥0，解得n．本题主要考查等差数列的通项公式求和公式及其单调性，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．10.答案：解析：解：设圆柱的底面圆半径为r，则圆柱的高为h=r，其侧面积为S1=2πr•r=2πr2；设圆锥的高为H，则母线长为，其侧面积为S2=πr•；又S1=S2，则2πr2=πr•，解得H=r，所以圆锥与圆柱的高之比为=．故答案为：．设圆柱的底面圆半径为r，高为r，求出侧面积S1；设圆锥的高为H，求出母线长和侧面积S2，利用S1=S2求出H，再计算的值．本题考查了圆柱与圆锥的侧面积计算问题，是基础题．11.答案：2解析：解：设圆的一般式方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆过M（1，3），N（4，2），P（1，-7）三点，∴，得D=-2，E=4，F=-20，即圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0，即（x-1）2+（y+2）2=25，圆心C（1，-2），半径R=5，∵直线l：x+ay-1=0（a∈R）是圆C的一条对称轴，∴直线过圆心，则1-2a-1=0，得a=0，则A（-6，0），过点A（-6，0）作圆C的一条切线，切点为B，则|AC|===，则线段AB的长度为==2，故答案为：2利用待定系数法求出圆的一般式方程，求a的值，结合切线长公式进行计算即可．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用待定系数法求出圆的方程，利用切线长公式是解决本题的关键．12.答案：2解析：解：已知实数a，b∈（0，2），且满足，则：a2-b2-4=22-b-2a-4b，即：（a2-22-b）+（2a-b2）+（4b-4）=0，∵实数a，b∈（0，2），且满足，即满足：（a2-22-b）+（2a-b2）+（4b-4）=0，取b=1代入方程计算方程的根a且在（0，2）即可，即：（a2-2）+（2a-1）=0，a∈（0，2），当a=1时（a2-2）+（2a-1）=0成立，所以a=1是方程（a2-2）+（2a-1）=0的一个根，且符合a，b∈（0，2）范围，所以a，b∈（0，2）时，且满足成立的a、b有a=b=1是符合．故a+b的值为2故答案为：2．利用已知将化简，计算a、b的值在实数a，b∈（0，2），且满足即可得答案．考查观察法．方程为0 时各部分的系数，对数据的分析．13.答案：[]解析：解：设=，（0≤λ≤1）由已知易得|AD|=1，∠DAB=，则=（）•（）=（-）•[-（λ-1）]=2+λ（λ-1）2-（2λ-1）=λ2=（λ-1）2，又0≤λ≤1，则≤，故答案为：[，]．由平面向量数量积的运算及二次函数的值域问题得：易得|AD|=1，∠DAB=，则=（）•（）=（-）•[-（λ-1）]=2+λ（λ-1）2-（2λ-1）=λ2=（λ-1）2，又0≤λ≤1，则≤，得解．本题考查了平面向量数量积的运算及二次函数的值域问题，属中档题．14.答案：2-5解析：解：因为cos2A+cos2B+cos2C＜1，sin B=，所以cos2A+cos2C＜1-sin2B=，所以+，所以cos2A+cos2C＜-1，所以2cos（A+C）cos（A-C）＜-1，又sin B=，当B=时，A+C=，-，即2cos（A+C）cos（A-C）＞0，即B=不合题意，即B=，即A+C=，所以（tan2A-2）•sin2C=（tan2A-2）•sin2（-A）=（tan2A-2）•cos2A=（tan2A-2）•，令1+tan2A=t（t＞1），则（tan2A-2）•==t≥2=2-5，故答案为：2-5．由三角函数求值及重要不等式得：因为cos2A+cos2B+cos2C＜1，sin B=，所以B=，即A+C=，所以（tan2A-2）•sin2C=（tan2A-2）•sin2（-A）=（tan2A-2）•cos2A=（tan2A-2）•，令1+tan2A=t，（t＞1）则（tan2A-2）•==t≥2=2-5，得解．本题考查了三角函数求值及重要不等式，属难度很大的题型．15.答案：解：（1）f（x）=2sin（x+）•cos x=（sin x+cos x）•cos x=sin x cosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+；…（2分）由得，，∴，…（4分）∴，即函数f（x）的值域为；…（6分）（2）由，得，又由，∴，∴，解得；…（8分）在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A=7，解得；…（10分）由正弦定理，得，…（12分）∵b＜a，∴B＜A，∴，∴cos（A-B）=cos A cos B+sin A sin B=．…（15分）解析：（1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围即可求出函数f（x）的值域；（2）由f（A）的值求出角A的大小，再利用余弦定理和正弦定理，即可求出cos（A-B）的值．本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．16.答案：证明：（1）连接AF交BE于Q，连接QO，因为E，F分别为边PA，PB的中点，所以Q为△PAB的重心，可得：=2，又因为O为线段AC的中点，G是线段CO的中点，所以=2，于是，所以FG∥QO，因为FG⊄平面EBO，QO⊂平面EBO，所以FG∥平面EBO．（2）因为O为边AC的中点，AB=BC，所以BO⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥平面PAC，因为PA⊂平面PAC，所以BO⊥PA，因为点E，O分别为线段PA，AC的中点，所以EO∥PC，因为PA⊥PC，所以PA⊥EO，又BO∩OE=O，BO，EO⊂平面EBO，所以PA⊥平面EBO，因为BE⊂平面EBO，所以PA⊥BE．解析：（1）连AF交BE于Q，连QO，推导出Q是△PAB的重心，从而FG∥QO，由此能证明FG∥平面EBO．（2）推导出BO⊥AC，从而BO⊥面PAC，进而BO⊥PA，再求出OE⊥PA，由此能证明PA⊥平面EBO，利用线面垂直的性质可证PA⊥BE．本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．17.答案：解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得：b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2．∴椭圆C的标准方程为+y2=1．（2）设B（m，n），M（x M，0），直线BP的方程为：y-1=x，令y=0，可得：x N=，∴N（，0）．由点A，B关于x轴对称，∴A（m，-n）．同理可得：M．假设在y轴的正半轴上存在点Q（0，t）（t＞0），使得∠OQM=∠ONQ．由tan∠OQM=tan∠ONQ，可得：=，即t2=|x M x N|，∴t2==4，又t＞0，解得t=2．经过验证：t=2时，∠OQM=∠ONQ．∴在y轴的正半轴上存在点Q（0，2），使得∠OQM=∠ONQ．解析：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得：b=1，=，a2=b2+c2，解得a．即可得出椭圆C的标准方程．（2）设B（m，n），M（x M，0），直线BP的方程为：y-1=x，令y=0，可得N（，0）．由点A，B关于x轴对称，可得A（m，-n）．同理可得：M．假设在y轴的正半轴上存在点Q（0，t）（t＞0），使得∠OQM=∠ONQ．由tan∠OQM=tan∠ONQ，可得：=，即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=10．设∠AOE=α，，则．∴AB=AE+BE=10tanα+10tan（）=．∵．∴当，AB取最小值20（）．（2）以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方程为（x+30）2+y2=25．设直线AB的方程为y=kx+t，（k＞0，t＞0）．∴，，解得t＜20k或＞60k（舍），∴OA＜20．又∵当AB∥ON时，OA→10，∴．解析：（1）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=10．设∠AOE=α，，则．AB=AE+BE=10tanα+10tan（）=．利用三角函数知识，可得AB取最小值．（2）以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方程为（x+30）2+y2=25．设直线AB的方程为y=kx+t，（k＞0，t＞0）．可得，即可求解本题考查了三角知识的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．19.答案：（1）证明：2S n+1-3S n=2a1，n∈N*．可得2S n+2-3S n+1=2a1，相减可得：2a n+2=3a n+1，即=．又2S2-3S1=2a1，解得：=．综上可得：数列{a n}为等比数列，公比为．（2）解：∵a t=a1•，a1与a t为正整数．∴a1是2t-1的倍数，不妨设a1=k2t-1，k∈N*．故a t=k•3t-1．由a t≤（q+1）t-1，得（q+1）t-1≥k•3t-1≥3t-1，于是q≥2．又a1≥q t-1，a t≤（q+1）t-1，得≤，于是≤，∴≤，即q≤2．∴q=2．由a t=a1•≤3t-1，知a1≤2t-1，又a1≥2t-1，∴a1=2t-1．解析：（1）2S n+1-3S n=2a1，n∈N*．可得2S n+2-3S n+1=2a1，相减可得：2a n+2=3a n+1．又2S2-3S1=2a1，可得：．即可证明结论．（2）a t=a1•，a1与a t为正整数．可得a1是2t-1的倍数，不妨设a1=k2t-1，k∈N*．故a t=k•3t-1．由a t≤（q+1）t-1，得（q+1）t-1≥k•3t-1≥3t-1，于是q≥2．又a1≥q t-1，a t≤（q+1）t-1，得≤，可得≤，即q≤2．解得q，即可得出．本题主要考查等比数列的定义通项公式、不等式的性质，考查学生的转化能力和逻辑推理与计算能力，属于难题．20.答案：解：（1）当a=1时，f（x）=0即为，x-ln x-1=0，令t（x）=x-ln x-1，所以t′（x）=1-=，当x∈（0，1）时，t′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，（x）单调递增，所以，t（x）min=t（1）=0，故方程f（x）=0的根为：x=1；（2）函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a=x lnx-a（x-1）．所以g′（x）=ln x+1-a，当a≤1时，由x＞1，知g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函数，且图象不间断；又g（1）=0，所以：x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即函数g（x）在（1，+∞）上没有零点，不合题意；当a＞1时，由g′（x）=0，解得：x=＞1，当1＜x＜时，g′（x）＜0，故g（x）在（1，）上是减函数；当x＞时，g′（x）＞0，故g（x）在（，+∞）上是增函数；所以1＜x＜时，g（x）＜g（1）=0，因为，g（e a）=ae a-a（e a-1）=a＞0且函数g（x）的图象在（1，+∞）上不间断，所以函数g（x）在（1，+∞）上有一个零点，符合题意；综上所述，实数a的取值范围为：a∈（1，+∞）．（3）存在吗，使不等式在（1，+∞）上恒成立；设h（x）=-=，令t（x）=e x-1-x，则t′（x）=）=e x-1-1，当x＞1时，t′（x）＞0，t（x）在（1，+∞）单调增，又t（1）=0，故t（x）＞0恒成立，所以当x＞1时，h（x）＞0；当a=0时，φ（x）=f（x）+m（x2-1）=-ln x+m（x2-1），①当m≤0，x＞1时，φ（x）=f（x）+m（x2-1）=-ln x+m（x2-1）＜0恒成立；所以不等式在（1，+∞）上不恒成立；②当m＞0时，由φ′（x）=-+mx==0，得：x=；当x∈（0，）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，J）单调减，当x∈（，+∞时，φ′（x）＞0，φ（x）在（，+∞）单调增，故φ（x）在x=；处取得极小值；（i）当0＜m＜1时，＞1；φ（）＜φ（1）=0，而h（）＞0．故不等式在（1，+∞）上不恒成立；（ii）当m≥1时，构造函数F（x）=φ（x）-h（x）=-ln x+m（x2-1）-，F′（x）=-+mx-+；当m≥1，x＞1时，mx≥x，＜1，-＞-1，F′（x）=-+mx-+＞）=-+x+-1=＞0；所以F（x）在（1，+∞）单调增，又F（1）=0；所以当x∈（1，+∞时，F（x）＞0恒成立，即φ（x）-h（x）＞0恒成立，故存在m≥1，使得在（1，+∞）上恒成立；综上所述，m的最小值为1；故答案为：（1）：x=1；（2）：a∈（1，+∞）；（3）：m的最小值为1．解析：（1）若a=1时求方程f（x）=0的根转换成令t（x）=x-ln x-1求极值可得；（2）利用函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a求导，讨论a利用函数的性质判断增减性讨论零点可得实数a的取值范围；（3）当a=0时，假设存在实数m，使不等式在（1，+∞）上恒成立，证明假设，转化成新函数h（x）=-=，令t（x）=e x-1-x，则t′（x）=）=e x-1-1，讨论单调性集m可判断是否存在m．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），由[]=[][]=[]，得，又点M′（x′，y′）在l′：x-y=1上，∴x′-y′=1，即（mx+ny）-y=1，依题意，解得：，则矩阵A=[]．解析：设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），根据矩阵A列出关系式，得到x与x′，y与y′的关系式，再由M′（x′，y′）在直线l'上，求出m与n的值，即可确定出矩阵A．此题考查了几种特殊的矩形变换，找出M在矩阵A的变换作用下点M′两点的坐标关系是解本题的关键．22.答案：解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x-3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ-3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x-y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）解析：（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x-y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23.答案：证明：∵14=（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14，∴，∴z=3x，y=2x，又，∴x=，y=，z=，∴．解析：由条件利用二维形式的柯西不等式求得x、y、z的值，从而证得x+y+z=．本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题．24.答案：解：（1）记事件A表示甲取球时取得白球，则P（A）==，∴甲三次都取得白球的概率P=（）3=．（2）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记ξ为甲总得分，则P（ξ=6）=（）3=，P（ξ=7）==，P（ξ=8）==，P（ξ=9）=（）3=，∴甲总得分ξ的分布列为：ξ 6 7 8 9P甲总得分ξ的数学期望为：E（ξ）==．解析：（1）记事件A表示甲取球时取得白球，则P（A）==，由此能求出甲三次都取得白球的概率．（2）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记ξ为甲总得分，分别求出相应的概率，由此能求出甲总得分ξ的分布列和甲总得分ξ的数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．25.答案：解：（1）因为（x-1）2n=+++……+，令x=1，则=0，即++……+=++……+，而=22n，所以=22n-1，故S2019=24037，（2）因为T n=，当1≤k≤n，k∈N*时，=====，故T n+1==+T n-+ =2=3×8n+1-T n，所以T n+1-=-（T n-），又T1=2，所以（）是以为首项，以-为公比的等比数列，所以T n=，所以T2019=．解析：（1）根据二项式（x-1）2n=+++……+，令x=1，结合而=22n，即可得到结论．（2）因为T n=，当1≤k≤n，k∈N*时，=====，得到T n+1和T n的递推关系，进而构造等比数列，得到T n的表达式，即可求出T2019．本题考查了二项式定理的应用，组合数的运算，构造法求数列的通项公式等，属于难题．。
江苏省2020年高考数学二模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2016高一上·成都期中) 设集合U={x∈N|0＜x≤8}，S={1，2，4，5}，T={3，5，7}，则S∩（∁UT）=（）A . {1，2，4}B . {1，2，3，4，5，7}C . {1，2}D . {1，2，4，5，6，8}2. （2分） (2017高二上·邯郸期末) 已知实数x，y满足如果目标函数z=y﹣x的最小值为﹣2，则实数m等于（）A . 0B . ﹣2C . ﹣4D . 13. （2分） (2017高二下·营口会考) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值是﹣2，则输出的值是（）A . 2B . 4C . ﹣2D . ﹣44. （2分）若是等差数列，首项公差d<0，a1>0，且,则使数列的前n项和成立的最大自然数n是（）A . 4027B . 4026C . 4025D . 40245. （2分）“成立"是“成立”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）过双曲线的左焦点F作⊙O: 的两条切线，记切点为A,B,双曲线左顶点为C ，若,则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .7. （2分）三个数a=30.5 ， b=0.53 ， c=log0.53的大小顺序为（）A . c＜b＜aB . c＜a＜bC . b＜c＜aD . a＜b＜c8. （2分）下列各函数的导数：① ；②（ax）′=a2lnx；③（sin2x）′=cos2x；④（）′=．其中正确的有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2016高二下·连云港期中) 已知复数Z满足|Z|= ，Z2的虚部是2．设Z，Z2 ， Z﹣Z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，则△ABC的面积为________．10. （1分）(2018·门头沟模拟) 某几何体三视图如图11所示，则该几何体的体积为________11. （1分） (2013·湖北理) （选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为________．12. （1分）(2016·中山模拟) （﹣）9的二项式展开式中常数项的二项式系数为________（用符号或数字作答）．13. （1分）(2018·河北模拟) 在中，角的对边分别为，，，且为锐角，则面积的最大值为________.14. （1分）(2017高一下·平顶山期末) 已知向量，向量满足，则用基底的线性表示为________三、解答题 (共6题；共45分)15. （5分） (2018高一下·商丘期末) 已知函数（Ⅰ）当且时，求的值域；（Ⅱ）若 ,对任意的使得成立，求实数的取值范围.16. （5分） (2019高二下·南昌期末) 大型综艺节目,《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示，并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表所示．（Ⅰ）将表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（Ⅱ）现从表中成功完成时间在和这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率．附参考公式及数据：，其中．17. （10分）(2013·广东理) 如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O= ．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．18. （5分） (2018高三上·吉林月考) 已知数列中，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．19. （10分） (2019高二上·武汉期中) 已知的两个顶点为，，平面内P，Q 同时满足；；．（1）求顶点A的轨迹E的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线，被点A的轨迹E截得的弦分别为，，设弦，的中点分别为M，试问：直线MN是否恒过一个顶点？若过定点，请求出该顶点，若不过定点，请说明理由．20. （10分）(2019·齐齐哈尔模拟) 已知函数 .（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）设存在两个极值点，（），且不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共45分)15-1、16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、。
考点22 空间几何题的面积与体积一、考纲要求1. 直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,对柱、锥、台、球的概念的理解不作过高要求,复习时不要过分挖深.2. 多面体与旋转体表面上两点间的最短距离问题,要适当强化,体现了空间问题向平面问题转化.3. 柱、锥、台、球的表面积与体积的计算可能会在高考填空题中出现,注意体现不同几何体之间的联系,同时注意与平面几何中的面积等进行类比.二、近五年江苏高考立体几何中的计算作为江苏考纲必考知识点，每年都会考查，但是江苏高考对立体几何中的运算要求比较简单，近要求计算简单几何体的体积与表面积等简单的运算。
从近五年江苏高考试题可以发现主要考查柱、锥、球的表面积与体积，因此，在复习中要注意把握深度。
