经典例题透析
类型一：复数的有关概念
a 2
-7a +6 例1．已知复数z = a -7a +6+（a 2
-5a -6）i （a R ），试求实数a 分别取什么值时， a 2 - 1
z 分别为：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
思路点拨：根据复数 z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用 它们的充要条件可分别求出相应的 a 值.
解析：
1）当z 为实数时，
a = -1或a = 6
a =6，
a 1
∴当a = 6时，z 为实数.
2）当 z 为虚数时，
a -1且a 6
a 1且a 6，
a
1
∴当 a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z 为虚数. 3）当z 为纯虚数时，
∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数. a 2
-7a +6 总结升华：由于
a∈R，所以
复数z 的实部与虚部分为
a - 7a + 6
与a 2
- 5a - 6 .
a 2 -1 ①求解第（1）小题时，仅
注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义， 否则本小题将出现增解；
②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；
③求解第（3）小题时，既要考虑实数为 0（当然也要考虑分母不为 0），还需虚部不为 0， 两者缺一不可.
举一反三：
a - 5a - 6 = 0 a 2
-1
a - 5a - 6 0 a 2 -10
a - 5a - 6 0
有
a 2
-7a + 6
a 2 - 1 =0
a -1且a 6 a
a = 6
i 4k +
1 =i 4k
i =(i 4)k
i =i
【变式 1】设复数 z=a+bi （a 、b∈R），则 z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）
A ．a=0
B ．a=0 且 b≠0
C ．a≠0 且 b=0
D ．a≠0 且 b≠0
【答案】A ；由纯虚数概念可知：a=0 且 b≠0 是复数 z=a+bi （a 、b∈R）为纯虚数的充 要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择 A.
【变式2】若复数（a 2 -3a +2）+（a -1）i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A.1 B.2
C.1 或 2
D.-1
【答案 B ；∵ （a 2-3a +2）+（a -1）i 是纯虚数，∴a 2-3a +2=0且a -10，即a =2.
变式3】如果复数（m 2 +i ）（1+mi ）是实数，则实数m=（ ） A ．1 B ．－1
C ． 2
D ． - 2
【答案】B ；
【变式4】求当实数m 取何值时，复数z =（m 2-m -2）+（m 2-3m +2）i 分别是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.
答案】
1）当m 2 -3m +2=0即m =1或m =2时，复数z 为实数； 2）当m 2 -3m +2
0即m 1且m 2时，复数z 为虚数
m - m - 2 = 0
3）当
即m =-1时，复数z 为纯虚数.
m 2
- 3m + 2 0
类型二：复数的代数形式的四则运算 例 2. 计算：
当n =4k +2(k
N )时，i 4k +
2 =i 4k i 2
=-1，(1)i n (n
N )；
(3)(1+2i )(1-2i );
解析：
(1)∵ i 2 =-1，∴i 3= i 2
同理可得： 当n =4k +1(k
N )时，
(2)(1+ i )8
(1-4i )(1+i )+2+4i
(4)
3+ 4i
=-i ，i 4 =i 2i 2 =1，
=(3―3)+(―7―4)i=―11i.
当n =4k +3(k N )时，i 4k +
3 =i 4k i 3 =-i 当n =4k +4(k N )时，i 4k = i 4k i
4 =(i 4)k =1， i (n = 4k + 1，k N ) i n -1 =
-i
n = 4k + 2，k N ) n = 4k +3，k N ) 1 (n = 4k + 4，k N ) (2)(1+i )8 =[(1+i )2]4 =(2i )4 =24i 4 =16 (3)(1+2i )(1-2i )=11+-22i i (1+ 2i )(1+ 2i ) 12+(2i )2+ 4i -3+ 4i (1-2i )(1+2i ) = 12-(2i )2= 5
34 +i
55
(1-4i )(1+i )+2+4i 1+4-3i +2+4i 7+i (7+i )(3-4i ) (4) = == 3+4i 3+4i 3+4i 32+42
21+4+3i -28i 25-25i = = =1- i . 25 25
总结升华：熟练运用常见结论： 1）i n 的“周期性”（ n N ） 2)(1i )2 = 2i 3)(a +bi )(a -bi ) = a 2+b 2 举一反三： 【变式 1】计算： (1)(5―6i)+(―2―i)―(3+4i) (2)(1+2i )(3-4i )(2-i ) (3)i i 2 i 3L i 100 (4)(1+i )3-(1-i )3 ； (1+i )2-(1-i )2 【答案】 (1)(5―6i)+(―2―i)―(3+4i) =[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i) =(3―7i)―(3+4i)
2)(1+2i )(3-4i )(2-i )=(11+2i )(2-i ) =24-7i