三、考点总结：把握空间几何体的结构特征是认识几何体的一个重要方面,也是进一步学习立体几何的基础. 在学习过程中,要通过互相对比的方式来把握它们的实质与不同,既要看到它们之间的不同,也要理解它们之间的联系,这样才能理解它们之间的共性和个性,做到心中有数,心中有图. 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题. 即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托,因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式. 同时也要学会运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解.四、近五年江苏高考题1、（2019江苏卷）如图，长方体1111ABCD A B C D 的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.2、（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．3、（2017江苏卷）如图，圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．4、（2016江苏卷）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1) 若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？5、（2015江苏卷）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．五、三年模拟题型一柱的表面积与体积1、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm，侧面的对角线长是3 5 cm，则这个正四棱柱的体积为________cm3.2、(2019常州期末）已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．3、(2019苏锡常镇调研（一））已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．4、(2019南京三模）有一个体积为2的长方体，它的长､宽､高依次为a，b，1．现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为．5、(2018南京学情调研）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为________cm2.6、(2018南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm，圆柱的底面积为9 3 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm(不计损耗)．7、(2018苏北四市期末）已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长是35cm，则这个正四棱柱的体积是________cm3.8、(2018苏中三市、苏北四市三调）现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为1S ,2S ,则12S S 的值为 ．9、(2017南通一调）如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1A 1BD 的体积为________cm 3.10.(2017常州期末）以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．题型二 锥的表面积与体积1、(2019扬州期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________．2、(2019镇江期末） 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．3、(2019泰州期末） 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．4、(2019苏北三市期末）已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为________．5、(2018苏州暑假测试）如图，正四棱锥PABCD 的底面一边AB 的长为2 3 cm ，侧面积为8 3 cm 2，则它的体积为________cm 3.6、(2018常州期末） 已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．7、(2018镇江期末） 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为________． 8、(2018扬州期末） 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为________．9、(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH 的体积为________．（图1） （图2）10、(2018苏锡常镇调研（一））若正四棱锥的底面边长为 2 cm ，侧面积为8 cm 2，则它的体积为________cm 3.11、(2017苏锡常镇调研（一）） 已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为________．题型三 球的表面积与体积1、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．2、(2019苏州三市、苏北四市二调）设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2 m，PB＝3 m，PC＝4 m，则球O的表面积为________m2.3、(2018无锡期末）直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．4、(2018苏州期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．。
2020年高考数学模拟试卷 (4)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知偶函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，其导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有2()()0f x xf x '+>成立，若(2)1f =，则不等式2()4x f x <的解集为( )A ．{}|0,2x x ≠±B ．(2,0)(0,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,2)(0,2)-∞-⋃2．现有7件互不相同的产品，其中有4件正品，3件次品，每次从中任取一件测试，直到3件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有（ ）种.A ．1080B ．72C ．432D ．864 3．定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，(0)0f =若对任意x ∈R ，都有()'()1f x f x >+，即使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞B ．(,0)-∞C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞ 4．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )A ．2231344C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ B ．2233144C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C ．21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 5．数列1，3，5，7，…的一个通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．31n a n =-D ．31n a n =+ 6．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ）．A ．115B ．215C ．15D ．4157．下列说法正确的是（ ）A ．“1x <-”是“()2lg 91x x ->”的必要不充分条件 B ．命题“00123x x ∃>>，”的否定是“123x x ∀><，”C ．若{}11|2302|::11x x p x q x x ⎧⎫∈-<∈>⎨⎬-⎩⎭，，则p q ∧是真命题 D ．若200020x x x m ∃∈-+<R ，，则实数m 的取值范围是(,1)-∞8．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩()2~90,X N σ，已知(7090)0.35P X <=，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（ ）A ．0.15B ．0.50C ．0.70D ．0.859．若k ∈R 则“k >5”是“方程22152x y k k -=-+ 表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．设复数11i z i+=-（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则z =（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．1211．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数，且()'()f x xf x >恒成立，则不等式21()()0x f f x x->的解集为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(2,)+∞ D ．(,2)-∞ 12．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”③命题“x R ∃∈，211x +<”的否定是“x R ∀∈，211x +≥”④在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件其中正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知函数f （x ）=x 2﹣4x+c 只有一个零点，且函数g （x ）=x （f （x ）+mx ﹣5）在（2，3）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是______．14．设函数1()ln ()f x x a x a R x=-+∈的两个极值点分别为12,x x ，若()()12212221f x f x e a x x e ----恒成立，则实数a 的取值范围是_______． 15．定积分()11x x e edx ---=⎰________.16．在二项式n +的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中含x 的项为______．三、解答题17．已知函数()21f x x x =+--.(1)求()f x 的值域;(2)设()233(0)ax x g x a x-+=>若对于任意()0,s ∞∈+,任意t ∈R ,恒有()()g s f t ≥成立,试求实数a 的取值范围.18．甲参加A ，B ，C 三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．（I ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X ，求X 的分布列和数学期望．19．设函数321()32a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（1）求b ，c 的值；（2）若2a =，求函数()f x 的极值；（3）设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内为单调递减函数，求实数a 的取值范围.20．已知2:8200p x x -++≥，()22:2100q x x m m -+-≤>，若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.21．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.（1）已知抽取的n 名学生中含女生45人，求n 的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 22．在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为sin 2ρθ=，点M 是C 1上任意一点，点P在射线OM 上，且|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2，求曲线C 2的极坐标方程． 23．已知函数()ln 1ax f x x x =-+. （Ⅰ）若函数()f x 有极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当()f x 有两个极值点（记为1x 和2x ）时，求证：121()()[()1]x f x f x f x x x++≥⋅-+．参考答案1．B【解析】【分析】构造新函数2()()g x x f x =，由已知可确定其导函数的正负，从而确定()g x 的单调性，同时确定()g x 的奇偶性，利用奇偶性和单调性可解不等式．【详解】当0x >时，由2()()0f x xf x '+>得，222()()()0xf x x f x x f x ''⎡⎤+=>⎣⎦， 令2()()g x x f x =，则()g x 在(,0)(0,)-∞+∞上也为偶函数，且当0x >时，()0g x '>总成立，()g x 在区间(0,)+∞上是增函数.2()4x f x <可化为(||)(2)g x g <，则||2x <，又(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，解得(2,0)(0,2)x ∈-⋃.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性不等式，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =． 2．B【解析】【分析】根据排列组合的特点依照题意列式，即可得出结果.【详解】解：根据题意，第三件次品恰好在第4次被测出，说明前三次中有两件次品和一件正品被测出.∴第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有11334372C C A ⋅⋅=种. 故选：B.【点睛】本题考查排列组合的简单计数问题，属于基础题.3．D【解析】分析：构造函数()()1,x f x g x e -=由()()'1f x f x >+判断函数()g x 的单调性，根据单调性可得结果. 详解：构造函数：()()()0101,01x f x g x g e e--===-， 对任意x ∈R ，都有()()'1f x f x >+，()()()()()()2'1'1'0x x x x f x e f x ef x f xg x e e ⎡⎤--+-⎣⎦∴==<，∴函数()g x 在R 单调递减，()1x f x e +<化为()()()110,0x f x g x g x e -=-=∴，∴使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围是()0,∞+，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.4．C【解析】ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，本题选择C 选项.点睛：准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键，()()1n k k k n P X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.5．A【解析】【分析】根据1，3，5，7，…，数列的规律采用验证的方法得到数列的通项公式..【详解】因为1234211,221,231,241,...a a a a =⨯-=⨯-=⨯-=⨯-所以21n a n =-.故选：A【点睛】本题主要考查数列的通项公式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．C【解析】【分析】先求得不超过15的素数的个数，进而得出其中能够组成孪生素数的组数，结合排列组合和古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数． 其中不超过15的素数有2，3，5，7，11，13，可得能够组成孪生素数的有(3,5)，(5,7)，(11,13)，在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，共有2615n C ==种，其中能够组成孪生素数包含的基本事件个数133m C ==， 所以其中能够组成孪生素数的概率是31155m p n ===． 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列数公式的应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 7．D【解析】【分析】由充分不必要条件判断A ；直接写出命题的否定判断B ；由“且”命题真假判断C ；特称命。
江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：球体的体积公式：V＝334Rπ，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U＝，，，，，集合134{}}35{A B＝，，，＝，，则UA B⋂（）ð═．2．已知i是虚数单位，若12i a i a R+∈（﹣)(）＝，，则a＝．3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是．5．已知函数22353log(1)3x xf xx x-⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝．6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x ）＝x ，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且23AB ＝，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+u u u r u u u r的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =u u u r u u u r，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+u u u u r u u u u ru u u u r （﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值； （2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）的离心率为22，短轴长为22（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为23，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡．．．指定区域内．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD CD⊥于点D. 求证：2BC BA BD=⋅．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a bMc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=12N⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()11402MN-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M．C．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2{2x ty t==--（t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为42cos4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求直线l被圆C截得的弦长．D．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z、、，满足3x y z xyz++=，求xy yz xz++的最小值．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。
高考使用2020年参考答月中.生教浬化1T■i_ri rin nrnq^p年高考数学模触霾)参考答圍—、选择题4.B提示：第一天共挖1+1=2,前二门+曰一"时亠11+2i天共挖2+2+0.5=4.5,故前3天挖通，所以1.B提示：依题意z=：=3—41两鼠相遇在第3天。
(1]+2)3+4)=25+50i=4+2i虚部 5.D提示：回归直线必过样本数据中(3—4i)(3+4O25心点，但样本点可能全部不在回归直线上，为P2_故A错误；所有样本点都在回归直线y=bx2.D提示:因为集合A=+a上，则变量间的相关系数为士1,故B错{x|y=1Og2(x—2)={x|x>21'B=山误；若所有的样本点都在回归直线y=bx+a y=』2—x}=y l y>0}，所以A n B=上，则bx+a的值与y,相等，故C错误；相关{x|x>21。
系数『与b符号相同，若回归直线y=bx+a3.D提示：设p=a+話，则a=p—話，的斜率b>0,则t>0,样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D 所以2a——=2/3—丁。
因为cos(a+]0)=正确。
：：3” 6.C提示：由函数单调递减可得0< 2,所以cos3=44,贝0sin(2a—4|)=a<1,当x=0时，一1<1+b<0,解得一2<sin(2/?----—)=一cos2/?=1一2cos23=1一b<1°可知函数y=x+a+b+1的定义123域为{x|x鼻一a},值域为{y|y鼻b+1}。
因22525。
为一1<一a<0,一1<b+1<0,结合选项知耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳(2)射线l分别与C：,C2联立得(x<—2,[—2W x W1,或]或p2(3sin20+1)=4,4(1一工一2工一4三511—工+2工+4三51贝U OA|2=；0=a,3sm a+1(x>1,8，解得x W—8或0W x Wip=4cos0,22{x—1+2x+4^5,3{0=a,则l OB|=16Cos£a o或x>1,所以原不等式的解集为所以|OB4t=4cos2a(3sin2a+1)(一x，一U[0,+x)o=4(1—sin2a)(3sin2a+1)要证f<mn)—|2mn十以“”一川, =—12sin*a+8sin2a+4只要证mn—1>l n—m■，只需证(m"—1)2由于0Wsin2a W1,根据二次函数的性质>(n—m)。
江苏省徐州市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|0＜x＜5}，则A∩B= ．2．已知复数z满足（3+i）z=10i（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是．3．如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是．4．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则一次游戏中甲胜出的概率是．5．执行如图所示的算法流程图，则输出k的值为．6．已知点F为抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则= ．8．已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为cm3．9．若实数x，y满足约束条件，则|3x﹣4y﹣10|的最大值为．10．已知函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）=tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC 的面积为．11．若点P，Q分别是曲线y=与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为．12．已知，，是同一平面内的三个向量，其中，是相互垂直的单位向量，且（）•（﹣）=1，||的最大值为．13．已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x，y，都有x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0，则实数a的取值范围为．14．已知经过点P（1，）的两个圆C1，C2都与直线l1：y=x，l2：y=2x相切，则这两圆的圆心距C1C2等于．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=1，BD=2，∠CAD=，tan∠ADC=﹣2，求：（1）CD的长；（2）△BCD的面积．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：（1）平面AMP⊥平面BB1C1C；（2）A1N∥平面AMP．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．18．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）百元时，该商品的月供给量为y1万吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）；月需求量为y2万吨，y2=﹣x2﹣x+1．当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）若a=，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．20．在数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+2=（k∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求满足2a n+1=a n+a n+2的正整数n的值；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，问是否存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．三．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=，向量=，计算A5．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数），求直线l与曲线C 的交点P的直角坐标．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．（提示：可考虑用分析法找思路）四.[必做题]第22、23题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．25．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．26．在集合A={1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N*）个元素构成集合A m．若A m 的所有元素之和为偶数，则称A m为A的偶子集，其个数记为f（m）；若A m的所有元素之和为奇数，则称A m为A的奇子集，其个数记为g（m）．令F（m）=f（m）﹣g（m）．（1）当n=2时，求F（1），F（2），F（3）的值；（2）求F（m）．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|0＜x＜5}，则A∩B= {1，3} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|0＜x＜5}，∴A∩B={1，3}，故答案为：{1，3}．2．已知复数z满足（3+i）z=10i（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是1﹣3i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（3+i）z=10i，∴（3﹣i）（3+i）z=10i（3﹣i），∴10z=10（3i+1），化为：z=1+3i，则复数z的共轭复数是1﹣3i．故答案为：1﹣3i．3．如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是 1 ．【考点】茎叶图．【分析】根据讨论x＞4时，求出平均分不是91分，显然x≤4，表示出平均分，得到关于x的方程，解出即可．【解答】解：若x＞4，去掉一个最高分（90+x）和一个最低分86后，平均分为（89+91+92+92+94）=91.6分，不合题意，故x≤4，最高分是94，去掉一个最高分94和一个最低分86后，故平均分是（89+92+90+x+91+92）=91，解得x=1，故答案为：1．4．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则一次游戏中甲胜出的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，分析可得甲、乙、丙出的方法种数都有2种，由分步计数原理可得三人进行游戏的全部情况数目，进而可得甲胜出的情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案．【解答】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23=8种方案，而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，所以甲胜出的概率为=，故答案为：．5．执行如图所示的算法流程图，则输出k的值为 3 ．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件n=1，跳出循环，确定输出k的值．【解答】解：n=13是奇数，n==6＞1，不符，此时k=1，n=6是偶数，n=3＞1，不符，此时k=2，n=3是奇数，n=1=1，符合，此时k=3，故答案为：3．6．已知点F为抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出A，利用抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，求出A的横坐标，然后求解斜率．【解答】解：由题可知焦点F（1，0），准线为x=﹣1设点A（x A，y A），∵抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，∴x A+=5，∴x A=4，∴y A=4，∴点A（4，4），∴直线AF的斜率为=，故答案为：．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则= ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项，由=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则，由=3，得，即d=4a1，∴=．故答案为：．8．已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为96πcm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据侧面积计算圆锥的底面半径，根据勾股定理得出圆锥的高，代入圆锥的体积公式计算体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则S侧=π×r×10=60π，解得r=6．∴圆缀的高h==8，∴圆锥的体积V===96π．故答案为：96π．9．若实数x，y满足约束条件，则|3x﹣4y﹣10|的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，而根据点到直线的距离公式可知转化为求阴影内的点到直线l的距离最大，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，直线l的方程为3x﹣4y﹣10=0，点A到直线l的距离最大，由解得，A（，），故点A到直线l的距离d==，故|3x﹣4y﹣10|的最大值为×5=；故答案为：．10．已知函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）=tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC 的面积为π．【考点】正切函数的图象；正弦函数的图象．【分析】根据题意，令sinx=tanx，结合x∈[0，π]求出x的值，得出三个点A、B、C的坐标，即可计算△ABC的面积．【解答】解：根据题意，令sinx=tanx，即sinx（1﹣）=0，解得sinx=0或1﹣=0，即sinx=0或cosx=；又x∈[0，π]，所以x=0或x=π或x=；所以点A（0，0），B（π，0），C（，）；所以△ABC的面积为S=|AB|h=×π×=π．故答案为：π．11．若点P，Q分别是曲线y=与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出原函数的导函数，得到与直线4x+y=0平行的曲线的切线方程，由平行线间的距离公式求得线段PQ长的最小值．【解答】解：由y==1+，得y′=，由，得x2=1，∴x=±1．当x=1时，y=5，则与4x+y=0且与曲线y=相切的直线方程为y﹣5=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣9=0．此时两平行线间的距离为；当x=﹣1时，y=﹣3，则与4x+y=0且与曲线y=相切的直线方程为y+3=﹣4（x+1），即4x+y+7=0．此时两平行线间的距离为．∴曲线y=与直线4x+y=0上两动点PQ距离的最小值为．故答案为：．12．已知，，是同一平面内的三个向量，其中，是相互垂直的单位向量，且（）•（﹣）=1，||的最大值为1+．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】不妨设=（1，0），=（0，1），设=（x，y），根据向量的坐标运算和数量积运算得到（x﹣）2+（y﹣）2=2，结合图形即可求出最大值．【解答】解：∵，是相互垂直的单位向量，不妨设=（1，0），=（0，1），设=（x，y），∴=（1﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y），∵（）•（﹣）=1，∴﹣（1﹣x）x﹣y（﹣y）=1，∴x2﹣x+y2﹣y=1，∴（x﹣）2+（y﹣）2=2，∴向量的轨迹为以（，）为圆心，以为半径的圆，∴圆心到原点的距离为1，∴||的最大值为1+故答案为：1+13．已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x，y，都有x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0，则实数a的取值范围为（﹣∞，] ．【考点】基本不等式．【分析】依题意，由正实数x，y满足x+y+4=2xy，可求得x+y≥4，由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立，利用双钩函数的性质即可求得实数a的取值范围．【解答】解：因为正实数x，y满足x+y+4=2xy，而4xy≤（x+y）2，代入原式得（x+y）2﹣2（x+y）﹣8≥0，解得（x+y）≥4或（x+y）≤﹣2（舍去）由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0可得a（x+y）≤（x+y）2+1，即a≤x+y+令t=x+y∈[4，+∞），则问题转化为a≤t+，因为函数y=t+在[4，+∞）递增，所以y min=4+=，所以a≤故答案为：（﹣∞，]．14．已知经过点P（1，）的两个圆C1，C2都与直线l1：y=x，l2：y=2x相切，则这两圆的圆心距C1C2等于．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设圆心坐标为（x，y），由于圆与直线l1：y=x，l2：y=2x都相切，根据点到直线的距离公式得圆心只能在直线y=x上，设C1（a，a），C2（b，b），推导出a，b是方程（1﹣x）2+（）2=的两根，由此能求出．这两圆的圆心距CC2．1【解答】解：设圆心坐标为（x，y），由于圆与直线l1：y=x，l2：y=2x都相切，根据点到直线的距离公式得：，解得y=x，∴圆心只能在直线y=x上，设C1（a，a），C2（b，b），则圆C1的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=，圆C2的方程为（x﹣b）2+（y﹣b）2=，将（1，）代入，得：，∴a，b是方程（1﹣x）2+（）2=，即=0的两根，∴，ab=，∴|C1C2|==•=•=．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=1，BD=2，∠CAD=，tan∠ADC=﹣2，求：（1）CD的长；（2）△BCD的面积．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）根据tan∠ADC=﹣2计算sin∠ADC，得出sin∠ACD，在△ACD中使用正弦定理求出CD；（2）根据∠ADC+∠BCD=180°求出sin∠BCD，cos∠BCD，在△BCD中使用余弦定理解出BC，则=．S△BCD【解答】解：（1）∵tan∠ADC=﹣2，∴sin∠ADC=，cos∠ADC=﹣．∴sin∠ACD=sin（∠CAD+∠ADC）=sin∠CADcos∠ADC+cos∠CADsin∠ADC==．在△ACD中，由正弦定理得，即，解得CD=．（2）∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴sin∠BCD=sin∠ADC=，cos∠BCD=﹣cos∠ADC=．在△BCD中，由余弦定理得BD2=CD2+BC2﹣2BC•CDcos∠BCD，即40=5+BC2﹣2BC，解得BC=7或BC=﹣5（舍）．=BC•CDsin∠BCD==7．∴S△BCD16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：（1）平面AMP⊥平面BB1C1C；（2）A1N∥平面AMP．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知条件推导出AM⊥BC，AM⊥BB1，从而AM⊥平面BB1C1C，由此能证明平面AMP⊥平面BB1C1C．（2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，推导出平面A1NE∥平面APM，由此能证明A1N∥平面AMP．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，M是BB1的中点，∴AM⊥BC，AM⊥BB1，∵BC∩BB1=B，∴AM⊥平面BB1C1C，∵AM⊂平面AMP，∴平面AMP⊥平面BB1C1C．（2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，∵M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点，∴NE∥BC1∥PM，A1E∥AM，∵PM∩AM=M，A1E∩NE=E，PM、AM⊂平面APM，A1E、NE⊂平面A1EN，∴平面A1NE∥平面APM，∵A1N⊂平面A1NE，∴A1N∥平面AMP．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由点P（1，）在椭圆上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）由题意设直线AB：y=，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，得：3x2+3mx+m2﹣3=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形性质，结合已知条件能求出M、N的坐标．【解答】解：（1）∵点P（1，）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4，∴，解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为．（2）由题意设直线MN：y=，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去y，得：3x2+3mx+m2﹣3=0，△＞0，，∵四边形POMN是平行四边形，∴|MN|==，解得m=±3，当m=3时，解方程：3x2+9x+6=0，得M（﹣1，），N（﹣2，0）；当m=﹣3时，解方程：3x2﹣9x+6=0，得M（1，），N（2，6）．18．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）百元时，该商品的月供给量为y1万吨，y1=ax+ a2﹣a（a＞0）；月需求量为y2万吨，y2=﹣x2﹣x+1．当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）若a=，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积，分类讨论，即可求解商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）设f（x）=y1﹣y2=ax+a2﹣a﹣（﹣x2﹣x+1）=x2+（+a）x+a2﹣a﹣1，因为a＞0，所以f（x）在区间（1，14）上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f（x）在区间[6，14）上有零点，即可得出结论．【解答】解：（1）若a=，y1=x﹣，y2＞y1，即﹣x2﹣x+1＞x﹣，∵1＜x＜14，∴1＜x＜6，月销售量为y1=x﹣，商品的月销售额等于（x﹣）x，在（1，6）上单调递增，（x﹣）x＜；y2≤y1，即﹣x2﹣x+1≤x﹣，∵1＜x＜14，∴6≤x＜14，月销售量为y2=﹣x2﹣x+1，商品的月销售额等于y=（﹣x2﹣x+1）x，y′=﹣（x﹣8）（3x+28），∴函数在（6，8）上单调递增，（8，14）上单调递减，x=8时，取得最大值＞，∴商品的价格为8元时，该商品的月销售额最大；（2）设f（x）=y1﹣y2=ax+a2﹣a﹣（﹣x2﹣x+1）=x2+（+a）x+a2﹣a﹣1因为a＞0，所以f（x）在区间（1，14）上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f（x）在区间[6，14）上有零点，所以f（6）≤0，f（14）＞0，所以0＜a≤．19．已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域，通过讨论a的范围结合g（x）的单调性，求出a的具体范围即可．【解答】解：（1）因为f（x）=，所以f′（x）=，…令f′（x）=0，得x=1．…当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．所以f（x）在x=1时取得极大值f（1）=1，无极小值．…（2）由（1）知，当x∈（0，1）时，f（x）单调递增；当x∈（1，e]时，f（x）单调递减．又因为f（0）=0，f（1）=1，f（e）=e•e1﹣e＞0，所以当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域为（0，1]．…当a=0时，g（x）=﹣2lnx在（0，e]上单调，不合题意；…当a≠0时，g′（x）=，x∈（0，e]，故必须满足0＜＜e，所以a＞．…此时，当x 变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下：x （0，）（，e]g′（x）﹣0 +g（x）单调减最小值单调增所以x→0，g（x）→+∞，g（）=2﹣a﹣2ln，g（e）=a（e﹣1）﹣2，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2使得g（x1）=g（x2）=f（x0），当且仅当a满足下列条件，即，…令m（a）=2﹣a﹣2ln，a∈（，+∞），m′（a）=﹣，由m′（a）=0，得a=2．当a∈（2，+∞）时，m′（a）＜0，函数m（a）单调递减；当a∈（，2）时，m′（a）＞0，函数m（a）单调递增．所以，对任意a∈（，+∞）有m（a）≤m（2）=0，即2﹣a﹣2ln≤0对任意a∈（，+∞）恒成立．由a（e﹣1）﹣2≥1，解得a≥，综上所述，当a∈[，+∞）时，对于任意给定的x0（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0）．…20．在数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+2=（k∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求满足2a n+1=a n+a n+2的正整数n的值；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，问是否存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意可得数列{a n}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．分别利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）①当n为奇数时，由2a n+1=a n+a n+2可得：=n+n+2，化为：=n+1，令f（x）=2×﹣x﹣1（x≥1），利用导数研究函数的单调性即可得出．②当n为偶数时，由2a n+1=a n+a n+2可得：2（n+1）=2+2×，化为：n+1=+，即可判断出不成立．（3）S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=3n+n2﹣1，n∈N*．S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．假设存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1，化为3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），可得1，2，3．分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由a1=1，a2=2，a n+2=（k∈N*）．可得数列{a n}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．∴对任意正整数k，a2k﹣1=1+2（k﹣1）=2k﹣1；a2k=2×3k﹣1．∴数列{a n}的通项公式a n=，k∈N*．（2）①当n为奇数时，由2a n+1=a n+a n+2可得：=n+n+2，化为：=n+1，令f（x）=2×﹣x﹣1（x≥1），由f′（x）=××ln﹣1≥﹣1=ln3﹣1＞0，可知f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f（x）≥f（1）=0，∴当且仅当n=1时，满足=n+1，即2a2=a1+a3．=a n+a n+2可得：2（n+1）=2+2×，②当n为偶数时，由2an+1化为：n+1=+，上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立．综上，满足2a n+1=a n+a n+2的正整数n的值只有1．（3）S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=+=3n+n2﹣1，n∈N*．S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．假设存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1，则3n+n2﹣1=m（3n﹣1+n2﹣1），∴3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），（*）从而3﹣m≥0，∴m≤3，又m∈N*，∴m=1，2，3．①当m=1时，（*）式左边大于0，右边等于0，不成立．②当m=3时，（*）式左边等于0，∴2（n2﹣1）=0，解得n=1，∴S2=3S1．③当m=2时，（*）式可化为3n﹣1=（n+1）（n﹣1），则存在k1，k2∈N*，k1＜k2，使得n﹣1=，n+1=，且k1+k2=n﹣1，从而==2，∴﹣=2，=1，∴k1=0，k2﹣k1=1，于是n=2，S4=2S3．综上可知，符合条件的正整数对（m，n）只有两对：（2，2），（3，1）．三．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD ﹣AE•AC．【解答】证明：连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆，∴BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF，∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=，向量=，计算A5．【考点】特征向量的意义．【分析】令f（λ）==λ2﹣5λ+6=0，解得λ=2或3．分别对应的一个特征向量为；．设=m++n．解得m，n，即可得出．【解答】解：∵f（λ）==λ2﹣5λ+6，由f（λ）=0，解得λ=2或3．当λ=2时，对应的一个特征向量为α1=；当λ=3时，对应的一个特征向量为α2=．设=m++n．解得．∴A5=2×25+1×35=．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数），求直线l与曲线C 的交点P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换将极坐标方程化成直角坐标方程．再利用消去参数的方法化参数方程为直角坐标方程，通过直角坐标方程求出交点即可．【解答】解：因为直线l的极坐标方程为所以直线l的普通方程为，又因为曲线C的参数方程为（α为参数）所以曲线C的直角坐标方程为，联立解方程组得或，根据x的范围应舍去，故P点的直角坐标为（0，0）．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．（提示：可考虑用分析法找思路）【考点】分析法和综合法．【分析】直接利用分析法的证明步骤，结合函数的单调性证明即可．【解答】证明：∵b a＞0，a b＞0，∴要证：b a＞a b只要证：alnb＞blna只要证．（∵a＞b＞e）取函数，∵∴当x＞e时，，∴函数在上是单调递减．∴当a＞b＞e时，有，即．得证．四.[必做题]第22、23题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．25．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率．（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，先求出P（B），由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，则P（A）==．…（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，则获得一等奖的概率为=，获得三等奖的概率为P3==，所以P（B）==．…由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）=（1﹣）2=，P（X=1）==，P（X=2）=（）2=．所以X的分布列是X 0 1 2P所以E（X）=0×+2×=．…26．在集合A={1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N*）个元素构成集合A m．若A m 的所有元素之和为偶数，则称A m为A的偶子集，其个数记为f（m）；若A m的所有元素之和为奇数，则称A m为A的奇子集，其个数记为g（m）．令F（m）=f（m）﹣g（m）．（1）当n=2时，求F（1），F（2），F（3）的值；（2）求F（m）．【考点】子集与真子集；元素与集合关系的判断．【分析】（1）根据已知条件利用列举法能F（1），F（2），F（3）；（2）分m为奇数和m为偶数两种情况，再根据二项式定理和排列组合的知识即可求出答案．【解答】解：（1）当n=2时，集合为{1，2，3，4}，当m=1时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，f（1）=2，g（1）=2，F（1）=0；当m=2时，偶子集有{2，4}，{1，3}，奇子集有{1，2}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，f（2）=2，g（2）=4，F（2）=﹣2；当m=3时，偶子集有{1，2，3}，{1，3，4}，奇子集有{1，2，4}，{2，3，4}，f（3）=2，g（3）=2，F（3）=0；（2）当m为奇数时，偶子集的个数f（m）=C n0C n m+C n2C n m﹣2+C n4C n m﹣4+…+C n m﹣1C n1，奇子集的个数g（m）=C n1C n m﹣1+C n3C n m﹣3+…+C n m C n0，所以f（m）=g（m），F（m）=f（m）﹣g（m）=0．当m为偶数时，偶子集的个数f（m）=C n0C n m+C n2C n m﹣2+C n4C n m﹣4+…+C n m C n0，奇子集的个数g（m）=C n1C n m﹣1+C n3C n m﹣3+…+C n m﹣1C n1，所以F（m）=f（m）﹣g（m）=C n0C n m﹣C n1C n m﹣1+C n2C n m﹣2﹣C n3C n m﹣3+…﹣C n m﹣1C n1+C n m C n0，一方面，（1+x）m（1﹣x）m=（C m0+C m1x+C m2x2+…+C m m x m）[C m0﹣C m1x+C m2x2+…+（﹣1）m C m m x m]所以，（1+x）m（1﹣x）m中x m的系数为C m0C m m﹣C m1C m m﹣1+C m2C m m﹣2﹣C m3C m m﹣3+…﹣C m m﹣1C m1+C m m C m0，另一方面，（1+x）m（1﹣x）m=（1﹣x2）m，（1﹣x2）m中x m的系数为（﹣1），故f（m）=（﹣1），综上，F（m）=。
2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B2．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=3．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题4．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变5．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定6．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-7．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020218．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．119．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是2,2⎡-⎣；②函数4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．111．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．1912．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ． 2． 设i 是虚数单位，若复数iiz 23-=，则z 的虚部为 ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是 ． 4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23π的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ．5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教（每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ． 6． 函数1281--=x y 的定义域为 ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ． 8． 已知53sin -=θ，23πθπ<<，则=θ2tan ． 9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆221x y m +=的离心率是 ． 10．若曲线12+-=x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则BA tan 3tan 2-的最小值为 ． 12．已知圆C ：1)2()2(22=-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ，在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ． 13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，︒=∠90DAB ，1==DC AD ，AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是 ．14．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1()()2f t f t+=-，则224ab +的最小值为 ．（第3题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab c b a c b a 3))((=++-+． （1）求角C 的大小； （2）若53)3sin(=-πB ，求A sin 的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC =，点D 在AB 上，E 为AC 的中点， 且//BC 平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面⊥PCD 平面ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PCD ．17．(本小题满分14分)已知函数1()|1|4=--f x x x ．（1）解方程()0f x =；（2）设()()g x xf x =，求()g x 在[0,2]上的最小值．18．(本小题满分16分)2020年5月1日，某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC 的支撑杆AB ，CD 由长为3的材料弯折而成（即3=+CD AB ），AB 边的长为t 2（1≤t ≤23）（CA ，CB 另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线，其表达式为1cos y x=-，记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是抛物线249y x =的一段，此时记结构的最低点O 到 点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？ （参考数据cos10.54=）19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（1）设12e ，求BCAD值；（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数x k x x x f )1(ln )( +-=，R k ∈．（1）若1-=k ，求)(x f 的最值；（2）若对于任意][3e e x ，∈，都有x x f ln 4)(<成立，求实数k 的取值范围； （3）若对于任意]2[2e x ， ∈，都有k x x f -->2)(成立，求整数．．k 的最大值．数学附加题21．（A ）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征向量.（1）求实数a 的值； （2）求矩阵M 的特征值.（B ）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A （异于极点O ），求直线CA 的极坐标方程.22．（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数,,2,2i i --其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ23．（本小题满分10分） 在自然数列1,2,3,,n 中，任取(0),)k k n k N ≤≤∈个元素，其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为()n P k . （1）求34(1),(0)P P ； （2）证明：11()()n n nn k k kP k n Pk --===∑∑，并求出0()nn k kP k =∑的值.数学答案一、填空题．1．[1,2) 2．3- 3．4 4．(1,3)- 5．16 6．]2,(--∞ 7．n n 22+ 8．7249．310．34 11．3 12．]433,433[+- 13．]32,38[-- 14．165一、解答题．15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab c b a c b a 3))((=++-+． （1）求角C 的大小；（2）若53)3sin(=-πB ，求A sin 的值．解析：（1）由ab c b a c b a 3))((=++-+，得ab c b a 3)(22=-+，即ab c b a =-+222………………………………………………………………2分由余弦定理得2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C ，……………………………4分 因为),0(π∈C ，所以3π=C ……………………………………………………6分（2）由（1）知3π=C ，则)32,0(π∈B ，则)3,3(3πππ-∈-B ，………………………8分 因为53)3sin(=-πB ，所以54)3(sin 1)3cos(2=--=-ππB B …………………10分又因为π=++C B A ，所以)3sin()sin()](sin[sin ππ+=+=+-=B C B C B A]32)3sin[(ππ+-=B …………………………………………………………12分 32sin )3cos(32cos )3sin(ππππ-+-=B B103342354)21(53-=⨯+-⨯=……………………………………………14分 16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC =，点D 在AB 上，E 为AC 的中点， 且//BC 平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面⊥PCD 平面ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PCD ． 解析：（1）因为//BC 平面PDE ，⊂BC 平面ABC ， 平面⋂PDE 平面DE ABC =，所以DE BC //，………………………………………………4分 因为⊄DE 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，所以//DE 平面PBC …………………………………………6分 （2）在ABC ∆中，因为E 为AC 的中点，BC DE //，所以D 是AB 的中点…………………………………………8分 因为BC AC =，所以CD AB ⊥，……………………………10分 因为平面⊥PCD 平面ABC ，平面⋂PCD 平面CD ABC =，⊂AB 平面ABC ，所以⊥AB 平面PCD ，………………………………………………12分 因为⊂AB 平面PAB ，所以平面⊥PAB 平面PCD …………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)已知函数1()|1|4=--f x x x ．（1）解方程()0f x =；（2）设()()g x xf x =，求()g x 在[0,2]上的最小值．（1）21104x x x ≥⎧⎪⎨--=⎪⎩或21104x x x <⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：x =或12x =； ……………………4分 （2）322321(01)14()|1|14(12)4x x x x g x x x x x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=--=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，则 22132(01)4'()132(12)4x x x g x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ ……………………………………………………6分（1）当12x <≤时，()0g x '<，()g x 在[1,2]上单调减，此时min ()g x =9(2)2g =-……8分 （2）当01x ≤≤时，令'()0g x =，解得：x =或x =；∴当0x ≤<时，'()0g x <1x <≤时，'()0g x >； ∴()g x在上单调减，在上单调增， 此时min ()g x=g =………………………………………………12分又92>-，………………………………………………………………13分()g x 在[0,2]上的最小值为9(2)2g =-…………………………………………………14分 18． 解析：（1）对于曲线1C ，因为曲线AOB 的表达式为x y cos 1-=， 所以点B 的坐标为)cos 1,(t t -，所以点O 到AB 的距离为t cos 1-，…………………………………………………………2分因为t DC 23-=，所以4cos 2)cos 1()23()(1+--=-+-=t t t t t h （231≤≤t ）；……………………………4分 对于曲线2C 249y x =，则点B 的坐标为)94,(2t t ， 所以点O 到AB 的距离为294t ，…………………………6分因为t DC 23-=，所以3294)(22+-=t t t h （231≤≤t ）…………………8分（2）因为0sin 2)(1<+-='t t h ， 所以)(1t h 在]23,1[上单调递减，所以当1=t 时，)(1t h 取得最大值1cos 2-………………10分因为43)49(94)(22+-=t t h ，（231≤≤t ）所以当1=t 时，)(2t h 取得最大值为913，……………………………………………………12分因为132cos1 1.469-=>，所以选用曲线1C ，………………………………………………14分且当1=t 时，点O 到点C 的距离最大，最大值为1cos 2-…………………………………16分19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． （1）设12e =，求BC AD值； （2）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解析：（1）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a +=+=>>…………………………………………2分设直线:l x t =(||)t a <，分别与C 1，C 2的方程联立， 求得2222(,),(,)a b A t a t B t a t b a--……………………………………………………4分 当12e =时，3b a =，分别用,A B y y 表示A ，B 的纵坐标，可知222||3||24B A y BC b AD y a ===……………………………………………………………………8分（2）t =0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO //AN 当且仅当BO 的斜率与AN 的斜率相等，即a b t t a=- 解得222221ab e t a a b e-=-=--- ……………………………………………………………12分 因为||,01t a e <<<，所以2211e e -<，解得12e <<…………………………………14分所以当02e <≤l ，使得BO //AN ；……………………………………15分1e <<时，存在直线l 使得BO //AN .…………………………………………………16分20．(本小题满分16分)已知函数x k x x x f )1(ln )( +-=，R k ∈． （1）若1-=k ，求)(x f 的最值；（2）若对于任意][3e e x ，∈，都有x x f ln 4)(<成立，求实数k 的取值范围；（3）对于任意]2[2e x ， ∈，都有k x xf -->2)(成立，求整数．．k 的最大值．解析：（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为k ＝－1，所以f (x )＝x ln x ，f ′ (x )＝ln x ＋1． 列表如下：所以，f (x )的最小值为－1e ，没有最大值；………………………………………………4分（2）对于任意][3e e x ，∈，都有f (x )＜4ln x 成立，等价于对于任意][3e e x ，∈，都有k ＋1＞(1－4x)ln x 成立， ………………………6分令g (x )＝(1－4x )ln x ，所以g′ (x )＝x －4＋4ln x x 2．因为][3e e x ，∈，所以g′ (x )＞0，所以g (x )在][3e e x ，∈时单调递增． ……………8分因为g (x )在][3e e x ，∈时的最大值是g (e 3)＝3－12e3 ．所以，实数k 的取值范围是(2－12e3 ，＋∞)； (10)分（3）对于任意]2[2e x ， ∈，都有f (x )＞－2x －k 成立，即对于任意]2[2e x ， ∈，都有(ln x －k －1)x ＞－2x －k 成立，因为]2[2e x ， ∈，所以(ln x －k －1)x ＞－2x －k 等价于k ＜x ln x ＋xx －1． ………………12分令h (x )＝x ln x ＋x x －1 ，所以h ′ (x )＝－ln x ＋x －2(x －1)2．令p (x )＝－ln x ＋x －2，求得p′ (x )＝x －1x ．当]2[2e x ， ∈时所以p′ (x )＞0，p (x )在]2[2e x ， ∈上单调递增．因为p (3)＝1－ln3＜1－lne ＝0，p (4)＝2－2ln2＞2－2lne ＝0，且p (x )图像不间断， 所以p (x )在区间(3，4)内有唯一零点，…………………………………………………14分 设唯一零点为x 0，则x 0∈(3，4），且p (x 0)＝－lnx 0＋x 0－2＝0，即lnx 0＝x 0－2．所以，h (x )在[2，x 0]上单调递减，在[x 0，e 2]上单调递增，h (x )在x ＝x 0时取到最小值h (x 0)． 因为lnx 0＝x 0－2，所以h (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－1＝x 0，所以整数k 的最大值为3．………………………………………………………………16分数学附加题参考答案21．（A ）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分） 设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征向量. （1）求实数a 的值； （2）求矩阵M 的特征值.解(1)设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 是属于特征值λ的一个特征向量，则2223233a λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，……2分即262124a λλ+=⎧⎨=⎩，解得41a λ=⎧⎨=⎩，故实数a 的值为1…………………………………………5分 （2）矩阵M 的特征多项式212()(1)(2)63432f λλλλλλλ--==---=----……8分 由()0f λ=，得4λ=或1λ=-，故矩阵M 的特征值为4和1-…………………………10分 21．（B ）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程.解：圆C ：θρθρπθρρsin 2cos 24cos 22+=⎪⎭⎫⎝⎛-= 所以02222=--+y x y x …………………4分所以圆心⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,22C ，与极轴交于()0,2A …………………6分直线CA 的直角坐标方程为2=+y x …………………8分即直线CA 的极坐标方程为14cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ． …………………10分22．（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数,,2,2i i --其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ解：（1）1()2P A =……………………………………………………………………………2分 00413441111511()1()1[(()()()()]122221616P B P B C C =-=-+=-=……………5分 （2）ξ可取1，2，4…………………………………………………………………………6分418141(1)(2)(4)164162164P P P ξξξ=========……………………8分 列出概率分布表：1119()1244244E ξ=⨯+⨯+⨯=…………………………………………………………10分23．（本小题满分10分） 在自然数列1,2,3,,n 中，任取(0),)k k n k N ≤≤∈个元素，其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为()n P k . （1）求34(1),(0)P P ； （2）证明：11()()n n nn k k kP k n Pk --===∑∑，并求出0()nn k kP k =∑的值.解：（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，所以3(1)3P =.……………………………………………………………………………………2分 数列1，2，3，4中保持0个元素位置不动的排列，即每个数字都不在原来的位置上， 所以4(0)9P =.……………………………………………………………………………………4分 （2）数列1,2,3,,n 中任取其中k 个元素位置不动，则有kn C 种，其余n k -个元素重新排列，并且使其余n k -个元素都要改变位置，则有()(0)kn n n k P k C P -=故()(0)nnknn n k k k kP k kCP -===∑∑，又11k k n n kC nC --=……………………………………………6分所以11111000()(0)(0)()nnn n kknn n kn n k n k k k k okP k kCP n C Pn P k -------=======∑∑∑∑，…………………8分对任意的0,()!nnk n N P k n =∈=∑，从而11()(1)!n n k Pk n --==-∑所以()(1)!!nnk kP k n n n ==-=∑………………………………………………………………10分。
2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，每题5分）1．（2020•江苏一模）已知集合A＝（0，+∞），全集U＝R，则∁U A＝（﹣∞，0]．【解答】解：∵A＝（0，+∞），U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．2．（2020•江苏一模）设复数z＝2+i，其中i为虚数单位，则z•＝5．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：5．3．（2020•江苏一模）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为．【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数n＝＝3，甲被选中包含的基本事件个数m＝＝2，则甲被选中的概率为P＝＝．故答案为：．4．（2020•江苏一模）命题“∀θ∈R，cosθ+sinθ＞1”的否定是真命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃θ0∈R，cosθ0+sinθ0≤1为真命题，故答案为：真．5．（2020•江苏一模）运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝0满足条件S≤10，执行循环体，S＝0，I＝1满足条件S≤10，执行循环体，S＝1，I＝2满足条件S≤10，执行循环体，S＝3，I＝3满足条件S≤10，执行循环体，S＝6，I＝4满足条件S≤10，执行循环体，S＝10，I＝5满足条件S≤10，执行循环体，S＝15，I＝6不满足条件S≤10，退出循环，输出I的值为6．故答案为：6．6．（2020•江苏一模）已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是2．【解答】解：∵样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，∴，解得x＝10，y＝11或x＝11，y＝10，∴此样本的方差为：S2＝[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]＝2．故答案为：2．7．（2020•江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为2．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，准线方程为：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，所以P（2，）则点P到点O的距离为：＝，故答案为：2．8．（2020•江苏一模）若数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则的值为3．【解答】解：数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，∴2ln（a1+d）＝lna1+ln（a1+4d），∴＝a1（a1+4d），∴，解得d＝2a1，∴＝＝3．故答案为：3．9．（2020•江苏一模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝．【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，设AB＝a，△ABC的高为b，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h，则，，∴＝＝．故答案为：．10．（2020•江苏一模）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则ω的值为7．【解答】解：∵f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为，∴f（0）＝sinφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，则f（x）＝sin（ωx+），∵y轴右侧第一个最低点的横坐标为，∴由五点对应法得ω+＝得φ＝7，故答案为：7．11．（2020•江苏一模）已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），＝+，则cos∠BAC的值为．【解答】解：∵＝+，令，∴如图，点B，H，E三点共线，则有，，∴．∴，即．∴，∴＝（其中点F为边AB的中点），则有，边AB上的中线与垂线重合，即CB＝CA．∵且．由对称性可知，且．建立如图所示的平面直角坐标系，则有，D（0，0），B（2，0），C（1，0），设A（0，4t），∴H（0，t），t＞0．由BC＝CA可得，．cos∠BAC＝＝．故答案为．12．（2020•江苏一模）若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为10．【解答】解：∵无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，∴ω＝0，∴cos（ωn）＝1，∴无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）的前10项的和为：S10＝10×1＝10．故答案为：10．13．（2020•江苏一模）已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y ≤kx+b2}，若P⊆Q，则的最小值为4．【解答】解：当x≥0，y≥0时，x2+y2＝16，即y＝；当x≥0，y＜0时；x2﹣y2＝16，即当x＜0，y≥0时；﹣x2+y2＝16，即y＝当x＜0，y＜0时，x2+y2＝﹣16，舍去．作出图象，x2﹣y2＝16的一条渐近线为y＝﹣x，与该渐近线平行，且与圆x2+y2＝16的一条切线为，由图可知，k＝﹣1，最小值为＝．故答案为：4．14．（2020•江苏一模）若对任意实数x∈（﹣∞，1]，都有||≤1成立，则实数a 的值为．【解答】解：依题意，，令，若x2﹣2ax+1＝0的判别式△＝4a2﹣4≥0，则x2﹣2ax+1＝0有解，设一解为x1，则当x→x1时，|f（x）|→+∞，不满足|f（x）|≤1恒成立，故﹣1＜a＜1，，①当2a+1＜0，即时，函数f（x）在（2a+1，1）单调递减，f（0）＝1，则f（2a+1）＞1，不满足题意；②当2a+1＞0，即时，记1，2a+1中的较小值为x0，则函数f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，由f（0）＝1可得f（x0）＞f（0）＝1，不满足题意；③当2a+1＝0，即时，f（x）在（﹣∞，0），（0，1）单调递减，则f（x）≤f（0）＝1，＞0，则|f（x）|≤1恒成立．故答案为：．二、解答题（共6题，满分90分）15．（2020•江苏一模）已知△ABC满足sin（B+）＝2cos B．（1）若cos C＝，AC＝3，求AB；（2）若A∈（0，），且cos（B﹣A）＝，求sin A．【解答】解：（1）由sin（B+）＝2cos B，可知sin B+cos B＝2cos B，即sin B＝cos B，因为cos B≠0，所以tan B＝，又B∈（0，π），故B＝，由cos C＝，C∈（0，π），可知sin C＝，在△ABC中，由正弦定理，所以AB＝2；（2）由（1）知B＝，所以A∈（0，）时，﹣A∈（0，），由cos（B﹣A）＝，即cos（）＝，所以sin（）＝，所以sin A＝sin[﹣（）]＝sin cos（）﹣cos sin（）＝＝．16．（2020•江苏一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P 是侧棱CC1上的一点．（1）若AC1∥平面PBD，求的值；（2）求证：BD⊥A1P．【解答】解：（1）连结AC交BD于点O，连结OP．因为AC1∥平面PBD，AC1⊂平面ACC1，平面ACC1∩平面BDP＝OP，所以AC1∥OP．因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以点O是AC的中点，所以AO＝OC，所以在△ACC1中，＝＝1．（2）证明：连结A1C1．因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，所以侧棱C1C⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC∩CC1＝C，AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，所以BD⊥面ACC1A1，又因为A1P⊂面ACC1A1，所以BD⊥A1P．17．（2020•江苏一模）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）【解答】解：（1）设⊙P的半径为r，则AB＝4（2﹣r），所以⊙P的周长，解得，故⊙P半径的取值范围为；（2）在（1）的条件下，油桶的体积V＝πr2•AB＝4πr2（2﹣r），设函数，则f′（x）＝4x﹣3x2，由于，所以f′（x）＞0在定义域上恒成立，即函数f（x）在定义域上单调递增，故当时，体积取倒最大值．18．（2020•江苏一模）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．【解答】解：（1）由题意知当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．知c＝1，＝e＝，∴b ＝c＝1，又a2＝b2+c2＝2，所以椭圆的方程为：＝1；（2）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）设A（x0，y0），由＝λ得，即，代入椭圆方程得：+（﹣λy0）2＝1，又＝1，得，两式相减得：＝1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx0+λ+1＝2（1﹣λ），故；同理可得：，故λ+μ＝+＝，当且仅当x0＝0时取等号，故λ+μ的最小值为．19．（2020•江苏一模）定义：若无穷数列{a n}满足{a n+1﹣a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M（q）数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n+1＝2S n﹣n+λ，请判断数列{b n}是否为“M（q）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n}是“M（2）数列”，是否存在正整数m，n使得＜＜？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，所以q＝＝＝1，所以＝1，n≥2，即b n+1﹣b n＝b n﹣b n﹣1，n≥2，所以数列{b n}是等差数列，其公差为b2﹣b1＝3，所以数列{b n}通项公式为b n＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．（2）由，得，b3＝4+3λ＝7，解得λ＝7，由，得，两式作差，得：，∴，n∈N*，∵，∴，∴对n∈N*恒成立，则＝3（），∵，∴，∴＝3，∴是等比数列，∴，∴，∴＝＝3，∴{b n+1﹣b n}是公比为3的等比数列，故数列{b n}是“M（q）数列“．（3）由数列{b n}是“M（2）”数列，∴b n+1﹣b n＝（b2﹣b1）×2n+1，∵＝2，∴＝2，∴b2＝3，∴b2﹣b1＝2，∴b n+1﹣b n＝2n，∴当n≥2时，b n＝（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1，＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1＝2n﹣1，假设存在正整数m，n，使得，则，由＝，∴，∴m﹣n＝1，∴，即，∴，∴n＝10，m＝11．∴存在满足条件的正整数m，n，其中m＝11，n＝10．20．（2020•江苏一模）若函数f（x）＝e x﹣ae﹣x﹣mx（m∈R）为奇函数，且x＝x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若f（x0）≥﹣恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数，得f（x）+f（﹣x）＝0在定义域上恒成立，∴e x﹣ae﹣x﹣mx+e﹣x﹣ae x+mx＝0，化简可得（1﹣a）（e x+e﹣x）＝0，故a＝1；（2）由（1）可得f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，则，①当m≤2时，由于e2x﹣me x+1≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故不存在极小值；②当m＞2时，令e x＝t，则方程t2﹣mt+1＝0有两个不等的正根t1，t2（t1＜t2），故可知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx在（﹣∞，lnt1），（lnt2，+∞）上单调递增，在（lnt1，lnt2）上单调递减，即在lnt2出取到极小值，所以，实数m的取值范围为（2，+∞）；（3）由x0满足代入f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，消去m得，构造函数h（x）＝（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x，则h′（x）＝x（e﹣x﹣e x），当x≥0时，，故当x≥0时，h′（x）≤0恒成立，故函数h（x）在[0，+∞）上单调减函数，其中，则，可转化为h（x0）≥h（1），故x0≤1，由，设y＝e x+e﹣x，可得当x≥0时，y′＝e x﹣e﹣x≥0，∴y＝e x+e﹣x在（0，1]上递增，故，综上，实数m的取值范围为．四、选做题（任选2道，每道10分）21．（2020•江苏一模）已知圆C经矩阵M＝变换后得到圆C′：x2+y2＝13，求实数a的值．【解答】解：设圆C上任一点（x，y），经矩阵M变换后得到圆C’上一点（x’，y’），所以，所以，又因为（x′）2+（y′）2＝13，所以圆C的方程为（ax+3y）2+（3x﹣2y）2＝13，化简得（a2+9）x2+（6a﹣12）xy+13y2＝13，所以解得a＝2．所以，实数a的值为2．22．（2020•江苏一模）在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值．【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线ρcosθ+2ρsinθ＝m，可得直角坐标方程为x+2y﹣m＝0．又曲线ρ＝4sinθ，所以ρ2＝4ρsinθ，其直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，所以曲线ρ＝4sinθ是以（0，2）为圆心，2为半径的圆．为使直线被曲线（圆）截得的弦AB最长，所以直线过圆心（0，2），于是0+2×2﹣m＝0，解得m＝4．所以，实数m的值为4．23．（2020•江苏一模）已知正实数a，b，c满足++＝1，求a+2b+3c的最小值．【解答】解：根据题意，因为++＝1，则++＝1，由柯西不等式得a+2b+3c＝（a+2b+3c）（++）≥（1+2+3）2；即a+2b+3c≥36，当且仅当a＝b＝c时取等号，解得a＝b＝c＝6，所以当且仅当a＝b＝c＝6时，a+2b+3c取最小值36．五、必做题（每题10分，共计2题）24．（2020•江苏一模）如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线，A1B1、AB分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；（2）若二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，求母线AA1的长．【解答】解：（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．由CD＝2，AA1＝3，所以A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（﹣1，0，0），D（1，0，0），A1（0，﹣1，3），B1（0，1，3），从而＝（﹣1，1，﹣3），＝（1，﹣1，﹣3），所以cos＝，所以异面直线A1C与B1D所成角的余弦值为：．（2）设AA1＝m＞0，则A1（0，﹣1，m），B1（0，1，m），所以＝（﹣1，1，﹣m），＝（1，﹣1，﹣m），，＝（2，0，0），设平面A1CD的一个法向量＝（x1，y1，z1），则所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，所以平面A1CD的一个法向量＝（0，m，1）．同理可得平面B1CD的一个法向量＝（0，﹣m，1）．因为二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，所以|cos＜，＞|＝＝，解得m＝或m＝，由图形可知当二面角A1﹣CD﹣B1的大小为时，m＝．25．（2020•江苏一模）设（1﹣2x）i＝a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n（n∈N*），记S n＝a0+a2+a4+…+a2n．（1）求S n；（2）记T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n，求证：|T n|≥6n3恒成立．【解答】解：（1）由题意，令x＝1，得a0+a1+a2+…+a2n＝＝0；令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2n﹣1+a2n＝＝31+32+…+32n＝•（9n﹣1）．两式相加，得2（a0+a2+a4+…+a2n）＝•（9n﹣1），即2S n＝•（9n﹣1），∴S n＝（9n﹣1），n∈N*．（2）由题意，T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n＝{[﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n]}＝{[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n ]}＝[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]＝[（﹣9）0﹣（﹣9）1+（﹣9）2﹣（﹣9）3+…+（﹣9）n]＝（1﹣9）n＝•（﹣8）n．故|T n|＝|•（﹣8）n|＝•8n．要证|T n|≥6n3，即证×8n≥6n3，只需证明8n﹣1≥n3，即证2n﹣1≥n．当n＝1，2时，2n﹣1≥n显然成立．当n≥3时，2n﹣1＝++…+≥＝+＝1+（n﹣1）＝n，即2n﹣1≥n，所以2n﹣1≥n对n∈N*恒成立．综上，|T n|≥6n3恒成立．。
2020届江苏省南通市如皋中学高三（创新班）下学期6月高考模拟数学试题一、填空题1．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】将原问题转化为Venn 图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩， 即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________． 【答案】2x =-【解析】将双曲线方程化为标准方程得222213x y a a-=，抛物线的准线为2x a =-，联立22222138x y a ay ax⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得3x a =，即点P 的横坐标为3a ，而由1212122PF PF PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得26PF a =-，∴2326PF a a a =+=-，解得1a =，∴抛物线的准线方程为2x =-，故答案为2x =-.3．已知实数a ，b 满足22182a b+=θθ+取最大值时，tan θ=________.【答案】1【解析】根据辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，进而可求得答案 【详解】由22182a b +=得2284a b +=，利用辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，其中tan ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以最大值为2，当且仅当22a b ==，()sin 1θϕ+=时成立， 此时tan 1ϕ=，故4πϕ=，所以sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则24k πθπ=+，k Z ∈，则tan 1θ=，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，关键是利用辅助角公式化简，利用基本不等式求最值，属于中档题目.4．已知等差数列{}n a 满足：22158a a +=，则12a a +的最大值为________.【答案】5【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据22158a a +=，利用平方关系，设15,a a θθ==，则()12cos 5sin 22a a θθθϕ=+=++，再利用三角函数的性质求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为22158a a +=，由22cos sin 1αα+=，设15,a a θθ==，则()211511cos 422a a d a a a θθ=+=+-=+，所以()12cos 5sin ,tan 722a a θθθϕϕ=+=+=+， 当2,2k k Z πθϕπ+=+∈时，12a a +的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围为________.【答案】0a ≤或12a ≥【解析】首先对函数求导，观察得到'(0)0f =，并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根，结合图象得到结果.【详解】2()x x f x x e ae a '-=⋅+，函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点， 即2()0x xf x x e ae a ='-⋅+=只有1个实根，且在根的两侧异号，可以求得'(0)0f =，令'()0f x =，得2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-，则设2()(0)1xx x e a g x x e ⋅==≠-，求导2222222(1)(1)2[(1)(1)]()(1)(1)x x x x x x x x x e e e xe e x e x g x e e +--⋅--+==-'-，设2()(1)(1)xh x x ex =--+，222'()2(1)1(12)1x x x h x e x e x e =-+--=--，设()()u x h x ='，222()2(24)4xx x u x e x e xe '=-+-=-，可知当0x <时，'()0u x >，0x >时，'()0u x <，所以)'(h x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减，且'(0)0h =， 所以'()0h x ≤恒成立，所以()h x 为减函数，且(0)0h =， 所以当0x <时，'()0g x >，当0x >时，)'(0g x <， 所以()g x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减， 当0x >时，21,()0xeg x >>，当0x <时，21,()0x e g x <>画出()y g x =图象如图所示：可以确定22000(1)1lim ()lim lim 122x x x x x x x xe x e g x e e →→→+===-， 因为函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，且'(0)0f =，所以要求2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-无解，所以0a ≤或12a ≥， 故答案为：0a ≤或12a ≥. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的性质，涉及到的知识点有利用导数研究参数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．其中将函数有一个极值点转化为方程只有一个根，结合图象得到结果，属于较难题目. 6．已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为 ． 【答案】【解析】试题分析：取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切.【考点】圆的切线.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同两点AB ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为________. 10【解析】由渐近线斜率设出直线l 方程，与双曲线方程联立消去x 得关于y 的二次方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，由韦达定理得12y y +，12y y ，由此可得,,a b c 的齐次等式，从而求得离心率． 【详解】不妨设直线l 与渐近线b y x a=-垂直，即直线l 方程为()ay x c b =+，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222()b y bcy b c a y a b a a -+-=， 即2222324()20c b a y ab cy a b --+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则3122222()ab c y y c b a +=-①，2412222()a b y y c b a =-②， 又2AF FB =u u u r u u u r，(,0)F c -，所以122y y =-③，③代入①得32222()ab y c a b =-，所以31224()ab y c a b =--，12,y y 代入②得 262422222228()()a b a b c a b c b a -=--，整理得22910c a =，所以c e a ==．． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是设出直线l 方程，与双曲线方程联立消元后得一元二次方程，注意这里消去x 得y 的二次方程对解题有帮助，原因是由2AF FB =u u u r u u u r易得122y y =-，结合韦达定理可得关于,,a b c 的齐次式，从而求得离心率．8．用I M 表示函数sin y x =在区间I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则a 的取值范围为________.【答案】513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正弦定理在[0,)+∞上的单调性求解． 【详解】因为sin y x =在[0,]2π上单调递增，所以[0,]2a π∈，若2a π<，则存在0δ>，使得[,2]a a a δ+∈，且[0,]sin()a a M δ+>，不合题意，所以[0,]1a M =，所以由[][]0,,22a a a M M ≥得[,2]12a a M ≤，所以561326a a ππ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得513612a ππ≤≤． 故答案为：513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【点睛】本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，正确理解新定义是关键．9．四棱锥P ABCD -中，2PA BC CD ===，PB PC PD AB AD =====，则四棱锥P ABCD -的体积为________. 【答案】3【解析】连接,AC BD 交于点E ，通过证明平面PCD ⊥平面ABCD ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，利用180AOD COD ∠+∠=︒，应用余弦定理求得各线段长，由P ABCD D PAC B PAC V V V ---=+可得体积． 【详解】连接,AC BD 交于点E ，由,AB AD CB CD ==知AC BD ⊥，E 是BD 中点，又PB PD =，所以PE BD ⊥，又PE AC E =I ，所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面ABCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ， 过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，则BO DO CO ===AO =设CO a =，则AO =222242cos 12a a COD a a+-∠==-， 222cos AOD ∠==因为cos cos AOD COD ∠=-∠2221a =-，由0a >，解得2a =，所以1AO =，2BO CO DO ===，PO =，11322PAC S AC PO =⨯=⨯=V ，DE BE = 1133P ABCD D PAC B PAC PAC PACV V V DE S BE S ---=+=⨯⨯+⨯⨯V V11333==． 故答案为：3．【点睛】本题考查求四棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10．已知向量a r ，b r满足1a =r ，3b =r ，若存在不同的实数1λ，()2120λλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+u r r r且()()()01,2i i c a c b i -⋅-==u r r u r r ，则12c c -u r u u r 的取值范围是________.【答案】(2,2222,23⎡⋃⎣【解析】设a b k ⋅=r r，()()0iic a c b -⋅-=u r r u r r 变形（数量积的运算）得12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，利用韦达定理求得12λλ-，则12123c c a b λλ-=-+u r u u r r r可表示为k 的函数，由k 的范围可得结论，在题中注意k 的范围的确定． 【详解】111(1)3c a a b λλ-=-+u r r r r ，111(31)c b a b λλ-=+-u r r r r ，设a b k ⋅=r r（33k -≤≤），由()()110c a c b -⋅-=u r r u r r得211()0c a b c a b -+⋅+⋅=u r r r u r r r ，整理得2116(3)4(3)0k k k λλ+-++=，同理2226(3)4(3)0k k k λλ+-++=，所以12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，由120λλ≠得0k ≠，3k =-方程无解，故0k ≠且3k ≠-，8(3)(6)0k k ∆=+->，1223λλ+=，126(3)kk λλ=+，所以12λλ-===，3a b +===r r所以1212123c c a b λλλ-=-+=-=u r u u r r r33k -<≤且0k ≠得12c c -u r u u r的范围是[2,U ．故答案为：[2,U ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a b k ⋅=r r后通过数量积的运算把12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，这样可用韦达定理求得12λλ-，从而求得目标12c c -u r u u r关于k 的函数．11．已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos APB ∠的最大值为________.【答案】4【解析】画出椭圆图形，设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ，由正切和角公式用00,x y 表示出tan APB ∠，结合椭圆的方程化为0y 的表达式，利用换元法令01t y =-，将tan APB ∠转化为关于t 的函数式，讨论0t =与(]0,2t ∈两种情况，结合基本不等式即可求得tan APB ∠的最小值，再根据同角三角函数关系式即可求得cos APB ∠的最大值.【详解】根据题意，画出椭圆的图形如下图所示：设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ， 则002tan 1x AH APH PH y +∠==-，02tan 1x BH BPH PH y -∠==-， 由正切和角公式可知()tan tan APB APH BPH ∠=∠+∠tan tan 1tan tan APH BPHAPH BPH∠+∠=-∠⨯∠()()()00000220000002241112214111x x y y y x x y x y y +-+---==+-----⨯--而()00,P x y 在2214x y +=上，所以220014x y +=，则220044x y =-， 代入上式可得()()()()()00222200004141tan 1414y y APB y x y y --∠==-----由椭圆性质可知，[]01,1y ∈-， 令[]01,0,2t y t =-∈， 则()22244tan 38441t t APB t t t t ∠==-+---，[]0,2t ∈，当0t =时，tan 0APB ∠=，此时,cos 1APB APB π∠=∠=-，当(]0,2t ∈时，由基本不等式可知4tan 23443838APB t t ∠=≥=⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭， 当且仅当43t t =，即233t =时取等号，此时cos APB ∠的值最大，因而22sin 23cos sin cos 1APBAPB APB APB ∠⎧=+⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩，化简可得223cos 4APB -∠=，所以62cos APB -∠=， 综上所述，可知cos APB ∠的最大值为624-， 故答案为：624-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程和几何性质的综合应用，由正切和角公式及同角三角函数关系式的应用，由基本不等式确定最值，综合性强，属于难题.12．已知21a e b e -=-=r r r r ，1e =r ，则向量a b ⋅r r的最小值为________.【答案】14-【解析】1e =r ，不失一般性，设(1,0)e =r ，由21a e b e -=-=r r r r 知a b r r，的终点在两个圆上运动，设(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b =+=r r ，，化简(2cos )(1+cos )sin sin a b r r αβαβ++⋅=放缩后得到21114(cos )2444β--≥-得解.【详解】1e r Q =，不妨设(1,0)e =r(.)(.)a m n b c d ==r r ，，21a e r rQ -=，22(2)1m n \-+= 所以(,)A m n 在圆22(2)1x y -+=上运动 1b e r rQ -=，22(1)1c d \-+=所以(,)B c d 在圆22(1)1x y -+=上运动再令(2cos ,sin )A a a +，(1+cos ,sin )B b b(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b \=+=r r，， (2cos )(1+cos )sin sin a b r rαβαβ∴⋅+=+2cos +2cos +cos cos sin sin αβαβαβ+=+2cos +2cos +cos()αβαβ+=-2+2cos +2cos()cos 22βββα+-=224cos 2cos()cos4cos cos22222βββββα=+-≥-21114(cos)2444β=--≥- 故答案为：14- 【点睛】本题考查平面向量数量积最值问题.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．13．三角形ABC 面积为S ，若2221054c a b +=，则2220156Sa b +的最大值是________.【答案】16【解析】由2221054c a b +=求出226cos 8a c B ac +=-，将22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭用a 和c 表示，并化简，再令22c t a =，得到关于t 的式子，构造函数，并利用导数求出22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值，进而得解. 【详解】由2221054c a b +=，得()22211054b c a =+， 2222222221(105)64cos 228a c c a a c b a c B ac ac ac+-++-+===-，()2222222240020156311sin 251052ac B S a b a c a ⎛⎫⨯⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪+⎝⎭⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()2222221001cos 45152a c a c B -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222222226464932a c a c a c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2222222261464932a c a c a c ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令22c t a =，则0t >，2222222(16)464203652181156916927342t t S t t a b t t t ⎡⎤+-⎢⎥-+-⎛⎫⎣⎦== ⎪+⎛⎫⎝⎭⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()223652181169274t t f t t t -+-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则222314404()16927814t t f t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭'，令()0f 't =，解得32t =-（舍）或12t =，所以，当102t <≤时，'()0f t >，()f t 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； 当12t >时，()0f t <'，()f t 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以，当12t =时，()f t 取得最大值，11365211142118123616927424f -⨯+⨯-⎛⎫== ⎪⎛⎫⎝⎭⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，即22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值为136，所以，2220156Sa b +的最大值是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形的面积公式及利用导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想以及运算求解能力和逻辑推理能力，构造函数并掌握求极值的方法是求解本题的关键，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.14．已知数列{}n b 为首项为2正项等比数列，数列{}n c 为公差为3等差数列，数列{}n a 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+，若11a =，则数列{}n a 前50项的和为________. 【答案】1275【解析】先根据等差与等比性质列方程组解得{}n b 与{}n c 通项公式，进而可求数列{}n a 通项公式，最后根据等差数列求和公式得结果.【详解】11a =Q 21,,2n n n b a a b +=-=, 13133,213b a a a a ∴=-=-∴=112112,3223n n n n n n n n n c a a c c a a a a +++++=+-=∴+--=Q 2123n n n a a a ++∴--= 3212232a a a a ∴--=∴= 4324234a a a a ∴--=∴=因此2422,b a a =-=数列{}n b 公比为211,2n b b b == 1212553(1)32n c a a c n n =+=∴=+-=+Q因此1232n n a a n ++=+212123542610n n n n a a n a a n ++++∴+=+∴+=+从而2438,n n a a n +-=+22n n n a a b +-==Q10050(150),12752n a n S +∴=== 故答案为：1275 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、解答题15．如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．【答案】（1）见解析（2）4811-【解析】（1）由题意可得1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，即可作出证明；（2）由（1）得3cos sin sin cos A B A B =，得到4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，即可求解tan C 的值.【详解】（1）证明：因为12BD AD c -=， 所以1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以()sin 2sin C A B =-．（2）解：由（1）得，()()sin 2sin A B A B +=-， 所以()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A B +=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =．又3cos 5A =，所以4sin 5A=，所以4tan 3A =，4tan 9B =， 所以()44tan tan 4839tan tan 441tan tan 11139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：1C E ⊥平面BDE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，可证四边形AEFG 是平行四边形，得EF ∥AG ，即可证明结论；（2）根据已知可得22211EB C E C B +=，得出1C E BE ⊥，再由已知得BD AC ⊥，结合正三棱柱的垂直关系，可证BD ⊥平面11A ACC ，进而有1BD C E ⊥，即可证明结论.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG . 因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111,2C C FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =， 且E 为1A A 的中点，所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG . 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .（2）因为在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1A A BD ⊥.因为D 为AC 的中点，BA BC =，所以BD AC ⊥.因为1A A AC A =I ，1A A ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ， 所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1BD C E ⊥. 根据题意，可得16EB C E AB ==，13C B AB =， 所以22211EB C E C B +=.从而190C EB ∠=︒，即1C E EB ⊥.因为BD EB B =I ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ， 所以1C E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及直线与平面垂直，注意空间垂直关系的相互转化，属于中档题.17．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0， 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠. 由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=.()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++， 当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.18．某景区平面图如图1所示，A B C E D 、、、、为边界上的点．已知边界CED 是一段抛物线，其余边界均为线段，且,,3,8AD AB BC AB AD BC AB ⊥⊥===，抛物线顶点E 到AB 的距离7OE =．以AB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求边界CED 所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域ABCED 内围成一个矩形MNPQ 场地，使得点M N 、在边界AB 上，点P Q 、在边界CED 上，试确定点P 的位置，使得矩形MNPQ 的周长最大，并求出最大周长． 【答案】（1）217(44)4y x x =-+-≤≤；（2）点P 与点C 重合．最大值为22， 【解析】（1）根据题意，设二次函数解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，代入点C 、E 坐标，即可求解参数；（2）根据题意结合（1）中抛物线解析式，设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用坐标表达矩形的周长，根据二次函数性质，可求最值问题. 【详解】（1）根据对称性可知，1184,3,722OA OB AB BC OE ===⨯===， (4,3),(0,7)C E ∴，设边界CED 所在抛物线的解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，Q 抛物线的图象经过C ，E 两点，1637a c c +=⎧⎨=⎩，解得147a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴边界CED 所在抛物线的解析式为217(44)4y x x =-+-≤≤； （2）设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， Q 四边形MNPQ 是矩形，2ON OM m ∴==，2174PN QM m ==-+， 24MN QP ON m ∴===，∴矩形MNPQ 的周长为： 222112()227414421(4)222MN PN m m m m m ⎛⎫+=-+=-++ ⎪⎝⎭=--+ 102-<Q ，开口向下， ∴当4m =时，矩形MNPQ 的周长有最大值，最大值为22，此时P 点坐标为(4,3)，即点P 与点C 重合．【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式，考查计算能力，考查运用二次函数模型解决实际问题，属于中等题型.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠- （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若q ∈R ，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在【解析】（1）由前n 项和公式，结合1n n n a S S -=-求出n a ，进而可得出结论成立；（2）根据4321n n n n a a a a =++得3421n n n n q q q q =++，不妨设4321n n n n >>>，两边同除以1nq ，再结合条件，即可得出结论；（3）同(2)，先设4321n n n n >>>，当3q ≥，结合条件验证不成立即可.【详解】（1）n=1时，11a S a ==， 2n ≥时，()1111n n n n n n a a S S q q aq q ---=-=-=-（n=1也符合） ()1n n a aq n N -+∴=∈，1n na q a +∴=，即数列{}n a 是等比数列． （2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，3q ≥Q ，334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴ 4321n n n n a a a a =++不成立．【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数数列的性质和公式即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式； （2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =可知()a f x x '=，1y x e'=， 两图象在点(),P s t 处有相同的切线， 所以两个函数切线的斜率相等，即1a s e s⨯=，化简得s = 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =， 综合上述两式可解得1a =，所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+， ()()22221m x x m x x g x x-+=-='+， 因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知121x x =+，122m x x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<， ()()2222111ln g x x m x x x -+=， 将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-， 令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得t =当12t ⎛∈ ⎝时，()0h t '<，()h t在12⎛ ⎝单调递减；当t ⎫∈⎪⎭时，()0h t '>，()h t在⎫⎪⎭单调递增； 所以()min 11h t h ===， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭， 即()21g x x的取值范围是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.。
2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A ＝（0，+∞），全集U ＝R ，则∁U A ＝ ． 【点睛】直接取补集即可． 【答案】（﹣∞，0]【解答】因为A ＝（0，+∞），U ＝R ，所以∁U A ＝（﹣∞，0]．故答案为（﹣∞，0]． 【点评】本题考查补集的运算，是基础题．2．设复数z ＝2+i ，其中i 为虚数单位，则z •z = ． 【点睛】先求z =2−i ,再求z •z ． 【答案】5【解答】因为z ＝2+i ，所以z =2−i ，所以z ⋅z =4−i 2=4+1=5．故答案为5． 【点评】本题考查复数的概念与运算，是基础题．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ．【点睛】分别求出所有基本事件总数、所求事件中基本事件个数，问题即可解决． 【答案】23【解答】由题意得：基本事件有N =C 32=3个，甲被选中所包含的基本事件有n =C 11C 21=2个，则所求概率P =n N =23．故答案为：23． 【点评】本题考查古典概型，可以用枚举法，也可以用排列组合来解决，是基础题． 4．命题“∀θ∈R ，cosθ+sinθ＞1”的否定是 命题．（填“真”或“假”） 【点睛】全称命题的否定为特称命题． 【答案】真【解答】由题意得该命题的否定为“∃θ0∈R ，cosθ0+sinθ0≤1”；因为cosθ+sinθ=√2cos (θ+δ)∈[−√2,√2],所以命题“∀θ∈R ，cosθ+sinθ＞1”的否定是真命题， 故答案为真．【点评】本题考查含有量词的命题的否定，辅助角公式，是基础题． 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．【点睛】每次循环得S 、I 的值，当S ＝15时，不满足S ≤10跳出循环，得I 的值为6． 【答案】6【解答】循环开始之前：S ＝0，I ＝0； 满足S ≤10，第1次循环后：S ＝0，I ＝1； 满足S ≤10，第2次循环后：S ＝1，I ＝2； 满足S ≤10，第3次循环后：S ＝3，I ＝3； 满足S ≤10，第4次循环后：S ＝6，I ＝4； 满足S ≤10，第5次循环后：S ＝10，I ＝5； 满足S ≤10，第6次循环后：S ＝15，I ＝6；此时不满足S ≤10，结束循环，输出的I 的值为6．故答案为6．【点评】本题考查循环结构的伪代码，看懂伪代码是解题的关键，是基础题． 6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差是 ． 【点睛】求出x 、y 的值，便能求出样本方差． 【答案】2【解答】由题意得{xy =1107+8+9+x+y5=9，解得{x =10y =11或{x =11y =10；由方差公式得S 2=15[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]＝2．故答案为2．【点评】本题考查平均数与方差，是基础题．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ．【点睛】由抛物线定义将已知条件转化，求出P 点，即可求出PO ． 【答案】2√3【解答】抛物线y 2＝4x ＝2px ，所以p ＝2，其准线方程为x ＝﹣1；因为抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，由抛物线的定义得P 到准线x ＝﹣1的距离为3，所以x p ＝2,点P 在抛物线，所以P （2，±2√2），所以PO =√22+(±2√2)2=2√3.即点P 到点O 的距离为2√3.故答案为2√3．【点评】本题考查抛物线的定义、两点间的距离公式，是基础题． 8．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，lna 1、lna 2、lna 5成等差数列，则a 2a 1的值为 ．【点睛】由已知推出d ＝2a 1，可得a 2a 1．【答案】3【解答】因为lna 1、lna 2、lna 5成等差数列，所以2lna 2= lna 1+lna 5；又因为{a n }是公差不为0的等差数列，所以2ln （a 1+d ）＝lna 1+ln （a 1+4d ），所以(a 1+d)2=a 1（a 1+4d ），化简得d ＝2a 1；所以a 2a 1=a 1+d a 1=3．故答案为3．【点评】本题考查对数运算、等差数列，是基础题．9．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与四棱锥P ﹣ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V 2V 1= ．【点睛】将三棱柱、四棱锥的体积表示出来，即可求出V 2V 1． 【答案】23【解答】令AB ＝a ，△ABC 中AB 上的高为b ，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高为h ，由题意得V 2=13×aℎ⋅b =13abℎ，V 1=12abℎ=12abℎ，所以V 2V 1=13abℎ12abℎ=23．故答案为23．【点评】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力，是中档题． 10．设函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与y 轴交点的纵坐标为√32，y 轴右侧第一个最低点的横坐标为π6，则ω的值为 ．【点睛】由已知列出等式，求出φ、ω． 【答案】7【解答】因为f （x ）的图象与y 轴交点的纵坐标为√32，所以f （0）＝sinφ=√32；又因为0＜φ＜π2，所以φ=π3，即f （x ）＝sin （ωx +π3）；因为y 轴右侧第一个最低点的横坐标为π6，所以π6ω+π3=3π2，解得ω＝7.故答案为7．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，是中档题．11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），AH →=14AB →+12AC →，则cos∠BAC 的值为 ．【点睛】先由题意得到BC ＝AC ，再由向量的夹角公式求出cos ∠BAC ． 【答案】√33【解答】因为AH →=14AB →+12AC →，设AE →=λAC →，所以AH →=14AB →+12λAE →；如图由点B 、H 、E 三点共线得14+12λ=1，解得λ=23；所以AH →=14AB →+34AE →，所以BH →=3HE →；所以CH →−CB →=3(CE →−CH →)，令点F 为边AB 的中点，所以CH →=14CB →+34CE →=14(CB →+CA)→=2CF →，因为AB 上的垂线与中线重合，所以CB ＝CA ；又因为BH →=3HE →且AE →=23AC →，所以AH →=3HD →且BD →=23BC →；如图建立平面直角坐标系，则B （-2，0），C （1，0）；令A （0，4x ），则H （0，x ），x ＞0；由BC ＝CA 得x 2=12．所以cos ∠BAC =BA →⋅BC →|BA →||BC→|=2√16x 2+4×√16x 2+1=23×3=√33．故答案为√33．【点评】本题考查平面向量的线性运算与数量积．12．若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为．【点睛】由题意得ω＝0，即cos（ωn）＝1，问题便可解决．【答案】10【解答】因为无穷数列{cos（ωn）}是等差数列，所以{cos（ωn）}是常数列，所以ω=0,所以cos（ωn）＝1，所以S10＝10×1＝10．故答案为10．【点评】本题考查数列的概念、等差数列、余弦函数的性质等，是中档题．13．已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y≤kx+b2}，若P⊆Q，则12√k2+1的最小值为．【点睛】先去绝对值，再画出集合P表示的图形，数形结合即可求解．【答案】4【解答】当x＜0且y＜0时，x2+y2＝﹣16(舍去)；当x＜0且y≥0时，﹣x2+y2＝16；当x≥0且y＜0时，x2﹣y2＝16；当x≥0且y≥0时，x2+y2＝16；作出集合P中曲线的图象：x2﹣y2＝16的一条渐近线为y＝﹣x，与该渐近线平行且与圆x2+y2＝16相切的直线为y=−x+4√2；因为P⊆Q，由图可得k＝﹣1；所以12√k2+1=12√2≥√2−0|√2=4,所以12√k2+1的最小值为4．故答案为4．【点评】本题考查圆、双曲线的图象与性质，考查转化与化归思想、数形结合思想，是中档题．14．若对任意实数x ∈（﹣∞，1]，都有|e xx 2−2ax+1|≤1成立，则实数a 的值为 ．【点睛】先构造函数求出﹣1＜a ＜1，再对a 进行分类讨论即可． 【答案】−12【解答】由题意得−1≤e x x 2−2ax+1≤1；令f(x)=e xx 2−2ax+1；若x 2﹣2ax +1＝0有解，设一解为x 1，当x →x 1时，|f （x ）|→+∞，不满足|f （x ）|≤1恒成立；所以x 2﹣2ax +1＝0无解，所以△＝4a 2﹣4<0，解得﹣1＜a ＜1；f′(x)=e x [(x−1)(x−(2a+1))](x 2−2ax+1)2；①当a ＞−12时，记1，2a +1中的较小值为x 0，则f （x ）在（﹣∞，x 0）单增，所以f （x 0）＞f （0）＝1，矛盾，舍去；②当a ＜−12时，即2a +1＜0，f （x ）在（2a +1，1）单减，则f （2a +1）＞f （0）＝1，矛盾，舍去；③当a =−12时，即2a +1＝0，f （x ）在（0，1）与（﹣∞，0）上单减，则f （x ）≤f （0）＝1，f(x)=e x x 2−2ax+1＞0，满足题意，所以a =−12.故答案为−12．【点评】本题考查不等式恒成立问题，导数在研究函数中的应用，考查分类讨论思想、化归与转化思想，是难题． 二、解答题（共6小题，满分90分） 15．已知△ABC 满足sin （B +π6）＝2cos B ． （1）若cos C =√63，AC ＝3，求AB ；（2）若A ∈（0，π3），且cos （B ﹣A ）=45，求sin A ． 【点睛】（1）先求出tan B ，即得B ，再由正弦定理求出AB ； （2）先求出cos （π3−A ）、sin （π3−A ），再利用差角公式求出sin A ．【解析】（1）由sin （B +π6）＝2cos B 得√32sin B +12cos B ＝2cos B ，化简得sin B =√3cos B ； 因为cos B ≠0，所以tan B =√3，又B ∈（0，π），故B =π3； 因为C ∈（0，π）且cos C =√63，所以sin C =√33；在△ABC 中，由正弦定理得ACsin π3=AB sinC，即√32=√33;解得AB ＝2；（2）由（1）知B =π3，又因为A ∈（0，π3），所以B −A ∈（0，π3）；因为cos （B ﹣A ）=45，即cos （π3−A ）=45，所以sin （π3−A ）=35；所以sin A ＝sin[π3−（π3−A ）]＝sin π3cos （π3−A ）﹣cos π3sin （π3−A ）=4√3−310． 【点评】本题考查和角差角公式、同角三角函数的基本关系、正弦定理，中档题． 16．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点．（1）若AC 1∥平面PBD ，求PC 1PC的值；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【点睛】（1）由线面平行推出AC 1∥OP ，再结合AO ＝OC 得PC 1PC=AO OC=1．（2）由线面垂直得CC 1⊥BD ，再结合AC ⊥BD 推出BD ⊥面ACC 1A 1，即得BD ⊥A 1P ． 【解析】（1）连AC 交BD 于点O ，连结OP ．因为AC 1∥平面PBD ，AC 1⊂平面ACC 1，平面ACC 1∩平面BDP ＝OP ， 由线面平行的性质得AC 1∥OP ．因为四边形ABCD 是正方形，所以点O 是AC 的中点，即AO ＝OC ， 在△ACC 1中，PC 1PC=AO OC=1．（2）证明：连结A 1C 1．因为ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为长方体，所以侧棱C 1C ⊥底面ABCD ． 又BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ． 因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ．又AC∩CC1＝C，AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，所以BD⊥面ACC1A1，又因为A1P⊂平面ACC1A1，所以BD⊥A1P．【点评】本题考查线面平行与垂直，是中档题．17．如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）【点睛】（1）由图形列出不等式，即可求解;（2）先求出油桶的体积，再求导即可．【解析】（1）令⊙P的半径为r，由题意得AB＝8﹣4r，由题意得⊙P的周长BC=2πr≤2√42−(4−2r)2，解得r≤162，所以⊙P半径的取值范围为(0，16π2+4]；（2）由（1）得油桶的体积V＝πr2•AB＝4πr2（2﹣r），令f(x)=4πx 2(2−x)，x ∈(0，16π2+4]，则f ′（x ）＝4πx 2(4x ﹣3x 2)， 因为16π2+4＜43，所以f ′（x ）＞0，所以f （x ）在(0，16π2+4]上单增，故当r =16π2+4时，体积取到最大值． 所以圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径为16π+4，油桶的体积最大．【点评】本题考查导数在研究函数中的应用、圆柱的体积等，属于中档题． 18．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P （x 0，y 0）在椭圆C 上运动．当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，y 0＝e ． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆C 于点A ，B （A ，B 不重合）．设AF 1→=λF 1P →，BF 2→=μF 2P →，求λ+μ的最小值．【点睛】（1）由已知条件求出c 、b 、a ，即得椭圆的方程；（2）先求出F 1、F 2，再将λ、μ用x 0表示出，最终求出λ+μ的最小值． 【解析】（1）因为当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，y 0＝e ， 所以c ＝1，b 2a=e =ca，所以b ＝c ＝1，a 2＝b 2+c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（2）因为C ：x 22+y 2=1，所以F 1（﹣1，0），F 2（1，0）；令A （x 1，y 1），因为P （x 0，y 0），由AF 1→=λF 1P →得{−1−x 1=λ(x 0+1)−y 1=λy 0，整理得{x 1=−λx 0−λ−1y 1=−λy 0，将A （x 1，y 1）代入椭圆方程得(−λx 0−λ−1)22+（﹣λy 0）2＝1①，又x 022+y 02=1，两边同乘λ得(λx 0)22+(λy 0)2=λ2②，①－②得：(λ+1)(2λx 0+λ+1)2=1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx 0+λ+1＝2（1﹣λ），解得λ=13+2x 0；同理求得μ=13−2x 0， 所以λ+μ=13+2x 0+13−2x 0=69−4x 02≥23(当且仅当x 0＝0时等号成立)所以λ+μ的最小值为23．【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，是中难题．19．定义：若无穷数列{a n }满足{a n +1﹣a n }是公比为q 的等比数列，则称数列{a n }为“M （q ）数列”．设数列{b n }中b 1＝1，b 3＝7．（1）若b 2＝4，且数列{b n }是“M （q ）数列”，求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n +1＝2S n −12n +λ，请判断数列{b n }是否为“M （q ）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n }是“M （2）数列”，是否存在正整数m ，n 使得40392019＜b m b n＜40402019？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由． 【点睛】（1）先推出q ，进而推出b n+1−b n b n −b n−1=1，可得{b n }是等差数列及b n ．（2）先求得λ＝7，再由递推公式做差得b n+1=3b n −12，变形可证{b n −14}是等比数列，推出{b n +1﹣b n }是等比数列，可得{b n }是“M （q ）数列“． （3）累加得b n ＝2n ﹣1，先假设存在，消元整理得20212＜2n ＜2020，求出m 、n ．【解析】（1）因为{b n }是“M （q ）数列”，b 2＝4，所以q =b 3−b2b 2−b 1=7−44−1=1；由M （q ）数列的定义得b n+1−b n b n −b n−1=1，n ≥2，即b n +1﹣b n ＝b n ﹣b n ﹣1，n ≥2，所以{b n }是等差数列，其公差d =b 2﹣b 1＝3，所以b n ＝1+3（n ﹣1）＝3n ﹣2 所以数列{b n }通项公式b n ＝3n ﹣2．（2）由b n+1=2S n −12n +λ，得b 2=32+λ，b 3＝4+3λ＝7，解得λ＝7， 由b n+1=2S n −12n +λ，得b n+2=2S n+1−12(n +1)+1，两式相减得b n+2−b n+1=2b n+1−12，所以b n+2=3b n+1−12，n ∈N *，又因为b 2=52=3b 1−12，即b n+1=3b n −12对n ∈N *恒成立， 所以b n+1−14=3（b n −14）， 因为b 1−14=34≠0，所以b n −14≠0，所以b n+1−14b n −14=3，所以{b n −14}是等比数列，所以b n −14=(1−14)×3n−1=14×3n ，所以b n =14×3n +14， 所以b n+2−b n+1b n+1−b n=(14×3n+2+14)−(14×3n+1+14)(14×3n+1+14)−(14×3n +14)=3，所以{b n +1﹣b n }是公比为3的等比数列，所以数列{b n }是“M （q ）数列“．（3）因为数列{b n }是“M （2）”数列，所以b n +1﹣b n ＝（b 2﹣b 1）×2n -1， 因为b 3−b 2b 2−b 1=2，即7−b 2b 2−1=2，解得b 2＝3，所以b 2﹣b 1＝2；所以b n +1﹣b n ＝2×2n -1=2n ，所以当n ≥2时，b n ＝（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+（b 2﹣b 1）+b 1，＝2n ﹣1+2n ﹣2+…+2+1＝2n ﹣1，假设存在正整数m ，n ，使得40392019＜b m b n＜40402019，则40392019＜2m −12n −1＜40402019，由2m −12n −1=2m−n (2n −1)+2m−n −12n −1=2n−m+2m−n −12n −1＜40402019，所以2m−n ＜40402019＜3，所以m ﹣n ＝1， 所以2m −12−1=2+12−1，所以40392019＜2+12−1＜40402019，解得20212＜2n ＜2020，解得n ＝10，m ＝11．所以存在满足条件的正整数m ，n ，其中m ＝11，n ＝10．【点评】本题考查等差、等比数列的定义与通项、数列求和，数列新定义问题，是难题． 20．若函数f （x ）＝e x ﹣a e ﹣x ﹣mx （m ∈R ）为奇函数，且x ＝x 0时f （x ）有极小值f （x 0）．（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围；（3）若f （x 0）≥−2e 恒成立，求实数m 的取值范围． 【点睛】（1）由f （x ）+f （﹣x ）＝0列出等式，求出a ； （2）先求导，再对m 分情况讨论即可；（3）m =f (x 0)=e x 0+e −x 0，先求导得出x 0≤1，再由f (x 0)的单调性得m 的范围．【解析】（1）因为f （x ）为奇函数，所以f （x ）+f （﹣x ）＝0， 代入得e x ﹣a e ﹣x ﹣mx +e ﹣x ﹣a e x +mx ＝0，整理得（a ﹣1）（e x +e ﹣x ）＝0，因为e x +e ﹣x >0,所以a ﹣1=0；解得a ＝1；（2）由（1）得f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣mx ，所以f′(x)=e x +e −x −m =e 2x −me x +1e x， ①当m ≤2时，因为e 2x ﹣m e x +1≥0恒成立，所以f ′（x ）≥0恒成立， 所以f （x ）单增，所以f （x ）不存在极小值，舍去;②当m ＞2时，令e x ＝t ，则方程t 2﹣mt +1＝0有两个不等的正根t 1，t 2（不妨设t 1＜t 2）， 因为x ＝x 0时f （x ）有极小值，所以f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣mx 在（lnt 1，lnt 2）上单调递减，在（﹣∞，lnt 1），（lnt 2，+∞）上单调递增， 所以f （x ）在lnt 2处取到极小值，满足题意； 所以m 的取值范围为（2，+∞）； （3）x 0满足e x 0+e −x 0=m ，将x 0代入f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣mx ，消去m 得f(x 0)=(1−x 0)e x 0−(1+x 0)e −x 0，令h （x ）＝（1﹣x ）e x ﹣（1+x ）e ﹣x ，则h ′（x ）＝x （e ﹣x ﹣e x ），当x ≥0时，e−x−e x=1−e 2xe x≤0，即h ′（x ）≤0，所以h （x ）在[0，+∞）上单减，因为f (x 0)≥−2e=ℎ(1)，所以x 0≤1，y ＝e x +e ﹣x ，当x ≥0时，y ′＝e x ﹣e ﹣x ≥0，所以y ＝e x +e﹣x在（0，1]上递增；因为m =e x 0+e −x 0且x 0≤1，所以e x 0+e −x 0≤e +e −1= e +1e ，即m ≤e +1e ， 所以实数m 的取值范围为(2，e +1e]．【点评】本题考查函数的性质，导数在研究函数中的应用，是中档题．【选做题】在21、22、23三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．[选修4-2：矩阵与变换]已知圆C 经矩阵M =[a33−2]变换后得到圆C ′：x 2+y 2＝13，求实数a 的值． 【点睛】通过矩阵变换列出变量间的关系式即可.【解析】设圆C 上一点（x ，y ）经矩阵M 变换后得到圆C ′上一点（x′，y′），由题意得[a33−2][x y ]=[x′y′]，所以{ax +3y =x′3x −2y =y′，因为点（x′，y′）在圆C ′x 2+y 2＝13上，所以（x ′）2+（y ′）2＝13； 消去x′、y′得圆C 的方程为（ax +3y ）2+（3x ﹣2y ）2＝13， 整理得（a 2+9）x 2+（6a ﹣12）xy +13y 2＝13，由圆的方程可得{a 2+9=136a −12=0，解得a ＝2．所以实数a 的值为2．【点评】本题考查矩阵变换、圆的方程，是基础题． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m 被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．【点睛】先建立平面直角坐标系，求出直线与曲线的直角坐标方程，要使直线被圆截得的弦AB 最长，则直线过圆心，便可求出m ．【解析】以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系（单位长度相同）， 因为直线ρcosθ+2ρsinθ＝m ，所以可得其直角坐标方程x +2y ﹣m ＝0． ρ＝4sinθ两边同乘ρ得：ρ2＝4ρsinθ，其直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2＝4，其表示以（0，2）为圆心，2为半径的圆． 即曲线ρ＝4sinθ是以（0，2）为圆心，2为半径的圆．要使直线被圆截得的弦AB 最长，则直线过圆心（0，2），即0+2×2﹣m ＝0，解得m ＝4． 所以实数m =4．【点评】本题考查直角坐标与极坐标、直线与圆的位置关系，是中档题． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知正实数a ，b ，c 满足1a +2b+3c =1，求a +2b +3c 的最小值．【点睛】先将1a +2b +3c =1变形为1a+42b +93c=1，再利用柯西不等式求解．【解析】因为1a+2b+3c=1，变形可得1a+42b+93c =1， 所以a +2b +3c ＝（a +2b +3c ）×1=（a +2b +3c ）（1a+42b+93c）由柯西不等式得： （a +2b +3c ）（1a +42b+93c）≥（1+2+3）2=36(当且仅当a ＝b ＝c=6时等号成立)所以a +2b +3c ≥36，所以a +2b +3c 的最小值为36．【点评】本题考查柯西不等式，注意等式的恒等变形，是基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，AA 1、BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1、AB 分别经过上下底面圆的圆心O 1、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值； （2）若二面角A 1﹣CD ﹣B 1的大小为π3，求母线AA 1的长．【点睛】（1）建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量即可求解． （2）求出面A 1CD 、面B 1CD 的法向量，通过空间向量的数量积即可求解． 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ． 因为CD ＝2，AA 1＝3，所以A （0,﹣1,0），A 1（0,﹣1,3），B （0,1,0），B 1（0,1,3），C （﹣1,0,0），D （1,0,0）; 所以B 1D →=（1,﹣1,﹣3），A 1C →=（﹣1,1,﹣3）， 所以cos ＜B 1D →,A 1C →＞=−1×1+1×(−1)+(−3)×(−3)√1+(−1)2+(−3)2⋅√(−1)2+1+(−3)2=711， 所以异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值为711．（2）令AA 1＝m ＞0，则A 1（0，﹣1，m ），B 1（0，1，m ），所以A 1C →=（﹣1，1，﹣m ），B 1D →=（1，﹣1，﹣m ），CD →=（2，0，0）， 设平面A 1CD 的法向量n 1→=（x 1，y 1，z 1），在平面A 1CD 中，CD →=（2，0，0），A 1C →=（﹣1，1，﹣m ）所以{n 1→⋅CD →=2x 1=0，n 1→⋅A 1C →=−x 1+y 1−mz 1=0，解得x 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝m ，所以n 1→=（0，m ，1）． 同理得平面B 1CD 的法向量n 2→=（0，﹣m ，1）．因为二面角A 1﹣CD ﹣B 1的大小为π3，所以|cos ＜n 1→，n 2→＞|=√m +1⋅√(−m)2+1=12，解得m =√3或m =√33，由图形知当A 1﹣CD ﹣B 1的大小为π3时，m =√3．所以母线AA 1=√3.【点评】本题考查空间向量、空间角，化归与转化思想，是中档题.25．设∑ 2n i=1（1﹣2x ）i ＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2n x 2n（n ∈N *），记S n ＝a 0+a 2+a 4+…+a 2n ． （1）求S n ；（2）记T n ＝﹣S 1∁n 1+S 2∁n 2﹣S 3∁n 3+…+（﹣1）n S n ∁n n ，求证：|T n |≥6n 3恒成立． 【点睛】（1）先赋值得两等式，再两式相加即可求出S n ．（2）先将T n 化简整理，再对不等式|T n |≥6n 3化简，利用放缩法即可证明．【解析】（1）令x ＝﹣1得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 2n ﹣1+a 2n =∑ 2n i=13i=32•（9n ﹣1）． 令x ＝1得a 0+a 1+a 2+…+a 2n =∑ 2n i=1(−1)i =0；两式相加得2（a 0+a 2+a 4+…+a 2n ）=32•（9n ﹣1），即2S n =32•（9n ﹣1）， 所以S n =34（9n ﹣1），n ∈N *． （2）由(1)得：T n ＝﹣S 1∁n 1+S 2∁n 2﹣S 3∁n 3+…+（﹣1）n S n ∁n n=34{[﹣91C n 1+92C n 2−93C n 3+⋯+（﹣1）n 9n C n n ]﹣[−C n 1+C n 2−C n 3+⋯+（﹣1）n C n n ]} =34{[90C n 0−91C n 1+92C n 2−93C n 3+⋯+（﹣1）n 9n C n n ]﹣[C n 0−C n 1+C n 2−C n 3+⋯+（﹣1）n C nn ]}=34[90C n 0−91C n 1+92C n 2−93C n 3+⋯+（﹣1）n 9n C n n]=34[C n 0（﹣9）0−C n 1（﹣9）1+C n 2（﹣9）2−C n 3（﹣9）3+⋯+C n n （﹣9）n ]=34（1﹣9）n =34•（﹣8）n ．故|T n |＝|34•（﹣8）n |=34•8n ．要证|T n |≥6n 3恒成立，即证34×8n ≥6n 3恒成立，只需证8n ﹣1≥n 3恒成立，即证2n ﹣1≥n 恒成立．下面证明2n ﹣1≥n 恒成立：当n ＝1、2时，2n ﹣1≥n 显然成立．当n ≥3时，2n ﹣1=C n−10+C n−11+⋯+C n−1n−1≥C n−10+C n−11=1+（n ﹣1）＝n ，即2n ﹣1≥n ，所以2n ﹣1≥n 对n ∈N *恒成立．所以|T n |≥6n 3恒成立．【点评】本题考查等比数列、二项式定理等，是中难题．。
2020江苏高考数学模拟考试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的最小正周期是π，则ω= ▲ ．2．若复数(12)(1)i ai ++是纯虚数，则实数a 的值是 ▲ ．3．已知平面向量(1,1)a =-r ，(2,1)b x =-r ，且a b ⊥r r，则实数x = ▲ ．4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回．．．地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 ▲ ． 5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲ ． 6．给出下列四个命题：（1）如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面α相交（2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β （3）如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直（4）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为 ▲ ．8．已知二次函数()f x =241ax x c -++的值域是[1,)+∞，则19a c+的最小值是 ▲ ． 9．设函数3()32f x x x =-++，若不等式2(32sin )3f m m θ+<+对任意R θ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ．10．若动点(,)P m n 在不等式组2400x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则1n m t m -=+的取值范围是 ▲ ．11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r ()R θ∈，则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r 的最小值是 ▲ ．12．设D 是函数()y f x =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00()f x x =-，则称0x 是()f x 的一个“次不动点”，也称()f x 在区间D 上存在次不动点．若函数25()32f x ax x a =--+在区间（第5题）A BC DD 1C 1B 1A 1 [1,4]上存在次不动点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．将所有的奇数排列如右表，其中第i 行第j 个数表示为ij a ，例如329a =．若445ij a =，则i j += ▲ ．14．若实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ，点(3,3)N ，则线段MN 长度的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a B c B b C =+． （1）求角B 的大小；（2）设向量(cos ,cos 2)m A A =u r ，(12,5)n =-r ，求当m n ⋅u r r 取最大值时，tan()4A π-的值．16．（本小题满分14分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，2AB AD =，CD AD =．（1）求证：1B CB ∠是二面角1B AC B --的平面角；（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行证明你的结论．17．（本小题满分14分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时m 元，根据市场调研，得知m 的波动区间是[1000,1600]，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶18．（本小题满分16分）已知中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆C 过点(2,1)M ，如图，平行于OM 的直线l 交椭圆C 于不同的两点,A B ．（1）当直线l 经过椭圆C 的左焦点时，求直线l 的方程；13 5 7 9 11 ……（第12题）（2）证明：直线,MA MB 与x 轴总围成等腰三角形．19．（本小题满分16分）已知函数21()(21)2ln 2f x ax a x x =-++，其中常数0a >． （1）求()f x 的单调区间；（2）如果函数(),(),()f x H x g x 在公共定义域D 上，满足()()()f x H x g x <<，那么就称()H x 为()f x 与()g x 的“和谐函数”．设2()4g x x x =-，求证：当522a <<时，在区间(0,2]上，函数()f x 与()g x 的“和谐函数”有无穷多个．20．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是等差数列，且对任意正整数n 都有()33n n S S =成立，求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数n ，从集合12{,,,}n a a a L 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与12,,,n a a a L 一起恰好是1至n S 全体正整数组成的集合．（i ）求12,a a 的值；（ii ）求数列{}n a 的通项公式．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定．．．．．区域．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修41-：几何证明选讲如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C 、D ，且PC PD =，求证：PB 平分∠ABD ．B ．选修42-：矩阵与变换 已知矩阵122A x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为1-，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C ．选修44-：坐标系与参数方程 若直线22x t y t =⎧⎨=-⎩（参数R t ∈）与圆cos sin x y aθθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2)θπ∈，a 为常数）相切，求a的值．D ．选修45-：不等式选讲若对于一切实数x ，不等式|21||1||||21|x x x a -+-≥⋅+恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）一个口袋装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中绿球的个数记为X ．（1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率； （2）X 的分布列及X 的数学期望．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，112a <<，21112n n n a a a +=+-(*)n N ∈． （1）求证：3113(,)82a ∈；（2）求证：当3n ≥时，1|2n n a <．2012江苏高考最后一卷 试题答案与评分标准数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．【解析】本题主要考查三角函数的周期性． 【答案】2 2．【解析】本题主要考查复数的概念和运算． 【答案】123．【解析】本题主要考查平面向量的垂直． 【答案】3 4．【解析】本题主要考查古典概型．【答案】495．【解析】本题主要考查流程图．【答案】201120126．【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系． 【答案】（3）（4） 7．【解析】本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算．8．【解析】本题主要考查基本不等式． 【答案】3 9．【解析】本题主要考查函数的性质． 【答案】(,4)(1,)-∞-+∞U 10．【解析】本题主要考查线性规划． 【答案】2[,4]3- 解答如下：画出可行域（如图所示阴影部分），而1111n m n t m m -+==-++，其中11n m ++表示(,)P m n 与点(1,1)--连线的斜率k ，由图可知1[,5]3k ∈，故21[,4]3t k =-∈-11．【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积． 【答案】2- 解答如下：因为22221sin cos sin cos 2AP AB AC AO AC θθθθ=⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且22sin ,cos [0,1]θθ∈，所以点P在线段OC 上，故()2PA PB PC PO PC +⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，设||PO t =u u u r([0,2])t ∈，则2()2(2)(1)24PA PB PC t t t t +⋅=-⋅-=-u u u r u u u r u u u r，当1t =时取最小值2- 12．【解析】本题主要考查函数的概念和最值．【答案】1(,]2-∞ 解答如下：由题意，存在[1,4]x ∈，使25()()202g x f x x ax x a =+=--+=．当1x =时，使1(1)02g =≠；当1x ≠时，解得2452(1)x a x -=-．设245()2(1)x h x x -=-，则由222252'()0(1)x x h x x -+-==-，得2x =或12x =（舍去），且()h x 在(1,2)上递增，在(2,4)上递减．因此当2x =时，2451()2(1)2x g x x -==-最大，所以a 的取值范围是1(,]2-∞．13．【解析】本题主要考查数列的通项． 【答案】34 解答如下：可以求得通项221ij a i i j =-+-，所以221445i i j -+-=且1j i ≤≤，从而22444446i i i i ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，解得21i =，于是13j =，故34i j +=14．【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系．【答案】5解答如下：由题可知动直线0ax by c ++=过定点(1,2)A -．设点(,)M x y ，由MP MA ⊥可求得点M 的轨迹方程为圆:Q 22(1)2x y ++=，故线段MN 长度的最大值为5QN r +=+二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力． 解：（1）由题意，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+ …………………………………… 2分所以2sin cos sin()sin()sin A B B C A A =+=π-=. …………………………………… 3分 因为0A p <<，所以sin 0A ¹. 所以1cos 2B =. ………………………………………………………………………………… 5分 因为0B p <<，所以3B π=. ………………………………………………………………… 6分（2）因为12cos 5cos2m n A A ⋅=-u r r…………………………………………………………… 8分所以2234310cos 12cos 510(cos )55m n A A A ⋅=-++=--+u r r ……………………………… 10分所以当3cos 5A =时，m n ⋅u r r 取最大值此时4sin 5A =（0A p <<），于是4tan 3A = …………………………………………… 12分所以tan 11tan()4tan 17A A A π--==+ …………………………………………………………… 14分16．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力． 证明：（1） 直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC ．…………………… 2分又Q ∠BAD ＝∠ADC ＝90°，22AB AD CD ==，∴45CAB ABC ∠=∠=︒，∴BC ⊥AC ．…………………………………………… 5分∴AC ⊥平面1B BC ，∴AC ⊥1B C∴1B CB ∠是二面角1B AC B --的平面角．………………………………………… 7分（2）存在点P ，P 为A 1B 1的中点．………………………………………………………… 8分由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1＝12AB ． 又∵DC‖AB ，DC ＝12AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝ PB 1， ∴DC PB 1为平行四边形，从而CB 1∥DP ． ……………………………………… 11分 又CB 1⊂面ACB 1，DP ⊄面ACB 1，∴DP‖面ACB 1． …………………………… 12分 同理，DP‖面BCB 1． ………………………………………………………………… 14分17．本题主要考查，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．解：（1）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)x x <≤ ……………………………………… 1分从甲地到乙地所用的时间为300x小时 …………………………………………………… 2分 则从甲地到乙地的运输成本23003000.5y x m x x=⋅+⋅，(050)x <≤ 即2150()my x x =+，(050)x <≤…………………………………………………………… 6分（2）22'150(1)my x=-…………………………………………………………………………… 8分令'0y =，得x当x ∈时，y 关于x 单调递减当)x ∈+∞时，y 关于x 单调递增 ………………………………………………… 9分50即12501600m <≤时，50x =时y 取最小值 ………………… 11分50即10001250m ≤≤时，x y 取最小值 ……………… 13分综上所述，若10001250m ≤≤/小时时，运输成本最少；若12501600m <≤，则当货轮航行速度为50海里/小时时，运输成本最少． …… 14分18．本题主要考查直线的方程及椭圆的标准方程，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力．解：（1）根据2c e a ==，可设椭圆方程为222214x y b b+=，将(2,1)M 代入可得22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=………………………………………………………… 4分因此左焦点为(，斜率12l OM k k ==所以直线l的方程为1(2y x =，即122y x =+ ………………………………… 6分（2）设直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，则11112y k x -=-，22212y k x -=- 12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)x m x x m x x x +--++--=--121212(2)()4(1)(2)(2)x x m x x m x x +-+--=-- （*） …………………………………… 10分设1:2l y x m =+，1122(,),(,)A x y B x y 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-= 所以，122x x m +=-，21224x x m =-…………………………………………………… 13分 代入（*）式，得2121224(2)(2)4(1)(2)(2)m m m m k k x x -+----+=--2212242444(2)(2)m m m m x x --+-+=--= 所以直线,MA MB 与x 轴总围成等腰三角形． ………………………………………… 16分19．本题主要考查导数的运算及其在研究函数性质、不等式与方程中的运用，考查探索、分析及求证能力．解：（1）22(21)2(2)(1)'()(21)ax a x x ax f x ax a x x x x-++--=-++==(0x >，常数0a >） 令'()0f x =，则12x =，21x a= ……………………………………………………… 2分①当102a <<时，12a>， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a…………………… 4分②当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞ …………………… 5分③当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a ………………… 7分（2）令21()()()(1)(23)2ln 2h x g x f x a x a x x =-=-+--，(0,2]x ∈22(2)(23)2(2)[(2)1]'()(2)23a x a x x a x h x a x a x x x-+----+=-+--==令'()0h x =，则12x =，212x a =- ………………………………………………………… 10分因为522a <<，所以21x x >，且20a -<从而在区间(0,2]上，'()0h x <，即()h x 在(0,2]上单调递减 …………………………… 12分 所以min ()(2)222ln 2h x h a ==-- ………………………………………………………… 13分又522a <<，所以222ln222ln20a -->->，即min ()0h x > ………………………… 15分设()()(22ln 2)H x f x λ=+-（01)λ<<，则()()()f x H x g x <<所以在区间(0,2]上，函数()f x 与()g x 的“和谐函数”有无穷多个 …………………… 16分。
